常量與變量（學(xué)生版+解析）-2022-2023學(xué)年浙教版八年級數(shù)學(xué)上冊同步講義

第22課常量和變量

號目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過實(shí)例體驗(yàn)在一個(gè)過程中有些量固定不變，有些量不斷地變化.

2.了解常量、變量的概念，體驗(yàn)在一個(gè)過程中常量與變量相對地存在.

3.會在簡單的過程中辨別常量和變量.

噩知識精講

知識點(diǎn)01常量與變量

常量與變量：在一個(gè)過程中，固定不變的量稱為常量，可以取不同數(shù)值的量稱為變量

能力拓展

考點(diǎn)01常量與變量

【典例1】球的體積是V,球的半徑為R,則/=國江氏3,其中變量和常量分別是（）

3

A.變量是匕R；常量是性，itB.變量是R,TT；常量是4

33

C.變量是V,R,TT；常量是2D.變量是匕R3；常量是F

3

【即學(xué)即練11某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)加工100個(gè)零件，則工作效率T］與時(shí)間t之間的關(guān)系中，下列說法正

確的是（）

A.數(shù)100和T］,f都是變量B.數(shù)100和T］都是常量

C.T）和f是變量D.數(shù)100和f都是常量

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知圓周率為m在圓的周長C與圓的半徑廠之間的函數(shù)關(guān)系式C=2nr中，變量是（）

A.C,IlB.C,rC.C,Ti,rD.C,2TC

2.一根蠟燭原長。厘米，點(diǎn)燃后燃燒時(shí)間為f分鐘，所剩余蠟燭的長為y厘米，其中是變量的是（）

A.a,t,yB.yC.t,yD.a,y

3.小李駕車以70加/〃的速度行駛時(shí)，他所走的路程s（km）與時(shí)間t（h）之間可用公式s=70f來表示，

則下列說法正確的是（）

A.數(shù)70和s,f都是變量B.s是常量，數(shù)70和，是變量

C.數(shù)70是常量，s和/是變量D.f是常量，數(shù)70和s是變量

4.一本筆記本5元，買尤本共付y元，則5和尤分別是（）

A.常量，變量B.變量，變量C.常量，常量D.變量，常量

5.一本數(shù)學(xué)錯(cuò)題筆記本的售價(jià)為6元，若小青買x本共付y元，則尤和6分別是（）

A.常量，變量B.變量，常量C.常量，常量D,變量，變量

6.把20本書隨意放入兩個(gè)抽屜（每個(gè)抽屜內(nèi)都放），第一個(gè)抽屜放入a本，第二個(gè)抽層放入b本，則下

列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.20是變量B.。是變量C.6是變量D.20是常量

7.每個(gè)同學(xué)購買一本課本，課本的單價(jià)是4.5元，總金額為y（元），學(xué)生數(shù)為〃（個(gè)），則變量是一，

常量是—.

8.每張電影票的售價(jià)為10元，某日共售出x張票，票房收入為y元，在這一問題中，—是常量，—是

變量.

9.假期即將開始，李偉制定了一張“假期每天時(shí)間分配表”，其中課外閱讀時(shí)間為1.5小時(shí)，這里的“1.5

小時(shí)”為—（填“常量”或“變量”）.

10.分別指出下列變化過程中的變量與常量：

C1）y--2TLe+4；

（2）s—vot+^-at2（其中vo,a為定值）.

2

11.某工廠有一個(gè)容積為280立方米的水池，現(xiàn)用3臺抽水機(jī)從蓄滿水的池中同時(shí)抽水，已知每臺抽水機(jī)

每小時(shí)抽水15立方米.

（1）抽水兩個(gè)小時(shí)后，池中還有水立方米；

（2）在這一變化過程中哪些是變量？哪些是常量？

12.寫出下列各問題中的關(guān)系式中的常量與變量:

（1）分針旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)，旋轉(zhuǎn)的角度〃（度）與旋轉(zhuǎn)所需要的時(shí)間f（分）之間的關(guān)系式"=6f；

（2）一輛汽車以40千米/時(shí)的速度向前勻速直線行駛時(shí)，汽車行駛的路程S（千米）與行駛時(shí)間/（時(shí)）

之間的關(guān)系式s=40f.

