直線與圓的方程（原卷版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（人教版選擇性必修第一冊(cè)）

第二章直線與圓的方程（知識(shí)歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；

2.理解直線傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫(huà)直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式;

3.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行和垂直；

4.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式）；

5.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；

6.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離；

7.在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；

8.判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系；

9.用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題.

基礎(chǔ)知識(shí)歸納

一、直線的傾斜角與斜率

1.直線的傾斜角

（1）傾斜角的定義

①當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，我們以無(wú)軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上的方向之間所成的角a叫做直線/

的傾斜角.

②當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0。.

（2）直線的傾斜角a的取值范圍為0°3z<180°.

2.直線的斜率

（1）直線的斜率

把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母女表示，即/tana.

（2）斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系

1/1i

圖示——._JL0

。/0x\1X°

傾斜角（范圍）。=0°0°<a<90°a-=90°90°<a<180°

斜率（范圍）k=ak>0不存在k<0

（3）過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式

過(guò)兩點(diǎn)P（無(wú)I，>1）,尸2（&，丫2）0#X2）的直線的斜率公式為％="二^

X2—即

【注】(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系.

(2)涉及直線與線段有交點(diǎn)問(wèn)題，常根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，利用斜率公式求解.

二、兩條直線平行和垂直的判定

1.兩條直線(不重合)平行的判定

2.兩條直線垂直的判定

【注】判斷兩條直線是否垂直時(shí):

在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于一1即可，但應(yīng)注意有一條直線與

尤軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時(shí)，這兩條直線也垂直.

三、直線的方程

1.直線的點(diǎn)斜式方程

(1)直線的點(diǎn)斜式方程的定義：

設(shè)直線/經(jīng)過(guò)一點(diǎn)斜率為左，則方程y—為=左0—X。)叫作直線/的點(diǎn)斜式方程.

(2)點(diǎn)斜式方程的使用方法：

①已知直線的斜率并且經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②當(dāng)已知直線的傾斜角時(shí)，若直線的傾斜角a=90。，則直線的斜率不存在，其方程不能用點(diǎn)斜式表示，

但因?yàn)?上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于尤1，所以直線方程為x=xi；若直線的傾斜角a戶90。，則直線的斜率

k=tana，直線的方程為y—y0=(tana)"(x—x0).

2.直線的斜截式方程

(1)直線的斜截式方程的定義：

設(shè)直線/的斜率為公在y軸上的截距為方，則直線方程為產(chǎn)fct+b,這個(gè)方程叫作直線/的斜截式方程.

九(0,6)

0于0

OX

(2)斜截式方程的使用方法：

已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

3.直線的兩點(diǎn)式方程

(1)直線的兩點(diǎn)式方程的定義：

設(shè)直線I經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)尸|(汨,%)，R02,為),弘抄2)，則方程衛(wèi)二江=二二工叫作直線I的兩點(diǎn)式

yi—%12—

方程.

(2)兩點(diǎn)式方程的使用方法：

①已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)已(汨,弘)，尸2(9,為)，且X#X2,%分2時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②當(dāng)％=孫，M處2時(shí)，直線方程為X=X|(或X=X2).

③當(dāng)X1，X2,M=%時(shí)，直線方程為v=M(或了=%).

4.直線的截距式方程

(1)直線的截距式方程的定義：

設(shè)直線/在x軸上的截距為a,在y軸上的截距為6,且時(shí)0,卬0,則方程?+?=1叫作直線/的截

距式方程.

8(0,6)/

A(a,0)

~O~*

(2)直線的截距式方程的適用范圍：

選用截距式方程的條件是存0,以0,即直線/在兩條坐標(biāo)軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示

過(guò)原點(diǎn)的直線，也不能表示與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直線在無(wú)軸上的截距、y軸上的截距，且都不為。時(shí)，可以直接使用該公式求直線方程.

②已知直線在無(wú)軸上的截距、y軸上的截距，且都為。時(shí)，可設(shè)直線方程為＞=質(zhì)，利用直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)的

坐標(biāo)求解左，得到直線方程.

