函數(shù)及其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（新高考）

第01講函數(shù)及其性質(zhì)

（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）

（12類核心考點(diǎn)精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

求函數(shù)值

2024年新I卷，第8題,5分比較函數(shù)值的大小關(guān)系

抽象函數(shù)的關(guān)系

函數(shù)奇偶性的定義與判斷根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

2024年新II卷，第6題,5分

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用求余弦（型）函數(shù)的奇偶性

函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用

2024年新H卷，第11題,6分函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)

判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間

2023年新I卷，第4題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

2023年新I卷，第11題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)極值點(diǎn)的辨析

2023年新II卷，第4題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用奇偶性求參數(shù)

抽象函數(shù)的奇偶性

2022年新I卷，第12題,5分函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系

函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用

2022年新H卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值

2021年新I卷，第13題,5分由奇偶性求參數(shù)無(wú)

2021年新II卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的周期性的定義與求解

2021年新II卷，第14題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

2020年新I卷，第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2020年新II卷，第7題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性

2020年新H卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等偏難，分值為5-6分

【備考策略】1.會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法

2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實(shí)際意義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的最值

3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問(wèn)題

4.了解奇偶性的概念和意義，會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性

5.T解周期性的概念和意義.會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性解決問(wèn)題

6.能綜合運(yùn)用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等解決相關(guān)問(wèn)題.

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會(huì)以抽象函數(shù)作為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、

周期性及對(duì)稱性，是新高考一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.

知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性

知識(shí)點(diǎn)2單調(diào)性的常見運(yùn)算

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的奇偶性

知識(shí)點(diǎn)4函數(shù)的周期性

核心知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)5函數(shù)的對(duì)稱性

知識(shí)點(diǎn)6周期性對(duì)稱性綜合問(wèn)題

知識(shí)點(diǎn)7奇偶性對(duì)稱性綜合問(wèn)題

考點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性

考點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性（含分段函數(shù)）求參數(shù)值

考點(diǎn)3根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

考點(diǎn)4根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關(guān)系

考點(diǎn)5根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值

考點(diǎn)6抽象函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用

核心考點(diǎn)考點(diǎn)7函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)8函數(shù)對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)9周期性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)1。周期性奇偶性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)11奇偶性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)12函數(shù)性質(zhì)的全部綜合應(yīng)用

知識(shí)講解

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值

定義

當(dāng)水網(wǎng)時(shí),都有/（%）W,那么就說(shuō)函數(shù)/（X）當(dāng)看＜不時(shí)，都有那么就說(shuō)函數(shù)

在區(qū)間。上是增函數(shù)/（X）在區(qū)間。上是減函數(shù)

,y=y（x）

圖象描7%|）：於2）

―~X

述~~%.—x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

（2）單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)v=f（無(wú)）在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=/（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性,

區(qū)間。叫做v=/G）的單調(diào)區(qū)間.

（3）函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)“滿足

（1）對(duì)于任意的xe/,都有/（x）WM；（3）對(duì)于任意的xe/,都有/（x）NM；

條件

（2）存在x°e/,使得/（x0）=w（4）存在使得/a）=〃?

結(jié)論M為最大值M為最小值

2.單調(diào)性的常見運(yùn)算

（1）單調(diào)性的運(yùn)算

①增函數(shù)（/）+增函數(shù)（/）=增函數(shù)/②減函數(shù)（\）+減函數(shù)（、）=減函數(shù)、

③/（X）為/,則-/（X）為、，一--為、④增函數(shù)（/）-減函數(shù)（'）=增函數(shù)/

/（X）

⑤減函數(shù)（\）—增函數(shù)（/）=減函數(shù)'⑥增函數(shù)（/）+減函數(shù)（\）=未知（導(dǎo)數(shù)）

（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)/'（X）=〃（g（x））,設(shè)M=g（x）,叫做內(nèi)函數(shù)，貝獷（X）=〃（瓦）叫做外函數(shù)，

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)T

內(nèi)函數(shù)外函數(shù)復(fù)合函數(shù)T任八閂+的日什

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)「結(jié)論：同增升減

內(nèi)函數(shù)外函數(shù)復(fù)合函數(shù)J

3.奇偶性

①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(大前提)

