2024-2025學(xué)年高二年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)?？碱}專練：圓的方程（11類重難點(diǎn)題型）

專題2-2圓的方程11類重難點(diǎn)題型匯總

直線與圓的方程式是一個(gè)承上啟下的章節(jié)，讓即將經(jīng)歷圓錐曲線毒打的同學(xué)們有個(gè)鋪墊

直線與圓的方程作為解析幾何中的基礎(chǔ)，不僅幫助同學(xué)們構(gòu)建起圖形與代數(shù)之間的橋梁，更是通往

更復(fù)雜曲線——如橢圓、雙曲線和拋物線等圓錐曲線研究的必經(jīng)之路。掌握好這兩類基本圖形的性

質(zhì)及它們之間的位置關(guān)系，將為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，讓同學(xué)們?cè)诿鎸?duì)更加抽象的概念時(shí)能夠

游刃有余。

總覽題型解讀

【題型1】圓的方程.................................................................1

【題型2】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系........................................................3

【題型3】求圓的切線方程...........................................................4

【題型4】求弦長(zhǎng)以及由弦長(zhǎng)求直線方程.............................................6

【題型5】圓與圓的位置關(guān)系，公切線及公共弦.......................................7

【題型6】軌跡問(wèn)題（阿氏圓，相關(guān)點(diǎn)法，定義法）..................................8

【題型7】圓的4類?？甲钪祮?wèn)題...................................................11

【題型8】直線與半圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題...............................................12

【題型9】雙切線模型與切點(diǎn)弦方程.................................................13

【題型10】直線與圓的聯(lián)立：韋達(dá)定理計(jì)算.........................................14

【題型11】直線與圓的綜合：定點(diǎn)，定值，定線模型................................16

題型匯編1知識(shí)梳理與?？碱}型

【題型1］圓的方程

基礎(chǔ)知識(shí)

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x—ap+G—6）2=/，其中圓心為（。,6）半徑為廣

圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D,E,F為常數(shù)）,當(dāng)。2+后2_4/

1.已知圓〃過(guò)點(diǎn)0(0,0),A(2,0),3(2,-2),則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x-l)2+(y+l)2=2

B.(x-l)2+(y-l)2=2

C.(x+l)2+(y+l)2=2

D.(x+l)2+(y-l)2=2

2.若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,5),5(4,3),且圓心在直線/:2x+y-7=0上，則圓C的方程為()

A.(x-3)2+(y-6)2=2B.(x-2)2+(y-3)2=4

C.(x—2『+(y-3)2=8D.(x-3)2+(y-6)2=10

3.若方程V+尸+6%x-4y+9〃/-2,〃=。表示圓，則機(jī)的取值范圍為()

A.(—2,+<x>)B.[—2,+co)C.(—℃,—2)D.(—℃,—2]

/u鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（23-24高二上?山西運(yùn)城?期中）已知4（0,5）,3（0,1）,C（3,4）,則AABC外接圓的半徑

為（）

A.y/5B.2C.V10D.5

【鞏固練習(xí)2］已知A（4,0）,3（1,⑹，圓M經(jīng)過(guò)A,8兩點(diǎn)，且圓的周長(zhǎng)被x軸平分，則圓M的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

B.(X-2)2+/=4

C.x2+y2=4D.(尤_iy+y2=4

【鞏固練習(xí)3】方程，+；/+4皿-2y+5"z=0表示圓的充要條件是（）

A.—<m<lB.727>1C.m<—D.m〈一或m>1

444

【鞏固練習(xí)4］已知圓。的方程為人之+一27nx+42y+4M2+6瓶+27=0,若圓。的半徑小于8,則

加的取值范圍是()

A.(-7,13)B.(f,—3)U(9,+8)

C.(3-2VH,-3)U(9,3+2A/H)D.(-7,-3)U(9,13)

【題型2】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

1.在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

判斷點(diǎn)M(%0,%)與0A：(x—a)~+(y—b)~=廠位置關(guān)系的方法:

(1)幾何法(優(yōu)先推薦)

