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文檔簡介

專題07四邊形

多邊形及其內(nèi)角和專題

易錯點(diǎn):

1.理解多邊形的定義:多邊形是由多條直線段順次首尾連接圍成的平面圖形,容易混

淆多邊形和圓形、橢圓形等其他形狀。

2.多邊形內(nèi)角和的計(jì)算:多邊形內(nèi)角和的計(jì)算公式為(n2)X180°,其中n為多邊形的

邊數(shù)。學(xué)生容易在計(jì)算過程中出錯,如將邊數(shù)誤認(rèn)為是頂點(diǎn)數(shù),或者忘記了減2的步驟。

3.多邊形的分類:多邊形根據(jù)邊數(shù)的不同可以分為三角形、四邊形、五邊形等,每種

多邊形的性質(zhì)和特點(diǎn)都有所不同。學(xué)生容易在分類時混淆,或者忽視了多邊形邊數(shù)的限

制。

4.特殊多邊形的處理:對于一些特殊的多邊形,如正多邊形(各邊相等,各內(nèi)角也相

等)、等腰多邊形(至少有兩邊相等)等,學(xué)生在處理時容易忽視其特殊性,導(dǎo)致計(jì)算

錯誤。

5.多邊形與其他圖形的結(jié)合:多邊形常常與其他圖形(如圓、三角形等)結(jié)合出現(xiàn),

這時需要綜合考慮多個圖形的性質(zhì)。學(xué)生容易在解題時忽視這一點(diǎn),導(dǎo)致解題方向錯誤。

易錯點(diǎn)1:多邊形截角

例:將一個五邊形紙片,剪去一個角后得到另一個多邊形,則得到的多邊形的內(nèi)角和

是()

A.360°B.540°C.360°或540°D.360°或540°或

720°

【答案】D

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和,找出五邊形紙片剪去一個角出現(xiàn)的情況,再根據(jù)

〃邊形內(nèi)角和公式(〃-2)180。得出多邊形的內(nèi)角和,即可解題.

【詳解】解:如圖,將一個五邊形沿虛線裁去一個角后得到的多邊形的邊數(shù)是4或5或6,

其中四邊形內(nèi)角和為360。,五邊形內(nèi)角和為(5-2卜180。=540。,六邊形內(nèi)角和為

(6-2)x180°=720°,

???得到的多邊形的內(nèi)角和是360?;?40°或720°,

故選:D.

3

變式1:如圖,點(diǎn)A是反比例函數(shù)>在第二象限內(nèi)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)B是反比例函數(shù)

4

>=—在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn),直線與y軸交于點(diǎn)C,且/C=3C,軸于

點(diǎn)。,BE_Lx軸于點(diǎn)£,連接DC,EC,則的面積是()

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用,平行線等分線段定理,梯形的中位線性質(zhì),

先根據(jù)已知條件推導(dǎo)出CO為梯形/8EZ)的中位線,得到CO=g(/D+3E),再根據(jù)反

比例函數(shù)解析式設(shè)8,,:;把C。、OE用含0的代數(shù)式表示出來,代入三

角形面積公式即可求解,利用梯形的中位線的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式用含。的代數(shù)式

表示出CO、是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解::4DU軸,8EL軸,

,AD//CO//BE,

■:AC=BC,

:.DOEO,

,CO為梯形ABED的中位線,

CO=^(AD+BE),

設(shè)/-〃,一],貝iJB[a,—4

aa

()34

/.CO=^AD+BE=^—+—-—,DE=a—(_Q)=2a,

aa

117

,,SADCE=-xDExCO=—x2。x—=3.5,

222a

故選:B.

變式2:如圖是一個多邊形,你能否用一直線去截這個多邊形,使得到的新多邊形分別

滿足下列條件:(畫出圖形,把截去的部分打上陰影)

①新多邊形內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和增加了180。.

②新多邊形的內(nèi)角和與原多邊形的內(nèi)角和相等.

③新多邊形的內(nèi)角和比原多邊形的內(nèi)角和減少了1801

【分析】(1)①過相鄰兩邊上的點(diǎn)作出直線即可求解;

②過一個頂點(diǎn)和相鄰邊上的點(diǎn)作出直線即可求解;

③過相鄰兩邊非公共頂點(diǎn)作出直線即可求解;

(2)根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式先求出新多邊形的邊數(shù),然后再根據(jù)截去一個角的情況

進(jìn)行討論.

【詳解】(1)如圖所示:

(2)設(shè)新多邊形的邊數(shù)為〃,

貝2)/80。=2520。,

解得〃=16,

①若截去一個角后邊數(shù)增加1,則原多邊形邊數(shù)為15,

②若截去一個角后邊數(shù)不變,則原多邊形邊數(shù)為16,

③若截去一個角后邊數(shù)減少1,則原多邊形邊數(shù)為17,

故原多邊形的邊數(shù)可以為15,16或17.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式,注意要分情況進(jìn)行討論,避免漏解.

易錯點(diǎn)2:多邊形對角線規(guī)律

例:某多邊形由一個頂點(diǎn)引出的對角線可以將該多邊形分成10個三角形,則這個多邊

形的邊數(shù)是()

A.11B.12C.13D.14

【答案】B

【分析】

此題考查了多邊形對角線條數(shù),〃邊形從一個頂點(diǎn)出發(fā)可以引出(〃-3)條對角線,把多

邊形分成(〃-2)個三角形,據(jù)此作答即可.

【詳解】解:設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是小則〃-2=10,解得”=12,

即這個多邊形的邊數(shù)是12,

故選:B.