②奇偶性的定義：

奇函數(shù)：/(—x)=—/(x),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

偶函數(shù)：/(-%)=/(%),圖象關(guān)于了軸對(duì)稱

③奇偶性的運(yùn)算

/(7)g(z)/(])+g(z)/(J7)—g(N)f(jcygCx)

偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)

偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)偶函數(shù)

奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

4.周期性(差為常數(shù)有周期)

①若/(x+a)=f(x),則/(x)的周期為：T=\a\

②若/(x+a)=/(x+b),則/(x)的周期為：T=\a-b\

③若/(x+a)=—/(X),則/(x)的周期為：T=\2a\(周期擴(kuò)倍問(wèn)題)

④若/(x+a)=土一只，則/(x)的周期為：T=\2a\(周期擴(kuò)倍問(wèn)題)

5.對(duì)稱性(和為常數(shù)有對(duì)稱軸)

軸對(duì)稱

①若/(X+。)=/(-x),則/(X)的對(duì)稱軸為x=|

②若/(x+a)=f(-x+b),則/(x)的對(duì)稱軸為x=，

點(diǎn)對(duì)稱

①若/(x+a)=—/(—》)，則/(x)的對(duì)稱中心為

②若f(x+a)+f(-x+b)=c,則/(x)的對(duì)稱中心為(空白

6.周期性對(duì)稱性綜合問(wèn)題

①若/(a+x)=/(a-x),f(b+x)=f(b-x),其中awb,則/(x)的周期為：T=2|a-Z)|

②若/(a+x)=—/(a—x),f(b+x)=-f(p-x),其中awb,則/(x)的周期為：

T=2\a-b\

③若/(a+x)=/(a—x),f[b+x)=-f(b-x),其中awb,則/(x)的周期為：

T=4\a-b\

7.奇偶性對(duì)稱性綜合問(wèn)題

①已知/（x）為偶函數(shù)，/（x+a）為奇函數(shù)，則/（x）的周期為：7=4時(shí)

②已知/（x）為奇函數(shù)，/（x+a）為偶函數(shù)，則/（x）的周期為：T=4|a|

考點(diǎn)一、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性

典例引領(lǐng)

1.（2021?全國(guó)?高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

2

A.f[x)=-xB./(x)=f|jC./(x)=xD.f(x)=&

2.（2024?山西晉中?三模）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A./(x)=2klB.f(x)=x3

C.〃x)=：-xD-",L、gI)lux,xx>0,<0

L（2024?全國(guó)?一模）下列函數(shù)中在區(qū)間（0,+℃）上單調(diào)遞減的是（）

A.>=cosxB.y=2HC.y=x-2D.y=x2-l

2.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增的是（）

21

3

A.f（x\=x~3B./（x）=tanxC.f（x）=x——D./（x）=lnx

考點(diǎn)二、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性（含分段函數(shù)）求參數(shù)值

典例片闞

1.（2023?全國(guó)考真題）設(shè)函數(shù)/（x）=2*3"）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是（）

A.B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

—X2—2ax—a^x<0

2.（2024,全國(guó)考真題）已知函數(shù)〃x）=e-2。在R上單調(diào)遞增,則0的取值范圍是（）

A.(-°o,0]B.[-1,0]c.[-1,1]D.[0,+co)

即時(shí)建

1.（2024?黑龍江大慶,模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（幻=/（1）在（2,3）上單調(diào)遞減,則f的取值范圍是（）

A.[6,+oo)B.一叫6]

C.(-叫4]D.[4,+oo)

logax,x>l

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)/（x）=（a>0且。21）在定義域內(nèi)是增函

—x2+2(a-l)x+a—6,x<1

數(shù)，貝心的取值范圍是（）

A.(2,3)B.(2,+oo)C.[2,3]D.(1,4)

考點(diǎn)三、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式

典例引領(lǐng)

L（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)“X）在R上單調(diào)遞增，且〃2）=1,則不等式〃尤）+1<0的解集為

)

A.(T1)B.(-2,2)C.(-2,+oo)D.(-℃,-2)

2.（2020?山東?高考真題）若定義在R的奇函數(shù)/（x）在（-8,0）單調(diào)遞減，且/（2）=0,則滿足的x

的取值范圍是（）

A.[-l,l]U[3,+<?)B.[-3,-l]U[0,l]

