線性微分方程組課件

線性微分方程組

§5.1線性微分方程組解的

存在唯一性定理Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

5.1.1記號(hào)與定義/SymbolandDefinition/一階微分方程組初值條件§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

一階線性微分方程組…(5.1)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

……….(5.2)……(5.3)………….(5.4)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

可定義矩陣與向量函數(shù)在區(qū)間連續(xù):連續(xù)。在區(qū)間可微:可微。在區(qū)間可積:可積。在區(qū)間§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

上的連續(xù)維向量，方程組上連續(xù)且滿足定義1設(shè)是區(qū)間上的連續(xù)矩陣，是區(qū)間………….(5.4)在某區(qū)間的解就是向量在區(qū)間§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

定義2初值問題(CauchyProblem)………….(5.5)的解就是方程組(5.4)在包含使得§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例1

驗(yàn)證向量是初值問題在區(qū)間上的解。解因此是給定初值問題的解?！?/p>

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

5.1.2

n

階線性微分方程與一階線性微分方程組等價(jià)例1令解§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

滿足解構(gòu)造向量§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

解滿足§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

令§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

………(5.6)等價(jià)………(5.7)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例2令將初值問題化為與之等價(jià)的一階方程組的初值問題。解§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例3將下列方程組化為高階方程解注意：不是所有方程組都可化為高階方程§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

5.1.3存在唯一性定理初值問題(CauchyProblem)………….(5.5)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

定理1f(t)是n

維列向量，上連續(xù)，則對(duì)于區(qū)間上的任何數(shù)及任一常數(shù)向量方程組(5.5)存在唯一解定義于整個(gè)區(qū)間上，且滿足初始條件如果矩陣，它們都在區(qū)間§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

現(xiàn)取，構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列：向量函數(shù)稱為(5.4)的第k次近似解?！?/p>

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例4求方程組的初值問題的二次近似解。解令§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

5.1.4簡(jiǎn)單方程組的消元法例5

求解方程組解關(guān)鍵：保留一個(gè)未知函數(shù)，消掉另一個(gè)未知函數(shù)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

方程組的解為§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

例6

求解方程組解：保留一個(gè)未知函數(shù)x，消掉另一個(gè)未知函數(shù)y§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

另外，由方程組的解為§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

練習(xí)：2求方程組的初值問題的二次近似解。1P.1842(b)§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

作業(yè)：P.184第2(c),3題。3求下列方程組的解§

5.1Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs

§5.2

線性微分方程組的一般理論

GeneralTheoryofLinearODEs

掌握線性齊次微分方程組的解的性質(zhì)及代數(shù)結(jié)構(gòu)。

掌握線性非齊次微分方程組的解的代數(shù)結(jié)構(gòu)，理解常數(shù)變易法的基本思想。本節(jié)要求/Requirements/§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs(5.14)則(5.14)稱為非齊次線性的。則方程(5.15）稱為齊次線性的。如果(5.15)若為常數(shù)矩陣，則稱為常系數(shù)線性方程組。如果§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs5.2.1齊線性微分方程組定理2（疊加原理）如果u(t)和

v(t)是(5.15)的解，也是(5.15)的解。則它們的線性組合(5.15)證明：§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs如果是(5.15)的解，則也是(5.15)的解?？沈?yàn)證是方程組的解，則也是方程組的解?！?/p>

5.2GeneralTheoryofLinearODEs成立；否則，為線性無關(guān)的?；靖拍?BasicConcept/定義在區(qū)間上的向量函數(shù)是線性相關(guān)的，如果存在不全為零的常數(shù)使得等式§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs例線性無關(guān)。設(shè)有n

個(gè)定義在區(qū)間上的向量函數(shù)§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs由這n個(gè)向量函數(shù)構(gòu)成的行列式，稱為這些向量函數(shù)的伏朗斯基行列式。如果向量函數(shù)上線性相關(guān)，則它們的伏朗斯基行列式定理3在區(qū)間§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs由假設(shè)，存在不全為零的常數(shù)使得(5.16)證明

其系數(shù)行列式恰是證畢§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs線性無關(guān)，那么，它們的伏朗斯基行列式設(shè)有某一個(gè)使得考慮下面的齊次線性代數(shù)方程組：(5.17)定理4如果(5.15)的解證明用反證法?！?/p>