題組B能力提升練

13.在公式5=-什20中，關(guān)于變量和常量，下列說法正確的是（）

A.-1和20是常量，S和f是變量B.20是常量，S和r是變量

C.-1常量，S和f是變量D.S是自變量，f是因變量

14.小凡的手機(jī)話費(fèi)原有余額60元，與姐姐通話，話費(fèi)余額隨時(shí)間變化而變化.在這個(gè)過程中，因變量是

（）

A.話費(fèi)余額B.時(shí)間C.60D.小凡

15.3x-y=7中，變量是—，常量是—.把它寫成用x的式子表示y的形式是—.

16.城市綠道串連起綠地、公園、人行步道和自行車道，改善了城市慢行交通的環(huán)境，引導(dǎo)市民綠色出行.截

至2016年底某市城市綠道達(dá)2000公里，該市人均綠道長度y（單位：公里）隨人口數(shù)x的變化而變化,

指出這個(gè)問題中的所有變量—.

17.在高速公路上，某型號汽車緊急剎車后仍將滑行一段距離S（單位："Z）,一般有公式5=,其中V（單

位：km/h'）表示剎車前汽車的速度.

（1）當(dāng)v分別為50加//?,6Qkm/h,100切加時(shí)，相應(yīng)的滑行距離s是多少？

（2）在上述公式中，哪些量是變量，哪些量是常量？

18.從南京到上海的路程約為300切1,一輛汽車從南京開往上海，每小時(shí)行駛50加1,行駛的時(shí)間為，"），

離南京的路程為s（km）,回答下面的問題：

（1）填寫下表：

t（/i）123456

s（km）

（2）用含f的式子表示，并指出其中的常量和變量.

題組C培優(yōu)拔尖練

19.水中漣漪（圓形水波）不斷擴(kuò)大，記它的半徑為廣，圓周長為C,圓周率（圓周長與半徑之比）為TT.則

這個(gè)問題的變量是()

D.r,C

20.彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度y(cm)與所掛的物體的質(zhì)量x(kg)之間有下面的關(guān)系:

x/kg012345

ylem1010.51111.51212.5

下列說法正確的是.

①x與y都是變量；

②彈簧不掛重物時(shí)的長度為0cm；

③物體質(zhì)量每增加1kg,彈簧長度增加0.5cm；

④所掛物體質(zhì)量為1kg時(shí)，彈簧長度為13.5c,".

21.如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊長與正方形MNP。的邊長均為10cm,AC與MN在同一直線上，

開始時(shí)A點(diǎn)與Af點(diǎn)重合，讓△ABC向右運(yùn)動，最后A點(diǎn)與N點(diǎn)重合.試寫出重疊部分的面積與

的長度xc機(jī)之間的關(guān)系式，并指出其中的常量與變量.

BKQ,--------------------1P

CMAN

第22課常量和變量

號目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過實(shí)例體驗(yàn)在一個(gè)過程中有些量固定不變，有些量不斷地變化.

2.了解常量、變量的概念，體驗(yàn)在一個(gè)過程中常量與變量相對地存在.

3.會在簡單的過程中辨別常量和變量.

攪知識精講

知識點(diǎn)01常量與變量

常量與變量：在一個(gè)過程中，固定不變的量稱為常量，可以取不同數(shù)值的量稱為變量

能力拓展

考點(diǎn)01~~常量與變量

【典例1】球的體積是V,球的半徑為R,則其中變量和常量分別是（）

3

A.變量是V,R；常量是邑，nB.變量是R,m常量是國

33

C.變量是V,R,it；常量是4D.變量是V,R3；常量是IT

3

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)常量和變量的概念解答即可.

【解析】解：球的體積是匕球的半徑為R,則

4

其中變量是匕R；常量是2,TT

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了常量和變量，掌握概念是解題的關(guān)鍵.

【即學(xué)即練1】某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)加工100個(gè)零件，則工作效率口與時(shí)間/之間的關(guān)系

中，下列說法正確的是（）

A.數(shù)100和1f都是變量B.數(shù)100和1］都是常量

C.1］和r是變量D.數(shù)100和r都是常量

【思路點(diǎn)撥】常量是在某個(gè)過程中不變的量，變量就是在某個(gè)過程中可以取到不同的數(shù)

值，變化的量.根據(jù)定義即可判斷.