C.[TO]"1,+到D.[-l,0]u[l,3]

3.（2024?四川南充?二模）設(shè)函數(shù)〃x)=sinx+e'-eT_x+3,則滿足〃x)+/(3-2x)<6的x的取值范圍是

A.(-8,1)B.(1,+co)C.(3,+oo)D.(-8,3)

1.(2024?湖北武漢?二模)己知函數(shù)/(無(wú))=x|x|,則關(guān)于x的不等式〃2x)>〃l-x)的解集為()

A.B.卜。C.[JD."J

2.(2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(》)=,-3],則不等式〃2》-1)-/3>0的解集為()

A.[一.§)。(1,+8)B.1c.UD.(1>+=°)

3.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(力=32-32,則滿足/(x)+〃8-3x)>0的x的取值范圍是()

A.(-oo,4)B.(-oo,2)C.(2,+oo)D.(-2,2)

考點(diǎn)四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關(guān)系

典例引領(lǐng)

L(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,7(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)％<3時(shí)國(guó)%)=%,

則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

2.(2023?全國(guó)?|Wj考真題))

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

3.(2024?寧夏銀川?二模)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)滿足/(%+2)為偶函數(shù)，且當(dāng)玉<2時(shí),

[/(%)-/6)](%-石)>。恒成立,若"/⑴，Z)=/(lnlO),c=/(3；”則b,。的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

即時(shí)檢測(cè)

■_________

1.(2024?遼寧丹東?二模)已知函數(shù)/'(x)=x3-X,a=f-g,h=/(log23),c=貝ij()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b

記°=一;］，6=/（3?s）,c=/，og5；；則（

2.（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（》）=-

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

3.（2024?寧夏石嘴山?三模）若定義在R上的偶函數(shù)/（x）在［。,+功上單調(diào)遞增，則/

的大小關(guān)系為（）

考點(diǎn)五、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值

典例引領(lǐng)

1.（2023?全國(guó)?高考真題）已知/（x）=l］是偶函數(shù)，則。=（）

-1

A.-2B.-1C.1D.2

2.（2023?全國(guó)?高考真題）若/（x）=（x+a）ln?^為偶函數(shù)，則。=（）.

A.-1B.0C.yD.1

3.（2023?全國(guó)?高考真題）若/口）=（工一1）2+辦+5也口+2為偶函數(shù)，則”.

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/'(x)=Y-x+lnk+右二^(xeR)為奇函數(shù)，貝!|"=()

A.-1B.0C.1D.V2

2.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sinx[l+3]是偶函數(shù)，則加的值是()

A.-2B.-1C.1D.2

〃?QX—I2+X—1X>0

27?'八為奇函數(shù)，則〃+b+C=____.

)x+bx+c-l,x<0

考點(diǎn)六、抽象函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.Q021?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)〃X）的定義域?yàn)镽,/（X+1）為奇函數(shù)，〃x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時(shí),

f(x)=ax2+b.若/⑼+〃3)=6,貝()

9375

A.B.C.D.

4242

2.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）已知歹=/（工+1）+1為奇函數(shù)，則

/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=()

A.-14B.14C.-1D.7

3.（2024?河南?三模）（多選）定義在R上的函數(shù)/（x）滿足/（v+l）=/（x）/（y）+/（y）+x,則（）

A./(0)=0B./(1)=0

C./(x+1)為奇函數(shù)D./(X)單調(diào)遞增

即時(shí)檢測(cè)

1.（2024?廣東茂名?模擬預(yù)測(cè)）（多選）己知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,

+=+/（0）/0，則（）

A.B.函數(shù)是奇函數(shù)C./（O）=-2D.的一個(gè)周期為3

2.2024?湖南邵陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,/（x+1）為奇函數(shù)，/（x+2）為偶函數(shù),

且對(duì)任意的占廣2€（1,2）,x1^x2,都有/（*）則（）

西-x2

A.是奇函數(shù)B.7（2023）=0

C.的圖象關(guān)于（1,0）對(duì)稱D./（7i）＞/（e）

考點(diǎn)七、函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

■——

1.（2021,全國(guó)?高考真題）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,/（x+2）為偶函數(shù)，〃2x+l）為奇函數(shù)，則（）

