2025年高考數學總復習：函數模型及其應用

第九節(jié)函數模型及其應用

考試要求：1.在實際情境中，會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規(guī)律.

2.結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一次函數、指數函數增長

速度的差異，理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義.

-------------必備知識落實“四基”-------------

自查自測

知識點指數函數、對數函數、幕函數模型性質比較

1.判斷下列說法的正誤，正確的畫“，錯誤的畫“義”.

⑴某種商品進價為每件100元，按進價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，

則每件還能獲利.(X)

(2)函數丫=2工的函數值比y=r的函數值大.(X)

(3)不存在xo，使談。<X0<logaXo(a>O,aWl).(X)

(4)“指數爆炸”是指數型函數y="+c(aH0,b>0,bWl)增長速度越來越快的形象比

喻.(X)

x

2.已知/(x)=f,g(x)=2,/z(x)=log2x,當xG(4,+8)時，對三個函數的增長速度進行

比較，下列選項中正確的是(B)

A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)

C.g(x)>/z(x)>/(x)D./(x)>/i(尤)>g(x)

核心回扣

三種函數模型的性質

函數

性質

y=ax(a>l)y=logd(a>l)y=xn{n>0)

在(0,+8)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現隨X的增大逐漸表現

圖象的變化隨”值變化各有不同

為與y軸平行為與X軸平行

值的比較存在一個配，當工>沏時，有l(wèi)og/VPV爐.

注意點：

“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；指數增長先慢后快,其增長量成倍增加，常

用“指數爆炸”來形容；對數增長先快后慢,其增長速度緩慢.

核心考點提升“四能”

考點一利用函數的圖象刻畫實際問題

1.（2024?泰安模擬）某工廠從2015年開始，近八年以來生產某種產品的情況是：前四年年產

量的增長速度越來越慢，后四年年產量的增長速度保持不變，則該廠這種產品的年產量y

與時間/的函數圖象可能是（）

B解析：由題意可得圖象的幾何特征為從左向右看每個點的切線斜率應逐漸減小，然后斜

率變?yōu)橐粋€固定的值，符合此特征的只有選項B中的圖象.故選B.

2.已知正方形ABCD的邊長為4,動點P從點B開始沿折線BC-CD-DA向點A運動.設點

產運動的路程為x,的面積為S,則函數S=/（x）的圖象是（）

D解析：依題意，知當0WxW4時，/⑴=2無；當4aW8時，/（尤）=8;當8aW12時，/（x）

=24—2x.觀察四個選項知D項符合要求.

3.（2022?北京卷）在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界

直冷制冰技術，為實現綠色冬奧做出了貢獻.如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與

T和坨尸的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是Mr.下列結論中正確的

是（）

A.當7=220,尸=1026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當7=270,尸=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當7=300,尸=9987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當T=360,P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D解析：當7=220,尸=1026時，lgP>3,此時二氧化碳處于固態(tài)，故A錯誤;

當T=270,尸=128時，2<lgP<3,此時二氧化碳處于液態(tài)，故B錯誤；

當T=300,P=9987時，IgP與4非常接近，此時二氧化碳處于固態(tài)，故C錯誤；

當7=360,P=729時，2<lgP<3,此時二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選D.

A反思感悟

判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的方法

(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象.

(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻

合，從中排除不符合實際的情況，選擇符合實際情況的答案.

考點二已知函數模型解決實際問題

1.某工廠生產某種產品固定成本為2000萬元,并且每生產一單位產品，成本增加10萬元.總

收入K是單位產品數Q的函數，K(0)=4O。一《02,則總利潤工(°)的最大值是萬

兀.

2500解析：由已知，得工(。)=風。)-100—2000=(400—《0)—100—2000=一《(。

—300)2+2500,因為一(V0,所以當。=300時，L(Q)max=2500(萬元).

2.某市家庭煤氣的用氣量x(單位：n?)和煤氣費/(x)(單位：元)滿足關系f(x)=

(C，已知某家庭2024年前三個月的煤氣費如表：

4),x>A.

月份用氣量煤氣費

1月4m34元

2月25m314元

3月35m319元

若4月該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費為元.

11.5解析：根據題意，分析可得/(4)=C=4,/(25)=C+B(25—A)=14,/(35)=C+B(35

?(4,0cxW5,?

-4)=19,解得4=5,8=:C=4,所以/(x)=i,、所以420)=4+1X(20

2(4+/-5),x>5,2

-5)=11.5.

?■反思感悟

已知函數模型解決實際問題的解題關鍵

(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.

(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數.

(3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗.

