中考數(shù)學專項復(fù)習：探索三角形幾何模型（雙角平分線模型）知識講解

專題4.20探索三角形幾何模型

(雙角平分線模型)(知識講解)

幾何模型1：內(nèi)角平分線+內(nèi)角平分線模型

如圖一、條件：BI、CZ分別為AABC的內(nèi)角/48C、

結(jié)論：ABIC=90°+-AA

已知：如圖一：B/、C7分別為AABC的內(nèi)角48C、

N/C5的角平分線相交于點I.

求證：ABIC=90°+-AA

2

證明：在AB/C中，

???B/、CZ分別為AABC的內(nèi)角4BC、ZACB

Z5/C=180°-(Z/SC+Z/C5)

=180°--(ZABC+NACB)

2

=180°--(180°-Z^)

2

=90°+-ZA

2

模型2：內(nèi)角平分線+外角平分線模型

如圖二、條件:。為AABC的內(nèi)角NA8C和外角乙4CD的角平分線BP、CP相交于點,

結(jié)論：ZP=90°+-ZA

2

D

B

如圖二

已知：如圖二：BP、CP分別為AABC的內(nèi)角N48C、

外角NNCD的角平分線相交于點P.

求證:NP=—AA

2

證明：?.?N48C、44CD平分線交于點P,

ZPBC=-ZABC;ZPCD=-ZACD,

22

-.?NPCD=NP+ZPBC,ZACD=ZA+ZABC,

ZP+ZPBC=1(Z^+NABC)

ZP+ZPBC=-AA+ZPBC

2

ZP=-ZA

2

模型三：外角平分線+外角平分線模型

如圖三、條件：AABC的外角NCBE和外角N8CD的角平分線相交于點,

結(jié)論：ZP=90°--ZA

2

如圖三

已知：如圖三：BP、CP分別為AABC的外角NCBE、

外角/BCD的角平分線相交于點P.

求證:NP=90°--AA

2

證明：???NE8C、NDC5平分線交于點P,

ZPBC=-ZCBE;ZPCB=-ZBCD,

22

???NP=180°-(ZPBC+NPCB)

=180°-^(ZEBC+ZDCB)

=180°-g(NZ+ZACB+ZA+ZABC)

=1800—g(2NZ+180°—NZ)

=90°--ZA

2

模型四：飛鏢+角平分線模型

1、飛鏢模型內(nèi)角關(guān)系模型：

如圖四：如圖，在四邊形ABCD中，

結(jié)論：ZC=ZA+ZB+ZD.

證明：延長BC交AD于E,則分別為外角,

ZBCD=ZCED+ZD,ZCED=ZA+ZB,

ZC=ZA+ZB+ZD.

圖四

2、飛鏢模型“內(nèi)角平分線+內(nèi)角平分線”模型:

BDS

圖五

如圖五：條件：/ABC、/4DC平分線交于點

生人小ZA+ZC

結(jié)論：ZP=-----------

2

略證：如圖五：NC=NPBC+NPDC+/P(1)

/P=/PB4+/PDA+NA(2)

ZPBC=ZPBA,ZPDC=ZPDA

(1)-(2)得NC-NP=NP-乙4

小//+NC

ZP=-----------

2

類型一、內(nèi)角平分線+內(nèi)角平分線模型

1.如圖，在△48C中，/48C和N/C3的平分線相交于點尸.

(1)若N48C+N/CB=130。，求NAPC的度數(shù).

(2)當//為多少度時，/BPC=3NA?

【答案】(1)115。；(2)4=36°

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義，求得NPBC,NPCB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得N8PC；

(2)根據(jù)(1)的方法求得尸C,再結(jié)合條件N8PC=3N4解方程即可求得

解：(1)?;PB平分N4BC,尸C平分N/CB,

NPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

ZABC+ZACB=UO°,

:.NPBC+NPCB=g(4ABC+NACB)=6',

ZBPC=180°-(ZPSC+ZPC5)=180°-65°=115°,

(2)；PB平分/ABC,尸C平分2/CB,

NPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

ZPBC+ZPCB=^(ZABC+ZACB),

ZABC+ZACB=180°-〃

ZPBC+ZPCB=90°—〃

2

0BPC=180°-@PBC+DPCB)

=180°-(90°-1z^)

=90°+-ZA

2

???ZBPC=3ZA

.-.3ZA=90°+-ZA,

2

ZA=36°.