3

變式1:如圖,點(diǎn)A是反比例函數(shù)>在第二象限內(nèi)圖象上一點(diǎn),點(diǎn)B是反比例函數(shù)

4

>=—在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn),直線與y軸交于點(diǎn)C,且/C=3C,軸于

點(diǎn)。,BE_Lx軸于點(diǎn)£,連接DC,EC,則的面積是()

A.3B.3.5C.4D.4.5

【答案】B

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合運(yùn)用,平行線等分線段定理,梯形的中位線性質(zhì),

先根據(jù)已知條件推導(dǎo)出CO為梯形/8EZ)的中位線,得到CO=g(/D+3E),再根據(jù)反

比例函數(shù)解析式設(shè)8,,:;把C。、OE用含0的代數(shù)式表示出來,代入三

角形面積公式即可求解,利用梯形的中位線的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式用含。的代數(shù)式

表示出CO、是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解::4DU軸,8EL軸,

AD//CO//BE,

???AC=BC,

:.DO=EO,

:.CO為梯形ABED的中位線,

/.CO=^AD+BE),

設(shè)則8

;():

C0=AD+8E=——,DE=a—(一〃)—2a,

2aV7

117

?V=—xDExCO=—x2Qx——=3.5,

,,3DCE222a

故選:B.

圖3

(1)如圖1,經(jīng)過四邊形的一個頂點(diǎn)可以作.條對角線,它把四邊形分成

個三角形;

(2)如圖2,經(jīng)過五邊形的一個頂點(diǎn)可以作條對角線,它把五邊形分成

個三角形;

(3)探索歸納:對于“邊形(〃>3),過一個頂點(diǎn)可以作條對角線,它把"邊形

分成個三角形;(用含〃的式子表示)

(4)如果經(jīng)過多邊形的一個頂點(diǎn)可以作100條對角線,那么這個多邊形的邊數(shù)

為.

【答案】⑴12

(2)23

⑶("3)(?-2)

(4)103

【分析】本題考查多邊形的對角線、邊及三角形分割等規(guī)律探究.

(1)根據(jù)題意畫出對圖中的一個頂點(diǎn)的對角線即可得到結(jié)論;

(2)根據(jù)題意畫出對圖中的一個頂點(diǎn)的對角線即可得到結(jié)論;

(3)根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論,可找到規(guī)律即可得到結(jié)論;

(4)將100代入(3)的結(jié)論中即可得到答案.

【詳解】(1)如圖1:

經(jīng)過1個頂點(diǎn)做1條對角線,它把四邊形分為2個三角形,

故答案為:1,2

經(jīng)過五邊形一個頂點(diǎn),共有2條對角線,將這個多邊形分為3個三角形;

故答案為:2,3.

(3)?.?經(jīng)過四邊形的一個頂點(diǎn)可以作4-3=1條對角線,它把四邊形分成4-2=2個三

角形;

經(jīng)過五邊形的一個頂點(diǎn)可以作5-3=2條對角線,它把五邊形分成5-2=3個三角形;

經(jīng)過六邊形的一個頂點(diǎn)可以作6-3=3條對角線,它把六邊形分成6-2=4個三角形;

經(jīng)過七邊形的一個頂點(diǎn)可以作7-3=4條對角線,它把七邊形分成7-2=5個三角形;

???經(jīng)過〃邊形的一個頂點(diǎn)可以作(〃-3)條對角線,它把〃邊形分成(〃-2)個三角形;

故答案為:(?-3),(?-2).

(4)?.,過多邊形的一個頂點(diǎn)可以作100條對角線,

根據(jù)(3)中結(jié)論可得,"—3=100,

〃=103,

故答案為:103.

易錯點(diǎn)3:平面鑲嵌

例:用下面圖形不能實(shí)現(xiàn)平面鑲嵌的是()

A.等邊三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】C

【分析】本題考查了平面鑲嵌、正多邊形的內(nèi)角和,先求出各個正多邊形每個內(nèi)角的度

數(shù),再結(jié)合平面圖形鑲嵌的條件即可得,熟練掌握平面鑲嵌的條件是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A、等邊三角形的每個內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+3=60。,且360。+60。=6是

整數(shù),則等邊三角形能實(shí)施平面鑲嵌,此項(xiàng)不符題意;

B、正方形的每個內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+4=90。,且360。+90。=4是整數(shù),正方形能

實(shí)施平面鑲嵌,此項(xiàng)不符題意;

C、正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+5=108。,且360。+108。=/,不是整數(shù),

正五邊形不能實(shí)施平面鑲嵌,此項(xiàng)符合題意;

D、正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為180。-360。+6=120。,且360。十120。=3是整數(shù),正

六邊形能實(shí)施平面鑲嵌,則此項(xiàng)不符題意;

故選:C.

變式1:如圖,用正多邊形鑲嵌地面,則圖中a的大小為度.

【答案】150

【分析】進(jìn)行平面鑲嵌就是在同一頂點(diǎn)處的幾個多邊形的內(nèi)角和應(yīng)為360。,據(jù)此求出a

即可.

【詳解】解:???正方形的內(nèi)角為90。,正六邊形的內(nèi)角為120。,

90°+120°+a=360°,

解得a=150。.

故答案為:150.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面鑲嵌,解題的關(guān)鍵是求正多邊形一個內(nèi)角度數(shù),可先求出這個

外角度數(shù),讓180。減去即可.一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除360。;

兩種或兩種以上幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是:圍繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在

一起恰好組成一個周角.

變式2:在生活中經(jīng)??吹揭恍┢春蠄D案如圖所示,它們或是用單獨(dú)的正方形或是用多

種正多邊形混合拼接成的,拼成的圖案要求嚴(yán)絲合縫,不留空隙.從數(shù)學(xué)角度看,這些

工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分覆蓋,通常把這類問題叫做用多邊

形覆蓋平面(或平面鑲嵌)的問題.