設(shè)M(x0,%)到圓心A(a,b)的距離為d,則d=1MA\

①d>rO則點(diǎn)M(x0,%)在QA外

②d=rO則點(diǎn)M(x0,y0)在。A上

③d<rO則點(diǎn)M(x0,%)在。A內(nèi)

(2)代數(shù)法

將點(diǎn)河(毛,%)帶入。A：(x—a)?+(y—=r2方程內(nèi)

①點(diǎn)Af?,%)在0A外O(加-a)?+(%-。y>r-

②點(diǎn)M(x0,%)在G)A上O(%0—d)~+(y0—b)~=r~

22

③點(diǎn)在G)A內(nèi)O(x0-i/)+(y0-b)~<r

2.在圓的一般方程中，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

2222

已知點(diǎn)知(玉)，％)和圓的一般式方程OC:x+y+Dx+Ey+F^0(D+E-4F>0),

則點(diǎn)M(x0,y0)與圓的位置關(guān)系：

①點(diǎn)M(%0,%)在0C外U>XQ+%?+Dx0+Ey0+F>0

2

②點(diǎn)M(x0,y0)在0C上U>x0+%?+Dx0+Ey0+F—G

2

③點(diǎn)M(x0,y。)在QC內(nèi)U>x0+%?+Dx0+Ey0+F<0

/“典型例題/

4.已知圓C的方程為（x+D2+（y-3）2=12,則點(diǎn)41,6）在（）

A.圓內(nèi)B.圓上C.圓外D.不確定

5.若點(diǎn)4（2,1）在圓好+,一2g-2、+5=0（優(yōu)為常數(shù)）外，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.(-co,2)B.(2,+oo)C.(-oo,-2)D.(-2收)

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1］若點(diǎn)4（。,3）在圓。：/+（3；_1）2=5外，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-oo,-l)B.(-oo,l)C.(^x),-l)u(l,+oo)D.(-1,1)

【鞏固練習(xí)2】若點(diǎn)1)在圓元2+y2_2@—4=0的內(nèi)部，則。的取值范圍是().

A.a>lB.0<tz<1C.—1<6?<—D.3v1

5

【題型3】求圓的切線方程

基礎(chǔ)知識(shí)

直線與圓相切的問(wèn)題

（1）圓的切線方程的求法

①點(diǎn)”（%,%）在圓上，

法一：利用切線的斜率片與圓心和該點(diǎn)連線的斜率心”的乘積等于-1,即自“4=-1.

法二：圓心。到直線/的距離等于半徑廠.

②點(diǎn)%）在圓外，則設(shè)切線方程：y-y0=k（x-x0）,變成一般式：kx-y+yo-kxo=O,因?yàn)?/p>

與圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出入

注意：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還

有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上

/“典型例題/

6.已知圓O：Y+y2=5,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2),且/與圓。相切，貝I"的方程為()

A.x+2y-5=0B,x-2y+3=0C.2x-y=0D.2x+y-4=0

7.(23-24高二上?湖南長(zhǎng)沙?期中)過(guò)點(diǎn)(4,0)的直線/與圓x2+y2-4..8y+16=0相切，則直線/的

方程為()

A.3%+4y—12=0或y=0B,3x+4y—12=0或X=4

C.4X+3>-12=0或y=0D.4x+3y-12=0或尤=4

8.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。作圓C:Y+V-4x+3=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為"，N,則pWN|=()

A.3B.-C.J3D.2

22

9.(2024.廣東韶關(guān).二模)過(guò)點(diǎn)?(-2,3)作斜率為—2的直線，若光線沿該直線傳播經(jīng)x軸反射后與

圓C:(x-3)2+(y-2)2=/(r>0)相切，貝卜=()

A.也B.73C.2D.75

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】過(guò)點(diǎn)A(2,3)作圓M:Y+V=1的一條切線，切點(diǎn)為8,則|筋|=()

A.3B.2.73C.J7D.^10

【鞏固練習(xí)2】已知圓C：x2+y2-4x=0,直線/恒過(guò)點(diǎn)P(4,l).若直線/與圓C相切，求/的方程

【鞏固練習(xí)3】(23-24高二下?全國(guó)?隨堂練習(xí))已知圓C：(x-l)2+(y-2)2=4.若點(diǎn)“(3,5),求

過(guò)點(diǎn)”的圓C的切線方程;

