北京市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高二年級上冊9月月考數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9

月份）

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1.（4分）已知直線/經(jīng)過點（-3,-2）,（1,2）,則下列不在直線/上的點是（）

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(2,D

2.(4分)直線狽+勿+c=0同時要經(jīng)過第一、二、四象限，則a,b,C應(yīng)滿足()

A.ab>0,be<0B.ab<0,bc>0

C.ab>0,bc>0D.ab<0,be<0

3.(4分)已知M=(2,1,-3)石=(一1,2,3),1=(7,6,1),若a,b,c共面，則X等于()

A.-3B.3C.-9D.9

4x+2y+l=0

4.(4分)若關(guān)于X,y的方程組c(〃￡R)無解，則。=()

2%+ay+l1=0

歷

A.2B.J2C.lD.—

2

5.(4分)如圖底面為平行四邊形的四棱錐夕—ABCD,EC=2PE,若OE=xA5+yAC+zAP,則

x+y+z=()

I5

A.lB.2C.-D.-

33

6.（4分）“帆=2”是"直線乙：（加一3）%+加,+1=0與直線/2:mx+（加一1）＞一2=0互相垂直”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.（4分）設(shè)直線/的方程為x—ysin?！?=。，則直線/的傾斜角。的范圍是（）

71713兀7171713兀

A.[0,7l]B.—,71D.

4249T'4,229T

8.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點尸（cos6,sin。）到直線％一切―2=0的距離.當(dāng)。、機(jī)變化時，d

的最大值為（）

A.lB.2C.3D.4

9.（4分）如圖，三棱錐A—中，AB=BC=AC=DB=DC,且平面ABC與底面垂直，

E為BC中點,EF//AD，則平面AD8與平面AaF夾角的余弦值為（）

10.（4分）“十字貫穿體”是學(xué)習(xí)素描時常用的幾何體實物模型，圖①是某同學(xué)繪制“十字貫穿體”的素

描作品.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構(gòu)成的多面體，其中一個四棱柱的每一

條側(cè)棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側(cè)棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側(cè)棱交于兩點，另外兩條相

對的側(cè)棱交于一點（該點為所在棱的中點）.若該同學(xué)繪制的“十字貫穿體”有兩個底面邊長為2,高為

4后的正四棱柱構(gòu)成，在其直觀圖中建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，則（）

B.點C的坐標(biāo)為（—2,2,26）

C.o,E，F(xiàn)，A四點共面

D.直線CE與直線DG所成角的余弦值為—

6

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.（5分）已知。=（2,-1,3）/=（—4,2,x）,且則％=.

12.(5分)過點(-1,3)且平行于直線x-2y+3的直線方程為.

13.(5分)若a=(2,3,—1),人=(-2,1,3),則以為鄰邊的平行四邊形面積為.

14.(5分)已知A(2,1,3),B(2,—2,6),。(3,3,6),則向量AC在上的投影向量坐標(biāo)為.

15.(5分)若直線/:'+上=1(。＞0力＞0)經(jīng)過點(1,2),則直線/在x軸和＞軸的截距之和的最小值是

ab

16.(5分)在正三棱柱A5C—4月￡中，AB=A4=1,點p滿足5。=幾8。+〃54，其中

2e[0,l],//e[0,l],則下列說法中，正確的有.(請?zhí)钊胨姓_說法的序號)

①當(dāng)4=1時，A與P的周長為定值；

②當(dāng)〃=1時，三棱錐P—43C的體積為定值；

③當(dāng)彳=；時，有且僅有一個點p,使得APLBP；

④當(dāng)〃=；時，有且僅有一個點尸，使得平面

三、解答題(共50分)

17.(12分)已知，A5c的頂點分別為A(2,4),B(7,-1),C(-6,l).

(1)求邊的中線AD所在直線的方程；

(2)求5C邊的垂直平分線上的方程.

18.(12分)在平行六面體ABC。—A笈GA中，A3=AA=2,AD=1，

ABAD=ZBA^=ZDA^=60°.

(1)求3。的長;

(2)求A到直線5C的距離;

(3)動點P在線段CR上運動，求AP-CP的最小值.

19.(12分)如圖，正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AAf,MD的中點.在五棱錐尸―A3CDE

中，F(xiàn)為棱PE上一點、,平面AB下與棱P。，PC分別交于點G,H.

(1)求證：AB//FG；

71

(2)若底面ASCDE,且以=AE,直線與平面AftF所成角為一.

6

(i)確定點廠的位置，并說明理由；

(ii)求線段PH的長.