A.=0B./(-1)=0C.f(2)=0D./(4)=0

2.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù)/(x)對(duì)任意的x,yeR,都有

/(x+y)+/(x-y)=2/(x)/(y),且/⑼/0,/(2)=-1,則()

100

A."0)=1B./(x)是奇函數(shù)C.〃x)的周期為4D.Z〃2〃〃)=5100,?eN,

n=\

3.(2024,江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè))(多選)已知可導(dǎo)函數(shù)/(X)及其導(dǎo)函數(shù)r(x)的定義域均為R,若/(x)是奇

函數(shù)，/(2)=-/(1)*0,且對(duì)任意x/eR,恒有/(x+y)=/(x)廣(y)+廣(x)/(力,則一定有()

A.r(l)=4B./(9)=0

242242

c.Ef(k)=lD.』/(%)=-1

k=lk=\

即時(shí)性測(cè)

1.(2024?重慶?三模)已知/'(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)且滿足〃x)+〃2-x)=0,則〃20)=()

A.-1B.0C.1D.±1

2.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,若/(%-y)=/(x)/(y)+/(l+x)/(l+y),且

102

/(0)^/(2),則￡/(")=.

n=\

3.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,若/(x)是奇函數(shù)，

/(2)=-/(1)^0,且對(duì)任意x/eR,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),則()

A.Hl)=-1B."9)=1

20

c./(x)是周期為3的函數(shù)D.』/'/)=-1

k=\

考點(diǎn)八、函數(shù)對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2022?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,M/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若

22

y=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g⑵=4,則￡〃左)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

2.(2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=sing)+蕓在xej,4(a>0)存在最大值與最小值分別

為〃和加，則函數(shù)g(x)=(M+加0+(、+；/+1，函數(shù)g(x)圖像的對(duì)稱中心是()

A.D.

避即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?寧夏銀川?三模)已知函數(shù)/(耳=或1，則下列說(shuō)法不正確的是()

A.函數(shù)〃尤)單調(diào)遞增B.函數(shù)/'(x)值域?yàn)?0,2)

C.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(0』)對(duì)稱D.函數(shù)/'(x)的圖象關(guān)于(1,1)對(duì)稱

2.2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知的定義域?yàn)镽,函數(shù)/(x)滿足〃x)+〃4-x)=6,g(x)=l,

/(x),g(x)圖象的交點(diǎn)分別是(再，%),(X2，%)，(%3，%)，(%4/4)，，(%，券)，則%+%++上可能值為

()

A.2B.14C.18D.25

考點(diǎn)九、周期性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

2.(2022?全國(guó)?高考真題)(多選)己知函數(shù)/⑴及其導(dǎo)函數(shù)/''(X)的定義域均為R,記g(x)=r(x),若

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g[￡|=0C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)

3.(2024?河南?一模)(多選)已知定義在R上的函數(shù)〃x),g(x),其導(dǎo)函數(shù)分別為/''(》)，g'(x),

/(l-x)=6-g,(l-x),/(l-jc)-g,(l+x)=6,且g(x)+g(—x)=4,貝I]()

A.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對(duì)稱B.g，(x+4)=g[x)

C./'⑹=八2)D./(1)+/(3)=12

即取性遇

1.(2024?陜西榆林?一模)定義在R上的函數(shù)Ax),g(x)滿足〃0)<0,/(3-x)=/(1+%),

g(2-x)+g(x)=2,g(x+1)=/(2x)+l,則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

A.x=6是函數(shù)/(x)圖象的一條對(duì)稱軸

B.2是g(x)的一個(gè)周期

C.函數(shù)Ax)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(3,0)

D.若〃eN*且"<2023,/(?)+/(?+1)+---+/(2023)=0,則〃的最小值為2

2.(2024?河南新鄉(xiāng)三模)(多選)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃2x+6)=/(-2x),且

/(x-l)+/(x+l)=/(-2),若〃3=1,則()

