2025屆湖南省益陽市一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2025屆湖南省益陽市一模數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知4={x[—2<x<2},5={x|log2x<l},〃=4口5.則M是()

A.{x\x<2}B.{x\-2<x<2}C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<2}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=2,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）

A.直線B.圓C.橢圓D.拋物線

3.已知等比數(shù)列{%}中，4+%=2,%+。6=16,則4o+%2=（）

A.26B.32C.512D.1024

--(■消），則/（/（-3））=（

4.已知/(%)=)

sinTEX

]_

A.B.0C.D.旦

22~2~

2

5.已知橢圓￡:—+/=1與雙曲線尸=1（〃>0）的焦點(diǎn)重合，則雙曲線廠的離心率

6

為()

V53

A.B.-c

~T2-i。?平

—?1—?—>1—?

6.在平行四邊形A8CZ）中，BE=-BC,/尸=,若么/=加48+"/。，則切+”=（）

11

AB.-cD.1

.32-i

7.已知拋物線G：/=4X,C2：必=8x的焦點(diǎn)分別為片、F],若尸、0分別為。、C2上的

點(diǎn)，且線段P。平行于x軸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

14

A.當(dāng)|尸。|=5時(shí)，△片尸0是直角三角形B.當(dāng)I尸0|=§時(shí)，尸。是等腰三角形

C.存在四邊形片工尸。是菱形D.存在四邊形片此尸。是矩形

8.已知函數(shù)“X）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=e'（x+2）,則下列說法正確

的是（）

A.函數(shù)〃x）有兩個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=-e%（-x+2）

試卷第1頁，共4頁

C./0)>0的解集是(-2,02(2,+句D.%,zeR都有|/(XJ-〃X2)|<3

二、多選題

9.已知函數(shù)〃x)=2sin(2x+。!，則下列結(jié)論成立的是()

A./(x)的最小正周期為兀B.曲線了=/(幻關(guān)于直線x=5對(duì)稱

C.點(diǎn)，聯(lián),0)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心D.仆)在(0/)上單調(diào)遞增

10.已知函數(shù)/(x)=e，-x,對(duì)于任意實(shí)數(shù)。，b,下列結(jié)論成立的有()

A./Wmin=1

B.函數(shù)/(x)=ex-x在定義域上單調(diào)遞增

C.曲線/(x)=e，-x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是了=1

D.若。=一6>0,則/(。)>/(6)

11.在棱長為1的正方體N8CD-44G。中，尸為棱3月上一點(diǎn)，且BF=2PB,0為正方

形25CC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列說法中正確的是()

A.若2。//平面吊尸。，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡是一條長為5的線段

B.不存在點(diǎn)。，便得20_L平面

C.三棱錐0-4月。的最大體積為三

D.若2。=乎且，。與平面4尸D所成的角最大時(shí)，三棱錐0-4尸。的體積為g

三、填空題

12.若sincc=！，則cos2c=.

3----------------

13.在某世界杯足球賽上，a,b,c,d四支球隊(duì)進(jìn)入了最后的比賽，在第一輪的兩場(chǎng)比賽

中，。對(duì)6,c對(duì)力然后這兩場(chǎng)比賽的勝者將進(jìn)入冠亞軍決賽，這兩場(chǎng)比賽的負(fù)者比賽，決

出第三名和第四名.若a對(duì)6、a對(duì)d的勝率均為0.6,a對(duì)c、c對(duì)4的勝率均為0.5,則。獲

得冠軍的概率為.

試卷第2頁，共4頁

14.已知｛an｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對(duì)于在eN*,定義集合為=*€收阿＜4｝,

設(shè)4為集合以中元素的個(gè)數(shù)，若紇=0時(shí)，規(guī)定4=0.

(1)若。"=3",則g=；

(2)若數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛an｝的前50項(xiàng)之和為.

四、解答題

15.已知V48c的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,且6asinC—ccos/-c=0.

⑴求A；

(2)若a=4,V48c面積為2VL求6+c的值.

