河北省秦皇島市某中學(xué)2025屆高三年級上冊一模數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河北省秦皇島市山海關(guān)第一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/==4},8={（工,勃y=2cos*,則NcB的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

2.若干人站成一排，其中為互斥事件的是（）

A.“甲站排頭”與“乙站排頭”B.“甲站排頭”與“乙站排尾”

C.“甲站排頭”與“乙不站排頭”D.“甲不站排頭”與“乙不站排頭”

3.拋物線>=2/的準(zhǔn)線方程為（）

C.x=—D.x=—

82

4.已知直線瓦c是三條不同的直線，平面￡，B，7是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的

是（）

A.Pa,bPa,則?！?

B.若?！?,aPa,則6尸a

C.若aua,bua,且?！??,b///3,則a〃?

D.a,0,7三個(gè)平面最多可將空間分割成8個(gè)部分

5.若正四棱錐的高為8,且所有頂點(diǎn)都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）

A.24B.32C.96D.128

2

6.已知雙曲線C:4-/=1（°>0）,點(diǎn)“在。上，過點(diǎn)”作C兩條漸近線的垂線，垂足分

a

別為48,^\MA\-\MB\=~,則雙曲線。的離心率為（）

A.—B.—C.—D.V3

233

V

7.直線》=2%-2與曲線y=sin7rx+——的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

x-1

A.2B.3C.4D.5

8.已知函數(shù)/（x）=lnx-妙2+工，若不等式/（同〉0的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則

實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

試卷第1頁，共4頁

.2+ln23+ln3\3+ln32+ln2)

.8'9)9,4J

3+ln32+ln2\'2+ln23+ln3)

J1,859J

二、多選題

9.已知奇函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,若〃x）=/（2-x）,則（）

A./（O）=OB.〃x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.f（x）=-f（x+4）D./（x）的一個(gè)周期為4

10.已知函數(shù)〃x）=2sin（ox+9）（o>0,,|<鼻的圖象過點(diǎn)/（0,1）和8（/,-2）（/>0）,且

滿足|/3匕=屈，則下列結(jié)論正確的是（）

兀71

A.（p=—B.co=—

63

C.當(dāng)尤e時(shí)，函數(shù)f（X）值域?yàn)閇0,1]D.函數(shù)了=^-y（x）有三個(gè)零點(diǎn)

11.已知函數(shù)/（》）=住-2辦2+丘+,（。,仇。€1^）,/'（力是/卜）的導(dǎo)函數(shù),則（）

A."“=c=0”是“/⑺為奇函數(shù)”的充要條件

B."“=6=0”是“f⑺為增函數(shù)”的充要條件

c.若不等式〃x）<0的解集為{M尤<1且/-1},則/'（X）的極小值為-三

D.若網(wǎng)是方程/'（x）=0的兩個(gè)不同的根，且,+'=1,貝物<0或a>3

三、填空題

12.二項(xiàng)式（x-y）6的展開式中/_/的系數(shù)為.

13.已知/（無）是定義在R上的奇函數(shù)，/（x+2）為偶函數(shù).當(dāng)0令<2時(shí)，/（尤）=1嗎（》+1）,

則川01）=.

14.二階魔方是一個(gè)2x2x2的正方體，由8個(gè)角塊組成，沒有中心塊和棱塊，結(jié)構(gòu)相對簡

單.若空間中方向不同但狀態(tài)相同（即通過整體旋轉(zhuǎn)后相同）的情況只算一種，則任意二階

魔方共有種不同的狀態(tài).（提示：任選其中1個(gè)角塊作為參考，則其余7塊能自由

試卷第2頁，共4頁

排列，在這7塊中，任意確定6塊，最后1塊也就唯一確定了)

四、解答題

15.已知。，4c分別為V/8C三個(gè)內(nèi)角42,C的對邊，且6cos+抬%siih4=a+c

(1)求3；

(2)若6=2,△48C的面積為百，。為ZC邊上一點(diǎn)，滿足CZ>=24D,求2。的長.