【鞏固練習(xí)4】(23-24高三上?河北秦皇島?開(kāi)學(xué)考試)從點(diǎn)(0,3)射出的光線經(jīng)x軸反射后，與圓

(X-3)2+(y-2)2=2有公共點(diǎn)，則反射光線所在直線斜率的最小值為()

231

A.1B.—C.—D.—1

77

【鞏固練習(xí)5](23-24高二上?山西朔州?期末)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期成書《墨經(jīng)》有載曰：“景，日之光反燭人，

則景在日與人之間.”這是中國(guó)古代人民首次對(duì)平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.在

平面直角坐標(biāo)系。孫中，一條光線從點(diǎn)M(2,3)射出，經(jīng)V軸反射后與圓C:f一6x+y2+4y+i2=0相

切，則反射光線所在直線的斜率為（）

431553

A.——或——B.——或一一C.-D.-

347774

【題型4】求弦長(zhǎng)以及由弦長(zhǎng)求直線方程

基礎(chǔ)知識(shí)

利用垂徑定理：半徑毛，圓心到直線的距離d,弦長(zhǎng)/具有的關(guān)系,=1+（5）2,這也是求弦長(zhǎng)最常

用的方法.

/“典型例題/

10.直線3x+4y=o與圓“：（％一2）2+（〉一1）2=16交于4,2兩點(diǎn)，則的面積為（）

A.4石B.4A/2C.D.2a

11.已知直線、=丘+1與圓d+V=4相交于兩點(diǎn)，^\MN\=414,則網(wǎng)=（）

A.-B.1C.72D.2

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】（河北石家莊?期末）圓/+丁-4x+4yT=。被直線版-44=0截得的弦長(zhǎng)等

【鞏固練習(xí)2】?jī)善叫兄本€4：依+>=0與直線人：區(qū)+>+2=。分另U與圓M:f+/一4x-4y=0相交

于點(diǎn)A,B和C,D,若|他|=4夜，則AACD的面積為（）

A.2-72B.2石C.4D.3亞

【鞏固練習(xí)3】已知圓C：X2+/-4A-=0,直線/恒過(guò)點(diǎn)P（4,l）.當(dāng)直線/與圓C相交于A,8兩點(diǎn),

且|A8|=2石時(shí)，求/的方程.

【鞏固練習(xí)4】（23-24高二下?安徽亳州?期中）已知圓C:d+y2+依一刀=0（。>。）關(guān)于直線y=-2x

對(duì)稱，且過(guò)點(diǎn)尸（0,8）.

（1）求證：圓C與直線x+2y-16=0相切；

⑵若直線/過(guò)點(diǎn)（1,。）與圓C交于43兩點(diǎn)，且|AB|=4,求此時(shí)直線/的方程.

【題型5】圓與圓的位置關(guān)系，公切線及公共弦

基礎(chǔ)知識(shí)J

1、圓和圓的五種位置關(guān)系：相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，并結(jié)合圖像掌握它們的代數(shù)表示方式

以及公切線條數(shù)

2、若兩圓相交，則它們方程相減即為公共弦所在直線的方程

//典型例題/

12.圓C：1+：/-2工+4>=/一50>0）與圓￡）:/+；/=6的位置關(guān)系不可能（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.相交D.外切

13.已知圓G:爐+y2=1與圓C2：（x-a）2+（y_l）2=16（a>0）有4條公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（）

A.（0,20）B.（2A/^,+CO）

C.（0,2同D.（2赤+8）

14.圓f+V+x-2y-20=0與圓/+V=25相交所得公共弦長(zhǎng)為

15.（多選）已知圓q：/+y2-2x-3=0和圓Q：/+V-2y-l=0的交點(diǎn)為4,8,則下列說(shuō)法正

確的是（）

A.兩圓的圓心距0]。2=V2

B.直線AB的方程為無(wú)7-1=。

C.圓儀上存在兩點(diǎn)尸和0，使得尸。＞48

D.圓。上的點(diǎn)到直線48的最大距離為2+&

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】若圓C]：Y+y2=l與圓C2：必+/2-8尢一6丫+7"=0內(nèi)切，則機(jī)=（）