5.直線的一般式方程

(1)直線的一般式方程的定義：

在平面直角坐標(biāo)系中，任何一個(gè)關(guān)于x,y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于x,y的二元一

次方程Ax+8y+C=0(其中A,B不同時(shí)為0)叫作直線的一般式方程.

對(duì)于方程Ax+By+C=O（A,B不全為0）：

ArAC

當(dāng)毋0時(shí)，方程Ac+8y+C=0可以寫(xiě)成尸-怖x-1，它表示斜率為在y軸上的截距為-1的直

DDDJD

線.特別地，當(dāng)A=0時(shí)，它表示垂直于y軸的直線.

C

當(dāng)8=0時(shí)，A#0,方程Ax+3y+C=0可以寫(xiě)成x二—-,它表水垂直于x軸的直線.

（2）一般式方程的使用方法：

直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達(dá)式，它適用于任何一條直線.

6.辨析直線方程的五種形式

方程形式直線方程局限性選擇條件

不能表示與x軸垂①已知斜率；②已知

點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=k(x-x)

0<0直的直線一點(diǎn)

不能表示與X軸垂①已知在y軸上的截

斜截式y(tǒng)=kx+b

直的直線距;②已知斜率

不能表示與X軸、①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②己

兩點(diǎn)式y(tǒng)—y[―一0

=y軸垂直的直線知兩個(gè)截距

z/2-yix2-g

不能表示與X軸垂①已知兩個(gè)截距；②已

T=i

截距式ab直、與y軸垂直、知直線與兩條坐標(biāo)軸

過(guò)原點(diǎn)的直線圍成的三角形的面積

求直線方程的最后結(jié)

Ax+By+C=O

一般式表示所有的直線果均可以化為一般式

(A,B不全為0)

方程

7.方向向量與直線的參數(shù)方程

除了直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊

密的聯(lián)系，它由一個(gè)定點(diǎn)和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點(diǎn)斜式方程本質(zhì)上是一致的.

如圖1,設(shè)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（X。,％）,v=O,w）是它的一個(gè)方向向量，P（無(wú),y）是直線/上的任意一點(diǎn)，則向

---->->---->->

量尸與V共線.根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一的實(shí)數(shù)3使尸。尸=小，即（》_刈”_為）句（九”），所以

x=Xo+mt

①.

y=y0+nt

在①中，實(shí)數(shù)f是對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸的參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).

由上可知，對(duì)于直線/上的任意一點(diǎn)尸（無(wú),y）,存在唯一實(shí)數(shù)f使①成立；反之，對(duì)于參數(shù)f的每一個(gè)確

定的值，由①可以確定直線/上的一個(gè)點(diǎn)尸（x,y）.我們把①稱為直線的參數(shù)方程.

四、求直線方程的方法

1.求直線方程的一般方法

（1）直接法

直線方程形式的選擇方法：

①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；

②己知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；

③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；

④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.

（2）待定系數(shù)法

先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.

利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.

若已知直線過(guò)定點(diǎn)/（x。,％），則可以利用直線的點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k\x-x。）求方程，也可以利用斜截式、

截距式等求解（利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況）.

2.兩條直線的位置關(guān)系

斜截式一般式

劣+Bi?+Ci=0（4：+W0）

l\\y=k\x+b\

方程

h:y=kvc+bi

l2-A2x+B2y+C2=0（^2+%W0）

AB2-（當(dāng)兒昆力。時(shí)，記為4-耳）

相交k\=t=ki石R瓦

442+8由2=0（當(dāng)332片0時(shí)，記為4A2_）

垂直瓦,瓦=―

fA1B2-A2B1=O或JA1B2-A2B1=O

BIC2—B2cl手014c2—401/0

平行k\=ki且、

（當(dāng)42星。2/0時(shí)，記為劣_旦G）

4與2。2

Ai=XA2,Bi=X,B2,Ci=kC2(X^O)

重合女尸左2且b\=bi(當(dāng)時(shí)，記為劣=旦=&)

-A,2與2。2

五、直線的交點(diǎn)與距離

1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

(1)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

:二芝二;’,若方程組有唯一解，則兩條直線相

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組22

交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無(wú)窮多

解，則兩條直線重合.

