三角形中的垂線段最短模型（原卷版）-2023年中考數(shù)學(xué)幾何模型重點(diǎn)突破訓(xùn)練

專(zhuān)題09三角形中的垂線段最短模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【模型1】垂線段最短

如圖，已知點(diǎn)P是直線/外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作尸8，/,則PB是直線外一點(diǎn)P與直線/上各點(diǎn)的連線中最短的

線段。

【模型2】?jī)蓷l線段的和最小值問(wèn)題

如圖，已知點(diǎn)尸是NZ08內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)、E、F是OB,Q4上的動(dòng)點(diǎn)，求PE+EE的最小值，通常作產(chǎn)

點(diǎn)關(guān)于08的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P'作PRLCU于點(diǎn)/，交OB于點(diǎn)E。此時(shí)PE+EE的值最小。

【例1】如圖，是等邊△/3C的3c邊上的中線，尸是/D邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是/C邊上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)EF+CF

取得最小值時(shí)，則/EC尸的度數(shù)為（）

A.15°B.22.5°45°

【例2】如圖RtAABC,44cs=90。，/B=5,5C=3,若動(dòng)點(diǎn)P在邊上移動(dòng)，則線段CP的最小值是.

【例3】如圖，在中，ZACB=90°,ZBAC=30°,BC=8cm,點(diǎn)。為線段N8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)

N出發(fā)沿線段N8向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s.

(1)求/瓦/C的長(zhǎng)度;

(2)如圖，連接CD,線段CO是否有最小值；若有最小值，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及此時(shí)時(shí)間f的值；若沒(méi)有最

小值，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若點(diǎn)E為線段NC的中點(diǎn)，連接DB,當(dāng)△/￡)￡為等腰三角形時(shí)，求時(shí)間/的值.

一、單選題

1.如圖，/尸平分/C48,于點(diǎn)D,若尸。=6,點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于線段尸￡敘述正確的

是()

AEB

A.PE=6B.PE>6C.PE<6D.PE>6

2.如圖，從位置。到直線公路/有四條小道，其中路程最短的是（）

0

ABCD

A.OAB.OBC.OCD.OD

3.如圖，在中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=K,是ZB/C的平分線，若P,。分別

是/。何4。上的動(dòng)點(diǎn)，則尸C+尸。的最小值是（）

■

A.2.4B.4C.4.8D.5

4.如圖，/是一條水平線，把一頭系著小球的線一端固定在點(diǎn)a小球從B到C從左向右擺動(dòng)，在這一過(guò)

程中，系小球的線在水平線下方部分的線段長(zhǎng)度的變化是（）

A.從大變小B.從小變大C.從小變大再變小D.從大變小再變大

5.如圖，中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=W,BD平分NABC,如果點(diǎn)M,N分別

為BD,3C上的動(dòng)點(diǎn)，那么CM+MV的最小值是（）

;

AB

A.4B.4.8C.5D.6

6.如圖，BDLCD,垂足為。，ZABD=30°,ZA=90°,且/。=4,DC=6,點(diǎn)尸是邊8C上的一動(dòng)點(diǎn),

則DP的最小值是（）

A.7.1B.6.5C.4.8D.3.2

二、填空題

7.如圖，AADB=ZABC=90°,NDAB=NBAC,BD=4,P為/C上一動(dòng)點(diǎn)，則BP的最小值為.

8.在△A8C中，44=50。，NB=40。,E是48邊上的中點(diǎn)，且CE=,點(diǎn)。是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

CD取最小值時(shí)，ZDCE=.

9.如圖，已知是A4BC的中線，點(diǎn)尸是ZC邊上一動(dòng)點(diǎn)，若A4BC的面積為10,4c=4,則〃尸的最

小值為_(kāi)______

10.如圖，菱形/BCD中，AB=2,40=120。，E是對(duì)角線/C上的任意一點(diǎn)，則BE+’CE的最小值為

2

11.如圖，在菱形4BCZ)中，/4BC=60°,BD平分/ABC,BC=3,點(diǎn)M為8c上一定點(diǎn)且3M=1,在

BC上有一動(dòng)點(diǎn)。，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)P,則PM+PQ的最小值為.

12.如圖，N/OB=45。，點(diǎn)朋;N分別在射線。4、上，MN=6,的面積為12,尸是直線VN上

的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于。/對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為點(diǎn)尸關(guān)于。8對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為鳥(niǎo)，當(dāng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△磔￡的

面積最小值為.

三、解答題

13.如圖，點(diǎn)A在直線/外，點(diǎn)B在直線/上，連接AB.選擇適當(dāng)?shù)墓ぞ咦鲌D.

(1)在直線/上作點(diǎn)C,使乙4c5=90。，連接/C；

(2)在8c的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)。，連接AD；

(3)在AC,4。中，最短的線段是,依據(jù)是

14.如圖，已知點(diǎn)尸在//OC的邊CM上，

(1)過(guò)點(diǎn)尸畫(huà)ON的垂線交OC于點(diǎn)B；

(2)畫(huà)點(diǎn)P到OB的垂線段PM-,

(3)測(cè)量尸點(diǎn)到邊的距離：cm；

(4)線段。尸、9和P8中，長(zhǎng)度最短的線段是；理由是.

15.如圖，在△/2C中，/2=10,AC=8,BC=6,4D平分/R4C,點(diǎn)P、。分別是/C上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)

尸不與/、。重合，點(diǎn)。不與4、C重合)，求尸C+P。的最小值

16.在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)/、2,其中4B=3C,由于某種原因，由C

到8的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)。(/、D、8在同一條直線上)，

并新修一條路CD，測(cè)得C4=750米，CD=600米，40=450米.

(1)問(wèn)8是否為從村莊C到河邊最近的路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；

(2)求原來(lái)的路線8C的長(zhǎng).

17.如圖所示，ZAED=S0°,EF平分/AED交AD于點(diǎn)、F,Zl=40°

A

⑴寫(xiě)出判定即〃的推理過(guò)程.

(2)當(dāng)//?！?50。時(shí)，線段"、EF、即中最短的是哪段？并說(shuō)出理由.

CD

18.在比A/CB中，AC=BC=3,ZC=90°,。是/C邊上一點(diǎn)，一=2,直線交8C于點(diǎn)E.

AD

(1)如圖1,若ZCDE=45°,則CD=,EB=；

(2)如圖2,在(1)的條件下，點(diǎn)M在直線DE上運(yùn)動(dòng)，且滿足/MCN=90。，MC=NC,連接ND,請(qǐng)判

斷ND與ME的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

⑶如圖3,若/CD￡=30。，點(diǎn)M在直線DE上運(yùn)動(dòng)，且滿足/MCN=90。，MC=NC,連接/N,請(qǐng)求出/N

的最小值.

19.(1)如圖1,在A4BC中，AB=AC,。是BC邊的中點(diǎn)，E、尸分別是/C邊上的點(diǎn).若夙￡、F

在一條直線上，且//3E=NR4C=45。，探究AD與ZE的數(shù)量之間有何等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)為了豐富學(xué)生的業(yè)余生活，增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，某體育課上老師組織學(xué)生進(jìn)行傳球訓(xùn)練.如圖2