A.”2024)=1B./(x)的圖象關(guān)于直線x=-3對(duì)稱

20251

c.“X)是周期函數(shù)D.￡(-iyW--)-2025

k=i2

3.(2024?河北邢臺(tái)?二模)(多選)已知函數(shù)>=/(x),>=g(x)的定義域均為R,且〃x)+g(l-x)=3,

g(x)-〃x-3)=5,若g(x+l)=g(l-x),且g⑴=2,則下列結(jié)論正確的是()

A.〃x)是奇函數(shù)B.(2,4)是g(x)的對(duì)稱中心

2024

C.2是的周期D.￡g㈤=8096

k=\

考點(diǎn)十、周期性奇偶性的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知〃龍)是定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)〃x+l)為偶函數(shù)，函數(shù)/(x+2)為奇函

2023

數(shù)，則()

k=\

A.0B.1C.2D.-1

2.(2024?四川南充三模)已知函數(shù)/'(尤)、g(x)的定義域均為R,函數(shù)〃2x-l)+l的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

函數(shù)g(x+D的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，/(x+2)+g(x+l)=-l,/(-4)=0,貝|/(2030)-g(2017)=()

A.-4B.-3C.3D.4

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè))已知/(x)是定義在R上的函數(shù)，且/(2x-l)為偶函數(shù)，/(x-2)為奇函數(shù)，當(dāng)

xe[0,l]時(shí)，/(x)=^-l,貝()

11

A.-1B.——C.-D.1

22

2.(2024?江蘇南通?三模)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且/(x+1)為偶函數(shù)，/(x+2)-1為奇函數(shù).若

26

/(1)=0,則￡〃左)=()

k=\

A.23B.24C.25D.26

3.(2024.寧夏石嘴山.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且/'(x+2)-2為奇函數(shù)，〃3x+l)為偶函

2024

數(shù)，/(1)=0,則￡//)=.

k=T

考點(diǎn)十一、奇偶性對(duì)稱性的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

.—_________

L(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))已知y=〃x+l)+l為奇函數(shù)，則〃-1)+〃0)+〃1)+〃2)+〃3)=()

A.6B.5C.-6D.-5

2.(2024?黑龍江?三模)已知函數(shù)〃x)=(e"+eT卜加-2在42,2］上的最大值和最小值分別為河，N,則

M+N=()

A.-4B.0C.2D.4

即時(shí)檢測(cè)

1.(2024?河北?二模)已知函數(shù)＞=為奇函數(shù)，則函數(shù)＞=/(x)+l的圖象()

A.關(guān)于點(diǎn)0,1)對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C.關(guān)于點(diǎn)(-覃)對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

2.(2024?江西南昌?三模)(多選)已知函數(shù)〃無(wú))=辦3+區(qū)2+“+或。工0),若了="(x)-2|的圖象關(guān)于直線

x=l對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是()

A.丁="(龍)1的圖象也關(guān)于直線x=l對(duì)稱B.V=〃x)的圖象關(guān)于(1,2)中心對(duì)稱

C.a+b+c+d=2D.3a+b=0

考點(diǎn)十二、函數(shù)性質(zhì)的全部綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

■——

1.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))(多選)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿足〃r)=〃x)+2x,/(0)=2,且

y=/(x+l)-l為奇函數(shù)，則()

A./(-1)=-3B.函數(shù)>=/(x)+x的一個(gè)周期為4

19

C.7(2024)=-2022D.一150

Z=1

2.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))(多選)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃孫)=科(y)+W(x)+2(x+尸1),

“X)的導(dǎo)函數(shù)為/(X),則()

A./(-1)=-2B./(x)是單調(diào)函數(shù)

20

C.￡[〃-，)+/(川=-80D.(⑺為偶函數(shù)

1=1

3.(2024?廣東廣州,模擬預(yù)測(cè))(多選)己知函數(shù)〃x),g(x)及導(dǎo)函數(shù)/(x),g'(x)的定義域均為R.若

g(x+l)是奇函數(shù),且/'(x)=g'(x+l),g(x-l)-/(4-x)=2,則()

A./(O)=2B.是偶函數(shù)

20242024

c.^g(?)=oD.￡/(")=一4048

n=\n=\

即時(shí)竄L

1.(2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè))(多選)己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,若Vx/eR,有

/(x+y)+/(x-y)=2/(xW),/(l)=0,/(0)^0,則()