【解析】解：某人要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)加工100個(gè)零件，則工作效率n與時(shí)間t之間的關(guān)

系中：n和/是變量，零件的個(gè)數(shù)10。是常量.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了常量與變量的概念，是一個(gè)基礎(chǔ)題.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.已知圓周率為m在圓的周長。與圓的半徑廠之間的函數(shù)關(guān)系式。=2館中，變量是（）

A.C,nB.C,rC.C,n,rD.C,2n

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)變量、常量的定義進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：圓的周長C=2w,其中C、r是變量，2TT是常量，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查常量與變量，理解常量與變量的定義是正確判斷的前提.

2.一根蠟燭原長。厘米，點(diǎn)燃后燃燒時(shí)間為f分鐘，所剩余蠟燭的長為y厘米，其中是變

量的是（）

A.a,t,yB.yC.t,yD.a,y

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)常量與變量的定義：在一個(gè)變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變

量；數(shù)值始終不變的量稱為常量解答即可.

【解析】解：一根蠟燭原長。厘米，點(diǎn)燃后燃燒時(shí)間為f分鐘，所剩余蠟燭的長為y厘米,

其中是變量的是3y；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是常量與變量，掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵.

3.小李駕車以70切7//1的速度行駛時(shí)，他所走的路程s（km）與時(shí)間f（/z）之間可用公式s

=70/來表示，則下列說法正確的是（）

A.數(shù)70和s,/■都是變量B.s是常量，數(shù)70和f是變量

C.數(shù)70是常量，s和/是變量D.f是常量，數(shù)70和s是變量

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)常量與變量的定義判斷.

【解析】解：由題意得：70是常數(shù)，其值恒定不變，是常量，行駛過程中時(shí)間不斷增加，

f的值不斷變化，是變量，路程隨時(shí)間r的不合而變化，S也是變量，

.,.A,B,￡＞均不合題意，C合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查常量與變量，理解題意，搞清變與不變是求解本題的關(guān)鍵.

4.一本筆記本5元，買尤本共付y元，則5和x分另U是（）

A.常量，變量B.變量，變量C.常量，常量D.變量，常量

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)常量、變量的意義進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：一本筆記本的單價(jià)是5元不變的，因此5是常量，

而購買的本數(shù)x,是變化的量，因此x是變量，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查常量、變量，理解在某一變化過程中“常量”“變量”的意義是正確

判斷的前提.

5.一本數(shù)學(xué)錯(cuò)題筆記本的售價(jià)為6元，若小青買x本共付y元，則x和6分別是（）

A.常量，變量B.變量，常量C.常量，常量D.變量，變量

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)變量、常量的定義，結(jié)合具體的問題情況進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：小青購買錯(cuò)題本的本數(shù)x是變化的，因此尤是變量，而單價(jià)為每本6元，

是不變的量，因此6是常量，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查變量與常量，理解變量與常量的定義是正確判斷的前提.

6.把20本書隨意放入兩個(gè)抽屜（每個(gè)抽屜內(nèi)都放），第一個(gè)抽屜放入°本，第二個(gè)抽層放

入b本，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）

A.20是變量B.。是變量C.6是變量D.20是常量

【思路點(diǎn)撥】一個(gè)變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量，數(shù)值始終不變的量稱為

常量，據(jù)此判斷即可.

【解析】解：把20本書隨意放入兩個(gè)抽屜（每個(gè)抽屜內(nèi)都放），第一個(gè)抽屜放入。本，

第二個(gè)抽屜放入匕本.則。和b分別是變量，20是常量.

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了常量與變量問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：常

量與變量必須存在于同一個(gè)變化過程中，判斷一個(gè)量是常量還是變量，需要看兩個(gè)方面:

一是它是否在一個(gè)變化過程中；二是看它在這個(gè)變化過程中的取值情況是否發(fā)生變化.

7.每個(gè)同學(xué)購買一本課本，課本的單價(jià)是4.5元，總金額為y（元），學(xué)生數(shù)為〃（個(gè)），

則變量是y，n，常量是4.5.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)在一個(gè)變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的

量稱為常量，即可答題.

【解析】解：.??單價(jià)固定，

常量是4.5,

???總金額為y（元）隨著學(xué)生數(shù)為〃（個(gè)）的變化而變化，

...?"是變量，

故答案為y,?；4.5.