【點撥】本題考查了與角平分線有關(guān)的角度計算，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題

的關(guān)鍵.

類型二、內(nèi)角平分線+外角平分線模型

▼2.如圖，在4ABD中，/ABD的平分線與NACD的外角平分線交于點E,ZA=80°,求NE

的度數(shù)

【分析】由題意：設(shè)/ABE=/EBC=x,ZACE=ZECD=y,利用三角形的外角的性質(zhì)構(gòu)建方程組解決

問題即可.

解：由題意：設(shè)/ABE=NEBC=x,ZACE=ZECD=y,

2y=2x+ZA①

則有

y=x+ZE②，

①-2x②可得NA=2NE,

：.ZE=-ZA=40°.

2

【點撥】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方

程組解決問題.

類型三、外角平分線+外角平分線模型

?Ks.如圖，已知射線OE_L射線。尸，B、A分別為?！?、O尸上一動點，ZABE>N8N廠的平分

線交于C點.問8、A分別在OE、。尸上運動的過程中，/C的度數(shù)是否改變？若不變，求出其值；若改變,

說明理由.

【答案】不變，ZC=45°.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質(zhì)可以得到/C=90。-'/。.

2

解：/C的度數(shù)不會改變.

?//ABE、ZBAF的平分線交于C,

/.ZCAB=-ZFAB??ZCBA=-ZEBA

22

.-.ZC=180°-(ZCAB+ZCBA)

=180°--(ZABE+ZBAF)

2

=180°--(ZO+ZOAB+ZBAF)

2

=180°--(ZO+1800)

2

=90°--ZO=45°.

2

【點撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)定理，熟練掌握相關(guān)

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型四、飛鏢內(nèi)角平分線+內(nèi)角平分線模型

?>4.(1)在銳角A43c中，NC邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為P,

Z5PC=110°,求//的度數(shù).

(2)如圖，4尸和CE分別平分NB/D和N8C。，當點。在直線/C上時，且3、P、。三點共線，

ZAPC=100°,貝.

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，當點。在直線ZC外時，如下圖：ZADC=130°,ZAPC=100°,求的

度數(shù).

【答案】(1)70°；(2)20°；(3)70°.

【分析】(1)根據(jù)對頂角相等以及四邊形的內(nèi)角和進行判斷即可；

(2)法一：根據(jù)ZAPC=100°以及AF和CE分別平分ZBAD和ZBCD,算出NBAD和NBCD，從而

算出/B；

法二：根據(jù)三角形的外角定理得到再求出/為8+/尸。8,故可求解；

(3)法一：連接NC,根據(jù)三角形的內(nèi)角和與角平分線的性質(zhì)分別求出/2+/4=30。，

ABAC+ZBCA=110°,故可求解；

法二：連接8。并延長到G根據(jù)三角形的外角定理得到N/OC=N2+N4+/4PC,再求出/2+N4,

故可求解.

解：(1)如圖/C邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點為P

???ABDA=ACEA=90°

又,:Z5PC=110°

J/EPD=/BPC=H。。

???在四邊形/￡尸。中，內(nèi)角和為360。

???Z^=360°-l100-90°-90°=700.

(2)法一：???脛和CE分別平分/氏4。和

ZBAP=NFAC,ZBCE=ZACE

又,://PC=100。

???/FAC+/4CE=180。-100。=80。

ZBAC+ZBCA=160°

：.鄲=180-160鞍20.

法二：連接5Q,?：B、P、。三點共線

；?BD、AF、CE交于P點、

VZAPD=ZBAP+ZABP9ZCPD=Z.BCP+ZCBP,

???ZAPC=ZB+ZPAB+ZPCB

丁AF和CE分別平分/BAD和/BCD,

:?/PAC=/PAB,ZPCA=ZPCBf

?.,ZAPC=100°,

：.ZPAC+ZPCA=180°?100°=80°,

JZPAB+ZPCB=S0°f

：.ZB=ZAPC?QPAB+/PCB)=100°?80°=20°.

