二次函數(shù)-2023年中考數(shù)學一輪復習

專題09二次函數(shù)

區(qū)命理趨勢

二次函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考的重點。這部分知識命題形式比較靈活，既有

填空題、選擇題，又有解答題，而且常與方程、幾何、銳角的三角比在一起，顯現(xiàn)在解答題中。因此，熟

練把握二次函數(shù)的相關(guān)知識，會靈活運用一般式、頂點式、交點式求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應用題

的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。

在知巧導圖

二次函數(shù)二次函數(shù)的

的定義圖像及性質(zhì)

ra?致與］

-itr勸

LseasaJ

二次函數(shù)解

析式的求法

‘，音的,

實際應用

一、二次函數(shù)的概念

概念：一般地，形如y=a/+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a40)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。

注意：二次項系數(shù)aK0,而6,c可以為零.

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征：

(1)等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量X的二次式，X的最高次數(shù)是2.

⑵a,b,c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：y=a/+bx+c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：y=a(x-/?)?+匕已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(3)交點式：已知圖像與x軸的交點坐標再、x2,通常選用交點式：y=a(x-x^x-x2).

一、單選題

1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是(

2

y=x+2

A.B.1J

C.y=(2x-l)2-4x2D.y—2-3x2

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可.

【解析】解：A、＞=x+2未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意;

B、＞=彳未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意；

X

C、y=(2x-l『-4/=4/-4x+l-=-4x+l未知數(shù)的最高次不是2,不是二次函數(shù)，不符合題意;

D、＞=2-3%2是二次函數(shù)，符合題意;

故選D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如了="2+6尤+。(。/0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).

2.下列各點中，在二次函數(shù)了=x?-8x-9圖象上的點是(

A.(―1,—16)B.(1,—16)C.3,—8)D.(3,24)

【答案】B

【分析】把選項坐標代入二次函數(shù)驗證即可.

【解析】A.y=l+8-9=0'-16,選項錯誤，不符合題意；

B.7=1-8-9=-16=-16,選項正確，符合題意；

C.?=9+24-9=24]-8,選項錯誤，不符合題意；

D.y=9-24-9=-24l24,選項錯誤，不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是把選項坐標代入二次函數(shù)驗證.

3.若函數(shù)y=("L3)，T+5是關(guān)于X的二次函數(shù)，則加=()

A.-3B.3C.3或-3D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進行求解即可.

【解析】解：：函數(shù)尸("-3”5+5是關(guān)于苫的二次函數(shù)，

.JH-1=2

［加-3wO'

冽=—3,

故選A.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟知形如>=依2+瓜+4470）的函數(shù)是二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

4.已知拋物線了=-f+6x+4經(jīng)過（-2,-4）和（4,〃）兩點，則"的值為（）

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】B

【分析】將（-2,-4）代入解析式，求出b值，再將（4,〃）代入解析式，求出"值即可.

【解析】解：將（-2,-4）代入函數(shù)解析式，得：_4=-（-2『+（-2）6+4,

解得：b=2,

??——x~+2x+4,

當x=4時，y=-42+2x4+4=4,即：n=—4■

故選：B.

【點睛】本題考查求二次函數(shù)的函數(shù)值.解題的關(guān)鍵的是利用待定系數(shù)法，正確的求出二次函數(shù)解析式.

5.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（TO）,（2,0）,（0,2）三點，則該函數(shù)的解析式為（）

A.y=—x?+x+2B.y-+x—2C.y=x2+3x+2D.y——x~—x+2

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過三點，可以設(shè)二次函數(shù)一般式求出解析式

【解析】解：設(shè)yuaf+fcr+c,

把（-1,0）,（2,0）,（0,2）分別代入戶辦2+加+6得

a-b+c=Q

<4a+26+c=0,

c=2

解得a=-l,b=l,c=2,

該函數(shù)的解析式是：y=-x2+x+2,

故選：A

【點睛】此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握用二次函數(shù)

一般式求出解析式是解題關(guān)鍵.

6.將拋物線y=（x-l）2+2沿〉軸折疊后得到的新拋物線的解析式為（）

A.y=（x+l/_2B.了=（尤-1）2_2C.y=-（x-1）2-2D.y=（x+1）"+2

【答案】D

【分析】關(guān)于了軸對稱的兩點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相同，據(jù)此解答即可.