20.(14分)設(shè)正整數(shù)〃之3,集合A={a|4=(尤1，%,?eR,左=1,2,,〃},對應(yīng)集合A中的任

意元素。=(%,42,…尤”)和人=(%，%，…K)，及實數(shù)％，定義：當(dāng)且僅當(dāng)々="(左=1,2,…,〃)時

:

。=比。+力=(菁+%,/+%,...%”+丁")；%=(a1，丸馬,.../1%").若4的子集5={?1,?2,g}滿足：當(dāng)且

僅當(dāng)4=4=4=0時，4al+44+4a3=(°，°，、。)，則稱8為A的完美子集.

(1)當(dāng)〃=3時，已知集合

用={(1,0,0),(0/,0),(0,0,1)},為={(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)},分別判斷這兩個集合是否為A的完美子

集，并說明理由；

(2)當(dāng)〃=3時，已知集合3={(2〃z,人機(jī)加—桃一1,2m)}.若8不是A的完美子集，

求機(jī)的值；

⑶已知集合B=[al,a2,a3}^A,其中4=(馬,第,…拓)(，=L2,3).若2聞＞民|+民J+1%J對任

意，=1,2,3都成立，判斷8是否一定為A的完美子集.若是，請說明理由；若不是，請給出反例.

2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)廣渠門中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（9

月份）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1.D

y-(-2)x-(-3)

【解答】解：由直線的兩點式方程，得直線/的方程為即％—y+l=。，

2-(-2)1-(-3廠

將各個選項中的坐標(biāo)代入直線方程,

可知點（—2,—1）,（—1,0）,（0,1）都在直線/上，點（2,1）不在直線/上.

故選：D.

2.【答案】A

【解答】解：由于直線狽+勿+。=0同時要經(jīng)過第一、二、四象限，故斜率小于o,在y軸上的截距大于

0,

a八

——<0

h

故1,故ab>0,Z?c<0,

-->0

.b

故選：A.

3.【答案】C

【解答］解:a=（2,1，-3）2=（-L,2,3）,C=（7,6,2）,

a.b.c共面，

二設(shè)a=mb+〃c，則(2,1,-3)=(-m+7n,2m+6n,3m+A,n),

-m+7〃=2

,,,<2m+6n=1,解得m=——,n=一,

44

3m+=-3

解得4=—9.

故選：C.

4.【答案】C

4x+2y+l=0、

【解答】解：：關(guān)于龍，》的方程組、，c(zaeR)無解,

2x+ay+l=0v'

???直線4x+2y+l=0與直線2x+ay+l=0平行,

2a1

:.-=—=一,

421

解得a=1.

故選：C.

5.【答案】A

【解答】解：由題意，DE=DC+CA+AE=AB-AC+AP+PE

=AB-AC+AP+-PC=AB-AC+AP+-(AC-AP}=AB--AC+-AP,

33V733

又因為DE=xAB+yAC+zAP,

22

所以x=l,y=——，z=一,

33

所以x+y+z=l.

故選：A.

6.【答案】A

【解答】解：由題意兩條直線垂直時，則”(/“-3)+m(mT)=°，即2加2一4加=0，

解得772=0或機(jī)=2,

所以“相=2”是"直線4：(加-3)x+7孫+1=0與直線]：7加+(加一1)丁一2=0互相垂直”的充分不必

要條件.故選：A.

7.【答案】C

7T

【解答】解：當(dāng)sin9=0時，則直線的斜率不存在，這時直線的傾斜角為一，

2

當(dāng)sinJwO時，則直線的斜率上二——，

sin。

JTJT\

當(dāng)0<sin。,,1時，則左G[1,+OO),這時直線的傾斜角為—I,

(兀3兀

當(dāng)一L,sine<0,則左這時直線的傾斜角為1萬,彳

TT3兀

綜上所述：直線的傾斜角的范圍為.

_44_

故選：C.

8.【答案】C

【解答】解：由題意d=忖上竺吧芻

Vl2+rn2

當(dāng)sin(^-tz)=-1時,

:.d的最大值為3.

故選：C.

9.【答案】B

【解答】解：如圖，連接

因為AB=BC=AC=DB=DC,E為6c中點,

所以AELBC,DELBC,

又平面ABC，底面5cD,平面ABCc底面38=8。,AEu平面ABC,

所以AE,平面38,故E￡>,EB,EA兩兩垂直,

以E為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=2，由EF〃AD，

可得A(0,0,73),D(Q,0,0),3(0,1,0),F(-A/3,0,V3),

則AB=(0,1,-A/3),AD=(A/3,0,-^/3),AF=(-A/3,0,0),

設(shè)平面ABD的一個法向量為m=（x,y,z）,

m-AB=y—V3z=0

則有〈令x=l,得y=z=l,則m=

m?AD=A/3X-A/3Z=0

設(shè)平面AB廠的一個法向量為“二（。,反。），

n-AB—b—=0

則有《令c=l,得。=。力=6，得〃=（0,石』）,

n,AF=—=0

m-n42小

則cos<m,n>=p-n-r=-----廣=--，

|m||n|2xV55

則平面AD8與平面AKF夾角的余弦值為25.