(1)如果限用一種正多邊形來覆蓋平面的一部分,正六邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形?

請說明理由;

(2)同時用正方形和正八邊形是否能鑲嵌成一個平面圖形?請說明理由;

(3)請你探索,是否存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌

成的平面圖形,寫出驗(yàn)證過程.

【答案】(1)正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形,理由見解析

(2)同時用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形,理由見解析

(3)存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌成的平面圖形,

驗(yàn)證見解析

【分析】本題主要考查了正多邊形的內(nèi)角和,正多邊形的外角和問題,熟練掌握正多邊

形的內(nèi)角和為(〃-2)x180。是解此題的關(guān)鍵.

(1)先求出正六邊形的內(nèi)角和,再求出每一個內(nèi)角的度數(shù),用360。除以內(nèi)角的度數(shù),

看是否能夠除盡,由此即可得出答案;

(2)正方形的每個內(nèi)角為90。,求出正八邊形的每一個內(nèi)角為135。,再結(jié)合

135。乂2+90。=360。,即可得出答案;

(3)求出正方形的每個內(nèi)角為90。,正五邊形的每一個內(nèi)角為108。,正二十變形的每

一個內(nèi)角為162。,由162。+108。+90。=360。,即可得出答案.

【詳解】(1)解:正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形,

理由如下:

??,正六邊形的內(nèi)角和為:(6-2*180。=720。,

,正六邊形的每一個內(nèi)角為:720°+6=120°,

?.?360°+120。=3,

???正六邊形能鑲嵌成一個平面圖形;

(2)解:同時用正方形和正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形,

理由如下:

??,正八邊形的內(nèi)角和為:(8-2)x1800=1080°,

,正八邊形的每一個內(nèi)角為:1080°+8=135°,

■.?135°x2+90o=360°,

,同時用1塊正方形和2塊正八邊形能鑲嵌成一個平面圖形;

(3)解:存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌成的平面

圖形,

理由如下:

正方形的每個內(nèi)角為90。,

??,正五邊形的內(nèi)角和為:(5-2*180。=540。,

,正五邊形的每一個內(nèi)角為:540°-?5=108°,

???正二十邊形的內(nèi)角和為:(20-2*180。=3240°,

,正二十邊形的每一個內(nèi)角為:3240^20=162°,

■.■1620+1080+90°=3600,

???存在同時用三種不同的正多邊形組合(至少包含一個正五邊形)鑲嵌成的平面圖形,此

時該平面圖形由1塊正二十邊形、1塊正五邊形、1塊正方形構(gòu)成.

平行四邊形專題

易錯點(diǎn):

1.性質(zhì)與判定的混淆:平行四邊形的性質(zhì)和判定條件容易混淆。例如,知道一個四邊形

是平行四邊形,并不意味著它的對角線一定相等或互相平分。同樣,即使一個四邊形的

對角線相等或互相平分,也并不意味著它一定是平行四邊形。

2.面積計(jì)算錯誤:平行四邊形的面積計(jì)算公式為底乘以高,但有時候可能會錯誤地將對

角線長度或鄰邊長度作為底或高來計(jì)算面積。

3.特殊平行四邊形的識別:對于矩形、菱形、正方形等特殊平行四邊形,需要明確它們

的性質(zhì),例如矩形的對邊相等且鄰邊垂直,菱形的四邊相等,正方形的四邊相等且鄰邊

垂直等。錯誤地識別這些特殊平行四邊形可能導(dǎo)致解題錯誤。

4.對稱性的理解:平行四邊形是中心對稱圖形,這意味著通過其對稱中心的任何直線都

會將其分成面積相等的兩部分。同時,對角線也會將四邊形分成面積相等的四部分。對

這些對稱性的理解不足可能導(dǎo)致解題錯誤。

5.全等和相似三角形的誤用:在平行四邊形中,雖然可以利用全等三角形和相似三角形

的性質(zhì)解題,但這并不意味著所有的三角形都是全等或相似的。錯誤地應(yīng)用這些性質(zhì)可

能導(dǎo)致解題錯誤。

6.矩形和正方形的折疊問題:在解決矩形和正方形的折疊問題時,需要理解折疊后的圖

形及其性質(zhì)。例如,折疊后的圖形可能仍然是矩形或正方形,也可能變成其他類型的四

邊形。對這些變化的理解不足可能導(dǎo)致解題錯誤。

易錯點(diǎn)1:已知三點(diǎn)組成平行四邊形

例:以點(diǎn)。、A、B、。為頂點(diǎn)的平行四邊形放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中,其中點(diǎn)。

為坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)。的坐標(biāo)是(1,3),點(diǎn)/的坐標(biāo)是(5,0),則點(diǎn)2的坐標(biāo)是()

A.(6,3)或(4,一3)B.(6,3)或(一4,3)

C.(6,3)或(一3,4)或(3,-4)D.(6,3)或(T3)或(4,一3)

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意畫出圖形,然后分NC為邊和對角線兩種情況,分別根據(jù)平行四邊

形的判定和平移的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解:如圖:當(dāng)NC為對角線時,點(diǎn)用的坐標(biāo)為。+5,3),即(6,3);

當(dāng)/C為邊時,點(diǎn)層的坐標(biāo)為0-5,3),即(-4,3);點(diǎn)區(qū)的坐標(biāo)為(0+4,0-3),即(4,-3).

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定、平移的性質(zhì)等知識點(diǎn),掌握分類討論思想

是解答本題的關(guān)鍵.