【解析】解：根據(jù)題意，得

翻折后拋物線的解析式的解析式為：y=（-x-l）2+2.

即y=（x+1）2+2.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換.總結(jié)：關(guān)于X軸對稱的兩點橫坐標相同，縱坐標坐標互為

相反數(shù).關(guān)于了軸對稱的兩點縱坐標相同，橫坐標坐標互為相反數(shù).關(guān)于原點對稱的兩點橫、縱坐標均互

為相反數(shù).

7.小宇利用描點法畫二次函數(shù)＞="2+樂+°（。*0）的圖象時，先取自變量x的一些值，計算出相應的函數(shù)

值y,如下表所示：

X01234

y40-103

接著，他在描點時發(fā)現(xiàn)，表格中有一組數(shù)據(jù)計算錯誤，他計算錯誤的一組數(shù)據(jù)是（）A.x=4,y=3

B.x=3,y=0C.x=2,y=-lD.x=0,y=4

【答案】D

【分析】利用表中數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為直線丈=2,則頂點坐標為（2,-1）,再利用待

定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進行驗證.

【解析】；x=l和尤=3時，y=0；

.?.拋物線的對稱軸為直線x=2,

頂點坐標為（2,-1）,

設(shè)拋物線為y=a（x-2）2-1,

把x=l,y=0代入得0=a-l,

??67—1,

該二次函數(shù)解析式為y=（尤-2『-1,

當x=0時，＞=22-1=3x4,

x=0,y=4錯誤.

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，找出圖表數(shù)據(jù)特點，根據(jù)函數(shù)的對稱性解答即可，注意進行驗證，

以確保判定的正確性.

8.二次函數(shù)y=af+6x+c（a,b,c為常數(shù)，且0w0）中的x與y的部分對應值如表，下列選項正確的是

X......-20134......

y......6-4-6-4m......

A.m=6B.這個函數(shù)的圖像與X軸無交點

C.二次函數(shù)>=62+歷；+0有最小值_6D.當x<l,y的值隨x值得增大而減小

【答案】D

【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達式，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項.

【解析】解：：根據(jù)二次函數(shù)的x與y的部分對應值圖，

當x=-2時，y=6,當無=0時，y=-4,當尤=1時，y=-6,

6=4a-2b+cftz=1

<-4=c,解得：<b=—3，

-6=a+b+cc=-4

??y=x2—3x—4,

令x=4,貝［|加=歹=42—3x4—4=0,故A錯誤；

V(-3)2-4xlx(-4)=25>0,

這個函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點，故B錯誤；

函數(shù)有最小值為4xlx(一4)一(一3)=一生,故c錯誤，

4x14

-33

?.?拋物線的對稱軸為直線x=開口向上，

2x12

3

當X<；,y的值隨x值得增大而減小，

即當尤<1,y的值隨x值得增大而減小，故D正確，

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)與不

等式，有一定難度.熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.已知關(guān)于x的二次函數(shù)了=(加-1)尤2-X+/-1的圖象經(jīng)過原點，則/的值為.

【答案】-1

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過原點，把(0,0)代入函數(shù)表達式，即可求出機的值，再根據(jù)二次函數(shù)的定義，排

除不符合題意的加的值即可.

【解析】解：把(0,0)代入了=(加-l)x2-x+療一1得：o=m2-l,

解得:叼=1,加2=T，

*.*j^=（m-l）x2—x+加之—1為二次函數(shù)，

丁?加一1w0,即加w1,

??in——1,

故答案為：-1.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)的定義，圖象經(jīng)過原點時x=0,y=0,

是本題的關(guān)鍵.

10.寫出一個開口向上，且與y軸的負半軸相交的拋物線的解析式：.

【答案】了=￡-1（答案不唯一）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，所寫出的函數(shù)解析式滿足。＞0,c＜0即可.

【解析】解：開口向下，并且與y軸交點在〉軸負半軸的拋物線的表達式可以是y=

故答案為：y=f-l（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).本題屬于開放性試題，答案

不唯一.

11.函數(shù)y=（左+l）/"-2x的圖象是拋物線，則左的值是.

【答案】1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解.

【解析】解：：函數(shù)y=（左+l）/M-2x的圖象是拋物線，

?,?左+lw0,左？+1=2,

解得：左。一1,左=±1.

：?k=1.