考點三構造函數模型解決實際問題

考向1指數(對數)函數模型

【例1】(2024.石家莊模擬)當光線入射玻璃時，表現有反射、吸收和透射三種性質.光線透

過玻璃的性質，稱為“透射”，以透光率表示.已知某玻璃的透光率為90%(即光線強度減

弱10%),若光線強度要減弱到原來的?以下，則至少要通過這樣的玻璃的數量是(參考數據：

1g2心0.30,1g3^0477)()

A.30塊B.31塊

C.32塊D.33塊

B解析：設原來的光線強度為a(a>0),則要想通過"塊這樣的玻璃之后的光線強度減弱到

原來的《以下，即aX(90%)"<(a,即0.9”<氐兩邊同時取以10為底的對數，得IgO.9yg5，

化簡得心二=一2(1一32乜-2+2x0.30處304故至少要通過31塊這樣的玻璃，才能使光線

21g3-l21g3-l2x0.477-1

強度減弱到原來的(以下.故選B.

>反思感悟

指數函數與對數函數模型的應用技巧

(I)要先學會合理選擇模型?指數函數模型是增長速度越來越快(底數大于1)的一類函數模型，

與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數函數模型.

⑵在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般先需要通過待定系數法確定函數解析式，

再借助函數的圖象和性質求解最值問題.

考向2二次函數、分段函數模型

【例2】民族要復興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產業(yè)振興，農民專業(yè)合作社已成為新型

農業(yè)經營主體和現代農業(yè)建設的中堅力量，為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略做出了巨大的貢獻.某農民

專業(yè)合作社為某品牌服裝進行代加工，已知代加工該品牌服裝每年需投入固定成本30萬元，

-x2+2x,0cxW10,

每代加工X萬件該品牌的服裝，需另投入了(無)萬元，且/(尤)=表根

14x+--115,10<xW50.

IX

據市場行情，該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝每代加工一件服裝，可獲得12元的代加工

費.

(1)求該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工所獲年利潤M單位：萬元)關于年代加工量

x(單位：萬件)的函數解析式.

(2)當年代加工量為多少萬件時，該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工費的年利潤最大？

并求出年利潤的最大值.

解：⑴當0<xW10時，y=12x—0￡+2x)—30=—*+10x—30;

當10<xW50時，j=12x-(14x+^-115)-30=-2x-^+85.

一!E+lOx—30,0<xW10,

故-450-

~2x-.......F85,10VxW50.

IX

(2)當0<xW10時，函數y=—*+10龍一30為開口向下的二次函數，且對稱軸為直線x=10,

所以y=-￥+10x—30在（0,10]上單調遞增，

故ymax=一；義102+10X10—30=20（萬元）.

當10<xW50時，y=—2x—?+85=85—（2x+?）W85—2^2x—=25,

當且僅當2x=苦，即X=15時，等號成立，此時ymax=25（萬元）.

因為20<25,所以當年代加工量為15萬件時，該農民專業(yè)合作社為這一品牌服裝代加工所

獲年利潤最大，最大值為25萬元.

A反思感悟

應用函數解決實際問題的步驟

①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇函數模型.

②建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相

應的函數模型.

③解模：求解函數模型，得出數學結論.

④還原：將數學結論還原為實際意義的問題.

多維訓練

???---------------------------------■

1.（2024.廣東一模）假設甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”

都在前一天的基礎上進步2%,而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎上退步1%.

那么，大約需要經過（）天，甲的“日能力值”是乙的20倍.（參考數據：館102-2.008

6,1g99?=1.9956,lg2?0.3010）（B）

A.23B.100

C.150D.232

2.某工廠生產某種零件的固定成本為20000元，每生產一個零件要增加投入100元，已知

1

400%--X2,0Wx<400,

總收入。（單位：元）與產量%（單位：個）滿足函數。（X）=12

80000,x>400.

⑴將利潤尸（單位：元）表示為產量x的函數（總收入=總成本+利潤）.

⑵當產量為何值時，零件的單位利潤最大？最大單位利潤是多少元（單位利潤=利潤:產量）?

解：（1）當0WxW400時，P（x）=400x-^-20000-100%=-^+300^-20000;

當x>400時，P（x）=80000-100x-20000=60000-100x.

-ix2+300x-20000,0WxW400,

故P（x）=[2

60000—lOOx,x>400.

（一.一出四+300,0<x<400,

（2）設零件的單位利潤為g@）,由（1）可得g（x）={60短）'

-------100,x>400.

當0WxW400時，g（x）=300—《x+等）W300—2.等=100,

當且僅當工=出絲，即x=200時，等號成立；

2x

當x>400時，g（x）=絲詈-100<50.

故當產量為200個時，零件的單位利潤最大，最大單位利潤是100元.

課時質量評價（十四）

?？键c鞏固

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

1.（2024.棗莊模擬）某種動物繁殖量y（單位：只）與時間x（單位：年）的關系為〉=41（電3@+1）,

設這種動物第2年有100只，到第8年它們將發(fā)展到（）

A.200只B.300只

C.400只D.500只

A解析：由題意，繁殖量y與時間尤的關系為y=alog3（x+l）.又這種動物第2年有100

只，即當x=2時，>=100,所以100=alog3（2+l）,解得。=100,故y=1001og3（尤+1）.所

以當x=8時，y=100Xlog3（8+l）=100X2=200.故選A.