(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系

設(shè)兩直線+Biy+G=0(4?+厭手，直線+B2y+C2=0(芯+B升0).

方程組r),,「八的解

4x+Dy+G=0

一組無(wú)數(shù)組無(wú)解

[A2x+B2y+C2=0

直線Z1和/2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)

直線/1和h的位置關(guān)系相交重合平行

1.兩點(diǎn)間的距離公式

22

平面內(nèi)兩點(diǎn)尸I(XQ1),尸2(》2,無(wú))間的距離公式為|尸|尸』=V(x2—X,)+(y2—yd.

特別地，原點(diǎn)0到任意一點(diǎn)P(x,y)的距離為|OP|=，x2+*.

2.點(diǎn)到直線的距離公式

⑴定義：

點(diǎn)P到直線/的距離，就是從點(diǎn)P到直線/的垂線段尸。的長(zhǎng)度，其中。是垂足.實(shí)質(zhì)上，點(diǎn)到直線的

距離是直線上的點(diǎn)與直線外該點(diǎn)的連線的最短距離.

(2)公式:

\Ax+By+C|

已知一個(gè)定點(diǎn)尸Go,%),一條直線為/:Ax+2y+C=0,則定點(diǎn)尸到直線/的距離為d=00

y/A2+B2

3.兩條平行直線間的距離公式

⑴定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng).

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線h+為+G=0,l2-.Ax+By+C2=Q,則它們之間的距離為d=塌巖?.

4.中點(diǎn)坐標(biāo)公式

公式：

Xi+X2

設(shè)平面上兩點(diǎn)B3,M),尸2(尤2,為)，線段RB的中點(diǎn)為M(X。,%),則《

六、圓的方程

1.圓的定義

圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑).

圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(x—a)2+(y—6)2=〃(>0)叫作以點(diǎn)3力)為圓心，廠為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此

在一般條件下，只要己知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.圓的一般方程

(1)方程/+y2+Dx+Ey+F=0(￡>2+E?-4/>0)叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因

此在一般條件下，只要己知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.

下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)。，E,F-,

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心卜-亨)代入圓心所在的直線

方程，求待定系數(shù)E,F.

4.二元二次方程與圓的方程

(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O,對(duì)比圓的一般方程—+y2++￡>+F=0

+￡2—4尸>0),我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的

方程.

(2)二元二次方程表示圓的條件:

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F

F

>0

5.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.

W

⑵圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+3—6)2=*,圓心為/(“/),半徑為r(r>0)；圓A的一般方程為

2222>

x+y+Dx+Ey+F=0(<D+E-4F>0).平面內(nèi)一點(diǎn)MQ。,％).

判斷方法

位置關(guān)系

幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)

點(diǎn)在圓上\MA\=r(xo-a)2+(yo-Z?)2=r2

Xo+yo+Dx0+Ey0+F=0

2

點(diǎn)在圓內(nèi)\MA\<r(xo-a)+(yo-b)若+諦+DXQ+Ey0+F<0

2

點(diǎn)在圓外\MA\>r(xo-a)+(yo-Z7)2>產(chǎn)笳+必+DXQ+Ey。+F>0

七、直線與圓的位置關(guān)系

1.直線與圓的位置關(guān)系及判定方法

(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下:

位置相交相切相離

交點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)

圖形(

d與r的關(guān)系d<rd=rd>r

方程組有兩組不

僅有一組解無(wú)解

解的情況同的解

(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過(guò)聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的

實(shí)數(shù)解，即\>0,則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即、=0,則直線與圓相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即

A<o,則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離［與半徑廠的大小來(lái)判斷，當(dāng)衣廠時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)心7■時(shí)，直線

與圓相切；當(dāng)上廠時(shí)，直線與圓相離.