故答案為：1.

【點睛】題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如歹="2+法+0（。。0）的函數(shù)關(guān)系，稱為y關(guān)于％的

二次函數(shù)，其圖象為拋物線是解題的關(guān)鍵.

12.已知函數(shù)＞=（"1）””+2尤-1為二次函數(shù)，則上的值為.

【答案】-1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可得到答案.

【解析】解：依題意，得

咽+1=2

[k-1^0

解得k=-1

故答案為-1

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，正確把握二次函數(shù)次數(shù)與系數(shù)的值是解題關(guān)鍵.

13.已知拋物線了=/+蛆+〃的圖象經(jīng)過(-3,0),(1,0),則此拋物線的頂點坐標是

【答案】(-1，-4)

【分析】利用待定系數(shù)法求解析式，再將其化為頂點式，即可求解.

【解析】：拋物線了=/+必+〃的圖象經(jīng)過(-3,0),(1,0),

9-3m+H=0

1+加+幾=0

m=2

解得:

〃=—3

y—%2+2x—3=(x+1)2—4,

???拋物線的頂點坐標為(-1，-4)

故答案為：(-1，-4)

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式是解

題的關(guān)鍵.

誣重聲考向

二、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)了=。/十法+。的圖象是對稱軸平行于了軸的一條拋物線

拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①a決定拋物線的開口方向：

當a>0時，開口向上；當a<0時，開口向下；時相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于歹軸(或重合)的直線記作x=h.特別地，y軸記作直線x=0.

③頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、

開口大小完全相同，只是頂點的位置不同

求拋物線的頂點、對稱軸：

,(bY4ac-b2b4ac—beh

y=ax~2+bx+c=a\x-\H-------------.??頂點坐標(-二，)對稱軸是直線x=2

"2a)4a2a4a2a

2.二次函數(shù)的性質(zhì)

二次函數(shù)j=M+bx+c的性質(zhì)對應在它的圖象上，有如下性質(zhì):

二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

y=ax2y=ax2y=a[x+m)y-a(x+c)2y=ax2

拋物線+c+c+Z?x+c

4ac-b2

+------------

4a

開口方向當Q>0時開口向上，并向上無|浪延伸；

當QV0時開口向下，并無限向下延伸。

頂點坐標(0,0)(0,c)(加，0)(m,k)

b4ac-b2

(-,)

2a4a

對稱軸y軸了軸直線x=m直線x=m直線x=-2

2a

A=0時萬)時X=m時X=m時

bb2

a>0X=-‘時，Ymin=4ac-一

仆04in~C4m=04in=C2a4a

最

值A(chǔ)=0時x=o時X=m時X=m時

bb2

a<0X=-‘時，Ymin=4ac-一

Yc

Lm=0mm=Lm=0Lin=。2a4a

在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小

a>0

增在對稱軸右側(cè)，了隨X的增大而增大

減

性在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大

a<0

在對稱軸右側(cè)，了隨X的增大而增大

3.二次函數(shù)產(chǎn)+外代(。邦)的系數(shù)。，b,c,△與拋物線的關(guān)系

aa決定開口方向：當a>0時開口向上，a<0時開口向下。

a、b同時決定對稱軸位置：a、b同號時對稱軸在y軸左側(cè)

a,ba、6異號時對稱軸在y軸右側(cè)

6=0時對稱軸是了軸

c決定拋物線與j軸的交點：c>0時拋物線交y軸的正半軸

cc=0時拋物線過原點

c<0時拋物線交了軸的負半軸

△決定拋物線與X軸的交點：時拋物線與X軸有兩個交點

△△=0時拋物線與x軸有一個交點

△<0時拋物線與x軸沒有交點

典例引順

1—._______________I

一、單選題

1.將拋物線夕=4-(x+1)2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線必定經(jīng)過點()

A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)

【答案】B

【分析】由題意可確定平移后的拋物線的函數(shù)解析式，再逐一判斷即可.

【解析】拋物線y=4-G+1)2的頂點坐標為(T,4),拋物線y=4-(x+1)2向右平移1個單位，再向下

平移2個單位，所得拋物線的頂點坐標為(0,2),則平移后的拋物線解析式為了=-公+2；

當x=-2時，y=-(-2)2+2=-2,即點(-2,2)不在拋物線了=一，+2上；

當x=T時，y=-(-l)2+2=l,即點(-1,1)在拋物線>=一/+2上；

當x=0時，y=-02+2=2,即點(0,6)不在拋物線y=-―+2上；

當x=l時，y=-l2+2=l,即點(1,3)不在拋物線了=-，+2上；

故選：B

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移、點與函數(shù)圖象的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的平移關(guān)鍵是抓住拋物線

頂點的平移.