16.4月19日是中國傳統(tǒng)二十四節(jié)氣之一的“谷雨”，聯(lián)合國將這天定為“聯(lián)合國中文日”，以

紀(jì)念“中華文字始祖，，倉頡口同造字的貢獻(xiàn)，旨在慶祝多種語言以及文化多樣性，促進(jìn)聯(lián)合國

六種官方語言平等使用.某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識競賽，每位留學(xué)生隨機(jī)抽取問

題并依次作答，其中每個(gè)問題的回答相互獨(dú)立.若答對一題記2分，答錯(cuò)一題記1分，已知

甲留學(xué)生答對每個(gè)問題的概率為;，答錯(cuò)的概率為

44

⑴甲留學(xué)生隨機(jī)抽取3題，記總得分為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)(i)若甲留學(xué)生隨機(jī)抽取加道題，記總得分恰為2優(yōu)分的概率為4,求數(shù)列｛M｝的前機(jī)

項(xiàng)和；

(ii)記甲留學(xué)生已答過的題累計(jì)得分恰為〃分的概率為。,，求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式.

3

17.已知函數(shù)f^x)=2alnx+—x2+GR)

⑴若曲線>=〃x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為/(x)=r+6,求0和6的值；

⑵討論/(x)的單調(diào)性.

18.某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五個(gè)層級，

分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根據(jù)長期檢測結(jié)果,

得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布NJ。?)，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為A

等品，其它產(chǎn)品稱為5等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得

到如圖所示的頻率分布直方圖.

試卷第3頁，共4頁

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為11，用樣本平均數(shù)元作為〃

的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S作為b的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為A

等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量4服從正態(tài)分布

N/，貝jj尸(〃-er<^<〃+<r)a0.6827,P"-2cr<^<〃+2<r)?0.9545,

P(U—3cr<J<〃+3cr)?0.9973.)

(2)(i)從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在［45,55)和［85,95］的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)

值在［85,95］的芯片件數(shù)為人求〃的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(ii)該企業(yè)為節(jié)省檢測成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知

一件A等品芯片的利潤是加(1<%<24)元，一件B等品芯片的利潤是ln(25-⑼元，根據(jù)(1)

的計(jì)算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤最大.

19.對于任意正整數(shù)〃，進(jìn)行如下操作：若〃為偶數(shù)，則對〃不斷地除以2,直到得到一個(gè)

奇數(shù)，記這個(gè)奇數(shù)為勾；若〃為奇數(shù)，則對3〃+1不斷地除以2,直到得出一個(gè)奇數(shù)，記這

個(gè)奇數(shù)為若?！?1,則稱正整數(shù)”為“理想數(shù)”.

(1)求20以內(nèi)的質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”；

⑵已知冊=加一9.求小的值；

(3)將所有“理想數(shù)”從小至大依次排列,逐一取倒數(shù)后得到數(shù)列出｝,記也｝的前n項(xiàng)和為S”,

證明：5?<|(neN*).

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CAADCBACADAD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】作出幾何圖形，確定/cB的元素個(gè)數(shù)即可得解.

【詳解】集合/={(xj)|x2+/=4}是坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的點(diǎn)的

集合,

集合8={(蒼川舊=2＜：05X}是坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)y=2cosx圖象上的點(diǎn)的集合,

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出圓/+，=4及函數(shù)y=2cosx的部分圖象，如圖,

觀察圖象知，圓/+必=4及函數(shù)y=2cosx的圖象有3個(gè)公共點(diǎn),

所以NcB有3個(gè)元素，共有2?-1=7個(gè)真子集.

故選：C

2.A

【分析】利用互斥事件的概念，對各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙站排頭”不能同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)A正確，

對于選項(xiàng)B,因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙站排尾”可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)B不正確，

對于選項(xiàng)C,因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙不站排頭”可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)C不正確，

對于選項(xiàng)D,因?yàn)椤凹撞徽九蓬^”與“乙不站排頭”可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)D不正確，

故選：A.

3.A

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程.

【詳解】拋物線方程y=2/可化為/=；了，貝=故拋物線》=2/的準(zhǔn)線方程為

答案第1頁，共14頁

故選：A

4.D

【分析】對于A,。與6相交、平行或異面；對于B,blla或bua；對于C,由于直線。,6

未必相交，故無法判定&與夕平行；對于D,a,/3,7三個(gè)平面兩兩垂直時(shí)，最多可將空

間分割成8個(gè)部分.