C./(x)為偶函數(shù)D.4為函數(shù)/⑴的一個(gè)周期

2.(2024.河南鄭州?二模)(多選)已知函數(shù)/⑺的定義域?yàn)镽,且〃x+.y)〃x7)=[〃x)>"⑺了,

/⑴=lj(2x+l)為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.“X)為偶函數(shù)

2024

c.〃2+x)=.〃2-x)D.￡/(左)=0

k=\

3.(2024?山東臨沂?二模)(多選)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x+l)+/(x+3)=〃2024),

/(-x)=/(x+2),且則()

A./(x)的最小正周期為4B.42)=0

2024/

C.函數(shù)/(x-1)是奇函數(shù)D.k-2024

k=\\I

『I好題沖關(guān)

一、單選題

ni

1.(2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(x)=x(l+-是偶函數(shù)，則加=()

1-e

A.-2B.-1C.1D.2

2.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃》)=6'-b+四2俏，若==l-則％的值為()

A.yB.41c.2D.4

3.(2024?湖南長(zhǎng)沙二模)已知定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)，對(duì)任意xeR都有+=-x),當(dāng)

/(-3)=-2時(shí)，貝|/(2023)等于()

A.2B.-2C.0D.-4

4.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,Va,beR,均滿足

f(a+b)=f(a)+f(b)-ab.若〃-1)=3,則〃3)=()

A.0B.-9C.-12D.-15

5.(2024?四川?三模)定義在R上的函數(shù)V=/(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，且函數(shù)

>=g(2x-l)+l為奇函數(shù)，則函數(shù)>=〃x)圖象的對(duì)稱中心是()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3,-1)

6.(2024?山西?三模)設(shè)函數(shù)/(乃=182儼|-婚,則不等式/(>2?〃2》+2)的解集為()

A.[-4,0]B.[-4,0)C.[-4,-1)U(-1,0]D.[-4,-l)u(-l,0)

7.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的奇函數(shù)"X)滿足〃x+3)=〃x-l),且當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，

/(x)=log2(x+3),則/(2021)-/(2024)=()

A.1B.-1C.1-log23D.—1—log23

((L3a-l)x+i2(2,xi<1,在R上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

11

c.D.

553P1

二、多選題

9.(2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè))定義在R上的函數(shù)滿足〃個(gè)+l)=〃x)/5)+〃y)+x,則()

A./(0)=0B./(1)=0

C./(x+1)為奇函數(shù)D./(x)單調(diào)遞增

10.(2024?廣西來(lái)賓?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足2/(x+y)/(x-y)=/(x)+〃y),且

〃0"0,則()

A./(0)=1B.y=〃x)為奇函數(shù)

C.>=/(x)不存在零點(diǎn)D./(2x)=/(x)

能力提升,

一、單選題

1.(2024,江西?二模)已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+2)=〃f)=-〃x),當(dāng)0<xWl時(shí)，

/(x)=log2(x+l).^/(a+l)>/(?),則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.1―5+4左,-5+4左］,ke7JB.(—1+4左,44)，keZ

C.1—］+4左,5+4左)，ke7JD.—+4A：,—+4A：^,keZ

__1_.3

.、4-4，X~4

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=曲X43是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

logfl(4x)-l,x>-

是()

A.(0,1)B.(1,百］C.(1,V3)D.(1,3)

二、多選題

3.2024?河北?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)〃x)滿足Vx/eR,〃x+y)+/(x-y)=,

/⑴=0,當(dāng)xe[(U)時(shí)，/(x)>0恒成立，則下列說(shuō)法正確的是()

B.y(x)是偶函數(shù)

D./⑺的圖象關(guān)于片2對(duì)稱

4.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,對(duì)

\fx,y^R,f(x+y)-f(x-y)=2f(l-x)f(y),且/⑴=lj'(x)為的導(dǎo)函數(shù),則()

A.“X)為偶函數(shù)B.42024)=0

C..⑴+/(2)+…+/(2025)=0D.[/(x)]2+[/(l-x)]2=l

5.(2024?河南信陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知〃x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足：①認(rèn)eRJ(x°)wO；②

Vx,yeRJ，+2肛+/)=(x+y)[/(x)+/(y)],貝lj()

A./(0)=0B.〃x)為奇函數(shù)