2.圓的切線及切線方程

(1)自一點(diǎn)引圓的切線的條數(shù)：

①若點(diǎn)在圓外，則過(guò)此點(diǎn)可以作圓的兩條切線；

②若點(diǎn)在圓上，則過(guò)此點(diǎn)只能作圓的一條切線，且此點(diǎn)是切點(diǎn)；

③若點(diǎn)在圓內(nèi)，則過(guò)此點(diǎn)不能作圓的切線.

（2）求過(guò)圓上的一點(diǎn)（x。,％）的圓的切線方程：

①求法：先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率%（厚0）,則由垂直關(guān)系可知切線斜率為由點(diǎn)斜式方程可求

得切線方程.如果金?；蜃蟛淮嬖?，則由圖形可直接得切線方程.

②重要結(jié)論：

2

a.經(jīng)過(guò)圓/+=/2上一點(diǎn)尸（10,外）的切線方程為了0、+yoy=r.

2

b.經(jīng)過(guò)圓（x—ay+（y—bY—r上一點(diǎn)P（x0,^0）的切線方程為（%o—。）（%—。）+（乂）一份（v—6）=/.

c.經(jīng)過(guò)圓工2+歹2+m+份+尸=0上一點(diǎn)尸（XoJo）的切線方程為Xox+vo）+。?".X。+E,+F

=0.

3.圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題

設(shè)直線/的方程為產(chǎn)丘+加圓。的方程為（工—死尸+白一%）2=〃，求弦長(zhǎng)的方法有以下幾種：

（1）幾何法

如圖所示，半徑八圓心到直線的距離小弦長(zhǎng)/三者具有關(guān)系式：r2=c/2+^y.

（2）代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為皿禮乂）,8（向/2）.

①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.

y=kx+b

②若交點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)法簡(jiǎn)單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元

2

(X—x0)+(y—%)2=r-

二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得X1+X2,X1?X2或%+玖,了2的關(guān)系式，通常把程引=與1+左2同一可或

\AB\=3一叫作弦長(zhǎng)公式.

九、圓與圓的位置關(guān)系

1.圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法

（1）圓與圓的位置關(guān)系

圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切

統(tǒng)稱為相切.

0

外離外切相交

內(nèi)切內(nèi)含

(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

222

設(shè)兩圓(x—Oj)+(j—瓦)=療與(x—a2)+(y—仇)2=以的圓心距為d,則

d=\/(02—mF+(。2—bl)。，兩圓的位置關(guān)系表示如下:

位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)

外離d>門(mén)+設(shè)四條

外切d=n+r2三條

￡

|n-r2|<J<n+r

相交兩條

2

內(nèi)切d=\n-r2\一條

內(nèi)含0<J<|n-r2|?無(wú)

②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)A>0時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)A=0時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)A<0時(shí),

兩圓無(wú)公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.

2.兩圓的公切線

(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況

①外離時(shí)，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時(shí)，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時(shí)，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時(shí)，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù)，實(shí)質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時(shí)，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，

設(shè)公切線的方程為廣區(qū)+6,最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于匕b的方程組，求出匕6的值即可.要注意公切線

的斜率可能不存在.

3.兩圓的公共弦問(wèn)題

(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法

兩圓相交時(shí)，有一條公共弦，如圖所示.

設(shè)圓Ci+F+A尤+By+E=0,①

圓C2：X?+必++瓦了+產(chǎn)2=0，②

①-②，得(Di—2)x+(Ei—&)?+耳—巴=0,③

若圓G與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若尸(x。,％)為圓C1與圓C?的交點(diǎn)，則點(diǎn)

尸(無(wú)0,為)滿足k+7o+DiXo+Exy0+Fj=0且而+yo+D2x0+E2y0+F2=0,所以

(A-。2)沏+㈤一Ejy。+Fl—尸2=o.即點(diǎn)尸(沏,珀適合直線方程，故尸(沏,％)在③所對(duì)應(yīng)的直線上，③

表示過(guò)兩圓G與交點(diǎn)的直線，即公共弦所在的直線的方程.