2.拋物線y=x2+x+2,點(2,a),(-1,b),(3,c),則a、b、c的大小關(guān)系是()

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.無法比較大小

【答案】A

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對稱軸為直線x=-1,然后比較三個點都直線x=的遠近

22

得到。、b、。的大小關(guān)系.

【解析】解：???二次函數(shù)的解析式為歹=x2+x+2=(x+f2+\,

，拋物線的對稱軸為直線x=-1,

2

(2,a)>(T,b),(3,c),

二點(3,c)離直線x=最遠，(-1力)離直線尤=-1最近，

22

而拋物線開口向上，

:.c>a>b?,

故選：A.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解

析式.

3.若二次函數(shù)了=-/+2履+3的圖象與x軸交點個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.以上都不對

【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程的判別式A>0,即可得出結(jié)論.

【解析】,二次函數(shù)y=--+2履+3,

AA=Z>2-4ac=(2?l)2-4x(-l)x3=4^2+12,

k->Q,

，4萬2+12>0,即A>0,

...二次函數(shù)了=-，+2丘+3的圖象與x軸交點個數(shù)為2個，

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)判別式，進行判斷二次函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)，正確掌握方法是解題的關(guān)鍵.

4.下列關(guān)于二次函數(shù)了=4（x-3『-5的說法，正確的是（）

A.對稱軸是直線x=-3B.當尤=3時有最小值-5

C.頂點坐標是（3,5）D.當x>3時，y隨x的增大而減少

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【解析】解：由二次函數(shù)7=4（尤-37-5可知對稱軸是直線x=3,故選項/錯誤，不符合題意；

由二次函數(shù)了=4（x-3『-5可知開口向上，當x=3時有最小值-5,故選項2正確，符合題意；

由二次函數(shù)了=4（x-3『-5可知頂點坐標為（3,5）,故選項C錯誤，不符合題意；

由二次函數(shù)了=4（x-3）2-5可知頂點坐標為（3,5）,對稱軸是直線x=3,當x<3時，>隨x的增大而減小,

故選項。錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了開口方向，頂點坐標，對稱軸以及二次函數(shù)的增減性.

5.一次函數(shù)尸ax+b與三次函數(shù)尸”2+云+0在同一坐標系中的圖象可能是（）

【答案】B

【分析】先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負，再與二次函數(shù)y=tzx2+bx+c的圖象相比較看是否一

致.

【解析】解：A,由拋物線可知,a<0,x=—<0,得6>0,由直線可知，a>0,b>Q,故本選項錯誤；

2a

B.由拋物線可知，a<0,x=—<0,得b<0,由直線可知，6z<0,b<0,故本選項正確；

2a

C.由拋物線可知，a>0,x=—>0,得6<0,由直線可知，6z>0,6>0,故本選項錯誤；

2a

D.由拋物線可知，Q<0,x=—<0,得b<0,由直線可知，a<0b>0.故本選項錯誤.

2af

故選：B.

【點睛】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象,掌握拋物線和直線的性質(zhì),用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合

題是一種很好的方法.

6.由于被墨水污染，一道數(shù)學題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)了=辦2+云+。的圖象過點（1,0）……求

證這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)一定不具有的性質(zhì)是（）

A.過點（3,0）B.頂點是（2,2）

C.在無軸上截得的線段的長是2D.與V軸的交點是（0,3）

【答案】B

【分析】由題目條件可知該二次函數(shù)圖象對稱軸為02,可求得拋物線與x軸的另一交點，則可判斷A、C；

由拋物線頂點的橫坐標應為對稱軸，即可判斷B；把x=0代入可求得尸c,由c的值有可能為3,故可判斷

D正確.