5.2GeneralTheoryofLinearODEs它的系數(shù)行列式，所以(5.17)有非零解以這個(gè)非零解作向量函數(shù)(5.18)滿足初始條件(5.19)的解。(5.19)易知x(t)

是(5.15)的解，且滿足初始條件而在上恒等于零的向量函數(shù)0也是(5.15)的§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs因?yàn)椴蝗珵榱?，這就與線性無關(guān)矛盾。由解的唯一性，知道即定理得證。結(jié)論斯基行列式W(t)或者恒等于零，或者恒不等于零。由(5.15)的解作成的伏朗§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs定理5(5.15)一定存在n

個(gè)線性無關(guān)的解。線性無關(guān)定理得證?！?/p>

5.2GeneralTheoryofLinearODEs是(5.15)n個(gè)線性無關(guān)這里的解，則(5.15)的任一解x(t

)

均可表示為定理6如果是相應(yīng)的確定常數(shù)。任取(5.15)的任一解

，它滿足令上式看作是以為未知量的線性代數(shù)方程組，證明(5.20)§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs系數(shù)行列式就是它顯然是(5.15)的解，且滿足條件線性無關(guān)，則，(5.20)有唯一解作向量函數(shù)初始條件，因此由解的存在唯一性條件可知證畢使得§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs與具有相同的基本解組：(5.15)的

n

個(gè)線性無關(guān)解。推論1(5.15)線性無關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于n

。解矩陣：由(5.15)n

個(gè)解的列構(gòu)成的矩陣。由(5.15)n

個(gè)線性無關(guān)解的列構(gòu)成的矩陣。基解矩陣：標(biāo)準(zhǔn)基矩陣：定理5和定理6的另一種形式§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs定理1*(5.15)一定存在基解矩陣；若是(5.15)任一解，則而且，如果對(duì)某一個(gè)定理2*一個(gè)解矩陣是基解矩陣的充要條件是§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs例1

驗(yàn)證是方程組的基解矩陣。首先證明是解矩陣。令表示的第一列，表示解的第二列§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs這表示

是方程組的解，因此是解矩陣。又因?yàn)槭腔饩仃嚒?，所以?/p>

5.2GeneralTheoryofLinearODEs必滿足關(guān)系結(jié)論：是方程組(5.15)的一解矩陣的充要條件是§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs令是解矩陣。是(5.15)的基解矩陣。如果常數(shù)矩陣，那么,也是(5.15)在區(qū)間推論1是(5.15)在區(qū)間上的基解矩陣，

C非奇異上的基解矩陣。證明證畢§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs如果在區(qū)間上是方程組(5.15)的兩個(gè)基解矩陣，那么，存在一個(gè)非奇異常數(shù)矩陣C,使得在區(qū)間上推論2證明基解矩陣，存在，令或證畢§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs如果在區(qū)間上是某方程組的基解矩陣，那么，這個(gè)方程組為推論3證明設(shè)所求方程組為則故§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs例已知一個(gè)一階線性齊次方程組的基解矩陣為，求該方程組。解所求方程組為§

5.2GeneralTheoryofLinearODEs作業(yè)P.200,第2,4題。P.184,第2(c),3題。練習(xí)1已知一個(gè)一階線性齊次方程組的基解矩陣為，求該方程組?！?/p>

5.2GeneralTheoryofLinearODEs5.2.2

非齊線性微分方程組(5.14)性質(zhì)1是(5.14)的解，是(5.14)的解。方程組(5.15)的解，則

如果是對(duì)應(yīng)齊次性質(zhì)2是(5.14)的任意兩個(gè)解，是(5.14)對(duì)應(yīng)齊次線性方程組如果則(5.15)的解。都可以定理7設(shè)是(5.15)的基解矩陣，是(5.14)的某一解，則(5.14)的任一解這里c是確定的常數(shù)列向量。(5.23)是(5.14)的任一解，是齊次方程組(5.15)的解，因此存在常列向量