【詳解】直線。,Ac是三條不同的直線，平面a,/3,7是三個(gè)不同的平面，

對于A,若a//a,blla,則。與6相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；

對于B,若aI/b,alia,貝!]6//a或6ue,故B錯(cuò)誤；

對于C,若aua,bua,且。//6，b//p,由于直線。,6未必相交，所以a與不一定

平行，故C錯(cuò)誤；

對于D,a,(3,7三個(gè)平面兩兩垂直時(shí)，最多可將空間分割成8個(gè)部分，故D正確

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)正四棱錐及球的特征求出錐體的底邊邊長和側(cè)棱長，然后結(jié)合勾股定理利用側(cè)

面積公式計(jì)算即可.

B/

如圖所示，設(shè)P在底面的投影為G,易知正四棱錐尸-/BCD的外接球球心在尸G上,

由題意球。的半徑=P。=4。=5,。6=8-5=3,

__________行

所以NG=j52-32=4,PA=782+42=4A/5-貝1JNB=8x5=4后，

故中，邊AB的高為《4正j-(2也了=63,

所以該正四棱錐的側(cè)面積為4x^x4亞x6VI=96.

2

故選：C

6.B

【分析】設(shè)點(diǎn)利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合點(diǎn)W在C上即可求解.

答案第2頁，共14頁

【詳解】設(shè)點(diǎn)”（無。,比）,貝IJ與一/=1,即

a

又兩條漸近線方程為y=±!x,即》±@=0,

a

故有肉必”.旬I^o-ayl\a2__3

c2c24

所以e=_=----.

a3

故選：B.

【分析】由題意知要求交點(diǎn)即求函數(shù)2x-2=s切乃x+°-的零點(diǎn)，等價(jià)于求

x-l

的零點(diǎn)，等價(jià)于求/'（x）=尤和Mx）=2（X-1）--1兩函數(shù)交點(diǎn),

sinTix=2x-2-作

X—1

出相關(guān)圖形，利用數(shù)型結(jié)合從而可求解.

【詳解】由題意可得y=s加rx+』7Tnsz^rx+U，所以其與直線y=2x-2的交點(diǎn),

x-1x-l

等價(jià)于求sinjrx+-^―=2x-2的零點(diǎn)，等價(jià)于sinnx=2x-21的零點(diǎn)，

x-lX-1

等價(jià)于求函數(shù)/（x）=s%?x與函數(shù)〃（X）=2（x-1）——二的交點(diǎn)，

X—1

易得函數(shù)/（x）=S應(yīng)乃X為周期為2的函數(shù)，且久=1時(shí)，—1）=5山乃=0,

所以（1,0）是函數(shù)/（無）=s，〃%x的一個(gè)對稱中心,

對于〃(x)=-----,/z(l+x)+/z(l-x)=2(x+l-l)---------i-2(l-x-l)--------=0,

X1X+111X1

所以Mx)關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，且y=2(x-l)為增函數(shù)，V=-一二為增函數(shù)，

X—1

所以〃卜）=2卜-1）--三在（fl）,（1,內(nèi)）上單調(diào)遞增,

X-L

所以可以作出/（久）和力（無）圖象如下圖,

答案第3頁，共14頁

由圖可得其有2個(gè)交點(diǎn)，故A正確.

故選：A.

8.C

【分析】不等式1(力>0可化為7"-1<啊，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)=啊的單調(diào)性，作函

XX

數(shù)〃卜)=妙-1,8(》)=也的圖象，由條件結(jié)合圖象列不等式求加的取值范圍.

【詳解】函數(shù)/(力=牝-皿2+%的定義域?yàn)?0,+8)*

不等式f(x)>0化為：〈也.

X

令訪(X)="7X_1,g(x)=￥，g\x)=]—^,

故函數(shù)g(x)在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0,當(dāng)尤=1時(shí)，g(久)=0,

當(dāng)0<尤<1時(shí)，g(x)<0,

當(dāng)x->+oo時(shí)，g(x)-?0,當(dāng)x>0,且x->0時(shí)，g(x)->-00,

畫出g(無)及九(%)的大致圖象如下，

因?yàn)椴坏仁?(》)>0的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解,

故正整數(shù)解為1,2.

故!〃⑵<g⑵

[“3)*⑶’

答案第4頁，共14頁

。1ln2

2m-1<---

2

即《

c1Jn3.

3m-1>—

3

3+ln32+ln2

故--------<m<----------

94

故選：C.

9.AD

【分析】由奇函數(shù)可得y(o)=o,再根據(jù)函數(shù)的周期性與對稱性分別判斷.