2.如圖所示，液體從一個圓錐形漏斗漏入一個圓柱形桶中，開始時漏斗中盛滿液體，經過

3秒漏完，圓柱形桶中液面上升速度是一個常量，則漏斗中液面下降的高度H與下降時間r

之間的函數關系的圖象只可能是（）

B解析：由于所給的圓錐形漏斗上口徑大于下口徑，當時間取夕時，漏斗中液面下降的高

度不會達到漏斗高度的;，對比四個選項的圖象可得結果.故選B.

3.《中華人民共和國個人所得稅法》規(guī)定，公民全月工資、薪金所得不超過5000元的部分

不必納稅，超過5000元的部分為全月應納稅所得額，此項稅款按下表分段累計計算：

全月應納稅所得額稅率

不超過3000元的部分3%

超過3000元至12000元的部分10%

超過12000元至25000元的部分20%

有一職工八月份收入20000元，該職工八月份應繳納個稅為（）

A.2000元B.1500元

C.990元D.1590元

D解析：由題意，職工八月份收入為20000元，其中納稅部分為20000—5000=15000（元），

其中不超過3000元的部分，納稅額為3000X3%=90（元），超過3000元至12000元的部

分，納稅額為9000義10%=900（元），超過12000元至25000元的部分，納稅額為3000X20%

=600（元），所以該職工八月份應繳納個稅為90+900+600=1590（元）.故選D.

4.（新情境）北京時間2023年10月26日，神舟十七號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功.神舟十

七號是我國載人航天工程進入空間站應用與發(fā)展階段的第二次載人飛行任務.載人飛船進入

太空需要搭載運載火箭，火箭在發(fā)射時會產生巨大的噪聲，用聲壓級來度量聲音的強弱，定

義聲壓級4=20Xlg乙，其中大于0的常數po是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.聲壓級的單

P0

位為分貝32）,聲壓的單位為帕（Rz）.若人正常說話的聲壓約為0.02尸歷且火箭發(fā)射時的聲

壓級比人正常說話時的聲壓級約大100匹，則火箭發(fā)射時的聲壓約為（）

A.2PaB.20Pa

C.200PtzD.2000Pa

D解析：設人正常說話時的聲壓級為￡“，火箭發(fā)射時的聲壓級為乙，則乙-乙=100.又人

正常說話的聲壓pi=0.02Rz,火箭發(fā)射時的聲壓為p2,于是G=20xlg—,L}=20Xlg^,

120P2Po

兩式相減得20（館及一30.02）=100,解得p2=2000,所以火箭發(fā)射時的聲壓約為2000R?.

故選D.

5.某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇，開發(fā)生產一智能產品，該產品每年的

固定成本是25萬元，每生產x萬件該產品，需另投入成本co（x）萬元，C9（x）=

x2+10x,0<xW40,

10000..若該公司一年內生產的該產品全部售完，每件的售價為70元，則

7\x-\..........-945,x>40.

該企業(yè)每年利潤的最大值為（）

A.720萬元B.800萬元

C.875萬元D.900萬元

（70x-（x2+10x+25）,0<xW40,

C解析：由題意，設該企業(yè)每年利潤為了（無）=Z000\當

70x-（7lx10+-945+25）,x>40.

0<xW40時，/（x）=—r+GOx—25=—（x—30尸+875,在x=30時，/（x）取得最大值875;當

尤>40時，/（x）=920—（x+呼，W920—2Jx?竺詈=720（當且僅當x=100時等號成立）,即在

尤=100時,/（x）取得最大值720.因為875>720,所以該企業(yè)每年利潤的最大值為875萬元.故

選C.

6.如圖所示，學校要建造一面靠墻（墻足夠長）的2個面積相同的矩形花圃，如果可供建造

圍墻的材料總長是60要所建造的每個花圃的面積最大，則寬x應為m.

X

10解析：設每個花圃的面積為y,則產x?絲9=一I￡+30x=-|（X-10）2+150（0<X<20）,

所以當x=10時，y最大.

。高考培優(yōu)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C

7.（2024?深圳模擬）某生物研究所于元旦在實驗水域中放入一些鳳眼蓮，這些鳳眼蓮在水中

的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為24根2,三月底測得鳳眼蓮覆蓋面積為

36加2,鳳眼蓮覆蓋面積y（單位：療）與月份》的關系有兩個函數模型>=阮”左>0,”>1）與y

1

=px2+q（p>0f4>0）可供選擇.

⑴試判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的解析式；

⑵求鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入面積10倍以上的最小月份.（參考數據：1g2處0.3010,1g

3七0.4771）

1

解：⑴函數y=fa/（fc>0,〃>1）與y=px，+如>0,9>0）在（0,+8）上都是單調遞增的，

隨著x的增加，函數>=%戶（左>0,。>1）的值增長的越來越快，

1

而函數y=px2-\-q的值增長的越來越慢，

由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，因此選擇模型y