第03講 概率分布課件

第五章概率分布第03講概率分布隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件

在試驗(yàn)的結(jié)果中，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機(jī)事件。通常用英文大寫字母A、B、C…表示隨機(jī)事件。每次試驗(yàn)的結(jié)果中，某事件一定發(fā)生，則這一事件叫做必然事件，用字母U表示；相反地，如果某事件在試驗(yàn)中一定不發(fā)生，則叫做不可能事件，用字母V表示。概率概率是事物的客觀屬性，通過大量的試驗(yàn)得知其頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，而越來越趨于某穩(wěn)定值，這就是事件的概率。但有一些特殊情況下的事件的概率可以直接計(jì)算，這種計(jì)算是以概率的古典定義為基礎(chǔ)的。第03講概率分布隨機(jī)事件與概率隨機(jī)變量隨機(jī)現(xiàn)象在一定的條件下的每一可能的結(jié)果ω都對(duì)應(yīng)著唯一的實(shí)數(shù)值ξ（ω），則稱實(shí)數(shù)值變量ξ（ω）為一個(gè)隨機(jī)變量。隨機(jī)變量通常用希臘字母ξ，η，ζ，…來表示（或用大寫拉丁字母X，Y，Z，…來表示）。第03講概率分布概率的乘法法則:

幾個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于各獨(dú)立事件的概率之積概率的加法法則:

互不相容事件和的概率等于各事件的概率之和第03講概率分布介紹的主要分布1．二項(xiàng)分布２．泊松分布３．正態(tài)分布第03講概率分布二項(xiàng)分布

(binomialdistribution)二分類資料，觀察對(duì)象的結(jié)局只有相互對(duì)立的兩種結(jié)果。

例如生存、死亡陽性、陰性發(fā)病、不發(fā)病治愈、未愈第03講概率分布先看一個(gè)例子已知：小白鼠接受某種毒物一定劑量時(shí)

死亡率=80%

生存率=20%每只鼠獨(dú)立做實(shí)驗(yàn)，相互不受影響若每組各用3只小白鼠（甲、乙、丙）3只小白鼠的存亡方式符合二項(xiàng)分布第03講概率分布3只小白鼠均生存的概率P=0.20.20.2=0.0083只小白鼠2生1死的概率P1=0.20.20.8=0.032P2=0.20.80.2=0.032P=0.096P3=0.80.20.2=0.032第03講概率分布3只小白鼠1生2死的概率P1=0.20.80.8=0.128P2=0.80.80.2=0.128P=0.384P3=0.80.20.8=0.1283只小白鼠均死亡的概率P=0.80.80.8=0.512第03講概率分布第03講概率分布x00.50.40.30.20.10.0123π=0.8，n=3

二項(xiàng)分布示意圖第03講概率分布二項(xiàng)分布的定義從陽性率為π的總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，恰有X例陽性的概率為：

X=0,1,2,…,n

則稱X服從參數(shù)為n和

的二項(xiàng)分布，記為：X～B(n,

)。其中參數(shù)

n由實(shí)驗(yàn)者確定，而

常常是未知的。第03講概率分布如已知n=3，

=0.8，則恰有１例陽性的概率P(1)為：第03講概率分布二項(xiàng)分布的性質(zhì)（一）均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差第03講概率分布二項(xiàng)分布的性質(zhì)（二）累計(jì)概率(cumulativeprobability)從陽性率為

的總體中隨機(jī)抽取n個(gè)個(gè)體最多有k例陽性的概率：

最少有k例陽性的概率：

第03講概率分布二項(xiàng)分布的性質(zhì)（三）

圖形特征：取決于π與n

當(dāng)π接近0.5時(shí)，圖形是對(duì)稱的；π離0.5愈遠(yuǎn)，對(duì)稱性愈差，但隨著n的增大，分布趨于對(duì)稱。當(dāng)n足夠大，π不太靠近0或1，np和n(1-p)都大于5時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布。第03講概率分布應(yīng)用舉例據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，用某藥治療小兒上呼吸道感染、支氣管炎，有效率為85％，今有5個(gè)患者用該藥治療，問：①

至少3人有效的概率為多少？②

最多1人有效的概率為多少？第03講概率分布①

至少3人有效的概率：P(X≥3)=P(3)+P(4)+P(5)則P(X≥3)=0.138178125＋0.391504688＋0.443705313=0.973388126

第03講概率分布②最多1人有效的概率為：

P(X≤1)=P(0)+P(1)第03講概率分布二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件各觀察單位只能有互相對(duì)立的一種結(jié)果，屬于二分類資料

