2024-2025學年高考數(shù)學復習解答題提優(yōu)思路：利用導函數(shù)研究函數(shù)的隱零點問題（典型題型歸類訓練）（學生版+解析）

專題09利用導函數(shù)研究函數(shù)的隱零點問題

（典型題型歸類訓練）

一、必備秘籍

1、不含參函數(shù)的隱零點問題

已知不含參函數(shù)/（光），導函數(shù)方程/'（x）=o的根存在，卻無法求出，設方程/'（%）=0

的根為則有：

①關系式r（x°）=o成立；②注意確定/的合適范圍.

2、含參函數(shù)的隱零點問題

已知含參函數(shù)/（x,。），其中。為參數(shù)，導函數(shù)方程/'（尤,。）=0的根存在，卻無法求

出，設方程/'（%）=0的根為/，則有

①有關系式/（與）=0成立，該關系式給出了不，a的關系；②注意確定/的合適范圍，

往往和々的范圍有關.

3、函數(shù)零點的存在性

（1）函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù)/（九）在閉區(qū)間可上連續(xù)，且那么

在開區(qū)間（。力）內至少有函數(shù)/（九）的一個零點，即至少有一點后€（。涉），使得

/（%）=。,

①若/（。）/。）＜0,則/（%）的零點不一定只有一個，可以有多個

②若/（。）/。）＞0,那么/（￡）在［凡可不一定有零點

③若/（x）在&句有零點，則/（a）/修）不一定必須異號

⑶若/（%）在［凡句上是單調函數(shù)且連續(xù)，則在（。））的零點唯

二、典型題型

1.（23-24高二下?福建福州?期中）已知函數(shù)〃x）=21n；+",aeR.

⑴討論f（x）在區(qū)間［"］上單調性；

⑵若了（無）4雙工+4-1恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

X

2.(2024?四川瀘州?三模)已知函數(shù)/(尤)=axe*-1(。＞0),

⑴討論函數(shù)/(x)的零點個數(shù)；

(2)若I/(X)|＞尤+xlnx恒成立，求函數(shù)/(元)的零點%的取值范圍.

3.(23-24高二下?天津?期中)已知函數(shù)=-x-a,g(x)=x2-2x,aeR.

⑴求函數(shù)y=〃-x)的導數(shù)；

⑵若對任意的玉e[l，e],X2e[l,2],使得〃占)*(%)成立，求。的取值范圍；

⑶設函數(shù)妝x)=〃x)-lnx,若在區(qū)間(O,e)上存在零點，求a的最小值.

4.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)—7=

(1)求曲線＞=”尤)在(0,f(0))處的切線方程；

⑵若xe(-U),討論曲線y=/(尤)與曲線y=-2cos無的交點個數(shù).

3.（2024?全國,模擬預測）已知函數(shù)〃x）=〃ze"T-Irtr+lnm—1.

⑴當加=1時，討論函數(shù)“X）的單調性；

⑵若函數(shù)“X）有兩個不同的零點，求實數(shù)〃，的取值范圍.

4.（23-24高三下?河南信陽?階段練習）已知函數(shù)〃尤）=巴手一。1nt

（1）當。=-1時，求不等式〃x）4e*+l的解集；

（2）若/（尤）>。（a>0）,求實數(shù)”的取值范圍.

5.(23-24高三下?北京?開學考試)已知函數(shù)/(x)=aln(尤—l)+(a+2)x+l,a^Q.

(1)討論的單調性；

⑵設g(x)=/(x+l)+2sinx-4x-4,xe(0,-7i],求證：當a=l時，y=g(x)有且僅有兩個

不同的零點.

6.(23-24高三下?北京海淀?開學考試)已知函數(shù)/(x)=e*-or+sinx-l.

(1)當。=1時，求在點(0/(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)在(0,+功上單調遞增，求實數(shù)。的取值范圍；

⑶當lWa<2時，討論函數(shù)g(x)=(尤-2)/(%)零點的個數(shù).

專題09利用導函數(shù)研究函數(shù)的隱零點問題

（典型題型歸類訓練）

一、必備秘籍

1、不含參函數(shù)的隱零點問題

已知不含參函數(shù)/（光），導函數(shù)方程/'（x）=o的根存在，卻無法求出，設方程/'（%）=0

的根為則有：

①關系式r（x°）=o成立；②注意確定/的合適范圍.