【解析】解：由題可知拋物線與x軸的一交點坐標為（1,0）,拋物線對稱軸為x=2,

.?.拋物線與x軸的另一交點坐標為（3,0）,

在x軸上截得的線段長是31=2,

：.N、C正確，不符合題意；

:該二次函數(shù)圖象對稱軸為x=2,

???頂點橫坐標應為2,

；.B一定不正確，符合題意；

把x=0代入可求得尸c,

.?.當c=3時，拋物線與y軸的交點坐標為（0,3）,

；.D有可能正確，不符合題意.

故選B.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).掌握函數(shù)圖象上的點關(guān)于對稱軸的對稱點一定也在二次函數(shù)的

圖象上是解題關(guān)鍵.

7.足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，

足球距離地面的高度人（單位：加）與足球被踢出后經(jīng)過的時間1（單位：s）之間的關(guān)系如表：

t01234567

h08141820201814

Q

下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度超過20m；②足球飛行路線的對稱軸是直線f=2；③點（9,0）在

2

該拋物線上；④足球被踢出5s?7s時，距離地面的高度逐漸下降.其中正確的結(jié)論是（）A.②③

B.①②③C.①②③④D.②③④

【答案】C

【分析】由題意，拋物線經(jīng)過（0,0）,（9,0）,所以可以假設(shè)拋物線的解析式為力=gG-9）,把（1,8）

代入可得.=-1,可得〃=-/+%=-（「4.5）2+20.25,由此即可—判斷.

【解析】解：由題意，拋物線的解析式為〃=流（L9）,把（1,8）代入可得。=-1,

：.h=-〃+%=-G-4.5）2+20.25,

足球距離地面的最大高度為20.25m>20/H,故①正確，

二拋物線的對稱軸f=4.5,故②正確，

,>=9時，h=0,

...點（9,0）在該拋物線上，故③正確，

,當f=5時，h=20,當f=7時，力=14,

二足球被踢出5s?7s時，距離地面的高度逐漸下降，故④正確.

...正確的有①②③④，

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)解答.

8.小明在研究拋物線了=（〃為常數(shù)）時，得到如下結(jié)論，其中正確的是（）

A.無論x取何實數(shù)，y的值都小于0

B.該拋物線的頂點始終在直線>=&-1上

C.當-l<x<2時，y隨x的增大而增大，則〃22

D.該拋物線上有兩點/（國,乂），5（X2,J2）,若王<x2，xl+x2<2h,則%>%

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷即可.

【解析】解：A.=+.?.當x=/z時，幾^=-"+1，當〃<1時，Vmax=—〃+1>°，故錯誤；

B.,??拋物線了=1的頂點坐標為（瓦_〃+1）,當x=〃時，y--h-l^-h+\,故錯誤；

C.???拋物線開口向下，當-l<x<2時，y隨x的增大而增大，.【〃之？，故正確；

D.???拋物線上有兩點4（玉,必），B（x2,y2）,若王<馬，x,+x2<2h,，五受<〃，二點/至|J對稱軸的距離

大于點2到對稱軸的距離，.,.必<%,故錯誤.

故選C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

9.如圖，拋物線y=（x-a）2+〃（a>0）與歹軸交于點8,直線了=經(jīng)過拋物線頂點。，過點8作24〃x

軸，與拋物線交于點C,與直線交于點力,若點。恰為線段中點，則線段04長度為（）

A.V26B.3百C.—D.

33

【答案】D

【分析】先根據(jù)拋物線頂點為（。,萬），直線經(jīng)過拋物線頂點。，求出/、B、C三點的坐標，再根據(jù)

點/在直線>=；尤上建立關(guān)于。的方程，求出。值，最后求得。/長度.

【解析】???拋物線頂點為（。,〃），直線經(jīng)過拋物線頂點。,

:.h=-a,

3

/.y—(x-Q)2+—

1

8(0,a7+—a)

又???點。恰為線段ZB中點

2121

二.C(2Q,4+,4(4〃,Q+—tz)；

又,??點4在直線上,

211yl

..QH—a=—x4Q,

33

確牟得：。=1或。=0(舍去);

【點睛】本題考查二次函數(shù)、正比例函數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練應用各性質(zhì).

10.如圖，二次函數(shù)y=ox2+bx+c的圖像與x軸交于點/（-1,0）,與夕軸的交點8在（0,2）與（0,

3）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論：①abc<0；?9a+3b+c>0；③若點可\,%],

〈一2;⑤C—3a>0,其中正確結(jié)論有（）

5

D.5個

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置可判斷①，由拋物線與x軸交點（1,0）

及拋物線對稱軸可得拋物線與x軸另一交點坐標，從而可得尸3時歹>0,進而判斷②，根據(jù)N兩點與

拋物線對稱軸的距離判斷③，由拋物線對稱軸可得b=4a,再根據(jù)x=l時尸0及2<cV3可判斷④，根據(jù)x=l

時歹>0可判斷⑤.