已知發(fā)生某一結(jié)果(如陽性)的概率

不變，其對(duì)立結(jié)果(如陰性)的概率則為1-

n次試驗(yàn)在相同條件下進(jìn)行，且各觀察單位的結(jié)果互相獨(dú)立

第03講概率分布應(yīng)用實(shí)例保險(xiǎn)公司為了決定保險(xiǎn)金額數(shù)，估算公司的利潤和破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，需要計(jì)算各種各樣的概率。若根據(jù)壽命表知道，某年齡保險(xiǎn)者，一年中每個(gè)人死亡的概率等于0.005，現(xiàn)有10000個(gè)這類人參加人壽保險(xiǎn)，試求在未來一年中在這些保險(xiǎn)者里：

1.有30人死亡的概率；

2.死亡人數(shù)不超過65人的概率。根據(jù)題意，以X表示死亡人數(shù)第03講概率分布Poisson分布常用于描述單位時(shí)間或單位空間中某罕見事件的發(fā)生數(shù)的隨機(jī)分布規(guī)律，可視為n很大，π很小時(shí)二項(xiàng)分布的極限情形。例如：放射性物質(zhì)每分鐘放射的脈沖數(shù)，每ml水中大腸菌群數(shù)、每1萬個(gè)細(xì)胞中有多少個(gè)發(fā)生突變、某地每天的交通事故數(shù)第03講概率分布

如果某事件的發(fā)生是完全隨機(jī)的，則單位時(shí)間或單位空間內(nèi)，事件發(fā)生0次、l次、2次…的概率為：

X=0，1，2，…

則稱該事件的發(fā)生服從參數(shù)為

的Poisson分布，記為X～P(

)。

=nπ為總體均數(shù)，X為單位時(shí)間或空間內(nèi)某事件的發(fā)生數(shù)，P(X)為事件數(shù)為X時(shí)的概率，e為自然對(duì)數(shù)的底。第03講概率分布Poisson分布的性質(zhì)（一）均數(shù)與方差

Poisson分布的方差

2與均數(shù)

相等，均為

，即：

2=

=

其中參數(shù)

即為總體均數(shù)，表示單位空間或時(shí)間內(nèi)事件平均發(fā)生的次數(shù)，又稱強(qiáng)度參數(shù)。

第03講概率分布Poisson分布的性質(zhì)（二）累計(jì)概率最多為k次的概率：最少為k次的概率：

第03講概率分布

Poisson分布的形狀取決于

的大小。隨著

的增大，分布逐漸趨于對(duì)稱，當(dāng)

=20時(shí)已基本接近對(duì)稱分布，近似正態(tài)分布。Poisson分布的性質(zhì)（三）第03講概率分布

Poisson分布示意圖第03講概率分布可加性以較小的度量單位，觀察某一現(xiàn)象的發(fā)生數(shù)時(shí)，如果它呈Poisson分布，那么把若干個(gè)小單位合并為一個(gè)大單位后，其總計(jì)數(shù)亦呈Poisson分布。Poisson分布的性質(zhì)（四）第03講概率分布Poisson分布的性質(zhì)（五）Poisson分布是二項(xiàng)分布的極限形式

二項(xiàng)分布中，當(dāng)

很小，比如

<0.05，而n很大，二項(xiàng)分布逼近Poisson分布。且：其中

=n

。n愈大，近似程度愈好。如果某些現(xiàn)象的發(fā)生率

甚少，而樣本例數(shù)n甚多時(shí)，二項(xiàng)分布常用Poisson分布來簡(jiǎn)化運(yùn)算。第03講概率分布實(shí)例1

據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，新生兒染色體異常率為1％，試分別用二項(xiàng)分布及Poisson分布原理，求100名新生兒中發(fā)生X例(X=0，l，2…)染色體異常的概率。第03講概率分布第03講概率分布Poisson分布的應(yīng)用條件

事件的發(fā)生是相互獨(dú)立的，事件發(fā)生的概率相等，事件結(jié)果是二分類的(發(fā)生或不發(fā)生)。

第03講概率分布實(shí)例2設(shè)某池塘中，平均每毫升池塘水中有6個(gè)細(xì)菌，試計(jì)算由該池塘中隨機(jī)抽取1ml水中，有4個(gè)細(xì)菌數(shù)的概率。解：由題意知λ＝6，則有第03講概率分布實(shí)例3某市急救中心平均每小時(shí)收到請(qǐng)求急救的呼叫為10個(gè)，試計(jì)算該中心1小時(shí)內(nèi)收到請(qǐng)求急救的呼叫至少5次的概率和至多15次的概率。解：由題意知λ＝10，則有第03講概率分布正態(tài)分布(normaldistribution)又稱Gauss分布（Gaussiandistribution)是一個(gè)重要的連續(xù)型概率分布。

第03講概率分布一、正態(tài)分布的定義

1．分布密度曲線呈對(duì)稱的鐘型曲線2．密度函數(shù)為：3．通常用表示

第03講概率分布二、正態(tài)分布的特征1．正態(tài)曲線橫軸上方均數(shù)處最高2．正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對(duì)稱3．兩個(gè)參數(shù)：μ是位置參數(shù)，σ是變異參數(shù)4．正態(tài)曲線下面積分布有一定的規(guī)律：曲線下總面積等于1，在μ左右的任意個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)面積相同

