2024年人教版高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)：空間向量及其運(yùn)算

2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019必修第二冊(cè)）

預(yù)習(xí)01講空間向量及其運(yùn)算（精講+精練）

題型目錄一覽

①空間向量的線性運(yùn)算

南前僵共線前判斷與應(yīng)用

⑨^面向呈的^定與應(yīng)用

④Sr麗僵的數(shù)量積運(yùn)算IBS積、4角、模長'投影向量）

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、空間向量及其加減運(yùn)算

（1）空間向量

在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模.空間向量也可用有

向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量Z的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量Z也可以記作通,

其模記為問或畫.

（2）零向量與單位向量

規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作0.當(dāng)有向線段的起點(diǎn)A與終點(diǎn)3重合時(shí)，AB=O.

模為1的向量稱為單位向量.

（3）相等向量與相反向量

方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.

空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一個(gè)平面，成為同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量.

與向量Z長度相等而方向相反的向量，稱為￡的相反向量，記為-Z.

（4）空間向量的加法和減法運(yùn)算

@OC=OA+OB=a+b>BA=OA—OB=a—b.如圖所示.

KHC

②空間向量的加法運(yùn)算滿足交換律及結(jié)合律

a+b=b+a,（a+b^+c=a+{b+c\

二、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

（1）數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)彳與空間向量Z的乘積稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算.當(dāng)x>o時(shí)，與向量Z方向相同；當(dāng)x<o時(shí)，向量

比與向量￡方向相反.冊(cè)的長度是￡的長度的囚倍.

（2）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律：彳（￡+石）=痛+4,彳"）=（初）￡.

（3）共線向量與平行向量

如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，日平行于

b,記作al1b.

（4）共線向量定理：對(duì)空間中任意兩個(gè)向量2,b（5#0）,2/店的充要條件是存在實(shí)數(shù)X,使2=笳.

（5）直線的方向向量

/為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量日的直線.對(duì)空間任意一點(diǎn)O,點(diǎn)尸在直線/上的充要條件是存在

實(shí)數(shù)使?fàn)t=反+正①，其中向量￡叫做直線/的方向向量，在/上取通=￡,則式①可化為

赤=①+^W=函+^^-呵=（l-^）次+^礪②

①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)f=g，即點(diǎn)尸是線段鉆的中點(diǎn)時(shí)，OP=^OA+OB）,此式叫

做線段AB的中點(diǎn)公式.

（6）共面向量

如圖8154所示，已知平面a與向量Z,作次=￡,如果直線。4平行于平面a或在平面a內(nèi)，則說明向量Z

平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

oA

如果兩個(gè)向量鼠B不共線，那么向量,與向量入B共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）,使

推論：①空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）,使麗=無荏+丫而；或?qū)臻g

任意一點(diǎn)O,有歷=正，該式稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式.

②已知空間任意一點(diǎn)。和不共線的三點(diǎn)A,B,C,滿足向量關(guān)系式存=xE+y而+z五（其中

x+y+z=l）的點(diǎn)尸與點(diǎn)A,B,C共面；反之也成立.

三、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

（1）兩向量夾角

已知兩個(gè)非零向量b,在空間任取一點(diǎn)O,作況=￡,OB=b,則/AOB叫做向量Z,B的夾角，記作

,通常規(guī)定044萬，如果那么向量a,5互相垂直，記作

（2）數(shù)量積定義

已知兩個(gè)非零向量a,b,則叫做a,B的數(shù)量積，記作即4?石=忖忸卜0$（“石）.零向量

與任何向量的數(shù)量積為0,特別地，a-a=\a^.

（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：

（彳=a-b=b-a（交換律）；

a-（b+cj-a-b+a-c（分配律）.

二、題型分類精講精練

①空間向量的線性運(yùn)算

多策略方法用基向量表示指定向量的方法

（1）結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.

（2）將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.

（3）利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.

【題型精練】

一、單選題

1.（2324高二上?河南南陽,階段練習(xí)）求（2+2B—3c）+3x（§萬—+—（萬一25+c）為（）

3--5-

A.2QH—h—2cB.2。H—h2c

22

5f—3--

C.2〃—b—2cD.2a—b—2c

22

【答案】B

【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算以及加減運(yùn)算的性質(zhì)，求解即可得出答案.

2一1一一_2一一5-一

【原—<2+3x—a—a+2b—3x—b+2b—3c+3x—c—c=2aH—b—2c.

3232

故選：B.

2.（2223高二下?全國?單元測試）若A8,C,。為空間不同的四點(diǎn)，則下列各式不一定為零向量的是（）

A.~AB+2BC+2CD+DC

B.2AB+2.BC+3CD+3DA+AC

C.AB+DA+BD

D.AB-CB+CD-AD

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A,AB+2BC+2W+DC=（AB+BC）+（BC+O5）+（CD+DC）=AC+BD.