【點(diǎn)睛】主要考查了函數(shù)的定義.函數(shù)的定義：在一個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x,y,

對于x的每一個(gè)取值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，則y是尤的函數(shù)，x叫自變量.

8.每張電影票的售價(jià)為10元，某日共售出尤張票，票房收入為y元，在這一問題中，電

影票的售價(jià)是常量,電影票的張數(shù)，票房收入是變量.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)常量，變量的定義進(jìn)行填空即可.

【解析】解：常量是電影票的售價(jià)，變量是電影票的張數(shù)，票房收入，

故答案為電影票的售價(jià)，電影票的張數(shù)，票房收入.

【點(diǎn)睛】本題考查了常量和變量，掌握常量和變量的定義是解題的關(guān)鍵.

9.假期即將開始，李偉制定了一張“假期每天時(shí)間分配表”，其中課外閱讀時(shí)間為1.5小

時(shí)，這里的“L5小時(shí)”為常量(填“常量”或“變量”).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)在一個(gè)變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的

量稱為常量進(jìn)行解答即可.

【解析】解：假期即將開始，李偉制定了一張“假期每天時(shí)間分配表”，其中課外閱讀

時(shí)間為1.5小時(shí)，這里的“1.5小時(shí)”為常量，

故答案為：常量.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了常量，關(guān)鍵是掌握常量定義.

10.分別指出下列變化過程中的變量與常量：

(1)y—-2itx+4；

(2)s=vot+^ar(其中vo,a為定值).

2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)變量和常量的定義：在一個(gè)變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變

量；數(shù)值始終不變的量稱為常量可直接得到答案.

【解析】解：(1)變量是：尤和y,常量是：2n和4；

(2)變量是：v和f,常量是：vo和」■<?.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了常量和變量的定義，常量就是在變化過程中不變的量，變量就是可

以取到不同數(shù)值的量.

11.某工廠有一個(gè)容積為280立方米的水池，現(xiàn)用3臺抽水機(jī)從蓄滿水的池中同時(shí)抽水，已

知每臺抽水機(jī)每小時(shí)抽水15立方米.

(1)抽水兩個(gè)小時(shí)后，池中還有水190立方米;

(2)在這一變化過程中哪些是變量？哪些是常量？

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)蓄水量減去抽出的水量可求解；

(2)由變化的量為變量，始終不變的量為常量可求解.

【解析】解：（1）280-3X15X2=190（立方米），

即抽水1小時(shí)后，池中還有水190立方米，

故答案為190；

（2）在這一變化過程中，水池的容積，抽水機(jī)的臺數(shù)，每臺抽水機(jī)每小時(shí)抽水的體積是

常量；抽水時(shí)間、水池中的水的體積是變量.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了常量與變量，掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

12.寫出下列各問題中的關(guān)系式中的常量與變量：

（1）分針旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)，旋轉(zhuǎn)的角度〃（度）與旋轉(zhuǎn)所需要的時(shí)間f（分）之間的關(guān)系式”

=6t；

（2）一輛汽車以40千米/時(shí)的速度向前勻速直線行駛時(shí)，汽車行駛的路程S（千米）與

行駛時(shí)間時(shí)）之間的關(guān)系式s=40f.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)在一個(gè)變化的過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；數(shù)值始終不變的

量稱為常量，即可答題.

【解析】解：（1）常量：6；變量：n,t.

（2）常量：40；變量：s,t.

【點(diǎn)睛】本題考查了常量與變量的知識，屬于基礎(chǔ)題，變量是指在程序的運(yùn)行過程中隨

時(shí)可以發(fā)生變化的量.

題組B能力提升練

13.在公式S=-f+20中，關(guān)于變量和常量，下列說法正確的是（）

A.-1和20是常量，S和f是變量B.20是常量，S和f是變量

C.-1常量，S和/是變量D.S是自變量，，是因變量

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)常量和變量的定義判斷即可.

【解析】解:在公式S--1+2.0中，-1和20是常量，S和r是變量，且S是因變量，r

是自變量，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了常量和變量的定義，熟練掌握常量和變量的定義是解題的關(guān)鍵.

14.小凡的手機(jī)話費(fèi)原有余額60元，與姐姐通話，話費(fèi)余額隨時(shí)間變化而變化.在這個(gè)過

程中，因變量是（）

A.話費(fèi)余額B.時(shí)間C.60D.小凡

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)自變量與因變量的定義，由話費(fèi)余額隨通話時(shí)間變化而變化，得因變

量是話費(fèi)余額.