(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股

定理求出公共弦長(zhǎng).

重要題型

題型一直線的傾斜角與斜率

【例1】若直線=與直線2x+3y-6=。的交點(diǎn)位于第一象限，則直線/的傾斜角的取值范圍是

反思總結(jié)

(1)對(duì)于一條與a軸相交的直線，以a軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線I向上的方向之間所成的角a,即為直線/的傾

斜角，也就是說(shuō)把a(bǔ)軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí),所轉(zhuǎn)的最小正角記為a,那么a就稱為直線

的傾斜角.

(2)規(guī)定:當(dāng)直線1與a軸平行或重合時(shí),它的傾斜角為0.

(3)范圍:直線的傾斜角a的取值范圍是［0,z).

(4)斜率公式:經(jīng)過(guò)P(Xl,%),P(尤2J2)(尤度尤2)＞兩點(diǎn)的直線的斜率為左=^二工

(5)任何一條直線都有傾斜角，但并非所有直線都有斜率，傾斜角為，的直線斜率不存在.

鞏固訓(xùn)練：

2

1.已知直線4：y=2x+3a,l2：y=(a+l)x+3,若“/J,則a=()

B.-1

D.±1

2.已知直線6：x+ay_2=0,/2:(a+l)x-ay+l=0,若qia=-2,則〃是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知直線4:依+3y+4=0,:x+(a—2)y—5=0,貝。

A.若a=l,貝也的一個(gè)方向向量為(3,—1)B.若1八,則。=—1或。=3

3

C.若則a=：D.若4不經(jīng)過(guò)第二象限，貝UaVO

4.已知直線〃經(jīng)過(guò)4(3,〃?),3(機(jī)-1,2),直線〃經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(l,2),￡>(-2,"?+2).

⑴若〃〃〃,求"，的值；

(2)若乙，/2,求機(jī)的值.

題型二直線的方程

【例2】過(guò)點(diǎn)尸(3,0)作一條直線/,它夾在兩條直線心2尤-y-2=0和3x+y+3=0之間的線段恰被點(diǎn)尸

平分，則直線/的方程為()

A.8x+y—24=0B.8x—y-24=0

C.8x+y+24=0D.x+8y+24=0

反思總結(jié)

求直線方程是解析幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能。求直線的方程，一般采用待定系數(shù)法,將直線方程設(shè)成點(diǎn)斜

式或斜截式?；蛘吒鶕?jù)題目條件的特點(diǎn)，使用其他直線方程的基本形式。

直線方程綜合問(wèn)題的兩大類型及解法

(1)與函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用直線方程中X,y的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于武或y)的函數(shù)，借助函數(shù)

的性質(zhì)解決.

(2)與方程、不等式相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.

鞏固訓(xùn)練

1.求滿足下列條件的直線方程.

⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-1,-3),且斜率等于直線3x+8y-l=0斜率的3倍；

(2)過(guò)點(diǎn)“(0,4),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為12.

2.已知直線4：辦+2〉-12=0,直線4過(guò)點(diǎn)A(T,1),.在①直線4的斜率是直線>=x的斜率

的2倍，②直線4不過(guò)原點(diǎn)且在無(wú)軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在

上面的橫線中，并解答下列問(wèn)題.

(1)求4的一般式方程；

⑵若《與4在無(wú)軸上的截距相等，求“的值.

3.已知直線小(2+m)x+(l—2〃?)y+4-3〃?=0.求證：無(wú)論相為何實(shí)數(shù)，直線4恒過(guò)一定點(diǎn)

4.設(shè)直線/的方程為(a+l)x+y+2_a=0(aeR)

(1)若/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程.

(2)若直線/交x軸正半軸于點(diǎn)A,交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)8,4103的面積為S,求S的最小值并求此時(shí)直線/

的方程.