【詳解】由函數(shù)[(X)為奇函數(shù)，則/(O)=O,A選項(xiàng)正確；

又〃x)=〃2-x),即/(x+l)=/(I),則函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=l對稱,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

由/（x）=/（2—x）可知/（2—x）=/（4+x）,

即〃x)=〃4+x),函數(shù)〃x)的一個(gè)周期為4,C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確;

故選：AD.

IO.AD

【分析】A選項(xiàng)，把/(0,1)代入解析式，得到9=1B選項(xiàng)，根據(jù)川.力乂尤。〉。)為函數(shù)

的最低點(diǎn)及|/同1nm=而，由勾股定理得到方程，求出々=2,從而得到;T＜2＜、7,把

8(2,-2)代入解析式，得至觴=/；C選項(xiàng)，整體法求出函數(shù)值域；D選項(xiàng)，畫出f(x)與N=x

的函數(shù)圖象，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)得到零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】A選項(xiàng)，把/(0,1)代入得2sin"=l,sin°=g,

因?yàn)閨。|＜白，所以0=9,A正確；

26

B選項(xiàng)，3(%-2)(%＞0)為函數(shù)的最低點(diǎn)，

|^|mm=V13,故Jx：+(l+2)2=而,解得分=2,負(fù)值舍去，

則：17＜2＜：3T,其中T=凸27r，故7T＜乎37r，

故2sin(2o+[]=-2,sin^2o+^=-1,

[-T1兀37rt、t7兀_兀5兀

由于一＜G＜一,所以一＜2。十一＜一,

24663

答案第5頁，共14頁

故2。+[=',解得。=號，B錯(cuò)誤；

o23

C選項(xiàng)，/(x)=2sin(展)，xe1J?2兀?！赴?兀

--,1時(shí)，—^+-e0,—,

4」36|_6_

故sin[gx+，/(》)=2sin(gx+Eje[-1,2],C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，畫出f(無)與N=x的函數(shù)圖象，如下：

故y=x-f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，D正確.

故選：AD

11.ACD

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和充分、必要條件的判定方法，可判定A正確；結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函

數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，結(jié)合充分、必要條件的判定方法，可判定B錯(cuò)誤；利用導(dǎo)數(shù)求得函

數(shù)/(x)的單調(diào)性,進(jìn)而求得/(x)的極小值,可判定C正確；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合A>0,

列出不等式，可判定D正確.

【詳解】對于A中，當(dāng)”=c=0時(shí)，函數(shù)/(無)=^+法，則滿足/(-尤)=-尤3-bx=-/(x),

所以/'(x)為奇函數(shù)，所以充分性成立；

若f(x)為奇函數(shù)，貝!J/(-%)=-x3-2ax2-bx+c=-f(x)=-x3+2ax2-bx-c,

則4“x2-2c=0恒成立，所以“=c=0,所以必要性成立，所以A正確；

對于B中，當(dāng)a=6=0時(shí)，[卜)=/+。，可得/(》)=3/，0,所以“X)為增函數(shù)；

由/'卜)=3/-4辦+6,當(dāng)/1(x)為增函數(shù)時(shí)，△=16°2一12640,所以“。=6=0”是“/(x)為

增函數(shù)”的充分不必要條件，所以B錯(cuò)誤；

對于C中，由/'(x)=3f-4辦+6,若不等式/'。卜。的解集為{x|x<l且小-1},

則/(X)在R上先增后減再增，則/'(-1)=0,/(1)=/(-1)=0,解得2a=b=c=-l,

答案第6頁，共14頁

故f(x)=x3+x2-x-1=(x+l)2(x-1),可得f\x)=3x2+2x-1=(3x-l)(x+l),

令/''(x)=0,解得x=-l或x=；,

當(dāng)xe(-8,-l)內(nèi),r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)內(nèi)，/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)內(nèi)，/(x)>0,/(X)單調(diào)遞增，

所以〃x)的極小值為了'J='+l[2x[g-l]=-羨，所以C正確.

對于D中，由/'(x)=3尤2-4辦+6,因?yàn)樵?超是方程/'(x)=0的兩個(gè)不同的根,

所以A=16/-126>0,即4/一36>0,且占+赴=與戶用=g，

114〃b

由一+—=1,可得石+%2=項(xiàng)%2，所以-7=彳，即6=4。，

X1%233

聯(lián)立方程組，可得/-34>0,解得。<0或。>3,所以D正確.