A.29B.9C.-11D.19

【鞏固練習(xí)2】設(shè)。＞0,若圓（x-4+9=1與圓/+y=25有公共點(diǎn)，則。的取值范圍為（）

A.（0,4）B.{4}

C.（4,6）D.[4,6]

【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上.山東日照.期末）若兩圓G：x2+y2+2x=。與c”

Y+y2-4x-8y+機(jī)=0外離，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.m>4B.m<4C.0<m<4D.4<m<20

【鞏固練習(xí)4】已知圓a；/+2x+y2=io與圓O2：/+y2-x-3y=4交于42兩點(diǎn)，貝力4引=（）

A.半B.5C.726D.36

模塊二中檔題型

【題型6】軌跡問(wèn)題（阿氏圓，相關(guān)點(diǎn)法，定義法）

核心?技巧

求與圓有關(guān)軌跡方程的常用方法

1.定義法

當(dāng)題目條件符合圓的定義時(shí)，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出圓的方程.

2.直譯法

直接將題目條件翻譯成代數(shù)方程，求解軌跡方程.

3.直接法

當(dāng)題目條件中含有與該點(diǎn)有關(guān)的等式時(shí)，可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程.

4.幾何法

利用圖形的幾何性質(zhì)，確定等量關(guān)系，設(shè)點(diǎn)、列式，求解軌跡方程.

5.代入法(或相關(guān)點(diǎn)法)

當(dāng)題目條件中已知某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，而要求的點(diǎn)與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)時(shí)，常找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)

系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程

/“典型例題/

16.動(dòng)圓%2+y1-(4根+2)尤-2沖+4〃/+4m+1=0的圓心的軌跡方程是.

17.已知圓C：(x-iy+(>-2)2=8,若41,0),點(diǎn)3是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡

方程，并說(shuō)明表示什么曲線.

18.已知點(diǎn)4(-3,2)、2(1,-4),過(guò)A、8作兩條互相垂直的直線4和4，則4和4的交點(diǎn)A7的軌跡

方程為(化為標(biāo)準(zhǔn)形式)

19.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)。(0,0),A(3,0)的距離之比等于g.

(1)求點(diǎn)時(shí)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡的形狀;

(2)已知點(diǎn)p(無(wú),y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，求2/+/的最大值.

/u鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(8,6),端點(diǎn)A在圓(無(wú)+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，則線段AB

的中點(diǎn)P的軌跡方程為.

【鞏固練習(xí)21(24-25高三上?廣西南寧?階段練習(xí))已知曲線+設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)A與

定點(diǎn)8(3,0)連線的中點(diǎn)為P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為()

x|1+/=；B.x-|C.Q+||+FD.

A.+I+F

【鞏固練習(xí)3】已知兩定點(diǎn)A、3的坐標(biāo)分別為：A(4,0)、8(1,0),動(dòng)點(diǎn)Af滿足=

求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

【鞏固練習(xí)41(23-24高二上?福建泉州?期中)已知圓C：￡+y2-2y-4=0,直線/：tm-y+l-m=Q.

⑴設(shè)/與圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；

Ap1

(2)若定點(diǎn)P(l,l)分弦A8為n=：,求此時(shí)直線I的方程.

CD2

【題型7】圓的4類常考最值問(wèn)題

/核心?技巧/

求解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，其通法是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想，與圓有關(guān)的最值問(wèn)題主要表現(xiàn)在求

幾何圖形的長(zhǎng)度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面.解決此類問(wèn)

題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化

/“典型例題/

20.（23-24高三上?河南駐馬店?期末）若點(diǎn)尸（x,y）是圓C:/+y-8x+6y+16=0上一點(diǎn)，則%2+y1

的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

21.當(dāng)圓C:Y-4x+y2-5=0截直線/:%一切+5一3=0所得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)機(jī)=（）

A.&B.-1C.-72D.1

22.（23-24高二上?江蘇無(wú)錫?期中）若圓/+/2+2*-4、+1=0被直線2依-勿+2=0（4>0,6>0）平

分，則1的最小值為（）

ab

A.-B.9C.4D.-

49

23.設(shè)點(diǎn)A（l,0）,N（-2,3）,直線/:x+ay+2a-l=0,AMJJ于點(diǎn)M,則的最大值為.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)。若實(shí)數(shù)尤,y滿足Y+v=1,則7（%-1）2+（^-1）2的最大值是

【鞏固練習(xí)2】若點(diǎn)P（x,y）在圓元2+/一4丫+1=。上，則（x-a+V的最小值為.