【解析】解：???拋物線開口向下，

???拋物線對稱軸為直線x=3>0，

2a

：.b>0.

???拋物線與y軸交點在x軸上方，

abc<0,①正確.

???拋物線與x軸交點坐標為（1,0）,對稱軸為直線x=2,

???拋物線與x軸另一交點為（5,0）,

當x=3時，y=9a+3b+c>0,②正確.

拋物線開口向下，

22

：.yi<y2,③錯誤.

??上=2,

2a

b=4a，

x=l時，y=a+4a+c=5Q+C=0，

V2<c<3,

.*.3<5tz<2,

32

解得

???④正確，

*.*x=l時，y=a+b+c=3a+c>0,

.??C3Q>0,⑤正確.

故選：C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及

不等式的關(guān)系.

二、填空題

11.拋物線j二一一工的頂點坐標是.

【答案】（;，9）

24

【分析】直接利用配方法求出二次函數(shù)頂點式，進而得出答案.

【解析】解：：y=x27=（x-；）2-；,

拋物線y=/-x的頂點坐標是（；，4）.

故答案為：（；，~）.

24

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確得出頂點式是解題關(guān)鍵.

12.已知拋物線y=/-》一1與x軸的一個交點為（如0）,貝！I代數(shù)式-3加2+3機+2022的值為.

【答案】2019

【分析】先將點（加，0）代入函數(shù)解析式，然后求代數(shù)式的值即可得出結(jié)果.

【解析】解：將（加，0）代入函數(shù)解析式得，m2m1=0,

.".m2m=],

3m~+3m+2022

=3+2022

=3+2022

=2019.

故答案為：2019.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征及求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是將點（加，0）代入函數(shù)

解析式得到有關(guān)切的代數(shù)式的值.

13.已知二次函數(shù)y=（x+機產(chǎn)+2,當x＞2時，y的值隨x值的增大而增大，則實數(shù)加的取值范圍是.

【答案】加2-2

【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點式確定對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)開口朝上，依題意，可知在對稱軸的右側(cè)y的值

隨x值的增大而增大，進而求得相的取值范圍.

【解析】解：二次函數(shù)＞=（x+加）2+2的對稱軸為直線x=-加，且開口朝上

?.?當x＞2時，y的值隨x值的增大而增大，

-mW2,

解得機N-2.

故答案為：m^-2.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)解析式求得開口方向和對稱軸是解題的關(guān)鍵.

14.將拋物線y=-2（x+3）2+3以原點為中心旋轉(zhuǎn)180度得到的拋物線解析式為.

【答案】y=2（x-3）2-3

【分析】求出繞原點旋轉(zhuǎn)180度所得拋物線的頂點坐標，然后根據(jù)頂點式寫出即可.

【解析】解：：拋物線＞=-2（》+3）2+3的頂點為（-3,3）,繞原點旋轉(zhuǎn)180度后變?yōu)椋?,-3）,且開口相反，

...得到的拋物線解析式為y=2（x-3『-3,

故答案為：y=2（x-3）2-3.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則是解答此題的

關(guān)鍵.

15.如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線＞=-0.2/+》+2.25運行，然后準確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的

【答案】4

【分析】將V=3.05代入>=一0.2，+》+2.25中可求出x,結(jié)合圖形可知x=4,即可求出0M

【解析】解：當y=3.05時，-0.2x?+x+2.25=3.05,解得：x=l或x=4,

結(jié)合圖形可知：OH=4m,

故答案為：4

【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應用：投球問題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖形確定x的值.

16.已知二次函數(shù)%=0^+6無與一次函數(shù)%=蛆+"(〃"0)的圖象相交于點/(-1,6)和8(7,3),如

成立的x的取值范圍是

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與兩函數(shù)的交點坐標，即可求得.

【解析】解：；二次函數(shù)必=a/+bx+c(a片0)與一次函數(shù)為=F+"(M*0)的圖象相交于點和

8(7,3),

由圖象可得：使不等式ax2+bx+c<mx+n成立的X的取值范圍是-1<X<7,

故答案為：-l<x<7.