2、含參函數(shù)的隱零點問題

已知含參函數(shù)/（x,。），其中。為參數(shù)，導函數(shù)方程/'（尤,。）=0的根存在，卻無法求

出，設方程/'（%）=0的根為/，則有

①有關系式/（%）=0成立，該關系式給出了5,a的關系；②注意確定為的合適范圍，

往往和a的范圍有關.

3、函數(shù)零點的存在性

（1）函數(shù)零點存在性定理：設函數(shù)/（X）在閉區(qū)間&句上連續(xù)，且/（a）/（，）＜0,那么

在開區(qū)間（。力）內至少有函數(shù)/（九）的一個零點，即至少有一點后€（。涉），使得

/（%）=。.

①若/（a）/3）＜0,則/（X）的零點不一定只有一個，可以有多個

②若〃。）/0）＞0,那么“X）在［凡可不一定有零點

③若/（x）在&句有零點，則/（a）/修）不一定必須異號

⑶若/（%）在句上是單調函數(shù)且連續(xù)，則/（a）/（〃）＜0n/（x）在（。））的零點唯

二、典型題型

1.（23-24高二下?福建福州?期中）已知函數(shù)〃x）=21n；+",aeR.

⑴討論“力在區(qū)間［Le］上單調性；

⑵若了（無）4雙工+4-1恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

X

【答案】⑴答案見解析；

⑵(-8,2］

【分析】(1)先求導函數(shù)，結合指數(shù)函數(shù)的單調性分區(qū)間討論即可；

(2)分離參數(shù)，構造新函數(shù)利用導數(shù)研究其單調性與最值結合隱零點計算即可.

.、斗即、“、,r(\21n%+〃x2-a-2\nx

【詳解】(1)由/(%)=-------^>ff(x)=---------.------，

XX

在x?l,e］時，21nx￡［0,2］,

若〃<0=2-〃一21nx20,即/(%)在區(qū)間［l,e］上單調遞增；

若QN2=2—a—21nxK0,即/(力在區(qū)間［l,e］上單調遞減；

右0<1<2,令r(%)>0=>x<e"令/(%)<0=>%>e2*

可知”無)在］l，e2J上單調遞增，在1e2,ej上單調遞減；

綜上所述:aWO時，〃上在區(qū)間口,可上單調遞增;

a22時，”X)在區(qū)間［l,e］上單調遞減；

(10(1--、

0<。<2時，在l,e2上單調遞增，在e2,e上單調遞減.

(2)根據(jù)題意可知2心'+"<xe'+--l^a<尤2^+1-龍一21nx恒成立，

XX

g(x)=x2ex+l-x-21nx(x>0),

則/⑴=(2%+%2,一止^=(x+2)—一,

x\xJ

令力(元)=尤21—i(x>o)n”(尤)=(尤2+2不產(chǎn)>0,

則h(x)定義域上單調遞增,易知M。)v0v力⑴，

即比￡(0,1),使得右優(yōu))=君e%-1=0,

即%￡(0,%)時，gz(x)<0,此時g(x)單調遞減，

X?%+00)時,gr(x)>0,此時g(x)單調遞增，

則g(%)Ng(x0)=飛+］—(ine殉+Ind)=2—In］=2,

所以a?2,即.￡(—8,2］

2.(2024?四川瀘州?三模)已知函數(shù)/(x)=axe“—1(a>0),

⑴討論函數(shù)的零點個數(shù)；

⑵若恒成立，求函數(shù)的零點/的取值范圍.

【答案】(1)1;

(2)(0,-).

e

【分析】(1)求出函數(shù)/(元)的導數(shù)，利用導數(shù)探討單調性，進而求出零點個數(shù).

(2)由(1)的結論，按。<彳<%/>苫。分段討論給定不等式，構造函數(shù)并利用導數(shù)探討單

調性建立不等式求解即得.

【詳解】(1)函數(shù)f(x)=axe'-l的定義域為R,求導得/食)=“e'(x+l),而。>0,

由廣(幻<0得X<-1,由尸(x)>0得x>-l,因此函數(shù)在(e,-l)上遞減，在(-1,口)遞

增，

一11

又當x<0時，力>)<0恒成立，/(0)=-l<0,/(-)=ea-l>0,因此函數(shù)/(x)在(0,??)存在

a

唯一零點，

所以函數(shù)了。)的零點個數(shù)是1.

