2024-2025學(xué)年北京市延慶區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年北京市延慶區(qū)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知全集U={%|-3<%<3},集合A={x|0<x<1},則=()

A.(1,3)B.(-3,0)U(1,3)C.(-3,0)D.(-3,0］U［1,3)

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(a,1),且滿足(l-i)-z=2,貝Ua=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是()

A.y=-B.y=—%3C.y=x\x\D.y=logvc

2

4.若a<b<0,c>d>0,則一定有()

A.->B.-<^C.^>-D.^<-

cacaacac

5.若。<a<1,則()

1111

a

A.a3<a2B.2<3aC.loga->loga-D.sina>cosa

6.已知函數(shù)則)/(%)()

A.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在［0,+8)上是增函數(shù)B.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在［0,+8)上是減函數(shù)

C.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在［0,+8)上是增函數(shù)D.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在［0,+8)上是減函數(shù)

7.已知函數(shù)/(%)=320g2%-2(%-1),則不等式/(%)>0的解集是()

A.(1,4)B.(-co,1)u(4,+oo)C.(0,1)U(4,+oo)D.(0,4)

n

8.已知數(shù)列{a九}中，a-t=1,an-an+1=2,nEN*,則下列結(jié)論簿送的是()

n+1

A.a2=2B.a4-a3=2C.{(^兀}是等比數(shù)列D.a2n-i+a2n=2

9.設(shè)函數(shù)f(x)=x+^(meR)的定義域?yàn)?—1,2),則“—3<mW?！笔恰?⑶在區(qū)間(—1,2)內(nèi)有且僅

有一個(gè)零點(diǎn)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.在I3A8C中，AB=AC=4打,當(dāng)26R時(shí)，|通+2就|的最小值為4.若俞=麗，AP=sin20AB+

cos2dAC,其中則I而I的最大值為()

A.2B.4C.2<5D.4<2

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.函數(shù)f(%)=等+1g%的定義域是.

12.把函數(shù)/(%)=8%的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是

y=?

13.已知函數(shù)/(%)=%+:在區(qū)間［0+8)上存在最小值3,則實(shí)數(shù)a=.

14.若函數(shù)f(x)=［吁/皿，存在最小值，則根的一個(gè)取值為_____；a的最大值為_____.

(X—2mx+4m,x>m

15.函數(shù)/(t)=0.03sin(10007rt)+0.02sin(20007rt)+0.01sin(3000;rt)的圖象可以近似表示某音叉的聲音

圖象.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①焉是函數(shù)f(t)的一個(gè)周期；

②/(t)的圖象關(guān)于直線1=擊對(duì)稱；

③/(t)的圖象關(guān)于點(diǎn)(擊,0)對(duì)稱；

④/⑴在卜磊，嬴］上單調(diào)遞增?

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

已知｛an｝(n6N*)是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，的=16,2a3+3a2=32.

(I)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(II)設(shè)%=310。2%1，求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和土,并求分的最大值.

17.(本小題12分)

已知函數(shù)/(x)=，Wsin2a)x-cos2a>x(0<3<2),再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，

(1)求/(久)的解析式；

(2)當(dāng)xe［o,||時(shí)，關(guān)于x的不等式/(久)W小恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

條件①：函數(shù)/⑺的圖象經(jīng)過點(diǎn)出2);

條件②：函數(shù)/■(%)的圖象可由函數(shù)g(x)=2sin2x的圖象平移得到；

條件③：函數(shù)f(x)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為今

注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/(久)=Inx+sinx.

(1)求曲線y=/0)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)求函數(shù)/Q)在區(qū)間［l,e］上的最小值.