【鞏固練習(xí)3】已知直線2:（2伊+l）x+（l-m）y+—+2=。與圓O：/+y2=4相交于A,8兩點(diǎn)，則||A用

的最小值為（）

A.2&B.2后C.V2D.6

【鞏固練習(xí)4】已知點(diǎn)P為圓M+y2=l上一點(diǎn)，記d為點(diǎn)P到直線x-my-2=0的距離.當(dāng)加變化時(shí),

d的最大值為.

【鞏固練習(xí)5】已知圓工2一4%+'2-2丫=5關(guān)于直線2辦+y+Z?-3=0（〃，Z?為大于0的數(shù)）對(duì)稱，

則的最小值為_(kāi)___，此時(shí)直線方程為_(kāi)____.

ab

【鞏固練習(xí)6】已知直線4：mx-y+2=0,/2：x+my+2=0,m^R,若4和。交于點(diǎn)Af，貝！

的最大值是.

【題型8】直線與半圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

/核心?技巧/

一、半圓方程

例：化簡(jiǎn)曲線C：＜—J4—=0

移項(xiàng)后兩邊平方得％2=4—丁2=%2+,2=4,通過(guò)方程看曲線是整圓，但要滿足XN0的條件

所以曲線其實(shí)是右半圓.這就提醒我們，比如：“兩邊平方”、“分式化整”、“實(shí)際問(wèn)題情境''等，要留

意是否恒等變形.

二、觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)

觀察動(dòng)直線是斜率為定值還是直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)直線斜率為定值時(shí)，此直線在平移的過(guò)程

中，利用圖形，抓關(guān)鍵點(diǎn)，什么時(shí)候是有一個(gè)和兩個(gè)公共點(diǎn)，相交相切位置要清楚，然

后利用點(diǎn)到直線的距離與半徑的不等關(guān)系得出參數(shù)的范圍.當(dāng)直線恒過(guò)定點(diǎn)時(shí)，直線在

旋轉(zhuǎn)，方法和平移類似，抓關(guān)鍵點(diǎn)和位置

///典型例題/

24.直線/：y=x+〃z與曲線C:尤+迪彳=0有兩個(gè)公共點(diǎn)，則加的取值范圍是（）

A.[1,V2)B.(1,A/2]C.(3,3回D.[3,3⑹

25.若曲線y=l+7?二？（-24尤（2）與直線尤-，+根=。有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

/u鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)11直線x+y+a=O與半圓y=_Ji—d有兩個(gè)交點(diǎn),貝IJ。的值是—.

【鞏固練習(xí)2】若曲線+與直線y=內(nèi)x-2）+4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值

范圍是.

【鞏固練習(xí)3］若直線區(qū)+V+2-2左=0與曲線-（y-iy+l=x有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)上的取

值范圍是.

【題型9】雙切線模型與切點(diǎn)弦方程

核心?技巧

1,切點(diǎn)弦方程（二級(jí)結(jié)論）：圓外一點(diǎn)？（乙）,%）向圓/+/=戶作切線，兩個(gè)切點(diǎn)A,B的連線方

程為吃了+%丁=/（類似的其余圓錐曲線都有此類方程）

2、雙切線性質(zhì)：OP_L/時(shí)候

①切線長(zhǎng)最?。虎谇悬c(diǎn)四邊形面積最??；③切點(diǎn)弦AB最短；④切線夾角最大；⑤AB平行/

3、切點(diǎn)弦的方程的常規(guī)求法：如圖，易知PAOB四點(diǎn)共圓，且PO為圓的直徑，而AB為兩圓的公

共弦

///典型例題/

26.已知圓C:尤2+y2-2x-4y-4=0外一點(diǎn)尸過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和

B,則直線的方程為.