(2)由(1)知函數(shù)f(x)存在唯一零點/e(0,+8),且%e*。-1=0,

①當尤eg,%)時，f(x)<0,由|f(x)|>x+xliu得：—axex+1>x+xlnx,即

_ae*H-----1_lux>0,

x

設g(x)=—Qe"H-----1—lux,求導得g'(x)=—Qe*———<0,

XXX

gO)在(。,%0)上單減，貝lJg(x)〉g(Xo)=—〃e"+L—l—lnXo=—l-liUoN。，解得

%e

②當[%,+8)時，由I/(%)|>x+xlnx得：orex-l>x+%lnx,BP---1-lnx>0,

x

設7/(%)=ae*------1—hvc,求導得/2'(%)=ae*H—五---,而are"—1>0,

XXX

則/⑴>0,力(幻在[犬0，小)上單增，則〃(%)之〃(％)=〃蟆----1-1叫=-1—1叫>0,解得

工0

0<XQ<一,

e

綜上得％的取值范圍是(0」).

e

【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

①通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

②利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.

③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分

離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就

要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

3.(23-24高二下?天津?期中)已知函數(shù)〃x)=xe*—x—a,g(x)=jC-2x,GGR.

⑴求函數(shù)y=〃r)的導數(shù)；

(2)若對任意的玉e[l，e],使得了(占)*優(yōu))成立，求。的取值范圍；

⑶設函數(shù)/7(x)=〃x)-lnx,若在區(qū)間(O,e)上存在零點，求a的最小值.

【答案】⑴》—'+屁一'+1；

⑵(Yo,e-1]；

(3)1.

【分析】(1)求出函數(shù)『(-x),再結合復合函數(shù)求導法則求導即得.

(2)求出函數(shù)/1)在[l,e]上的最小值，g(x)在[1,2]上的最大值，再由給定恒成立建立不等

式求解.

(3)求出函數(shù)九(x),由〃(x)=0分離參數(shù)，構造函數(shù)p(x)=xe*-尤-Inx,利用導數(shù)探討值

域即可得解.

【詳解】(1)函數(shù)=-無一。，則/(-x)=-xef+x-4,

x-xx

由y=-xe~+x-a9求導得y'=-e+xe~+1,

所以函數(shù)y=/(-X)的導數(shù)是y=-e-v+xe-x+1.

(2)函數(shù)/(x)=xe“—x-a,求導得/'(x)=(x+l)e*-l,xe[l,e],

2<x+l<l+e,e<e'<ee,貝!]2eW(x+l)e'W(l+eg，,>0,

函數(shù)〃尤)在[1,e]上單調遞增，于是/(x)e[e-l-a,ee+1-e-?].

22

Xg(x)=x-2x=(x-l)-l,則g(尤)在[L2]上也是單調遞增，g(x)G[-l,0],

由對任意的玉e[Le],X2e[l,2],使〃xj2g(xj成立，等價于"(%)京，

因此e-1-〃20,解得aWe-l,

所以實數(shù)〃的范圍是(-8,e-1].

(3)依題意，/z(x)=XQX-x-\nx-a,由7?(x)=。，得xe"-x—lnx=a,

令p(x)=xe"-x-lnx,xG(0,e),求導得

，/、%%11/八%x+1(x+l)(xe%-1)

p\x)=ex+xex-1——=(x+l)ex-----=-----------

xx

令小)=疣一,xe(0,e),求導得/(%)=]+屁”>0,即函數(shù)4。)在(0,e)上單調遞增，

顯然以0)=-1<。,廉l)=e-l>0,則存在唯一的瓦使得夕小)=0,即/1。-1=0,

玄1,

即e()=—,x0=-lnx0,貝U當O<%<%o時，式工)<0,夕(%)<0,當/<%<匕時，

q(x)>0,p'(x)>0,

函數(shù)p(x)在(。，%)上單調遞減，函數(shù)0(無)在(Xo，e)單調遞增,

因此p(x)min=P(x°)=/e'。-x0-lnx0=l-x0+x0=l,

當0<%<不時，令夕(x)=xe*-x,求導得夕'(X)=(x+l)e*-1,

令y=(尤+l)e*-l,當0<尤<與時,y'=(x+2)e'>0,即函數(shù)”(x)在(。,%)上遞增，

<p'(x)><p'(0)=0,函數(shù)w(x)在(0,%)上遞增,0(x)>0(O)=O,

于是當0<x<x()時，p{x}=xel-x-lnx>-Inx,而函數(shù)y=Tnx在(0,%)上遞減，值域為

(-lnx0,+co),

因此當0<x4無。時，函數(shù)p{x}無最大值，值域為[1,+8),函數(shù)p(x)在(0,e)的值域為[1,+co),

要使力(無)在(0,e)存在零點，則心1,所以。的最小值為L

【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：

一般地,已知函數(shù)y=f(x),xe[a,可,y=g(x),xw[c,d]

①若％e[a,6],V%e[c,d],總有/(xj<g(x2)成立，故/(x)1rax<g(x)1nto；

②若看e[a,6],Hr2e[c,d],有了(％)<g(w)成立，故/(天心<g(x)1rax;

③若玉句,HX2e[c,6/].有〃％)<g(w)成立，故"比11Vg(x)111ax；

④若看e[a,6],HX2e[c,<r/],有〃為”8伍)，則/(元)的值域是g(%)值域的子集.