19.(本小題12分)

為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營(yíng)造良好的文化氛圍，增強(qiáng)文化自覺和文化自信，某區(qū)組織開展了中華優(yōu)秀傳

統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項(xiàng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，中小學(xué)生參與該項(xiàng)知

識(shí)競(jìng)答活動(dòng)的人數(shù)共計(jì)4.8萬(wàn)，其中獲獎(jiǎng)學(xué)生情況統(tǒng)計(jì)如下：

單人賽

獎(jiǎng)項(xiàng)組別PK賽獲獎(jiǎng)

一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)

中學(xué)組4040120100

小學(xué)組3258210100

(1)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組的概率；

(2)從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以X表示這2人中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

(3)從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來(lái)自中學(xué)組的人數(shù)為來(lái)自小學(xué)組的人數(shù)為小試判斷。(口與

ng)的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

20.(本小題12分)

已知函數(shù)/(%)=>0).

(1)求f(久)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)<x一;對(duì)工G(0,+8)恒成立，求a的取值范圍；

(3)若％2皿尤1+X［ln%2=0(刀1彳％2)，證明：%1+%2>2.

21.(本小題12分)

已知數(shù)列｛an｝(n=1,2,…,2022),的,。2,…,。2022為從1到2022互不相同的整數(shù)的一個(gè)排列,設(shè)集合4=

l

Jxx=^an+i,n=0,1,2,…,2022-vj,4中元素的最大值記為M,最小值記為N.

(1)若｛&J為:1,3,5,2019,2021,2022,2020,2018,4,2,且/=3,寫出M,N的值；

(2)若/=3,求M的最大值及N最小值；

(3)若/=6,求M的最小值.

參考答案

\.D

2A

3.B

4.0

5.B

6.B

7.4

8.0

9.71

10.C

ll.(0,l)U(l,+8)

12.2X

13.2

14.0(答案不唯一)

4

15.①③④

16.(I)設(shè)等比數(shù)列｛廝｝的公比為q

22

,?,%=16,2a3+3a2=32???2arq+3arq=32q+48q=32

-1

即2q2+3q-2=0,解得：q=-2或q=,

???各項(xiàng)均為正數(shù).?.(?=1

an=16x?=25f

sn

(II)由(I)得：bn=3log22~=3(5—m)=15—3n

當(dāng)九>2時(shí)，bn-bn_i=-3

???｛,｝是首項(xiàng)為瓦=12,公差為-3的單調(diào)遞減的等差數(shù)列

33

2

???Sn=12n—2n(n—1)=—(n—9n)

又生=0.??數(shù)列｛,｝的前4項(xiàng)為正數(shù)

???當(dāng)幾=4或5時(shí)，S九取得最大值，且最大值為S4=Ss=30

17.(1)/(%)=-/3sin2eox—cos2tox=2sin(2cox—'

選①：函數(shù)/(久)的圖象經(jīng)過點(diǎn)圖2),則2sin(23xF3)=2,

所以2aX———=-+2/CTT,kEZ,則a=14-3k.,k.GZ,

362

由0<o)<2,可得3=1,則/(%)=2sin(2%—”；

選②：函數(shù)/(%)的圖象可由函數(shù)g(%)=2sin2x的圖象平移得到，

即/(%)=2sin(2a%-3)的圖象可由函數(shù)g(%)=2sin2%的圖象平移得到，

則3=1,則f(%)=2sin(2x—^).

選③：函數(shù)/(%)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為與

則函數(shù)的最小正周期為7T,故23=—=2,ACO=1,

71

故/(%)=2sin(2x—^).

(2)當(dāng)％t[o可時(shí)，2%_*￡[_弓,第，貝！Jsin(2%—3)€[-2,1],

故/(%)=2sin(2x-^)E[-1,2],

又當(dāng)％E[。用時(shí)，關(guān)于％的不等式/(%)<m恒成立，故m>2,

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2,+8).