【解析】解：；在話費(fèi)余額減少的過程中，話費(fèi)余額隨通話時(shí)間變化而變化，

.??通話時(shí)間是自變量，話費(fèi)余額是因變量.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查自變量與因變量的定義，理解自變量與因變量的定義是解決本題

的關(guān)鍵.

15.3尤-y=7中，變量是v和y,常量是3和-7.把它寫成用x的式子表示y的形

式是y=3x-7.

【思路點(diǎn)撥】要把二元一次方程3x-y=7中的y用含尤的式子表示，首先要移項(xiàng)，把y

放在左邊，并使其系數(shù)為1.

【解析】解：3x-y=7中，變量是x和y,常量是3和-7.把它寫成用尤的式子表示y

的形式是y=3尤-7.

故答案是：x和y；3和-7；y—3x-7.

【點(diǎn)睛】本題考查的是方程的基本運(yùn)算技能：移項(xiàng)、系數(shù)化為1等，表示誰就該把誰放

到等號的一邊，其他的項(xiàng)移到另一邊，系數(shù)化1就可用含x的式子表示y的形式.

16.城市綠道串連起綠地、公園、人行步道和自行車道，改善了城市慢行交通的環(huán)境，引導(dǎo)

市民綠色出行.截至2016年底某市城市綠道達(dá)2000公里，該市人均綠道長度y（單位：

公里）隨人口數(shù)x的變化而變化，指出這個(gè)問題中的所有變量x,H.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)常量與變量的定義進(jìn)行填空即可.

【解析】解：這個(gè)問題中的所有變量是該市人均綠道長度y與人口數(shù)x,

故答案為x,y.

【點(diǎn)睛】本題考查了常量與變量，掌握常量與變量的定義是解題的關(guān)鍵.

17.在高速公路上，某型號汽車緊急剎車后仍將滑行一段距離s（單位：能），一般有公式

s=,其中v（單位：km/h'）表示剎車前汽車的速度.

（1）當(dāng)v分別為505z//z,60kmJh,100h"http://z時(shí)，相應(yīng)的滑行距離s是多少？

（2）在上述公式中，哪些量是變量，哪些量是常量？

【思路點(diǎn)撥】剎車前汽車的速度可以取不同的數(shù)值，剎車后的滑行距離也隨之發(fā)生變化，

根據(jù)它們的對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算求值，也易于分辨關(guān)系式的變量與常量.

【解析】解：（1）當(dāng)v=50fo?//i時(shí)，代入$=,得$=名■優(yōu).

3

同理，當(dāng)時(shí)，s=12m；

當(dāng)v=1Q0km/h時(shí)，s—.

3

（2）從（1）中可知，s,v是變量，_是常量.

300

【點(diǎn)睛】此題考查的是變量與常量的概念，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵.

18.從南京到上海的路程約為300初3一輛汽車從南京開往上海，每小時(shí)行駛50的7,行駛

的時(shí)間為f⑺，離南京的路程為s（km）,回答下面的問題:

（1）填寫下表：

t（力）123456

s(km)250200150100500

（2）用含f的式子表示，并指出其中的常量和變量.

【思路點(diǎn)撥】利用已知得出離乙地的路程為S（加2）,再根據(jù)常量和變量的定義，即可

找出題中的常量與變量即可.

【解析】解：一輛汽車從南京開往上海，每小時(shí)行駛50加，行駛的時(shí)間為/（/?）,離南

京的路程為s（km）,

t（小時(shí)）123456

S（千米）250200150100500

S=50t,其中50是常量，S,1是變量.

故答案為：50r；50；S,t.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)關(guān)系式和常量和變量，在解題時(shí)要根據(jù)常量和變量的定義

進(jìn)行解答是本題的關(guān)鍵.

題組C培優(yōu)拔尖練

19.水中漣漪（圓形水波）不斷擴(kuò)大，記它的半徑為r,圓周長為C,圓周率（圓周長與半

徑之比）為TT.則這個(gè)問題的變量是（）

A.HB.rC.CD.r,C

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的定義：函數(shù)中的每個(gè)值X,變量y按照一定的法則有一個(gè)確定的

值y與之對應(yīng)來解答.

【