對(duì)于B,2AB+2BC+3CD+3ZM+AC=2（AB+BC）+3（CD+DA）+AC=3AC+3C4=6；

對(duì)于C,AB+DA+BD=I）A+AB+W=DB+BD=6t

對(duì)于D,AB-CB+CD-AD=（AB-AD）+（CD-CB）=DB+BD=O.

故選；A.

3.（2324高二下?北京?開學(xué)考試）已知平行六面體ABCD-AB'C'D,則下列四式中錯(cuò)誤的是（）

A.AB-CB=AC

B.AC=AB+BrC+CC

C,方=劉

D.AB+BB,+BC+CC=AC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)及空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】對(duì)于A：AB-CB=AB+BC=AC,故A正確；

對(duì)于B：因?yàn)樘嫣?，所以?宙+*=通+和+質(zhì)=效"故B正確；

對(duì)于C：A^=CC!,故C正確；

對(duì)于D：因?yàn)辂?反"所以荏+而5+就+氏=（通+前）+（兩-可）=正，

故D錯(cuò)誤.

故選：D

4.（2324高二下?河南?階段練習(xí)）在四面體ABCD中，E為棱BC的中點(diǎn)，則9-g（歷+比）=（）

A.-AEB.-ABC.AED.AB

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

［詳解］DA-^{DB+DC）=DA-^（2DE）=DA-DE=EA=-AE,

故選:A

5.（2324高二上?河北?階段練習(xí)）在四面體。LBC中，OA=a,OB=b,OC=c,兩=4癥（彳＞0）,N為

___.3-1-1-

BC的中點(diǎn)，^MN=-a+-b+-c,貝IJ4=（）

422

A.-B.3C.gD.2

32

【答案】B

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得解.

o

___k1

因?yàn)閮伞?/1甌彳，N為BC的中點(diǎn)，所以西=丁］況，

2+1

.-.1—.1-.

又因?yàn)镺N=—OB+—OC,

22

___.__.___.1__.1__■2-?2_1_1_

所以MN=ON—OM=-OB—OC-----OA=-----a+-b+-c

222+12+1229

___.3—1一1一23

又MN=—1€1+3b+^c,所以-一■-,解得：A=3.

?乙乙/LI-LI

故選：B.

②空間向量共線的判斷與應(yīng)用

畬策略方法證明三點(diǎn)共線

三點(diǎn)(P,A,3)共線

同=7協(xié)且同過點(diǎn)P

對(duì)空間任一點(diǎn)。，0P=0k+tAB

對(duì)空間任一點(diǎn)。，0p=x0\+(l-x)0b

【題型精練】

一、單選題

1.(2223高二上?云南臨滄?階段練習(xí))若｛萬,瓦耳構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是()

A.b+2c,b,b-2cB.a,a+2b,a-lb

C.a+b,a-b,cD.a+b,a+b+c,c

【答案】C

【分析】由共面向量基本定理進(jìn)行運(yùn)算檢驗(yàn)選項(xiàng)，排除法可得結(jié)果.

【詳解】對(duì)于A,^=1(fe+2c)+1(&-2c),所以B+2乙5石-2c三個(gè)向量共面，排除；

對(duì)于B,a=—^a+2b^+—^a—2b^,所以。，方+2Z?,]-2。三個(gè)向量共面，排除；

對(duì)于D,a+b+c=+b^+c,所以三個(gè)向量共面，排除.

故選：C.

2.(2324高二下?江蘇?階段練習(xí))已知向量不共面，貝。使向量比=21-瓦萬=5+^,p=歷+55+3不共面

的實(shí)數(shù)x的值是()

A.-4B.-3C.-2D.4

【答案】A

【分析】利用向量共面得到線性表示，再化簡求值即可.

【詳解】因?yàn)榧?，萬共面，所以存在實(shí)數(shù)SJ,使得

2s=x

p=sm+tn=s(2a-b)+t(b+c)=Isa+(t-s)b+tc=xa+5b+3^,所以一s+f=5,解得t=3,s=-2,x=-4.

t=3

故選：A.

3.(2324高二上?北京?期中)已知蘇，初是空間兩個(gè)不共線的向量，MC^5MA-3MB，那么必有()

A.加，碇共線B.標(biāo)，就:共線

C.加，法瓦碇共面D.蘇，麗，碇不共面

【答案】C

【分析】利用空間向量的共線定理與共面定理.