27.（23-24高二上?四川南充?階段練習(xí)）已知圓“：/+（廣2）2=1,點(diǎn)尸為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)?

作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,貝的最小值為.

28.過(guò)點(diǎn)2（-2,0）作圓Y+V-4y=1的兩條切線，圓心坐標(biāo)為C,設(shè)切點(diǎn)分別為A,B,則四邊形

R4cB的面積為（）

A.AB.2715C.亞D.跡

88

29.（高二上?湖北黃石?期末）已知點(diǎn)尸是直線/：x+y=4上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓。:/+必=2的切

線，切點(diǎn)分別為A、B,則直線AB恒過(guò)定點(diǎn),四邊形B4O3面積的最小值__.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】若過(guò)點(diǎn)P（2,2）向圓C：/+/=1作兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,求直線A8的方程

【鞏固練習(xí)2】已知圓跖（龍-行+（y-2）2=5和點(diǎn)尸（3,5）,過(guò)點(diǎn)P作圓〃的切線，切點(diǎn)分別為A,

B,則三角形PAB外接圓的方程為.

【鞏固練習(xí)3】設(shè)點(diǎn)尸為直線，：2尤+y-4=0上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓O:/+y2=l的切線，切點(diǎn)分

別為A,B,則直線必過(guò)定點(diǎn)

【鞏固練習(xí)4】已知圓C:尤2+V-2x-4y-4=0,P為直線/：x+y+2=0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的

兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B,當(dāng)四邊形24cB的面積最小時(shí)，則直線AB的方程為.

【題型10】直線與圓的聯(lián)立：韋達(dá)定理計(jì)算

解決直線與圓相交問(wèn)題，韋達(dá)定理題型常用步驟:

⑴得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為孫必）：

⑵聯(lián)立直線與圓方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程;

（3）寫出韋達(dá)定理：

（4）將所求問(wèn)題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為了］+々形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解

/“典型例題/

30.（23-24高二上?遼寧大連?期中）已知圓。:無(wú)2+丁-6》-4〉+12=0,加川是圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)4（1,0）,

且畫7=力麗，則麗■.布的值為（）

A.V7B.7C.2&D.8

31.（2024高二上?江蘇?專題練習(xí)）己知直線/：（僅+2）尤+（1-2m）y+6切一3=0與圓C：Y+/-4x=0,

設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線/與圓C交于”,N兩點(diǎn),且直線OMQN的斜率分別為匕，k2，則h+k2

32.（23-24高三下?遼寧?階段練習(xí)）已知直線y=x+4與圓C：（無(wú)一iy+（y_3）2=8交于N兩點(diǎn),

。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|“N卜,OMON=.

/“鞏固練習(xí)/

【鞏固練習(xí)1】在平面直角坐標(biāo)系X0V中，過(guò)點(diǎn)M（l,0）的直線/與圓/+V=5交于A,B兩點(diǎn)，其

中A點(diǎn)在第一象限，且麗r=2涼，則直線/的傾斜角為.

【鞏固練習(xí)2】（23-24高二上?湖北?期中）已知圓C的半徑為2,圓心在x軸正半軸上，直線

3元一4>+4=0與圓C相切.

⑴求圓C的方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)（o,-3）的直線/與圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且出.礪=3，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線/的

方程.

【鞏固練習(xí)3】（23-24高二上?陜西西安?階段練習(xí)）已知圓（7:犬+丁一?-6>+4=0,過(guò)點(diǎn)尸（4,2）的

直線/與C交于點(diǎn)N,且|MV|=4.

（1）求/的方程；（2）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，求麗.而.