16.某公園為了提升公園形象，提高游客旅游的體驗(yàn)感，他們更新了部分設(shè)施，調(diào)整了部分

旅游線路.為了解游客對(duì)新措施是否滿意，隨機(jī)抽取了100名游客進(jìn)行調(diào)查，男游客與女游

客的人數(shù)之比為2:3,其中男游客有35名滿意，女游客有15名不滿意.

滿意不滿意總計(jì)

男游客35

女游客15

合計(jì)100

(1)完成2*2列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游客對(duì)

公園新措施滿意與否與性別有關(guān)？

(2)從被調(diào)查的游客中按男、女分層抽樣抽取5名游客.再隨機(jī)從這5名游客中抽取3名游客

征求他們對(duì)公園進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量的建議，其中抽取男游客的人數(shù)為X.求出X的分布列

及數(shù)學(xué)期望.

參考公式：其中〃=a+6+c+d.

參考數(shù)據(jù):

a0.100.050.0100.005

Xa2.7063.8416.6357.879

試卷第3頁，共4頁

17.如圖，四邊形48CD與四邊形4DE產(chǎn)均為等腰梯形，BC//AD,EFI/AD,AD=4,

AB=BC=EF=2,AF=4u>F2_L平面/BCD,M為AD上一點(diǎn)，且FA/_LAD,

連接BD、BE、BM.

(1)證明：8C_L平面8FW；

(2)求平面ABF與平面DBE的夾角的余弦值.

18.已知兩點(diǎn)/(-2,0),8(2,0)及一動(dòng)點(diǎn)尸，直線左，總的斜率滿足后"?七B=-：，動(dòng)點(diǎn)尸

的軌跡記為C.過點(diǎn)(1,0)的直線/與。交于M,N兩點(diǎn)，直線/M,BN交于點(diǎn)。.

(1)求C的方程；

(2)求的面積的最大值；

(3)求點(diǎn)。的軌跡方程.

19.若函數(shù)/(無)=Inx-^xZ.

(1)若。=4,且曲線了=/(x)的切線/過點(diǎn)(0,2e?),求直線/的方程；

⑵證明：若/(%)=/仕)(0＜玉＜%)，則七迤］＜0；

⑶若G(無)=/(x)+x+ln'|w0恒成立，求。的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案DBDDABCCACACD

題號(hào)11

答案BCD

1.D

【分析】化簡(jiǎn)集合3,再根據(jù)集合的交集運(yùn)算得解.

【詳解】由logzXCl,BPlog2x<log22,則o<x<2,

所以8={x[0<x<2},又/={司-2<x<2},

二M=/c8={x[0<x<2}.

故選：D.

2.B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z,i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為尸,C（0,l）,

因?yàn)閨z-i|=2,即1Pq=2,

故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以C為圓心，半徑為2的圓.

故選：B.

3.D

2

【分析】設(shè)等比數(shù)列{七}的公比為q,聯(lián)立%+%?2=2,%/+%/=16,解出4=2,%=1,

代入％0+%2=%夕9+“闖”，即可得到答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{%}的公比為“，

因?yàn)?+%=2,%+以=16,

35

所以為+%12=2,aXq+axq=16,

由（%+4.2）/=16,貝|/=8,得夕=2,

2

解得q=w，

所以％。+%2=%/+%?“=；（29+2"）=1024.

答案第1頁，共18頁

故選：D.

4.D

【分析】先求”-3)=；,再求-3))=/[￡|=sin；,即可求解.

【詳解】根據(jù)已知〃-3)=-(-3/=；,

所以“(-3))=嗎卜嗚=卓

故選：D.

5.A

【分析】根據(jù)橢圓方程求得。，進(jìn)而求得“，從而求得雙曲線的離心率.

2_____

【詳解】橢圓E:土+/=1對(duì)應(yīng)的c=J^T=石，

6

22

所以對(duì)于雙曲線有/+1=(岔)，4=2,

所以雙曲線下的離心率為￡=*.

a2

故選：A

6.B

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求出加,〃即可求出加+〃.

【詳解】由題意如圖所示:

--1—?1/—?--\

因?yàn)?b=+

-3

1—?1—?—?—?

=—ABH——AD=mAB+nAD,

36

所以機(jī)=:,〃=，，

36

所以加+"=」，

2

故選：B.