故選：ACD.

12.15

【分析】先寫出二項(xiàng)式。->)6的展開式的通項(xiàng)，再依題意求解.

【詳解】由二項(xiàng)式>)6的展開式的通項(xiàng)為=C"6一(_y)，，

令r=2,得其展開式中x4j2的系數(shù)為晨(-I)?=15.

故答案為：15

13.-1

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)的周期，再利用對數(shù)運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知/(x)=-/(r)J(x+2)=/(f+2),

所以/(-x+2)=-/(x-2)=/(x+2)n/(x+4)=-/(x)n/(x+8)=/(x),

所以/(無)的一個(gè)正周期為8,BP/(101)=/(5)=/(-1)=-/⑴=-log2(l+l)=-l.

故答案為：-1

14.3674160

【分析】運(yùn)用分步乘法原理，結(jié)合排列數(shù)公式可解.

答案第7頁，共14頁

【詳解】任選其中1個(gè)角作為參考，考慮其余7塊排列情況.在這7塊中，任意確定6塊，

最后一塊也確定了，所以任意二階魔方有A；=7X6X5X4X3X2=5040種狀態(tài).

再考慮每個(gè)角塊有三種朝向，扣除狀態(tài)相同的情況，則有5040x36=3674160種狀態(tài).

故答案為：3674160.

71

15.⑴'；

⑵地,

3

【分析】(1)正弦定理邊化角，利用內(nèi)角和定理消去C,由和差公式和輔助角公式化簡可得;

(2)根據(jù)余弦定理和三角形面積公式列方程組求出然后在△N8D中利用余弦定理可

得.

【詳解】(1)由正弦定理有sin5cos4+AAsin5siiL4=siih4+sinC，

因?yàn)閟in。=sin(^4+5)=sin^4cosB+cosAsinB,

所以sinBcos/+y/3sinBsinA=sirU+sinAcosB+cos4sin5,

化簡得由sinfeiM=sirU+sirk4cosB,

由4￡(0,兀)了山?！阌蠽3sinS=1+cosS，可得‘畝/一：]；,,

因?yàn)锽e(0,7i),8-，

6I66J

所以8—?jiǎng)t5=；.

663

(2)由3=巴,S=，QcsiiiS=V5有ac=4

32

又/="2+02_2accosB可得/+02=8,

聯(lián)立“+：=8解得“=c=2,所以V/BC為正三角形，

[ac=4

271

所以=

33

在△45。中，由余弦定理得8。2=22+[2]-2x2x-x-=—.

故的長為次.

3

答案第8頁，共14頁

A

D

B匕-------------、C

16.(1)分布列見解析，E(X)=t

【分析】(1)依題意X的可能取值為3、4、5、6,求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列

與數(shù)學(xué)期望；

(2)(i)依題意可得匕,利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得；

31

(ii)首先求出0,Q,當(dāng)〃23時(shí)Q=]QT+ZQ_2,利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)公式.

【詳解】(1)依題意可得X的可能取值為3、4、5、6,

i

7727

則尸(X=3)=前，p(x=4)=C；xIx

4641

1

64

所以X的分布列為

X3456

272791

P

64646464

,27,27=9，124015

以E(X)=3x----F4x-----F5x----F6x—=------=—

v764646464644

(2)(i)若甲留學(xué)生隨機(jī)抽取機(jī)道題，總得分恰為2〃?分，即加道題均答對了,

所以匕=

設(shè)數(shù)列優(yōu)｝的前加項(xiàng)和為股，則S

m

答案第9頁，共14頁

…、心由上r后八3八13313八Z1333351

(U)依就思可得。］=：,02=7+7x7=77?&:=^2><7><7+7><7><7=77,

4444164444464

31

當(dāng)時(shí)2=工。1+12_2，

所以Q+；Q-1=Q-1+；?！ㄒ?，

(1111313

所以2+］QT為常數(shù)數(shù)列，又。2+了。1=77+］火廣1，

［4J41644

所以

則2T=-：3,「：，所以是以-《為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列,

所以0,-g=-：x(一］(〃之3),

經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)〃=1、2上式也成立，所以2,.

17

17.⑴"J，，=-1

(2)答案見解析

【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義與斜率關(guān)系即可求解；

(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對。的范圍進(jìn)行分類討論即可求解.

［詳解］(1)/(x)=2alnx+^x2-(a+3)x,則/'(》)=生+1^_々_3.

曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/。))處的切線方程為〃x)=r+b,

則廣⑴=a-：3=T1,解得a=￡,

97

由/⑴=_._^=_1+6,解得6=_1,

(2)f(x)=2alnx+-x2—(a+3)x,函數(shù)定義域?yàn)?。,+。)，

mi,2a3(3X-2Q)(X-2)

貝ljf'(x)=-+-x-a-3=------——上,

x22x

令/'(x)=0,解得尤=2或》=弓，

若aWO,則當(dāng)xe(0,2)時(shí),r(x)<0,"x)單調(diào)遞減,當(dāng)xe(2產(chǎn))時(shí),/'(尤)>0,/(x)單

調(diào)遞增，

若0<"3,貝”當(dāng)時(shí)，/-(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，當(dāng)代?卜口工€(2,+8)時(shí)，

r(x)>o,〃尤)單調(diào)遞增，

答案第10頁，共14頁

若。=3,則/'(x)20在(0,也)上恒成立，“X)單調(diào)遞增，

若a>3,則當(dāng)xe時(shí)，/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(0,2)和x時(shí)，/'(x)>0,

〃x)單調(diào)遞增，

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+s),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),

當(dāng)0<”3時(shí)，"X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,，，和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為11,2；

當(dāng)“=3時(shí)，”X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間，

當(dāng)a>3時(shí)，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2)和(g,+s],單調(diào)遞減區(qū)間為g].

18.(1)0.16

,,379

(2)(i)分布列見解析，—；(ii)w=—

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求得樣本平均數(shù)，然后利用正態(tài)分布的對稱性求解概率.

(2)(i)先求出〃的取值，然后求出對應(yīng)的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即

可；

(ii)先根據(jù)二項(xiàng)分布的期望求出E(Z)=16m+841n(25-加)，然后構(gòu)造函數(shù)

/(無)=16x+841n(25-x)(l<x<24),利用導(dǎo)數(shù)求出最大值時(shí)的m即可.

【詳解】(1)由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：

x=10x(0.01x50+0.025x60+0.04x70+0.015x80+0.01x90)=6^.

即〃。=69,所以X~N(69,1F),

因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值X近似服從正態(tài)分布N(69,1F),

所以

zl-^(69-ll<X<69+ll)1-尸(〃-b<X<〃+b)

Pr>>somU)=---------------------------------=--------------------------------

1-0.6827=015865。0.16,

2

所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為A等品的概率約為0.16.

(2)(i)(0.01+0.01)x10x100=20,所以所取樣本的個(gè)數(shù)為20件,

質(zhì)量指標(biāo)值在[85,95]的芯片件數(shù)為10件，故〃可能取的值為0,1,2,3,

相應(yīng)的概率為：

答案第11頁，共14頁

「("°)=曾=0口小戶生二

尸(〃=2)=*=1|

P(〃=3)=

。2033

隨機(jī)變量〃的分布列為:

70123

215152

P

19383819

2151523

所以〃的數(shù)學(xué)期望E(〃)=0XA+1XK+2X4+3X《=9.

193o3o192

(ii)設(shè)每箱產(chǎn)品中/等品有y件，則每箱產(chǎn)品中B等品有(loo-丫)件，

設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤為z元，

由題意知：Z=加丫+(100-y)ln(25—m)=(m-ln(25-m))K+1001n(25-m,

由(1)知：每箱零件中/等品的概率為0.16,

所以y?5(100,0.16),所以頤y)=iooxo.i6=i6,

所以￡(Z)=E[(m-ln(25-m))Y+100ln(25-m)]

=(m-ln(25-m))EY+100ln(25—m)=16(m-ln(25-m))+100ln(25-m)

=16m+84ln(25-m).

8479

令/(x)=16x+841n(25—x)(lvxv24),由/<x)=16—-^=0得，x=—,

25—x4

7979

又xe(l,[),r(x)>0,〃尤)單調(diào)遞增，xe(1,24),/'(x)<0,〃尤)單調(diào)遞減,

44

所以當(dāng)x=?79c(l,24)時(shí)，“X)取得最大值.

4

所以當(dāng)"7=79[時(shí)，每箱產(chǎn)品利潤最大.

4

19.(1)2和5為兩個(gè)質(zhì)數(shù)“理想數(shù)”

(2)7〃的值為12或18

(3)證明見解析