5

故選：B.

10.【答案】C

【解答】解：由題意正方形ABCD的對角線8。=2夜，

則G(2,2,2⑹，網(wǎng)0,2,3⑹,

則GE=J(2-Of+(2-2)2+(2&-3行f=瓜,故A錯誤;

因為GA=gx40=2近,則0卜2,2,2直），故8錯誤;

對于C,A（0,4,2夜），B（0.2,虛），

則OA=（0,4,2嗎,OE=（0,2,3A/2）,（9F=（0,2,V2）,

所以。4=2。/，

又。為三個向量的公共起點，所以。，瓦工A四點共面，故C正確;

由OE=&，得。（一1,3,3四），

則CE=（2,0,拒），DG=（3,—1,-亞卜

6+0-2_72

貝！Jcos<CE,DG>=

V6X2A/3-3

所以直線CE與直線QG所成角的余弦值為變，故D錯誤.

3

故選：C.

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：因為a=（2,-L,3）力=（T,2,x）,且a〃b，

所以存在實數(shù)力使得

2=-42

a-Ab即<-1=24

3=Ax

解得x=-6.

故答案為-6.

12.【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)要求的直線方程為：x-2y+m^Q,

把點(—1,3)代入上述方程可得：—1—2x3+m=0,解得m=7.

二要求的直線方程為：x—2y+7=0,

故答案為：x-2y+7=0.

13.【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解:設(shè)向量的夾角為。，

a=(2,3,-1),^=(-2,1,3).

.cos6=a-b=2x(-2)+2xlj(-l)x3=_2

"問似,22+32+(—1)2?5(-2)2+仔+3271

由同角三角函數(shù)的關(guān)系，得Sin6=Jl—cos2，=芷,

7

二以a1為鄰邊的平行四邊形面積為S=|a|-Wsin，=JIZxJi4x±5=6j?，故答案為：6卮

14.【答案】mi

【解答】解:因為4(2,1,3),5(2,—2,6),C(3,3,6),

所以4。=(1,2,3),45=(0,-3,3),

所以ACAB=-6+9=3，

ACABAB3(0,-3,3)<11)

所以向量AC在AB上的投影向量坐標(biāo)為誨「?麗=屹?三吠=1°，—5,5人

故答案為：W

15?【解答】解:直線/」+工=1(。>0力〉0)經(jīng)過點(1,2)

ab

」+嗎,

ab

/12、〃2

a+b—(<a+b^[—----1-.3+2^/2,當(dāng)且僅當(dāng)沙=J5a時上式等號成立.

???直線在X軸，y軸上的截距之和的最小值為3+20.

故答案為：3+272.

16.【解答】解：由題意得：BP=ABC+/nBB,,2e[0,1],//e[0,1],所以P為正方形耳內(nèi)一點,

①當(dāng);1=1時，BP=BC+JuBBl,即CP=〃34，〃e[0,l],

所以P在線段CG上，所以ABF周長為AB]+AP+與P,

如圖1所示，當(dāng)點尸在片,鳥處時，B.Pi+AP}^B,P2+AP2,故①錯誤；

②如圖2,當(dāng)〃=1時，即，即4P=/L3C,Xw[0,l],

所以尸在B]G上，^P-AIBC=§'SAIBC'"，

因為與&〃平面ABCu.BCu平面ABC,所以點P到平面4BC距離不變，即人不變,

故②正確；

③當(dāng)X=g時，即+,如圖3,

M為301中點，N為5C的中點，P是MN上一動點，

易知當(dāng)〃=0時，點尸與點N重合時，由于A3C為等邊三角形，N為BC中點、,

所以4VL3C,又叫41cA7V=A,

所以BN_L平面ANMA,

因為[Pu平面ANMA，則

當(dāng)〃=1時，點P與點”重合時，可證明出，平面BCC4,

而5A/U平面5CG4,則即APL5P,故③錯誤；

11

④，當(dāng)〃=a時，即BP=430+584,如圖4所示，。為8片的中點，E為CG的中點，

則P為DE上一動點，易知ABLAB],

若45,平面AB/,只需43,31P即可,

取用C的中點尸，連接AfBE,

又因為[R，平面BCC/],所以AFLPB],

若A5LP4，只需用「，平面AF6,即用PLFB即可,

如圖5,易知當(dāng)且僅當(dāng)點P與點E重合時，與PLFfi故只有一個點p符合要求，使得48,平面

ABXP,故④正確.