7.C

答案第2頁，共18頁

【分析】設(shè)出己。的坐標(biāo)并求得IPQI，由此對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，結(jié)合圖象求得正確答案.

【詳解】依題意，線段尸。平行于x軸，不妨設(shè)己。在第一象限，設(shè)尸

222

則|尸0|=1_二=匚，焦點(diǎn)片（1,0）,工（2,0）,

488

，1

A選項(xiàng)，當(dāng)忸0|=。=_1時(shí)，解得7=2,所以P（l,2）,0

82

則尸片，P0,△片尸0是直角三角形，A選項(xiàng)正確.

，時(shí)，解得公孚，所以手］0仁,手,>0,

B選項(xiàng)，當(dāng)|尸0|=。=

8

84

由于43=2,所以尸，。關(guān)于直線x=2對(duì)稱，而巴（2,0）,

2一

所以此時(shí)△工尸。是等腰三角形.

對(duì)于CD選項(xiàng)，先考慮四邊形片工尸。是平行四邊形，

2

則\PQ\=\F,F2\,-=1J=2后，則尸（2,2亞）,0（1,2血），

此時(shí)尸耳月，。耳，耳方,耳國耳閭，

所以四邊形片耳尸。是矩形，不是菱形，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.

答案第3頁，共18頁

故選：c

8.C

【分析】利用函數(shù)的奇偶性即可求解x>0時(shí)函數(shù)的解析式，即可判斷B；分情況令/(切=0

即可求解函數(shù)的零點(diǎn)判斷A；令〃x)>0求出解集即可判斷C；分情況對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求得函數(shù)的最值，用最大值減最小值即可判斷D.

【詳解】設(shè)x>0,貝>x<0,所以/■(-x)=er(-x+2),

因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以/(-「)=-小),

所以一/⑸=「(-X+2),即/(x)=-er(-X+2),

ex(x+2),x<0

所以函數(shù)的解析式為/=<O,X=0,故B不正確；

—e(-x+2),x>0

因?yàn)楹瘮?shù)〃尤)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/'(0)=0,

當(dāng)x<0時(shí)，令/(無)=0,解得尤=一2,

當(dāng)x>0時(shí)，令”x)=0,解得x=2,

所以函數(shù)〃x)有三個(gè)零點(diǎn)，故A不正確；

當(dāng)x<0時(shí)，令/(x)>0,解得x>-2,

當(dāng)x>0時(shí)，令/(x)>0,解得x>2,

所以/(x)>0的解集為(-2,0)U(2,+8),故C正確;

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=e*(x+3),

所以當(dāng)x<-3時(shí)，r(x)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減，

答案第4頁，共18頁

當(dāng)-3<x<0時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)/卜)取得最小值-廠,

當(dāng)尤>0時(shí)，f'(x)=e~x(-x+3),

所以當(dāng)0<x<3時(shí)，/，(x)>0,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>3時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)/(x)取得最大值廠,

當(dāng)x=0時(shí)，/(0)=0,

112

所以VX],%eR都有|/(xJ-〃X2)|q/(xJ-〃X2)]max=￡+/=/，

所以D不正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的解析式，分情況求解即可.

9.AC

【分析】由題干條件求函數(shù)1(X)的最小正周期，可判斷A選項(xiàng)，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性

可判斷BC選項(xiàng)的正誤，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】設(shè)〃x)=2sin(2x+■^的最小正周期為T,7=g=兀故A正確；

因?yàn)?0=2si吟=-1*±2,所以B錯(cuò)誤；

因?yàn)?[-展]=2sin1.J=。，所以點(diǎn)(-展，。]是曲線尸f(x)的對(duì)稱中心,C正確；

由xjg可，得2x+?孚，“X)在佇,上單調(diào)遞減，所以D錯(cuò)誤.

163/6122J163J

故選：AC.

10.ACD

【分析】對(duì)函數(shù)/(x)=e，-x求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，再求出最值，以及在某點(diǎn)處的切線方程,

判定ABC,構(gòu)造新函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究最值判定D即可.

【詳解】對(duì)A,對(duì)/(x)=e，-x求導(dǎo)，f'(x)=ex-l

令((x)=0,即e-l=0,解得x=0.