18.(1)由題意得，/'(%)=；+cos%,

所以((1)=1+cosl,又/(I)=sinl,

所以曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程為y-sinl=(1+cosl)(x-1),

即y=(1+cosl)x+sinl-cosl—1；

(2)由上問得((%)=-+cosx,

因?yàn)閥=(和y=COSX均在區(qū)間[l,e]上單調(diào)遞減，

所以尸(久)在區(qū)間[l,e]上單調(diào)遞減，

因?yàn)?'(1)=1+cosl>0,

1

/(e)=-+icose<-+cos—27r=——1-<0,

7ee3e2

所以/'(%)=0在(l,e)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為通，

所以久€［1,久o)時(shí),/(x)>0；久6(X0,e］時(shí)，/(x)<0,

所以/(%)在［I/O)上單調(diào)遞增，在(Xo，e］上單調(diào)遞減，

因?yàn)閒(l)=sinl,/(e)=1+sine,

所以/0)在區(qū)間［1,e］上的最小值為sinl.

19.解：(I)設(shè)事件4表示抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，事件B表示抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組,

所以抽到的1個(gè)學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，學(xué)生來(lái)自中學(xué)組的概率為PCBM)=鏢，

由表格知：P(幽=藕,P(4)=繇,則P(B|A)=|.

(II)由題意，X可能值為0,1,2,

=Q1(x=i)_doo4oo+4oo或00=&P(X=2)_400。；00_J_,

P(x=0)=%。。。

4CC12

C300c400L300L400300400

X的分布列如下：

X012

P151

21212

所以E(X)=0x^+lx—+2x—=—.

(Ill)由題設(shè)知f+〃=3,

所以。(f)=D(3—哨=D(3)+(-1)2-D(rj)=DQ

20.解：由已知得函數(shù)定義域?yàn)?0,+s),「(%)=富，

(I)令/0)=0得％=e,因?yàn)镼>0,

/'(%)>0=0<%<e,/'(%)<0=>x>e,

所以/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(巳+8)；

(II)結(jié)合。>0,由已知得"工—ax2+x<0在％6(0,+8)恒成立，

2lnx+1

即a>無(wú)在(0,+8)上恒成立,令g(%)二尸(%>0),“(%)=~^~f顯然"(1)=0,

7

再令h(%)=-2lnx—%+1,￥(x)=---1<0,故h(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

結(jié)合似1)=0,

當(dāng)0<x<1時(shí)，h(x)>0,即g'(%)>0,當(dāng)久>1時(shí)，/i(x)<0,即g'(%)<0,

即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

故g(l)=1是g(%)的極大值，也是g(%)的最大值，

故a>1即為所求，故a的取值范圍是［L+8)；

(III)證明：由%2仇％1+Xrlnx2=0(%1。%2)得出江+=0，且％1。1，、2。1，

X1x2

當(dāng)a=1時(shí)，令m(%)=Inx-x2+x,(%>0),顯然?71(1)=0,

=上也=-…3+1),

XX

xG(0,1)時(shí)，M(%)>0,xE(1,+8)時(shí),m'(x)<0,

即?n(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

故?n(l)=。是m(%)的極大值，也是最大值，即仇％—x2+x<0(%=1時(shí)取等號(hào))，

所以竽W久一1,(當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)取等號(hào))，

所以外</一1,強(qiáng)<盯一1,

%2

兩式相加得也1+返V/+%2-2,即久1+&-2>0，

%2

故久1+x2>2.

21.(1)當(dāng)/=3時(shí)，4中的元素為｛即｝中的三項(xiàng)相加，故最大元素M=2021+2022+2020=6063,最小元

素N=1+3+5=9.

(2)N最小值為6,M的最大值6063.

證明：對(duì)于1,2,....2021,2022的一個(gè)排列｛冊(cè)｝,

若/=3,貝!M中的每一個(gè)元素為x=￡3j=1an+.-an+1++an+3,n=0,1,2,…,2019,

3

由題意M=maxi=1an+i),n=0,1,2,…,2019,

那么，對(duì)于任意的｛an｝，總有M=2020+2021+2022=6063.

3

同理，由題意N=min(2t=1an+i),n=0,1,2,…,2019,

那么，對(duì)于任意的｛冊(cè)｝,總有N=1+2+3=6,

當(dāng)即=n(n=1,2,…,2022)時(shí)，滿足：N=6,M=6063.

(3)M的最小值為6069.

由于/=6,對(duì)于1,2,2021,2022的一個(gè)排列｛%J,

4