【詳解】若加，碇共線，貝!]碇=4庇(/leR),

又碇=5福一3礪n/l加=5祝-3礪=＞也圓麗5=詼，則加，磁共線，

3

與條件矛盾，故A錯(cuò)誤；

同理若荻，碇共線，則旗=幾礪(XeR),

又碇=5加一3礪旃=5兩-3麗=＞在(^礪=兩，則蘇，雨共線，

與條件矛盾，故B錯(cuò)誤；

根據(jù)空間向量的共面定理可知而，礪，碇共面，即C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C

—.1—.1—.—.

4.（2324高二下.江蘇泰州.階段練習(xí)）。為空間任意一點(diǎn)，^AP=--OA+-OB+tOC,若A,B,C,P

48

四點(diǎn)共面，則/=（）

A.1B.—C.—D.一

884

【答案】C

—.1—.1-.-*—.3—?1—?—?31

【分析】將釬=一7。4+;;。5+/。?；啚椋骸Ｊ?7。4+7；。8+/。。，利用四點(diǎn)共面定理可得:+3+/=1,

484848

即可求解.

【詳解】因?yàn)榉?存—況，所以福=_］函+1礪+f玄，可化簡為：OP-OA^-\OA+^OB+tOC,

4848

—-3—>1—?—?

OP=-OA+-OB+tOC,

48

311

由于A,B,C,尸四點(diǎn)共面，貝（j：+g+f=l,解得：f=g;

488

故選：C

____0___,1___,

5.（2324高二上?湖北省直轄縣級(jí)單位?期中）若空間四點(diǎn)。鉆尸滿足屈=§函+§萌，則（）

A.Pe直線

B.Pe直線

C.點(diǎn)P可能在直線4B上，也可能不在直線上

D.Pe直線AB,S.AP=PB

【答案】A

【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面、三點(diǎn)共線的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】由于OPqOA+^OB,所以0,A氏尸四點(diǎn)共面，

21

由于］+§=1,所以API三點(diǎn)共線，

根據(jù)平行四邊形法則可知：尸是線段AB上，靠近A的三等分點(diǎn)（如下圖所示）.

所以A選項(xiàng)正確，BCD選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：A

BPA

③共面向量的判定與應(yīng)用

畬策略方法證明空間四點(diǎn)共面

空間四點(diǎn)（M,P,A,3）共面

M^=xM^+yM^

對(duì)空間任一點(diǎn)。，Op=Ok+xMX+yM^

對(duì)空間任一點(diǎn)。，3力=%品+＞次+（1—龍一y）彷

【題型精練】

一、單選題

1.（2324高二上.河北邯鄲?期末）已知兀歹了是不共面的空間向量，若乃=3兄-29-45與互=。W+1）無+8歹+應(yīng)

（外〃是實(shí)數(shù)）是平行向量，則〃?+〃的值為（）

A.16B.13C.3D.3

【答案】C

【分析】根據(jù)萬〃心結(jié)合4=力萬，列出方程組，求解即可.

【詳解】因?yàn)闊o，叉三是不共面的空間向量且力〃

m+1=32

故q=2），則＜8=-22,

n=—42

解得根=一13,〃=16,所以根+〃=3.

故選：C.

2.（2324高二上?遼寧?期中）設(shè)向量生4/不共面，已知AB=—34—62+263,BC=q+4e2—6e3，

C力=41+茗+8可，若ACQ三點(diǎn)共線，則4=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】把A、C、D三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為滿足麗=＞正，列方程組，求出力即可.

【詳解】因?yàn)锳S=-3q-e,+2e§,3C=q+-6,,CD=4q+2e,+8e§,

所以=荏+反＞=—21+(4_1)1_4晟，

因?yàn)锳C。三點(diǎn)共線，所以存在唯一的y,使得詼=,正,

即4,+2^+8q=/2q+（%-1）4-46），

（4=-2y,

/、A=0

即2=y（4—1）,解得：

V=-2

8=-4,〔'

故選：A.

3.（2324高二上.河南洛陽?階段練習(xí)）在四面體ABGD中，點(diǎn)E滿足方￡=%反，尸為5E的中點(diǎn)，且

—.1—.1—.1—.

Ab=-A5+—AC+—AD則實(shí)數(shù)2二（）

236

A.-B.-C.；D.-

4323

【答案】D

【分析】由空間向量線性和基本定理運(yùn)算可解.

【詳解】由F為BE的中點(diǎn)，得AF^AB+\AE,

22

—?1—.1—?1—,

XAF=-AB+-AC+-AD,

236

—.2—.1—.

^\＞kAE=-AC+-AD,由DE^ADC,

得AE-AD=A,[AC-AD）,

即屈=4衣+（1_彳）正所以2=-.

故選：D

二、填空題

4.(2223高二下?江蘇?課后作業(yè))若空間非零向量?不共線，則使2痣-1與-+2(K+:＜共線的左的值

為.