當(dāng)x<0時(shí)，r(x)<0,函數(shù)〃尤)單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)〃尤)單調(diào)遞增.

答案第5頁，共18頁

所以函數(shù)/(尤)在X=O處取得最小值，即"0)=1,所以/(x)min=l,A選項(xiàng)正確.

對(duì)B,由上述分析可知，(f,0)上函數(shù)“X)單調(diào)遞減，(0,小)上函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，B選

項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)C,由于/(O)=e°-O=l,_f(0)=e°-l=0.切線斜率為0,在點(diǎn)(0,1),切線方程為了=1,

C選項(xiàng)正確.

a

對(duì)D,因?yàn)镼=>0,b=-。<0,則/(。)=e"-a,/(b)=f(-a)=e+a.

貝ll/(Q)_/S)=ea_Q_(eP+q)=e“_ep_2q.

令g(x)=e*—ef-2x,貝IJgf(x)=e1'+e-x-2>2小”b-2=0，

則g(x)在(。,包)單調(diào)遞增.故g(x)>g(0)=0.

即f(a)-〃，)>0,即f(a)>f(b).D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

11.BCD

【分析】在4G，CG取點(diǎn)瓦尸，使得，￡=28也6/=2。/，證得平面?！晔?/平面49，

進(jìn)而得到2?！ㄆ矫?尸。，可判定A不正確；以2為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平

面4尸〃的一個(gè)法向量有=(3,-2,3),根據(jù)麗=4碗，得出矛盾，可判定B正確；利用向量

的數(shù)量積的運(yùn)算及三角形的面積公式，求得s“陷=窄，在求得點(diǎn)0到平面4尸。的最大距

離"max=:，結(jié)合體積公式，可判定C正確；根據(jù)題意，求得點(diǎn)點(diǎn)。的軌跡，結(jié)合線面

角的公式，求得。(；」,；)時(shí)，取得最大值，進(jìn)而求得三棱錐的體積，可判定D正確.

【詳解】對(duì)于A中，如圖所示，分別在4G，Cg取點(diǎn)區(qū)尸，^ClE=2BiE,ClF=2CF,

可得跖//4c,因?yàn)?。//4C,所以E尸〃/Q,

因?yàn)?。U平面4尸。，族.平面49，所以所//平面4尸D,

又由RE//4P,且4尸u平面4尸。，。尸(Z平面4尸。，所以2尸//平面4P。，

又因?yàn)椤闒cZ)]F=尸，且平面。￡尸，所以平面。跖//平面N/。，

且平面DEFc平面BCCE=EF,

答案第6頁，共18頁

若。0/平面4肛則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為線段跖，且科唳所以A不正確;

對(duì)于B中，以。為原點(diǎn)，以44,AG，。。所在的直線分別為x,y,z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

2___..?

可得4(1,0,0),。(0,0,1),尸(1,1寫)，則4。=(一1,0,1),4尸=(o,i,7,

設(shè)。(尤,1,Z)(0MXV1,0MZ41),可得麗=(x,l,z),

m-A^D——Q+C=0

設(shè)加=(a,6,c)是平面AXPD的一個(gè)法向量，貝人一一?2，

m-=b+—c=0

取。=3,可得z=3,b=—2,所以加=(3,—2,3),

若2。，平面49，則而〃浣，所以存在使得麗=4浣，

3

則x=z=-］任［0,1］,所以不存在點(diǎn)Q,使得4。，平面4勿，所以B正確；

對(duì)于C中，由麗=(-1,0,1),章=(0,1,1),可得|而卜后,|福=卓，麗.好=：,

則cos/Q，4P=x，所以sin4D，4P=看，

所以S.”附=-4尸sin〃4P=UJT?短

--------XI——=----------

3V266

要使得三棱錐。-4尸。的體積最大，只需點(diǎn)。到平面4包)的距離最大,

—■一\A.Q-m\1

由40=(X-1,1,2)，可得點(diǎn)。到平面AXPD的距離［==J=|3(x+z)-5l,

\m\V22

因?yàn)镺VxWl,O"Vl,所以當(dāng)x+z=O時(shí)，即點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，可得4ML展

，22

5

所以三棱錐。-4尸。的最大體積為;S.”?？↙叵5

所以C正確;