【點睛】本題考查了利用兩函數(shù)的圖象和交點求不等式的解集，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵.

17.如圖，二次函數(shù)了尤+c的圖像與x軸相交于點/、B,與y軸相交于點C.過點。作CDLy軸,

交該圖像于點。.若3(8,0)、0(6,4),則一SC的面積為.

【答案】20

【分析】由拋物線的對稱性及點。，3的坐標可得點/,。的坐標，進而求解.

【解析】解：，點N,3為拋物線與x軸交點，

：.A,8關(guān)于拋物線對稱軸對稱，C,。關(guān)于拋物線對稱軸對稱，

,:D(6,4),

...點C坐標為(0,4),

拋物線對稱軸為直線x=3,

由3(8,0)可得點/坐標為(2,0),

：.SAABC=^AB>OC=^X10X4=20,

故答案為：20.

【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

18.定義:在平面直角坐標系中，若點A滿足橫、縱坐標都為整數(shù)，則把點A叫做“整點”如：3(3,0)、C(-l,3)

都是“整點”.當拋物線了=?2-4<?+1與其關(guān)于x軸對稱拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)(包括邊界)共有9個整

【分析】通過拋物線的解析式可得對稱軸為x=2,過點(0,1),對。分情況討論。>0或"0,分別求解即可.

【解析】解：由了=辦2-4辦+1可得x=2,過點(0,1),

當a<0時，開口向下，如下圖：

此時整點有(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(0,1),(1,1),(2,點(3,1),(4,1)…等等,顯然超過9個，不符合題意;

此時整數(shù)點為（L0），（2，°），（3，。），（DOT）,。-）,（1,1）,（2,1）,（3』）

-2<-3a+l<-l解得2了啖3

-2<-4?+l<-1

故答案為:23

34

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的新定義問題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)與一元一次不等式組的求解，解題的

關(guān)鍵是理解題意，并列出不等式組.

三、解答題

19.如圖，拋物線蘆=4+花+。的圖像經(jīng)過/（4,0）、8（0,-4）兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點A先向左平移1個單位，再向下平移3個單位得到點C,請判斷點C是否在拋物線上.

【答案】⑴昨X2_3X_4

（2）不在，過程見解析

【分析】（1）把點/（4,0）、8（0,-4）代入了=/+樂+。，利用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式;

（2）根據(jù)點的坐標平移規(guī)律，先確定點C的坐標，然后將點C的橫坐標代入（1）中所得二次函數(shù)解析式

進行計算，將所得的函數(shù)值與點C的縱坐標比較即可作出判斷.

（1）

解：???拋物線昨下+法+c的圖像經(jīng)過/（4,0）、8（0,-4）兩點,

0=16+46+c

c=-4

b=-3

解得:

c=-4

拋物線的解析式為丁=X2-3X-4.

(2)

?.?點44,0）先向左平移1個單位，再向下平移3個單位得到點C,

C(3,-3),

當x=3時，J=32-3X3-4=-4^-3,

.?.點C不在拋物線上.

【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，點坐標平移的變化

規(guī)律?點的坐標平移變化規(guī)律：（1）將點左右平移縱坐標不變，上下平移橫坐標不變；（2）將點向右（或

向上））平移幾個單位長度橫坐標（或縱坐標）就增加幾個單位長度；將點向左（或向下）平移幾個單位長

度橫坐標（或縱坐標）就減少幾個單位長度.理解和掌握點的坐標平移變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，直線”=-gx+2與x軸交于點反拋物線內(nèi)=-gx2+，x+c與該直線交于/、2兩點，交了軸于

點。(0,4),頂點為C.

(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并求出點/的坐標.

(2)求二次函數(shù)圖像與x軸的交點￡的坐標，并結(jié)合圖像，直接寫出當方％40時，x的取值范圍.

【答案】(1)點A的坐標(—L"I),"=—；x?+x+4

(2)x<—2或x=4

【分析】(1)根據(jù)直線乂=-/x+2與x軸交于點2,可以求得了=0時對應的x的值，從而可以得到點2的

坐標，再根據(jù)拋物線%=+bx+c過點。和點B,即可求得該拋物線的解析式，然后與直線乂=-1x+2

聯(lián)立方程組，即可求得點/的坐標；

(2)根據(jù)(1)求得的拋物線解析式，可以求得二次函數(shù)圖像與x軸的交點￡的坐標，然后結(jié)合圖像，可

以寫出當必,%40時，x的取值范圍.