變式1:平面直角坐標(biāo)系中,/(TO),8(3,0),C(0,2),。為平面內(nèi)一點(diǎn)?若A、B、

C、。四點(diǎn)恰好構(gòu)成一個平行四邊形,則平面內(nèi)符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為

【答案】(2,-2)或(4,2)或(-4,2)

【分析】分三種情形畫出圖形即可解決問題.

【詳解】解:如圖,

當(dāng)AD〃BC,/C〃&)時,。點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2);

當(dāng)AB"CD,/C〃臺。時,。點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,2);

當(dāng)AB"CD,3c時,。點(diǎn)的坐標(biāo)為(一4,2);

綜上所述,滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)為(2,-2)或(4,2)或(-4,2),

故答案為:(2,-2)或(4,2)或(-4,2).

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會用

分類討論的思想思考問題,屬于中考常考題型.

變式2:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線了=-尤+8分別交x軸,y軸于點(diǎn)/、B,直

線交直線N5于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)。,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4.

(1)求直線。的函數(shù)解析式;

⑵在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)R使以4C、。、/為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?

若存在,請直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

44

【答案】⑴y=y

(2)存在,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-3,4)或(11,4)或(5,-4)

【分析】(1)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,可求出點(diǎn)C的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)C,D的

坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)解析式;

(2)存在,設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(如〃),分為對角線,NC為對角線及/。為對角線三

種情況考慮,利用平行四邊形的性質(zhì)(對角線互相平分),即可得出關(guān)于“,"的二元

一次方程組,解之即可得出點(diǎn)b的坐標(biāo).

【詳解】(1)(1)當(dāng)x=4時,y=-lx4+8=4,

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,4);

設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為了=履+。(左/0),

將點(diǎn)C(4,4),。(1,0)代入廠去+6,

得:[U左k++6b==04'

所以3

4

y=——

[3

44

則直線的函數(shù)解析式:y=-x--

(2)解:存在,設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為例,〃),

當(dāng)歹=0時,一%+8=0,

解得:x=8,

...點(diǎn)N的坐標(biāo)為(8,0).

若使以/、C、D、尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,分三種情況討論:

V四邊形/巾。為平行四邊形,

m+8=4+1

〃+0=4+0

m=-3

解得

n=4

所以耳的坐標(biāo)為(-3,4);

②當(dāng)/C為對角線時,記為點(diǎn)F2,

V四邊形/巴CO為平行四邊形,

[加+1=4+8

[幾+0=4+0

m=11

解得:

〃=4

點(diǎn)心的坐標(biāo)為(11,4);

③當(dāng)AD為對角線時,記為點(diǎn)工,

?.?四邊形/CD層為平行四邊形,

Jm+4=1+8

[幾+4=0+0

m=5

解得:

n=-4

點(diǎn)馬的坐標(biāo)為(5,-4);

綜上所述,存在點(diǎn)尸,使以/、C、D、尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

(-3,4)或(11,4)或(5,-4).

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及

平行四邊形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是:(1)利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,找出點(diǎn)C,

/的坐標(biāo);根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式;(2)分為對角線,

/C為對角線及/。為對角線這三種情況,求出點(diǎn)F的坐標(biāo).

易錯點(diǎn)2:平行四邊形的性質(zhì)與判定

例:如圖,平行四邊形48CD中以點(diǎn)8為圓心,適當(dāng)長為半徑作弧,交84BC于F,G,

分別以點(diǎn)RG為圓心大于gbG長為半作弧,兩弧交于點(diǎn)X,作BH交AD于點(diǎn),E,連

接CE,若/6=10,DE=6,CE=8,則BE的長為(

A.2741B.40A/2C.475D.875

【答案】D

【分析】本題考查基本作圖作角平分線,掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定,勾股定理,勾

股定理的逆定理等知識是解題的關(guān)鍵.

如圖,過點(diǎn)A作47/EC交于J.證明四邊形A/CE是平行四邊形,再利用勾股定理

的逆定理證明乙40=90。,推出N8CE=90。,利用勾股定理求出5E即可.

【詳解】解:如圖,過點(diǎn)A作交于J.

???四邊形/BCD是平行四邊形,

.-.AD//BC,

ZAEB=ZEBC,

?;AJ〃EC,AE//JC,

???四邊形/JCE是平行四邊形,

AJ=EC,

?;BE平分NABC,

/ABE=NEBC,

/ABE=ZAEB,

/.AB=AE=\Q,AJ=EC=S,AE=JC=10,

???DE=6,

AD=BC=16,

:.BJ=BC-JC=16-10=6f

AB2=BJ2+AJ2,

:./AJB=90°,

AJ〃EC,

/BCE=NBJA=90°,

/.BE=^BC2+EC2=V162+82=875,

故選:D.

變式1:如圖,若四邊形為矩形,AB=643,ZDCA=30°,DE,AC于點(diǎn)、E,

8r2/C于點(diǎn)R連接BE,DF,則四邊形。£8尸的面積為

【答案】18月

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì),解直角三角形得出EF=AF-AE=9-3=6,BF=DE=36,

證明四邊形DE2F為平行四邊形,得出SKmBF=BFxEF=3百x6=186.

【詳解】解:在矩形/BCD中,ZADC=9Q°,ZDCA=3Q°,CD=AB=643,AB//CD,

':DEIAC,

:.ZDEC=90°,

ii/T

£>E=-£>C=-X6A/3=3>/3,C£=CDxcos30。=6氐組=9,

222

:"DC=90。,CD=6y/3,ZDCA=3Q°,

mDC6G0

.AC=---------=-L=12

??cos30°V3,

T

???AE=AC-CE=12-9=3f

???AB//CD,

:.ZBAC=ZDCA=30°,

:.AFIAC,

:.ZAFC=90°,

***AF=ABxcos30°=6^/3x=9,BF=大AB=二乂=3也,

222

***EF=AF—AE=9—3=6,BF=DE=3-\/3,

':DEIAC,BF1AC,

:.DE//BF,

???四邊形。匹方為平行四邊形,

*,*$四邊形mN=BFxEF=3A/3X6=186.