c，使得證明表示為:已知(5.15)的基解矩陣，則可用常數(shù)變易法求的解，則(5.25)為了尋求(5.14)的通解，只要知道(5.14)對(duì)應(yīng)齊的齊線性方程組(5.15)的基解矩陣和自身的一個(gè)解即可。假設(shè)(5.14)存在形如(5.14)的特解而(5.24)這樣，(5.24)變?yōu)槿绻?5.14)有一個(gè)形如(5.24)的解,則(5.26)由(5.26)決定。反之易證明由(5.26)決定的向量函數(shù)一定是(5.14)的解。(5.26)一定是(5.14)的解。反之易證明由(5.26)決定的向量函數(shù)定理8是(5.15)的基解矩陣，則向量函數(shù)(5.27)如果是(5.14)的解，且滿足初始條件(5.14)滿足初始條件的解是(5.26)(5.14)通解例2試求下面初值問題的解解基解矩陣課堂練習(xí)：試求下面初值問題的解分析常數(shù)變易法/AnalyticofUnknownFunctionMethod/

(5.25)是(5.14)的滿足

的解。推論3是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，是對(duì)應(yīng)齊次方程的基本解組，那么，非齊次線性方程（5.28）(5.21)(5.28)如果滿足初始條件的解為應(yīng)用到n階線性方程(5.29)(5.28)的常數(shù)變易公式是(5.28)的通解可以表示為

思考1推論3的推導(dǎo)過程2到目前為止n階線性方程求特解的方法有多少？當(dāng)n=2時(shí)，公式(5.29)就是因此，當(dāng)n=2時(shí)常數(shù)變易公式變?yōu)槎ń饩褪沁@里任意常數(shù)。(5.31)(5.32)利用公式(5.31)來求方程的一個(gè)解，例3解的一個(gè)特解。試求方程易知對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組為,注意，因?yàn)閟int是對(duì)應(yīng)的齊線性方程的解，所以函數(shù)也是原方程的一個(gè)解。作業(yè)P.202,第6,8，9(a)題。求齊次線性方程組的解的另一方法：消元法保留一個(gè)未知函數(shù)x1，消掉另一個(gè)未知函數(shù)x2求非齊次線性方程組的另一方法：消元法保留一個(gè)未知函數(shù)x1，消掉另一個(gè)未知函數(shù)x2利用消元法，求下列方程組的通解練習(xí)：§5.3

常系數(shù)線性微分方程組

CoefficientsLinearODEs1常系數(shù)齊線性微分方程組的基解矩陣的結(jié)構(gòu)，這里A是常數(shù)矩陣。2

通過代數(shù)的方法，尋求(5.33)的一個(gè)基解矩陣。(5.33)3拉普拉斯變換在常系數(shù)線性微分方程組中的應(yīng)用。本節(jié)主要內(nèi)容/MainContents/5.3.1

矩陣指數(shù)expA

的定義和性質(zhì)無窮矩陣級(jí)數(shù)如果每個(gè)收斂，則收斂。判斷無窮矩陣級(jí)數(shù)收斂的法則：而級(jí)數(shù)收斂，則收斂。同理，可給出在區(qū)間I上的一致收斂的定義，和函數(shù)等類似的結(jié)果。(5.34)定義1

矩陣指數(shù)E為n階單位矩陣,是矩陣A的m次冪。expA是一個(gè)確定的矩陣。對(duì)于一切正整數(shù)k，而收斂，則收斂。對(duì)于一切正整數(shù)k，當(dāng)(c是某一正常數(shù))時(shí)，有而數(shù)值級(jí)數(shù)是收斂的，(5.35)在

t

的任何有限區(qū)間上是一致收斂的。定義2

矩陣指數(shù)函數(shù)因而(5.35)在

t

的任何有限區(qū)間上是一致收斂的。性質(zhì)性質(zhì)1如果矩陣A，B是可交換的，即AB=BA，則(5.36)證

由于級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，由絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法定理，得另一方面，由二項(xiàng)式定理及AB=BA

，由絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法定理，得另一方面，由二項(xiàng)式定理及AB=BA

，性質(zhì)2

對(duì)于任何矩陣A，存在，且(5.39)證

A與-A是可交換的，故在(5.36)中，令B=-A

得事實(shí)上性質(zhì)3

如果T是非奇異矩陣，則定理9是(5.33)證明是(5.33)的解矩陣，又因?yàn)橐虼?是(5.33)的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣。證畢(5.41)矩陣的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣。例1