3~6~'忘一1

對(duì)于D中，在正方體中，可得4G，平面BCC4,且G0U平面BCC4，

所以D?1C.Q,則GQ=血。2一??；=辛，

所以點(diǎn)。的軌跡是以Cj為圓心，以自為半徑的圓弧，其圓心角為:，

答案第7頁，共18頁

則m=(x,O,z),所以I迎卜=即V+z2=g,

又由麗=(x,i,z),設(shè)2。與平面4尸。所成的角e,

|3(x+z)-2|_V2|3(x+z)-2|

所以sm。=|cosm,烏0='八西］

V22-VX2+1+Z2-722x73

因?yàn)?+z2=g,可得(x+z)242，+Z2),當(dāng)且僅當(dāng)x=z時(shí)，等號(hào)成立,

所以x+zwi,即x=z6時(shí)，2Q與平面4尸。所成的角最大值，即0H)

—?11|4。,麗L2

可得(-于1,5),則點(diǎn)。到平面的距離為&=

\m\V22

此時(shí)三棱錐。_&PD的體積為:M4=等X-|==UD正確.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：求解立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題與存在性問題的策略:

1、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線

的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;

2、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置

關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛

盾的結(jié)論，則否定假設(shè);

3、對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為

代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在,

同時(shí)，用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)思想是解答此類問題的

關(guān)鍵.

12'?

答案第8頁，共18頁

【詳角星】cos2a=l-2sin2a=1-2x(—)2=—.

13.0.33

【分析】由分步乘法和分類加法原理，分兩種情況討論即可；

【詳解】a獲得冠軍，第一輪中必須勝出，概率為0.6,

由題意可得，第二輪比賽中可以分兩種情況，，勝，概率為0.5,然后。勝，由獨(dú)立事件的

乘法公式可得a獲得冠軍的概率為0.6x0.5x0.5=0.15；

第二種情況為d勝，概率為0.5,然后。勝，由獨(dú)立事件的乘法公式可得a獲得冠軍的概率

為0.6創(chuàng)).50.6=0.18；

由分類原理可得a獲得冠軍的概宰為0.18+0.15=0.33,

故答案為：0.33.

14.21275

【分析】(1)利用新定義求解即可；

(2)要計(jì)算數(shù)列｛冊(cè)｝的前50項(xiàng)之和，先要明白｛an｝是一個(gè)什么樣的數(shù)列，需要先計(jì)算首項(xiàng),

再看各項(xiàng)之間的關(guān)系，最后求解即可.

【詳解】(1)由題可知，a?=3"<10,又因?yàn)椤癳N*,所以練=｛1,2｝,故狐=2；

(2)由題可知所以4=0,所以4=0.

右％=加亍2,則用=0,^m+l=｛1｝,

所以偽=0,bm+1=l,與也｝是等差數(shù)列矛盾.所以%=1.

設(shè)媒=eN*),因?yàn)椋?｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以媒eN*.

假設(shè)存在左GN*使得公22.設(shè)&=，，由&+i-2得&+i2，+2.

由6=，<，+l<f+2V&+i，得&<后，%=4+2=4，與他｝為等差數(shù)列矛盾.

所以對(duì)任意力eN*都有痣=1.所以數(shù)列｛《｝是等差數(shù)列，0n=1+("-1)=".

故答案為：2；1275

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：很多和數(shù)列相關(guān)的新概念的練習(xí)，我們都可以在里面找到，我們學(xué)過的

一些數(shù)列的影子，所以我們考慮的時(shí)候可以從我們常見的數(shù)列入手.

答案第9頁，共18頁

/、兀

6(1。

(2)2而

【分析】（1）由正弦定理，可得百sin/sinC—sinCcos/-sinC=0,得VJsinX-cosZT二0,

貝lj2sin14—.

=1,即可求得A；

（2）由V/BC面積為2道，利用三角形面積公式可得從=8,由余弦定理得

\6=b2+c2-2bcx-,即(Z?+c)2=16+3bc=40,貝！J可求得b+c的值.