故答案為:184.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形,平行四邊形的判定和性質(zhì),直角三角

形的性質(zhì),題目的綜合性較強(qiáng),是一道不錯的中考題.

變式2:已知,如圖,YABCD.

(1)Y/BCD的對角線相交于點(diǎn)O,直線E尸過點(diǎn)O,分別交于點(diǎn)

E,F.求證:AE=CF;

⑵將YABCD(紙片)沿直線防折疊,點(diǎn)A落在點(diǎn)4處,點(diǎn)B落在點(diǎn)耳處,設(shè)FB&CD

于點(diǎn)G,4月分別交。于點(diǎn)H,M.

①求證:ME=FG;

②連接MG,求證:MG//EF.

【答案】(1)證明見解析

⑵①證明見解析;②證明見解析

【分析】(1)由平行四邊形性質(zhì),結(jié)合三角形全等的判定與性質(zhì)即可得證;

(2)①由(1)中結(jié)論ME=FG,結(jié)合折疊性質(zhì),利用三角形全等的判定與性質(zhì)即可

得證;②過點(diǎn)G作GK〃EN,交EF于點(diǎn)、K,如圖所示,由等腰三角形的判定與性質(zhì)、

平行四邊形的判定與性質(zhì)即可得證.

【詳解】(1)證明:?.?在Y/BCD中,AD//BC,AO=OC,

:.ZDAC=NBCA,

又:NAOE=NCOF,

在△/£?£和ACO廠中,

/DAC=/BCA

AO=OC

AAOE=ACOF

:.(ASA),

???AE=CF;

(2)解:①由(1)得4E=CF,

由折疊得/£=4EN4=N4,ZAEF=/A#,ZBFE=ZB.FE,

ZAEF=ZEFC,

:./BFE=/DEF,

:?NDEF=NEFB、,ZA'EF=/B'FE,

:./A、ED=/CFG,

.?.△4EA&△。尸G,

:.EM=FG;

②過點(diǎn)G作GK〃瓦彳,交EF于點(diǎn)K,如圖所示:

???ZMEF=/GFE,

ZGFK=ZGKF,

:.GK=GF,

?:GF=ME,

:.GK=ME,

???四邊形£KGW是平行四邊形,

???MG//EF.

【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合,涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性

質(zhì)、折疊性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識,熟練掌握平行四邊形與三角形全等的

判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

易錯點(diǎn)3:三角形的中位線

例:如圖,矩形N3C。和矩形CE尸G,N3=1,8C=2,CE=4,點(diǎn)尸在邊GF上,且

PF=CQ,連結(jié)NC和尸。,點(diǎn)N是/C的中點(diǎn),”是尸。的中點(diǎn),則九W的長為()

BCQE

Aa<「歷17

A.3Bn.6C.------nD.

22

【答案】C

【分析】連接CF,交PQ于點(diǎn)K,利用全等三角形的判定與性質(zhì),得到PK=QK,則

M,K兩點(diǎn)重合,CM=FM,連接/尸,延長4D交E廠于點(diǎn)“,利用矩形的判定與性

質(zhì)可得四邊形CE/位和四邊形Z)〃FG為矩形,可求得線段/〃,切,利用勾股定理求得

AF,利用三角形的中位線定理即可得出結(jié)論.

【詳解】

解:連接CF,交P。于點(diǎn)K,

?.?四邊形CE/G為矩形,

FG//CE,

ZFPQ=ZCQP,ZPFC=ZFCQ,

在APFK和AQCK中,

ZFPQ=ZCQF,PF=CQ,ZPFC=ZQCF,

/.△尸相絳QCK(ASA),

FK=CK,PK=QK,

即點(diǎn)K為尸。的中點(diǎn),

:點(diǎn)M為尸。的中點(diǎn),

:.M,K兩點(diǎn)重合.

CM=FM.

連接N尸,延長交E尸于點(diǎn)X,

矩形ABCD和矩形CEFG,

:./B=ZBAD=ZE=ZGDH=ZCDH=ZG=ZEFG=90°,

四邊形CEHD和四邊形DHFG為矩形,

/.AB=CD=HE=1,DH=CE=4,AD=BC=2,

.?.AH=AD+DH=2+4=6,FH=FE-HE=2-1=\,

?**AF=yjAH2+FH2=A/62+12=A/37.

,.?CM=FM,CN=AN,

???〃N為VC4廠的中位線,

?A八T1pA?5y

??MN=—A7fFz=------?

22

故選:c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),三角形的中位線定理,

直角三角形的性質(zhì),勾股定理,熟練掌握矩形的性質(zhì),恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造輔助線是解題的關(guān)鍵.

變式1:如圖,Y/BCD中,AB=3,BC=4,BE平分/4BC,交4D于點(diǎn)£,C尸平

濟(jì)NBCD,交/。于點(diǎn)R交BE于點(diǎn)。,點(diǎn)G,//分別是。尸和0E的中點(diǎn),則的

長為.

【答案】1

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出48=CD=3,BC=AD=4,AD〃BC,結(jié)合

平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證乙48£=乙4仍,NDCF=/DFC,得出

AB=AE=3,DC=DF=3,從而可求出EF=2,最后根據(jù)三角形中位線定理求解即

可.