如果A是一個(gè)對(duì)角矩陣試求出

的基解矩陣。(其中未寫出的元素均為零)解方程組可以寫成分別積分據(jù)定理9，這就是基解矩陣。例2

試求的基解矩陣。解以驗(yàn)證后面的兩個(gè)矩陣是可交換的，得到但是因此，基解矩陣就是其中常數(shù)和向量c是待定的。因?yàn)?5.44)5.3.2基解矩陣的計(jì)算公式(5.33)(5.43)若(5.33）有的解，反過來，和向量c

滿足方程組(5.44)和c

滿足方程則是(5.33)的非零解(5.44)是A

的特征值，c

是A

的屬于的特征向量。特征方程是(5.33)的非零解是A

的特征值，c

是A

的屬于的特征向量。例3

求解解1如果是簡(jiǎn)單特征根，2

如果是特征方程的

k

重根(即具有因子,而沒有因子則稱是

k

重特征根。是特征方程的單根，則稱)，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為(不必各不相同)，那么是常系數(shù)線性微分方程組

的一個(gè)基解矩陣。(5.33)定理10如果矩陣

A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量求解常系數(shù)線性齊次方程組實(shí)基解矩陣的方法之一每一個(gè)向量函數(shù)是線性無關(guān)的,所以證明都是(5.33)的一個(gè)解,基解矩陣。注1它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為那么是常系數(shù)線性微分方程組

的一個(gè)基解矩陣。推論如果矩陣

A具有n個(gè)互不相同的特征值注2標(biāo)準(zhǔn)基解陣的表示標(biāo)準(zhǔn)基解陣一定為實(shí)矩陣。注3若實(shí)系數(shù)線性方程組(5.33)有復(fù)值解，則其實(shí)部與虛部都是（5.33）的解.例5

試求解解1求A

的特征值和特征向量對(duì)于任意常數(shù)是對(duì)應(yīng)于類似的，可以求出對(duì)應(yīng)于的特征向量為其中的特征向量，2求實(shí)基解矩陣就是一個(gè)基解矩陣。1計(jì)算特征值，特征向量；求實(shí)基解矩陣的步驟(利用定理10)2求解基解矩陣，求標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（實(shí)）；3*寫出方程的通解。作業(yè)P.236,第4(a),(b)題。課堂練習(xí)試求解求解常系數(shù)線性齊次方程組實(shí)基解矩陣的方法之二假設(shè)A是一個(gè)矩陣，其不同特征值它們的重?cái)?shù)分別為

那么，對(duì)于每一個(gè)重特征值,線性方程組(5.48)的解全體構(gòu)成n維歐幾里得空間的一個(gè)子空間且

n

維歐幾里得空間維對(duì)于n維歐幾里得空間的每一個(gè)向量u，存在唯一的使得(5.49)互不相同，對(duì)應(yīng)的特征向量A

有一個(gè)重特征值(5.48)的解全體就構(gòu)成n維歐幾里得空間，不必分解。向量分別為且滿足(5.51)則存在唯一的(5.50)是(5.33)的滿足

的解，設(shè)是n維向量使得(5.48)由此可推得(5.52)滿足(5.48)(5.33)的滿足

的解：當(dāng)A只有一個(gè)特征根時(shí)，無需將特征向量分解為(5.50)。這時(shí)對(duì)于任何u

都有(5.53)解1

求A

的特征值例4

試求解2

代入公式，求初值問題的解3

求A

的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣?yán)?試求滿足初始條件的解并求expAt。解1

求A

的特征值或其中為任意常數(shù)。子空間是由向量所生成的。2

確定的分解其中是任意常數(shù)。子空間是由向量所張成的。解之得到根據(jù)公式(5.52)，3

求滿足初始條件的解為4

求出expAt依次令得到三個(gè)線性無關(guān)的解。以這三個(gè)解作為列，得5

求通解x(t)=(expAt)c作業(yè)P.236,第4(c),5(b)題。求解常系數(shù)線性齊次方程組實(shí)基解矩陣的方法之三利用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算基解矩陣Axp(At)

根據(jù)線性代數(shù)知識(shí),對(duì)每一個(gè)n階矩陣A,存在n階非奇異矩陣P,使得其中為若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型.假設(shè)若當(dāng)塊則是階的有如