(3)法一：如圖：連接4c

B

VZy4DC=130°,//PC=100。

.??ADAC+ZDCA=180?！?30。=50°,APAC+ZPCA=180°-l00°=80°

???Z2+Z4=30°

又,:AF和CE分別平分/氏4。和/BCD

：.Nl+/3=/2+N4=30。

，ABAC+ZBCA=110°

，*180-110鞍70.

法二：如圖，連接并延長到G,

VZADG=Z2+ZAPD,ZCDG=Z4+ZCPD,

：.ZADC=Z2+Z4+NAPC,

.?.Z2+Z4=30°

同理可得N/PC=N1+N3+N5,N1=N2,N3=N4,

???ZB=Z^PC-Z2-Z4=l00°-30°=70°

JZB=70°.

【點撥】本題考查三角形的外角，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握基本知識，屬于中考常考題型.

類型五、雙角平分線模型綜合

V5.探究：

(1)如圖1,在△48C中，BP平分/ABC,CP平分//C3.求證：/尸=90。+：//.

(2)如圖2,在4/臺。中，BP平分/ABC,CP平分外角//CE.猜想NP和//有何數(shù)量關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

(3)如圖3,BP平分/CBF,CP平分NBCE.猜想/尸和//有何數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論.

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)進行解答即可：

(2)根據(jù)角平分線的定義以及一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，可求出/A的度數(shù),

根據(jù)補角的定義求出NACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出/P的度數(shù)，即可求出結(jié)果，

(3)根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理、角平分線的定義探求并證明.

解：證明：(1):△/Be中，ZABC+ZACB=180°-ZA.

又；BP平分/4BC,CP平分NACB,

：./PBC=1/ABC,

/PCB=g/ACB,

:./PBC+/PCB=g(180°-//),

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知N3PC=180。-g(180。-//)=90°+yZyl；

(2)1AA=/LP,理由如下：

'：BP是△NBC中N/8C的平分線，CP是/ACB的外角的平分線，

NPBC=yZABC,/PCE=yZACE.

是ZUBC的外角，NPCE是ABPC的外角，

AZACE^ZABC+ZA,/PCE=NPBC+/P,

：.yZACP=1ZABC+^-ZA,

：.yZABC+^ZA=ZPBC+ZP,

：.^-ZA=ZP.

(3)ZP=90°-^-ZA,理由如下：

,:P點是外角/C3k和NBCE的平分線的交點，NP+/PBC+NPCB=180。

：.ZP=180°-(ZPBC+ZPCB)

=180°-1(NFBC+NECB)

=180。-g(ZA+ZACB+ZA+ZABC)

=180°-1(//+180°)

=90°-

【點撥】本題考查了角平分線的定義，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和以及補角的定

義以及三角形的內(nèi)角和為180。，此類題解題的關(guān)鍵是找出角平分線平分的兩個角的和的度數(shù)，從而利用三

角形內(nèi)角和定理求解.

CF6.如圖，在“8C中，//8C與//CB的角平分線交于。點.

(1)若N/=40。，貝i]NBOC=°；

(2)若N/=〃。，貝!]N8OC=°；

(3)若44=〃。，//BC與//C3的角平分線交于。點，4480的平分線與N/C。的平分線交于點J,

NO刈6BD的平分線與ZO2016CE的平分線交于點(92017,則ZO2017=。.

1)2018_i

【答案】(1)110(2)(90+1?)⑶產(chǎn)乂90。+拳9n°

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得到角之間的關(guān)系，然后求解即可;

(2)根據(jù)3。、C。分別是N48C與NNC2的角平分線，用"。的代數(shù)式表示出N08C與NOCB的和，再

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NBOC的度數(shù)；(3)根據(jù)規(guī)律直接計算即可.

解：(1)VZA=40°,

.?.ZABC+ZACB=140°,

???點O是NAB故答案為：110。；C與NACB的角平分線的交點，

.\ZOBC+ZOCB=70o,

.,.ZBOC=110°.

(2)VZA=n°,

,ZABC+ZACB=18