【詳解】解:Y/BCD中,AB=3,BC=4,

:.AB=CD=3,BC=AD=4,ADBC,

:.ZAEB=ZCBE,ZDFC=NBCF.

平分//BC,CF平分NBCD,

:.NABE=ZCBE,NBCF=ZDCF,

:.NABE=ZAEB,NDCF=ZDFC,

:.AB=AE=3,DC=DF=3.

,:AE+DF^AD+EF,即3+3=4+EF

/.EF=2.

:點(diǎn)G,“分別是。尸和OE的中點(diǎn),

是AOEF的中位線,

GH=-EF=l.

2

故答案為:1.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì),平行線的性質(zhì),角平分線的定義,等腰三角形的

判定和性質(zhì),三角形中位線定理等知識.證明出48=4E=3,DC=DF=3,并掌握三

角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

變式2:【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容.

如果在圖①中,取NC的中點(diǎn)尸,假設(shè)3尸與交于G',如圖②,那么我們同理有

G'DG'F1所以有華=寫j即兩圖中的點(diǎn)G與G,是重合的.

AD一BF-3

于是,我們有以下結(jié)論:

三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn),這個點(diǎn)就是三角形的重心,重心與一邊中點(diǎn)的連線的

長是對應(yīng)中線長的.

【結(jié)論應(yīng)用】

如圖③所示,在中,已知點(diǎn)。,E,尸分別是8C,AD,CE的中點(diǎn),DE、3尸相

較于點(diǎn)。,且以加=12,則四邊形8c戶的面積值為

AA

【答案】教材呈現(xiàn):見解析;結(jié)論概括:I;結(jié)論應(yīng)用:2

【分析】本題考查了相似三角形判定及性質(zhì),三角形中位線定理,關(guān)鍵是根據(jù)三角形的

重心性質(zhì):重心與一邊中點(diǎn)的連線的長是對應(yīng)中線長的;解答.

教材呈現(xiàn):連接如圖①,先利用三角形中位線的性質(zhì)得到龐〃/C,DE=\AC,

則證明ADEGSANCG,利用相似三角形的性質(zhì)得黑=器=會4,然后利用比例的

CCrACrAC2

性質(zhì)得到結(jié)論;

結(jié)論概括:根據(jù)第=當(dāng)]_GD整=;,則嚕=平=即兩圖中的點(diǎn)G與

GEAD3~ADBF3ADAD3

G'是重合的,即可歸納出結(jié)論;

結(jié)論應(yīng)用:根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得LBD=S-c?=:LBC=6,S&BDE=:S"=3,

S/\CDE=5sAz4cz)=3,則$△BEC=S^BDE+S叢CDE=6,SXBEF=~£^AEC=3,由題意知。為三角形

的重心,則。尸=;8尸,可得黑的=;S△詼=1,進(jìn)而根據(jù)四邊形O0CF的面積為

SMDE-SMOF,即可求解.

【詳解】解:教材呈現(xiàn):連接。E,如圖①,

;D、E分別為BC、A4的中點(diǎn),

,DE1為的中位線,

/.DE//AC,DE=-AC,

2

小DEGs^ACG,

.EG_DGDE

,9~CG~^G~^C~2

EGGD_\

CG+EG~AG+GD~^2+\

即笠二必」

CEAD3

結(jié)論概括:由上可知,IfG'DG'F1GDG'Dj,即兩圖中的

則niI——二——

~ADBF3ADAD

點(diǎn)G與G,是重合的.

則三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn),這個點(diǎn)就是三角形的重心,重心與一邊中點(diǎn)的連線

的長是對應(yīng)中線長的;,

故答案為:—

結(jié)論應(yīng)用::ZNBC=12,。為8c的中點(diǎn),

**,SMBD=S“CD=3S“BC=6,

為的中點(diǎn),

,,SgDE=3SAABD=3,S/\CDE=^ACD=3,則S4EC=^ABDE+^ACDE=6,

為8C的中點(diǎn),尸為CE的中點(diǎn),

:"即=。==3,。為三角形的重心,

則0尸=;B/,

,?S^EOF=]SABEF=1,

則四邊形ODCF的面積為S“DE—Sg°F=3—l=2,

故答案為:2.

特殊平行四邊形專題

易錯點(diǎn):

1.概念理解:對于特殊平行四邊形的定義和性質(zhì),學(xué)生可能會存在理解上的困難。例

如,對于矩形、菱形和正方形的定義和性質(zhì),學(xué)生需要清楚地區(qū)分它們之間的不同和聯(lián)

系。

2.性質(zhì)應(yīng)用:在應(yīng)用特殊平行四邊形的性質(zhì)時,學(xué)生可能會忽視一些重要的條件,導(dǎo)

致結(jié)論錯誤。例如,在證明兩個四邊形是矩形時,學(xué)生需要證明其對角線相等且互相平

分,或者證明其所有角都是直角。

3.判定方法:在判定一個四邊形是否是特殊平行四邊形時,學(xué)生可能會混淆不同的判

定方法。例如,對于矩形,學(xué)生需要清楚其判定方法包括有一個角是直角的平行四邊形

是矩形,對角線相等的平行四邊形是矩形等。

4.圖形識別:在識別特殊平行四邊形時,學(xué)生可能會受到圖形的干擾,導(dǎo)致判斷錯誤。

例如,對于一個看起來接近正方形的四邊形,學(xué)生需要仔細(xì)判斷其是否滿足正方形的所

有條件,包括四個角都是直角、四條邊都相等等。

5.計(jì)算錯誤:在進(jìn)行特殊平行四邊形的計(jì)算時,學(xué)生可能會因?yàn)橛?jì)算錯誤而導(dǎo)致結(jié)果

錯誤。例如,在計(jì)算特殊平行四邊形的面積時,學(xué)生需要正確應(yīng)用公式,并注意單位換

算等問題。

三^^009

易錯點(diǎn)1:矩形的折疊

例:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,。為坐標(biāo)原點(diǎn),/(4,0),5(4,2),C(0,2),將