【題型11】直線與圓的綜合：定點(diǎn)，定值，定線模型

/核心?技巧/

一、定點(diǎn)問(wèn)題

1.證明直線過(guò)定點(diǎn)，一般情況下，通過(guò)題中條件，尋找直線丁=履+6中〃=/（口的函數(shù)關(guān)系，或

者設(shè)參，求解出含參直線方程，再求解出含參直線所過(guò)的定點(diǎn)。

2.證明定點(diǎn)，可以通過(guò)特殊化法先確定定點(diǎn)坐標(biāo)，再證明定點(diǎn)適合題意。

二、定值問(wèn)題

探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：

①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)：

②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問(wèn)題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量,

最后消元得出定值。

三、定直線問(wèn)題

定直線問(wèn)題往往是動(dòng)點(diǎn)所在的定直線、動(dòng)圓的定切線，含有多個(gè)參數(shù)，其幾何特征不明顯，解決時(shí)

常常不知從何入手，此時(shí)，須緊扣等量關(guān)系恒成立，應(yīng)用待定系數(shù)法來(lái)處理。

四、?？寄Ｐ停?）:/模型（極點(diǎn)極線背景）

形態(tài)1:如圖，已知圓x1+y-=r2,M,N為圓。與無(wú)軸左右交點(diǎn)，直線A8交圓O于兩

點(diǎn)直線AM與直線BN交于點(diǎn)P

結(jié)論一：若點(diǎn)尸在直線x=a上運(yùn)動(dòng)，連接PM得到點(diǎn)A,連接PN得到點(diǎn)B,則直線AB過(guò)定點(diǎn)一,0

Ia

結(jié)論二：若直線過(guò)定點(diǎn)（a,0）,則P點(diǎn)軌跡為x=L

a

形態(tài)2:如圖，已知圓O;x2+j;2=r2,直線A8交圓O于A,3兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)，點(diǎn)K為圓外

x軸上一點(diǎn)

結(jié)論三：①點(diǎn)。（〃,0）;②點(diǎn)k-,0；③七.聯(lián)=°（即不軸平分NAK3）,以上3個(gè)條件知二得一

Va）

形態(tài)3:如圖，已知圓O；%2+=r2,直線A8交圓O于A,5兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)K,點(diǎn)。為圓內(nèi)

x軸上一點(diǎn)

結(jié)論三：①點(diǎn)三（。,0）；②點(diǎn)左③KQ+&Q=0（即N1=N2）,以上3個(gè)條件知二得一

a

五、?？寄Ｐ停?）:手電筒模型（平移齊次化）

如圖，P,A,3為圓上三點(diǎn)（尸點(diǎn)也可以在圓外）

結(jié)論一：若直線AB過(guò)定點(diǎn)，則kpA+kpB或kpA-kpB為是值■

k

結(jié)論二：若怎A+pB或■kPB為定值則直線AB過(guò)定點(diǎn)

33.（23-24高二上?天津南開(kāi).期中）點(diǎn)M是直線2x-y+5=。上的動(dòng)點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以為

直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（）.

A.(0,0)和(-M)B.(0,0)和(-2,2)

C.(0,0)和(—1,2)D.(0,0)和(-2,1)

34.（2024高二上?江蘇?專題練習(xí)）已知圓C的圓心坐標(biāo)為C（3,0）,且該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0,4）.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線機(jī)交圓C于N兩點(diǎn),若直線AM,AN的斜率之和為0,求證：直線機(jī)的斜率是定值，并

求出該定值.

35.如圖所示，已知圓O:/+y2=i6與x軸交于A、B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)尸（2,0）的直線/與圓交于M、N

兩點(diǎn)，探究直線AN、5M交點(diǎn)。是否在定直線上.若是，請(qǐng)求出該直線；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

36.（23-24高二上?重慶?階段練習(xí)）已知圓C與直線x-6y+2=0相切于點(diǎn)（1,白卜且圓心C在x

軸的正半軸上.

⑴求圓C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)A（LO）作直線交圓C于N兩點(diǎn)，且M,N兩點(diǎn)均不在無(wú)軸上，點(diǎn)3（4,0）,直線和直

線交于點(diǎn)G.證明：點(diǎn)G在一條定直線上，并求此直線的方程.

37.（2024高二?全國(guó)?專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C:/+V=/和直線=a（其

中r和4均為常數(shù)，且0<r<a）,V■為/上一動(dòng)點(diǎn)，A，&為圓C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，直線

與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P,Q.

(1)若r=2,M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,2),求直線P。方程；(2)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).

38.(23-24高二上?山東淄博?期中)