故答案為：②④.

C

E

C

A

AB

圖2

“Z

,?

，Z

//

/一

P

/_一一2

」一

圖1

三、解答題（共50分）

17.【答案】（1）8x-3y-4=0；

(2)26x-4y-13=0.

【解答】解：（1）設(shè)5C中點。的坐標(biāo)為（飛,陽）,

皿7—61-1+1八

則％=亍=5，%=-=0,

邊的中線AD過點A（2,4）,"；,o）兩點,

Q_4-02^],即8x_3y_4=0；

?AD所在直線方程為丁一yr

.?2--

2

-1-12

(2)3C的斜率左=-----

7+613

BC的垂直平分線DE的斜率匕=一,

2

直線DE的方程為'—萬］'即26x-4y-13=0.

18.【答案】（1）5

（2）2；

【解答】解：(1)AB=AAi=2,AD=\,ZBAD=ZBA\=ZDAA,=60,

因為町=BA+AD+DDr=-AB+AD+AAl,

222

所以|=,AB+AD+AA^=^AB+AD+A^-2ABAD-2ABAAi+2ADAAi

而AD=|AB|?|AD|cos60°=2xlxg=1,

ABAA,=\AB\-\AA^cos60°=2x2x^=2,

=|A￡>HA411cos60°=lx2x1=l,

所以,用=74+1+4-2x1-2x2+2x1=逐,

即BA的長度為近；

(2)因為AD=A4jCOs60=2xg=l,

所以A。，AD,AD〃5C,

所以4DL3C,

在.ABD中，BD=7AD2+AB2-2AD-ABcos60=^l+4-2xlx2x1=百，

所以AD2+3￡>2=Ag2,

即

又因為A]￡)cBD=D,

所以NC,平面A3。，

而ABu平面\BD,

所以ABLBC,

即48為A到直線BC的距離，

而AX】=AB=2,Z\AB=60,

所以三角形A4]5為等邊三角形，即=2,

即4到直線5c的距離為2;

(3)設(shè)C戶=XCD；,

則""二叢小十0+匿+砌爪山平-3-砌?！秮V九姬-池-幽九姬

=［（2-1）AJB-2A41-AD］-2（AB-A41）

=2{^-}}AB-^-1）AB-AAx-XAAx-AB+XA\-AD-AB+AD-AA^

22

=2［（2-1）X2-（22-1）|AB|-|A41|COS60+2X2-|AD|-|AB|COS60+|叫{A41kos60

=44（2-l）-（22-l）x2x2x-+42-lx2x-+lx2x-=422-22=4（

一222」I4J4

當(dāng)4=工時,

4

這時APCP的最小值為-'.

4

19.【答案】（1）證明見解答；

（2）（1）尸為尸E中點；（2）2.

【解答】（1）證明：在正方形AMDE中，AB//DE，

又A3e平面PDE,DEu平面PDE，

所以AB〃平面PDE，

又ABu平面ABFG,平面ABFGc平面PDE=FG,

則AB//FG；

7T

（2）解：（1）當(dāng)尸為PE中點時，有直線5c與平面A5尸所成角為一,

6

證明如下：由24_L平面ABCDE,可得PA_LAB,?A，AE,

建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖所示:

Pl

則A（0,0,0）,5（1,0,0）,C（2,1,0）,P（0,0,2）,

又F為PE中點、,則E（0,l,l）,3C=（Ll,0）,AB=（L0,0）,AF=（0,Ll），

設(shè)平面AB尸的一個法向量為為=（尤,y,z）,

n-AB=0x=0

則有〈.，即《八，令z=l,則y=-1,

〃,AF-0[y+z=°

則平面ABF的一個法向量為n=（0,-1,1）,

設(shè)直線3C與平面A3下所成角為a,

\n-BC\_1_1

則sina=|cos<n,BC>|=

\n\\BC\~j2xy/2~2

TT

故當(dāng)尸為PE中點時，直線5C與平面A5尸所成角的大小為一.

6

（2）設(shè)點H的坐標(biāo)為

因為點H在棱PC上，所以可設(shè)P//=2PC（O<2<1）,

即（見%墳一2）=2（2,1,—2）,所以M=24V=4W=2-22,

因為〃=（0,—1,1）是平面ABFGH的法向量,

所以〃?A"=0，即（0,—1,1）?（2442—22）=0,

2f422（424

解得4=:，故，則P吟了「

3

所以|「叫=

20.【答案】（1）四是A的完美子集，層不是完美子集;

（2）m=-

4

（3）8是A的完美子集.

【解答】解（i）設(shè)4q+44+4%=（0，0，0），