沿直線0B折疊,使得點(diǎn)A落在點(diǎn)D處,0D與BC交于點(diǎn)E,則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)是()

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合折疊的性質(zhì)可得出ZEOB=ZEBO,進(jìn)而可得出OE=BE,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(由2),則0E=8E=4-m,CE=m,利用勾股定理即可求出俏值,再

根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo),過點(diǎn)。作。FLC8軸于點(diǎn)R利用8。廢=)醋以)DE=^BEDF,

可以求出。產(chǎn)的長,進(jìn)而可以解決問題.

【詳解】解:?“(44),8(4,2),C(0,2),0(0,0),

.??四邊形CM8C為矩形,

BC〃0A,

ZEB0=ZAOB.

ZEOB=ZAOB,

/.ZEOB=ZEBO,

/.0E=BE.

設(shè)點(diǎn)£的坐標(biāo)為(m,2),貝UOE=3E=4-"7,CE=m,

在RtaOCE中,0C=2,CE=m,0E=4-m,

(4-m)2=22+m2,

3

:.m=—

29

.,.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(|,2;

:.OE=BE=4-m=-,

2

53

:.DE=OD-OE=OA-OE=4-,

22

\S.DEB='酉部。DE='醋SEDF,

3HB22

35

:.2x-=-DF

22f

,DF=-,

5

.\DF+(9C=-+2=—,

55

則點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為g.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、圖形的折疊、等腰三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理,熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)、圖形的折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理是解題的關(guān)鍵.

變式1:如圖,在長方形/BCD中,AB=5,AD=6,點(diǎn)E為邊AD上的一個動點(diǎn),把

△4BE沿BE折疊,若點(diǎn)/的對應(yīng)點(diǎn)/剛好落在邊/£)的垂直平分線上,則ZE的長

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)得BN=3,再由折疊的性質(zhì),得到A'B=5,

根據(jù)勾股定理可求得/'N=4,因此?M=l,設(shè)AE=AE'=x,在■中,由勾股

定理列方程并求解,即得答案.

【詳解】四邊形/BCD為矩形,

N4=NABC=90°

???MN是邊AD的垂直平分線,

MN_LAD,AM=BM=—48=3

2

四邊形為矩形,

BN=AM=3,MN=AB=5,

根據(jù)折疊的性質(zhì),可知=A'B=AB=5,

在RLA'BN中,A'N^A'B2-BN2=752-32=4,

A'M=5-4=1,

設(shè)/E=NE'=x,貝!]ME=3-x,

在Rtd'EM中,(3-x)2+12=x2,

解得T,

AE的長為g.

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì),垂直平分線的性質(zhì),勾股定理,圖形折疊

的性質(zhì)等知識,熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題關(guān)鍵.

變式2:如圖,矩形48co中,AB=8,BC=\2,E,尸分別為BC上兩個動點(diǎn),連

接E尸,將矩形沿E尸折疊,點(diǎn)A,3的對應(yīng)點(diǎn)分別為“,G.

圖1圖2

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)G落在DC邊上時,連接3G.

①求會的值;

DKJ

②若點(diǎn)G為。。的中點(diǎn),求C尸的長.

CF1

(2)如圖2,若E為/。的中點(diǎn),——'=—,求sin/GBC的值.

BF2

【答案】⑴①②T

⑵洋

【分析】(1)①過點(diǎn)A作/M〃斯,交BC于點(diǎn)交8G于點(diǎn)N,證明四邊形4EFM

為平行四邊形,可得AM=EF,然后求出ABAM=ZCBG,證明^BAMsKBG,利

用相似三角形的性質(zhì)解答即可;

②設(shè)CF=x,貝1]8/=12-無,利用軸對稱的性質(zhì)求出GF=12-無,再在RMG戶C中利用

勾股定理解答即可;

(2)過點(diǎn)尸作尸K_LN。于點(diǎn)K,證明四邊形KECD為矩形,利用勾股定理求出EF,

可得sin/EFK=業(yè),再利用直角三角形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)證明/G3C=/EFK即

17

可.

【詳解】(1)解:①過點(diǎn)A作/M〃防,交3c于點(diǎn)交BG于點(diǎn)、N,如圖,

四邊形48CD為矩形,

,AD//EF,

?-,AM//EF,

.I四邊形AE/W為平行四邊形,

AM=EF,

?.?將矩形沿E尸折疊,點(diǎn)A,B的對應(yīng)點(diǎn)分別為H,G,

廠垂直平分5G,

AM上BG,

ZBAM+ZABG=90°.

\-ZABG+ZCBG=90°9

:./BAM=/CBG.

???/ABM=/BCG=9伊,

:ABAMsKBG,

.4》_48_8_2

,BG~BC~n~3'

.EF_2

??茄一§;

②設(shè)CF=x,則8尸=12—x.

,?,點(diǎn)8,G關(guān)于川對稱,

.?.所垂直平分BG,

:.BF=GF=n-x.

??,點(diǎn)G為。。的中點(diǎn),

/.CG=-CD,

2

AB=CD=8,

/.CG=4.

在Rt^GFC中,

\-CF2+CG2=FG2,

.*.X2+42=(12-X)2,

解得:X=y.

.??C戶的長為g;

(2)過點(diǎn)尸作尸K_LN。于點(diǎn)K,如圖,

為/。的中點(diǎn),

:.DE=-AD=6.