題型三直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

［例3］已知?jiǎng)又本€加：尢t-y+4=0和"：x+Ay-3-2A=0,P是兩直線的交點(diǎn)，A、B是兩直線機(jī)和〃分

別過(guò)的定點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是()

A.8點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-2)B.m±n

C.|上4卜歸回的最大值為10D.P的軌跡方程為f+/-2x—2y-3=0

反思總結(jié)

(1)求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程.也可

借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程.

利用距離公式應(yīng)注意的點(diǎn)

(1)點(diǎn)P(xo，yo)到直線x=a的距離d=|xo—a|,到直線y=b的距離d=|y()—b|.

(2)兩條平行線間的距離公式要把兩條直線方程中x,y的系數(shù)化為相等.

鞏固訓(xùn)練

1.若動(dòng)點(diǎn)4（演,%）,2（尤2,必）分別在直線4：X+?-7=0和:尤+y-5=0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離

的最小值為（）

A.372B.2C.72D.4

2.直線/：》-（左2+1卜+左2=0與圓C：/+y2=i的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不可能為（）

A.0B.1C.2D.3

3.已知直線/：（2a+3）x-（a-l）y+3a+7=0,aeR.

（1）證明直線/過(guò)定點(diǎn)A,并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，若直線/'過(guò)點(diǎn)A,且在y軸上的截距是在x軸上的截距的求直線/'的方程；

（3）若直線/不經(jīng)過(guò)第四象限，求。的取值范圍.

4.已知三條直線；ll：2x-y+a=0,/2:4x-2y-l=0,/3：x+y-\=0,且原點(diǎn)到直線《的距離是竽.

⑴求a的值；

（2）若a>0,能否找到一點(diǎn)尸，使P同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)尸在第一象限；②點(diǎn)P到4的距離是點(diǎn)P到

4的距離的2倍；③點(diǎn)P到4的距離與點(diǎn)尸到。的距離之比是夜:君，若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明

理由.

5.若三條直線》+>-3=0戶->+1=0,爾+77-5=。相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)（九〃）到原點(diǎn)的距離的最小值

為,,

題型四直線綜合

［例4］如圖，射線OA,。8所在直線的方向向量分別為1=（1#）,不=（1,-左）（左>0）,點(diǎn)尸在一493內(nèi),

PM_LQ4于M,PNLOB于N.

（1）若％=1,尸［I］］，求|。閭的值；

（2）若尸（2,1）,AOMP的面積是求上的值；

（3）已知上為常數(shù)，M,N的中點(diǎn)為T(mén),且％MON=［當(dāng)P變化時(shí)，求|。刀的取值范圍.

K

反思總結(jié)

定點(diǎn)問(wèn)題：

（一）將直線方程化為點(diǎn)斜式y(tǒng)—yo=k（x—xo）,則直線過(guò)定點(diǎn)（xo,yo）

（二）含參直線方程轉(zhuǎn)化為等式恒成立問(wèn)題

直線1恒過(guò)定點(diǎn)說(shuō)明與參數(shù)的取值無(wú)關(guān)，求定點(diǎn)只需把方程整理成關(guān)于參數(shù)的式子，令參數(shù)的系數(shù)為零。

（三）從特殊到一般

從直線系的角度看方程,交點(diǎn)即為定點(diǎn).所以要求定點(diǎn)、定值,可以先根據(jù)特殊位置找到這個(gè)定點(diǎn)（定值）,明確了

解決問(wèn)題的目標(biāo)，然后進(jìn)行一般情況下的推理證明.

鞏固訓(xùn)練

1.已知“BC的頂點(diǎn)B（5,-l）,C（l,3）,設(shè)AABC的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）到直線BC的距

,h

離為d,垂心（三邊高的交點(diǎn)）到頂點(diǎn)A的距離為3則==.

a

2.已知不同的兩點(diǎn)2（“,-6）,。（6+1,“-1）關(guān)于點(diǎn)（3,4）對(duì)稱，則必=.