【答案】一）/-0-5

【分析】根據(jù)空間共線向量可得2碼-。猛+2/a+1）動(dòng)，建立方程組，解之即可求解.

【詳解】由題意知，存在實(shí)數(shù)為使得2運(yùn)-小編+2a+1西=襦+24%+1）而，

即解得，i.

2X（k+1n）=—1k=——

I2

故答案為：--

5.（2324高二上.上海裸后作業(yè)）設(shè)%高是空間兩個(gè)不共線的非零向量，已知初=21+左或配=錄+3可，

反=21—晟，且A民。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)％的值為.

【答案】-8

【分析】根據(jù)題意，化簡得至！J麗=-,+4",由Aa。三點(diǎn)共線，可設(shè)市=4加，利用空間向量共線的

充要條件，列出方程，即可求解.

【詳解】因?yàn)榕?冢+3/，反=24兄,

BD=BC+CD—+34）-Re1-4）=—%+，

又因?yàn)锳SD二點(diǎn)共線，可設(shè)AB=/15Z）,即2q+左4="―%+4.），

一一f2=-2

因?yàn)?2不共線，可得7.解得左=-8,

［左=4Z

所以實(shí)數(shù)左的值為-8.

故答案為：-8.

④空間向量的數(shù)量積運(yùn)算（數(shù)量積、—夾角上模長、—投影向量）

畬策略方法空間向量數(shù)量積的應(yīng)用

設(shè)向量明力所成的角為0,則cos0

求夾角一高，，進(jìn)而可求兩異面直線所成的角

求長度運(yùn)用公式Ial2可使線段長度的計(jì)算

（距離）問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題

解決垂利用a1boa?b=0(aW0W0),可將垂

直問題：直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問題

【題型精練】

一、單選題

1.（2324高二上?廣東茂名.期末）如圖，正方體ABCD-ABCQ的棱長為1,設(shè)血石，而=人A\=c,

則(a+B).(B-c)=()

D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合空間向量的數(shù)量積分析求解.

【詳解】由題意可知：同=忖=同=1,無5=51=無不=。,

^]^（d.+b^-{b-^=a-b-a-S+b2-b-c=1.

故選：A.

2.（2324高二下.江蘇.課前預(yù)習(xí)）已知￡=3萬-2,石=萬+7,7力是相互垂直的單位向量，則（）

A.1B.2

C.3D.4

【答案】A

【分析】

根據(jù)空間向量數(shù)量積公式計(jì)算出答案.

【詳解】

萬,q是相互垂直的單位向量，故7?I=0,|萬卜忖=1,

故a?石=（3p_2q）（p+q）=3/2+p-q—T.q=3+0-2=l.

故選：A

3.（2324高二下?上海?階段練習(xí)）由四個(gè)棱長為1的正方體組合成的正四棱柱ABCD-ABCIA（如圖所示）,

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求解.

【詳解】由正四棱柱性質(zhì)可知，向量Q在硒上的投影向量為福，

由數(shù)量積的幾何意義可知，M-^=|M|2=I.

故選:A

4.（2324高二上?江西萍鄉(xiāng)?期末）已知Z,b,"是空間中兩兩垂直的單位向量，則|32+5-2[=（）

A.V14B.14C.V2D.2

【答案】A

【分析】利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.

【詳解】依題意得，同=忖=同=1,ab=ac=ib=0;

所以桓+B=不（3&+B-2a=\j9a2+b2+4c2+6a-b-12a-c—4b-c=J9+1+4=A/14,

故選：A.

5.（2324高二上.寧夏銀川?階段練習(xí)）已知同=4,空間向量3為單位向量，｛a,e）=~~,則空間向量a在向

量。方向上的投影向量的模長為（）

A.2B.—2C.—D.—

22

【答案】A

a-e

【分析】由空間向量M在向量2方向上的投影數(shù)量為可，運(yùn)算即可得解.

D

【詳解】由題意，同=4,同=1,〈“〉=三1r,

則空間向量H在向量/方向上的投影數(shù)量為展巨」砧同cos5jj2.

同同I2）

所以所求投影向量的模長為2.

故選：A

6.（2324高二上?陜西寶雞?期中）在空間四邊形O4SC中，OB=OC,ZAOB^ZAOC,則cos（次，前）的

值為（）

A.；B.走C.--D.0

222

【答案】D

【分析】先利用題給條件求得前的值，進(jìn)而求得cos（函，前）的值.

【詳解】如圖所示，

\-C^BC=OA（UC-OB）=OAOC-OAOB

=|OA|-|OC|-COSZAOC一|網(wǎng)?I/?cos/AOB,

又OB=OC,ZAOB^ZAOC,

貝！|網(wǎng)?|0C|-cos^AOC一網(wǎng)?畫?cos/403=0

：.OA±BC，：.{OA,BC