2

CF1

,^F~29

:.FC=-BC=4.

3

四邊形力BCD為矩形,

:.ZD=ZC=90°,

???FKLAD,

二?四邊形AFC。為矩形,

:.ZKFC=90°,DK=FC=4,FK=CD=8.

:.EK=DE-DK=2.

:.EF=NEK、FK2=2后.

FK2叵

...sinZEFK=——

EF2M—17

?//KFC=90。,

:.ZBFK=90°,

ZEFK+ZBFE=90°,

?:EFLBG,

ZBFE+ZGBC=90°,

/GBC=/EFK,

sinZGBC=sin/EFK=-—.

17

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,直角三

角形的性質(zhì),折疊的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

易錯點(diǎn)2:矩形的性質(zhì)與判定

例:如圖,在正方形中,E為對角線ZC上與4,C不重合的一個動點(diǎn),過點(diǎn)E

作與點(diǎn)方,EG工BC于點(diǎn)、G,連接FG,若NAED=a,貝()

A.Q—90。B.180。-〃C.Q—45。D.2a—90。

【答案】C

【分析】延長GE交4。于點(diǎn)首先證明出四邊形qGE是矩形,得到廠G=B£,

/FEG=90。,然后證明出尸E,是等腰直角三角形,得到4H=EH,然后證

明出Rt△尸£G絲Rt△麗(HL),得至“NEFG=NHEQ,然后利用角度的等量代換求解即

可.

【詳解】如圖所示,延長GE交4。于點(diǎn)”,

???四邊形是正方形,力。是對角線

:.BE=DE,ZABC=90°

■:EF1AB,EG-LBC

???四邊形/BGE是矩形

:?FG=BE,ZFEG=90°

:.FG=DE,AB〃GH

:.EH±AD

???四邊形4BCD是正方形,/C是對角線

???NFAE=NHAE=45。

:./HEA=/FEA=45。

?**/\AFE,^AHE是等腰直角三角形

???AH=EH

ZFAH=ZAFE=ZAHE=90°

...四邊形AFEH是正方形

:.FE=HE

:.在RtAFEG和Rt^EHD中

{EF=HE

[FG=DE

:.Rt(HL)

ZEFG=ZHED

':ZAED=ZAEH+ZHED=a

:.450+ZEFG=a

:.NEFG=a—45°.

故選:C.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)和判定,矩形的性質(zhì)和判定,全等三角形的性質(zhì)和判

定,等腰直角三角形的性質(zhì)和判定,解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線,證明出

Rt^FEG^Rt^EHD(HL).

變式1:如圖1是七巧板圖案,現(xiàn)將它剪拼成一個“臺燈”造型(如圖2),過該造型的上

ARQ

下左側(cè)五點(diǎn)作矩形/3CD,使得。=三,點(diǎn)N為尸。的中點(diǎn),并且在矩形內(nèi)右上角部分

留出正方形作為印章區(qū)域(EX〃/O,//G〃Cr>),形成一幅裝飾畫,則矩形

48co的周長為_cm.若點(diǎn)M,N,£在同一直線上,且點(diǎn)〃到4D的距離與到的

【分析】

本題考查正方形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì),能由圖1求出各圖形的邊長是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

臺燈”的造型及圖1,可求出的長,進(jìn)而可求出矩形的周長;延長經(jīng)過點(diǎn)E并

與/。相交于點(diǎn)心連接可得出四邊形是平行四邊形,求出DZ長即可解決

問題.

【詳解】解:由圖1可知,

七巧板中的等腰直角三角形最大的直角邊長為6,然后3亞,最小的直角邊長為3,

正方形和平行四邊形的短邊長都是3.

過點(diǎn)N作40和8C的垂線,垂足分別為J,K,則N/=3+3+3=9,

又;兒W=3亞,且ANMC是等腰直角三角形,

:.NK=3,故加=9+3=12.

文:ZA=/B=ABKJ=90°,

二四邊形是矩形,

AB=JK=12.

□AB3

又..夫=丁

BC=20,

故矩形ABCD的周長為2x(12+20)=64.

延長經(jīng)過點(diǎn)E與/。交于點(diǎn)3連接

???ZNMC=45°,且,

ZALM=45°.

又?.,點(diǎn)H到的距離與到C。的距離相等,

點(diǎn)〃在NADC的角平分線上,則ZADH=1x90°=45°.

2

AZADH=NALE,

LE//DH,

又?:LD//EH,

,四邊形£瓦力是平行四邊形.

又;AJ=6+1.5=T.5,JL=JN=9,

4=7.5+9=16.5.

DZ=20-16.5=3.5.則E〃="=3.5,

???四邊形E/G〃是正方形,

印章區(qū)域的面積為=12.25cm2.

故答案為:64,12.25.

變式2:如圖1,在矩形4BCD中,BE是的角平分線,/E=3,點(diǎn)尸為對角線8D

上的一個動點(diǎn),連接/尸,線段AP與線段BE相交于點(diǎn)足

圖1圖2

(1)當(dāng)AP_L8。時,求證:AABESAPBF;

⑵在(1)的基礎(chǔ)上,EF=^->BP=—.求/P的長;

55

(3)如圖2,若/。=8,48=6,過點(diǎn)尸作尸尸,尸。與直線3C相交于點(diǎn)。,試判

斷點(diǎn)P在線段8。上運(yùn)動的過程中,笥的值是否發(fā)生變化?若有變化,請求出其變化

范圍;若無變化,請求出這個定值.

【答案】(1)見解析

/24

⑵彳

4

(3)不變,定值§

【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)和角平分線的定義證得N

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