題型五圓的方程

［例5］方程/+、2+m+萬(wàn)丫+尸=0表示的曲線是以（-2,3）為圓心，4為半徑的圓，則的值分別為（）

A.4,—6,3B.—4,6,3

C.—4,6,-3D.4,—6,—3

反思總結(jié)

求解圓的方程常用思路：

一是結(jié)合平面圖形的有關(guān)特點(diǎn)，先求圓心坐標(biāo)和半徑,再利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫(xiě)出圓的方程；

二是充分利用待定系數(shù)法，先設(shè)圓的方程為一般式(或標(biāo)準(zhǔn)式)，再結(jié)合題設(shè)求得參數(shù)D,E,F(或a,b,r)的值,

這樣就可以寫(xiě)出圓的方程.

鞏固訓(xùn)練

1.圓/+/+以-1=0關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.X2+/-4%-1=0B.x2+(y-2)2=5

C.x2+y2+8x+15=0D.(x-2)2+y2=5

2.若圓/+一依+2y+i=。與圓/+>2=1關(guān)于直線y=x-i對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)C(—°,°)的圓p與>軸相切，貝幗

心P的軌跡方程為()

A.;/-4x+4y+8=0B.;/-2元一2'+2=0

C.y2+4%-4y+8=0D.^2-2x-y—1=0

3.已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A(-l,0),B(3,-4),則該圓的方程為.

4.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,2的距離之比為定值4(4*1)的點(diǎn)的軌跡是圓，

此圓被稱為“阿波羅尼斯圓在平面直角坐標(biāo)系xQv中，A(-2,0),3(4,0),點(diǎn)p滿足前>=7.設(shè)點(diǎn)P的

軌跡為C.

①軌跡C的方程為(X+4)2+/=9.

PD1

②在x軸上存在異于A,2的兩點(diǎn)使得々=彳.

PE2

③當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是NAPB的角平分線.

④在C上存在點(diǎn)使得|同0|=2|八例.

以上說(shuō)法正確的序號(hào)是.

5.點(diǎn)尸(-3,1)在動(dòng)直線m(x-l)+-1)=0上的投影為點(diǎn)M,若點(diǎn)N(3,3),那么|上例的最小值為.

題型六直線與圓的位置關(guān)系

［例6］若直線/：入7-2=0與曲線c：713g產(chǎn)=尸1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

A?與2］B.（*4）C.唱2］D.GT

反思總結(jié)

弦長(zhǎng)問(wèn)題：

但凡涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，都會(huì)遇到弦長(zhǎng)問(wèn)題，但高考中單純的以求弦長(zhǎng)為目標(biāo)的問(wèn)題較少。小題中大

多是已知弦長(zhǎng)求參數(shù)的值（范圍）這一類的逆向思維問(wèn)題,大題中往往是將弦長(zhǎng)作為條件的綜合問(wèn)題，因此，弦長(zhǎng)

問(wèn)題舉足輕重。

解決直線被圓截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題的核心:在由弦心距（即圓心到直線的距離）弦長(zhǎng)的一半及半徑所構(gòu)成的直角三

角形中運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算。

最值與范圍問(wèn)題：

最值問(wèn)題是范圍問(wèn)題的特例，因此，研究的方法、手段基本相同。在處理直線與圓的方程的最值與范圍問(wèn)題時(shí),

主要有以下兩種途徑:一是利用圓的幾何性質(zhì)直接判斷，如過(guò)圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)的弦長(zhǎng)的最值與范圍問(wèn)題,就可以

結(jié)合圖形利用弦長(zhǎng)與弦心距之間的關(guān)系進(jìn)行判斷;二是構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)或基本不等式

研究最值與范圍。另外，在特定的情境中，利用“三角形兩邊之差小于第三邊”來(lái)研究最值與范圍問(wèn)題可以取到

意想不到的效果。

鞏固訓(xùn)練

1.已知圓。：/+y=4,過(guò)直線/：x+y-6=0上一點(diǎn)尸作圓。的兩條切線，切點(diǎn)分別為貝I］（）

A.若點(diǎn)P（2,4）,則直線A3的方程為x+2y—2=0B.四邊形X4O3面積的最小值為2&Z

C.線段的最小值為短D.點(diǎn)。始終在以線段為直徑