【詳解】(1)由正弦定理得a=27?sin/,c=2AsinC,

^V3asinC-ccosA-c=0

VJsin24sinC-sinCeosT4-sinC=0，

??,CG(0,n),「.sinCwO,

Gsin/-cosZ-l=0，

2sin^-=1,

71

AG(0,71),A=—.

3

(2)???△ZBC面積為26，

2^/3=—ftesinA=—besin—=^-bc，

2234

二.be=8,

'：a=4,A=—,

3

由/=/+/—2bccos4得16=/+c2-2bcx^,

即(b+c)2=16+3bc=40,

b+c=2y/10.

16.(1)聯(lián)表見詳解，不能.

⑵分布列見詳解，E(X)=g

答案第10頁，共18頁

【分析】（1）根據(jù)男游客與女游客的人數(shù)的比值，結(jié)合卡方計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算求解即可;

（2）根據(jù)超幾何分布的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.

2

【詳解】（1）因?yàn)檎{(diào)查的男游客人數(shù)為：--xl00=40,所以，調(diào)查的女游客人數(shù)為

2+3

100-40=60,于是可完成2x2列聯(lián)表如下：

滿意不滿意總計(jì)

男游客35540

女游客451560

合計(jì)8020100

零假設(shè)為H。：游客對(duì)公園新措施滿意與否與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得：

2100x（35x15-45x5）275..

r=--------------------------—<3<3.841=0/x11,,

80x20x40x6032nn°-5

根據(jù)小概率值a=0.05的/獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H。不成立，因此可以認(rèn)為H。成

立，即游客對(duì)公園新措施滿意與否與性別無關(guān)；

（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依題意可知X的可能取值為0,1,2,并

1'1「2A

且X服從超幾何分布，即P（工=0）=卡=行，P（X=l）=-^=-,

所以X的分布列為:

17.（1）證明見詳解

⑵空

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;

（2）作垂足為N,根據(jù)平行四邊形和矩形的判定定理，結(jié)合（1）的結(jié)論，利

答案第11頁，共18頁

用勾股定理，可以以BC,8尸所在的直線分別為X軸、＞軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）因?yàn)镕2_L平面/BCD,又/Du平面48CZ）,

所以又S.FBC\FM=F,

所以4D_L平面AFA/.因?yàn)?C///D,所以8C_L平面AFA/.

（2）作EN_L4D,垂定為N.則FM//EN.又EF//AD,

所以四邊形必WE是平行四邊形，又ENLAD,

所以四邊形用WE■是矩形，又四邊形4DEF為等腰梯形，且ND=4,EF=2,

所以=1.

由（1）知4D_L平面所以J.4D.又/8=也，

所以倒/=1.在Rt/UFA/中，F(xiàn)M=產(chǎn)-AM?=而.

在RtA^MB中，F(xiàn)B=^FM2-BM2=3.

由上可知，以8河,BC,8尸所在的直線分別為X軸、,V軸、Z軸建立如圖所示空間直角坐

標(biāo)系.

cy

則/(T,-1,O)，5(0,0,0),川(0,0,3),￡>(-1,3,0),E(0,2,3),

所以方=(1,1,0),麗=(0,0,3),麗=(-1,3,0),屜=(0,2,3),

設(shè)平面N"的法向量為應(yīng)=（再,必/］）,

X+%=0

1;，可取玩二(1,—1,0).

?BF=。

設(shè)平面DBE的法向量為五=（%,力，Z2）,

答案第12頁，共18頁

m-n9-33國

因此，COS(M2,n)

\m\-\n\V1+1-V81+9+447,

依題意可知，平面月與平面D8E的夾角的余弦值為上且

47

2

18.⑴.+R=I(XH±2)

(2)正

2

⑶x=4(ywO)

【分析】(1)設(shè)出動(dòng)點(diǎn)尸(X,y),利用直線尸工,尸8的斜率之積為-!，即可得解；

(2)設(shè)出直線/的方程x=0/+l?eR),并代入橢圓方程，得到關(guān)于>的一元二次方程，由

韋達(dá)定理得到必+%==，從而得

r+4/+4

s二x|_2”x|y|—xJ")2_4.(_3).(/+4),然后利用函數(shù)求最值得

^"21儼區(qū)間2入4r+4

方法求解即可;

x+2x—2

(3)設(shè)出直線與3N的方程，聯(lián)立后可整理得到二丁二廠廠，利用韋達(dá)定理的結(jié)論

%%

可得/一工=￡+工，代入整理得到所求點(diǎn)Q的軌跡方程.