(1)

由直線%=—1+2與x軸交于點2,可得點2的坐標為(4,0).

把點2(4,0)與點。(0,4)代入%=—；/+6x+c得

卜8+46+。=0

Ic=4

b=l

解得

c=4'

1

=——X7+X+4,

???點4為直線必=-；工+2與拋物線必=-；、+2的交點,

???解方程一+2--X2+X+4

2

得X=-1,

5

???點4的坐標(一1,

2

(2)

當%=。時，一；/+尤+4=0,

解得X]=-2,x2—4,

.?.點￡的坐標為(2,0),

結(jié)合圖像，當片為40時，x的取值范圍是爛一2或x=4.

【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是

解答本題的關(guān)鍵.

21.二次函數(shù)了=(優(yōu)+1)尤2-2(m+l)x-2%+4.

(1)求該二次函數(shù)圖象的對稱軸；

⑵若圖象過點4-2,〃)，且一4</<3,求加〃的取值范圍；

⑶若點尸(心%),。(2,%)在該二次函數(shù)圖象上，且必4%,求為的取值范圍.

【答案】⑴x=l

(2)-6<mn<90

(3)加>-1時，0V玉V2；機<一1時再40或再22

【分析】(1)根據(jù)》=-二計算即可；

(2)將4-2,附)代入二次函數(shù)解析式中得〃的表達式，從而得到小〃的表達式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到加〃

的取值范圍；

(3)二次函數(shù)的圖象分開口向上和開口向下兩種情況，分別計算玉的取值范圍即可.

【解析】(1)解：對稱軸為直線x=

2(m+1)

(2)解：將/(-2,〃)代入二次函數(shù)解析式中得：

n=4(m+l)+4(m+D-2m+4=6m+12,

mn=m(6m+12)=6m2+12m=6(m+1)2-6,

??,二次函數(shù)的二次項系數(shù)不等于0,

???加+1w0,

加W一1,

mn>-6；

Vmn=6(m+1)2—6,且一4<加<3,

二.當加=3時，mn=6x(3+1)2-6=90,

mn<90,

綜上所述，-6<H〃<90；

(3)當加+1>0時，即用>-1時，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線x=l,

點0(2,%)關(guān)于對稱軸x=1的對稱點為Q'(O,y2),

%4%，

0<Xj<2；

當機+1<0時，即"7<-1時，二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線X=l,

點。(2,%)關(guān)于對稱軸x=1的對稱點為,

必4%，

，網(wǎng)40或占22

綜上所述，加>-1時，0<^<2；機<一1時占40或再22.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,

第(3)問進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

22.“燃情冰雪，一起向未來”，北京冬奧會于2022年2月4日如約而至，某商家看準商機，進行冬奧會吉

祥物“冰墩墩”紀念品的銷售，每個紀念品進價40元.規(guī)定銷售單價不低于44元，且不高于60元.銷售期

間發(fā)現(xiàn)，當銷售單價定為44元時，每天可售出300個，由于銷售火爆，商家決定提價銷售.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)

現(xiàn)，銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個.

(1)求當每個紀念品的銷售單價是多少元時，商家每天獲利2640元；

(2)將紀念品的銷售單價定為多少元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤卬元最大？最大利潤是多少元？

【答案】(1)當每個紀念品的銷售單價是52元時，商家每天獲利2640元

(2)當紀念品的銷售單價定為57元時，商家每天銷售紀念品獲得的利潤W最大，最大利潤是2890元

【分析】(1)設(shè)每件紀念品銷售價上漲x元，根據(jù)題意列出一元二次方程，解出方程，根據(jù)銷售單價不高

于60元即可求解.

(2)根據(jù)題意列出銷售利潤w與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的增減性即可求解.

【解析】(1)解：設(shè)每件紀念品銷售價上漲x元，

由題意得：(x+4)(300-1Ox)=2640,

整理得：x2-26x+144=0,即(x-8)(x-18)=0,

解得：x/=8,應=18,

???銷售單價不高于60元，

:?x=8,

答：當每個紀念品的銷售單價是5