μ±1.96σ范圍內(nèi)的面積是95%，μ±2.58σ范圍內(nèi)的面積是99%

第03講概率分布第03講概率分布第03講概率分布三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)化變換

X~N(

，2）則第03講概率分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下面積表

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下，u左側(cè)任一區(qū)間的面積可以通過積分求得為了應(yīng)用方便，積分結(jié)果制成表（附表1），通過查表可得到u值左側(cè)的面積。例：u=-2.58,u=-1.96,u=-2時(shí)對(duì)應(yīng)曲線下的面積。第03講概率分布四、正態(tài)曲線下面積（概率）的計(jì)算X~N(0，1）1.X＜0,Φ(X)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表；2.X＞0,Φ(X)＝1－Φ(-X)，；3．(x1,x2)范圍內(nèi)的面積：Φ(X2)－Φ(X1)X~N(μ，σ2）化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表第03講概率分布例5.13由160名7歲男童身高測(cè)量數(shù)據(jù)得均數(shù)為122.6cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4.8cm。已知身高數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。試求：

該地7歲男童身高在119cm~125cm者占該地男孩總數(shù)的百分比.作標(biāo)準(zhǔn)變換：查表得：第03講概率分布五、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的界值

雙側(cè)界值：在右側(cè)及左側(cè)的面積和為α

單側(cè)界值：在右側(cè)或左側(cè)的面積為α單側(cè)雙側(cè)Z0.051.641.96Z0.012.332.58第03講概率分布六、正態(tài)分布的重要性醫(yī)學(xué)研究中的某些觀察指標(biāo)服從或近似服從正態(tài)分布；很多統(tǒng)計(jì)方法是建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)之上的；很多其他分布的極限為正態(tài)分布。因此，正態(tài)分布是統(tǒng)計(jì)分析方法的重要基礎(chǔ)。

第03講概率分布二項(xiàng)分布與正態(tài)分布的關(guān)系第03講概率分布Poisson分布與正態(tài)分布的關(guān)系第03講概率分布七、醫(yī)學(xué)參考值范圍的制定

醫(yī)學(xué)參考值（referencevalue）是指包括絕大多數(shù)“正常人”的人體形態(tài)、機(jī)能和代謝產(chǎn)物等各種生理及生化指標(biāo)常數(shù)，也稱正常值。由于存在個(gè)體差異，生物醫(yī)學(xué)數(shù)據(jù)并非常數(shù)而是在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，故采用醫(yī)學(xué)參考值范圍（medicalreferencerange）作為判定正常和異常的參考標(biāo)準(zhǔn)。習(xí)慣上是確定包括95%的人的界值。第03講概率分布制定步驟：

1、確定“正常人”及足夠的調(diào)查對(duì)象

“正常人”是指排除了影響所研究指標(biāo)的疾病和有關(guān)因素的人。一般認(rèn)為每組100例以上；有人認(rèn)為確定臨床生化指標(biāo)的正常值應(yīng)取300~500例。

2、采用單側(cè)界值還是雙側(cè)界值的問題，這通常依據(jù)醫(yī)學(xué)專業(yè)知識(shí)而定。過大和過小均屬異常：雙側(cè)界值；僅過大或過小為異常：?jiǎn)蝹?cè)界值

第03講概率分布3、百分界限的問題，這通常依據(jù)醫(yī)學(xué)專業(yè)知識(shí)而定。最常用的為95%。4、根據(jù)指標(biāo)的性質(zhì)確定是否要分組，由于有些醫(yī)學(xué)指標(biāo)在不同的人群中有所不同，所以在制定醫(yī)學(xué)參考值范圍時(shí)，應(yīng)先確定該指標(biāo)是否有差異，如有不同，則分組制定。5、依據(jù)資料的分布類型確定計(jì)算醫(yī)學(xué)參考值范圍的方法。正態(tài)法與百分倍數(shù)法

第03講概率分布估計(jì)參考值范圍的界限方法第03講概率分布正態(tài)分布法

雙側(cè)參考值范圍：

單側(cè)參考值范圍：

第03講概率分布百分位數(shù)法

雙側(cè)參考值范圍：

單側(cè)參考值范圍：

第03講概率分布參考值范圍所對(duì)應(yīng)的百分位數(shù)參考值范圍所對(duì)應(yīng)的正態(tài)分布區(qū)間第03講概率分布正常人病人假陽性率假陰性率圖2.9正常人與病人的數(shù)據(jù)分布重疊示意圖

第03講概率分布八、質(zhì)量控制是保證生產(chǎn)產(chǎn)品的工作質(zhì)量的一個(gè)有效措施，已廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和醫(yī)療衛(wèi)生