【詳解】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸(x,y),因?yàn)橹本€己4,尸8的斜率滿足七

-=-；(xR±2),化簡(jiǎn)整理得上+j?=1(》/+2).

%+2x—244

2

所以軌跡C的方程為、+必=1原彳±2).

(2)設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線/的方程為：x=O+l(feR),W(x2,y2),

x=ty+\

由d,得(〃+4)/+2w—3=0,顯然A>0.

——+y=1、/

I4

則乂+%=9'

1.||?3J(2，)2_4.(_3).(?+4)6&+3

5歷=于卜2—物%一%|二^^------------------

*+4

令〃=小?+3,貝!J〃2百，』=〃2一3，所以~~r

U+1

答案第13頁，共18頁

2

6u6—6u

設(shè)s(")=則s'3)

w2+l(儲(chǔ)+)

所以當(dāng)百時(shí),s'(")<0,則s(")在［后+8)單調(diào)遞減,

所以s(")的最大值為S(a=唳

(3)由已知可設(shè)直線的方程為、=急(％+2),即片&(x+2),

直線階的方程為"旌-2),即"后(1一2),

x+2x—2

消去,'得票顯然

31,(*)

%少2

由(2),得乂+%=目-311_2t1_t1

?1?2=-~~7>二一+一^―,:」----=T+-,

t+4%%3為3yt

x+2x—2

所以(*)式可化為"2(+二］,.\x+2=3(x-2),即x=4.

31力

%

顯然ywo,否則重合，不合題設(shè),

所以點(diǎn)。的軌跡方程為X=4(yN0).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問解題的關(guān)鍵是利用前問韋達(dá)定理的結(jié)論得到"'=￡+',

代入運(yùn)算得解.

1-4e2,

19.(l)y=-----x+2e2

e

(2)證明見詳解

(3)0=2

【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得了'(X),設(shè)所求切線的切點(diǎn)為(%,%),寫出直線/的方程，將點(diǎn)

(0,2d)代入直線/的方程中化簡(jiǎn)得一個(gè)關(guān)于看的方程，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性求

答案第14頁，共18頁

出X。即可；

(2)根據(jù)/(玉)=/。2),得出相應(yīng)的方程，然后利用分析法結(jié)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)證明即可；

(3)解法一；由題意將〃x)代入不等式得出G(x)40的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出G(x)的最大

值，在根據(jù)G(x)=/(x)+x+ln1W0恒成立即可求出。的值(或取值范圍)；解法二：由題意

將〃尤)代入不等式得出G(x)V0的表達(dá)式，由G(x)W0恒成立，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)分析求出G(x)

的最大值，再結(jié)合題意分析求解即可.

【詳解】(1)由題意得/3=工-6=匕竺%>0),

設(shè)所求切線的切點(diǎn)為(%,%),

則直線/的方程為了一%=/'(%)(X-X。)，

1—4%24

即=-----(x-x0),又為=lnx0--x?=lnx0-2x^,

/2

2-X

/.2e-(lnx0=-~~Oo)?

%

即InX。+2XQ1-23—1=0,

令Z(x)=Inx+2x2-2e2-1,

可知V=t(x)在(0,內(nèi))上單調(diào)遞增.

又，(e)=0,所以方程In/+2xl-2er-1=0有唯一解x0=e.

所以直線/的方程是+或(l-4e2)x-ey+2e3=0.

e

(2)證明：???/(再)==(%2)(°<再<%2)，

,ax2142

/.mxj~~\=Inx2-—x2,

即貼士=也山，要證了,(q]<0,

xx-x22\2)

由(1)知只要證二一-"@<0,

xx+x22

2Inx-In八

即證----------!------<o,

X[+x2X]-x2

答案第15頁，共18頁

又因?yàn)?＜西＜.，即證幺乜二切＞ln土，（*）

再+x2x2

令凡=t,則欲證（*）式成立,

x2

2(/-1)

等價(jià)于證明--------->I1n/