4.(2024?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x).

(1)求曲線y=/(尤)在(0,7(。))處的切線方程；

(2)若xe(-U),討論曲線>=/(尤)與曲線y=-2cosx的交點個數(shù).

3

【答案】(1):尤-1;

(2)2.

【分析】(1)求導，即可根據(jù)點斜式求解方程，

(2)求導，分類討論求解函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理，即可根據(jù)函數(shù)的單調性,

結合最值求解.

【詳解】(1)依題意，((”=占+冒]，故-(°)=|，

而〃0)=T，故所求切線方程為y+i=M，BPy=jx-l.

(2)In(1+x)—/=-2cosx,In(1+x)+2cosx—/=0,

令g(%)=In(1+x)+2cosx——J—,

Vl+x

11_3113

=-------2sinx+—(1+J;)2,令〃(%)==-----2sinx+—(1+x)5

13--

//(%)=----------~2cosx——(1+x)2

(1+x)4

/兀5

①當尤e1-1,萬時，COSX>0,(1+X)2>0,(1+X)2>0'

.?.〃(%)＜0,；./7(%)在(-1，3上為減函數(shù)，即g'(x)在口I"上為減函數(shù),

111111

又g'(o)=l+—>0,g'(l)=——2sinl+--22<—―2-sinl+-<l-2x-=0,

222

???g'(x)在(0,1)上有唯一的零點,設為看,即g'伉)=0(0〈飛＜1).

；.g(x)在(-1,%)上為增函數(shù)，在［毛弓)上為減函數(shù).

▽g(O)=2-l>O,gIn瑪+2cos

，g(x)在(-1,天)上有且只有一個零點，在［如今上無零點;

(jr57rii3

②當匕'7時，<(%)<^^-1+](1+%戶<o,g(尤)單調遞減,

又=++2＜山4_百＜0，

Y⑺在。片］內恰有一零點；

③當x’BM時’〃⑴一二7一28一和+工為增函數(shù),

???g'(x)單調遞增，又g'(兀)＞。赭［彳)＜°,所以存在唯一天寸不可聞伉尸。,

當尤已［豆""時，8'(*)<°名(*)遞減；當xe(x(),7i)時，g<x)>O,g(x)遞增，

g(x)Wmax,gC(“<0,

，g⑺在玲兀］內無零點?綜上所述，曲線y=〃x)與曲線y=-2co&x的交點個數(shù)為2.

【點睛】方法點睛：本題考查了導數(shù)的綜合運用，求某點處的切線方程較為簡單，利用導數(shù)

求單調性時，如果求導后的正負不容易辨別，往往可以將導函數(shù)的一部分抽離出來，構造新

的函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性，進而可判斷原函數(shù)的單調性.在證明不等式時，常采用兩

種思路：求直接求最值和等價轉化.無論是那種方式，都要敢于構造函數(shù)，構造有效的函數(shù)

往往是解題的關鍵.

三、專項訓練

1.(2024,四川?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=axe'-1尤2_羽在士.

2e

(1)討論函數(shù)〃尤)的單調性；

(2)當x>0時，求證：/(x)>lnx--1x2-l.

【答案】⑴答案見解析；

⑵證明見解析.

【分析】(1)利用導數(shù)，進行分類討論即可求出單調性.

(2)先對證明式子進行化簡，再令新函數(shù)gabxei—inr-x+KxAO),求解函數(shù)g(x)的

單調性和最小值即可.

【詳解】(1)函數(shù)“X)的定義域為R,/'(元)="+1乂*-1).

因為。7，所以Ov—Ve。，由尸(x)=。得x=—1或x=V2.

eaaa

①當《Wave時，-l<lnL42,

ea

所以尸(x)>0^>x<-l^<x>ln—,

aa

則在(f,T)上單調遞增，在(T,ln￡|上單調遞減，在卜+8)上單調遞增；

②當a=e時，r(x)=(x+l)(et+1-l)>0,則在(―)上單調遞增；

111

③當〃〉6時，In—<—1,所以—(％)>0=>%<In—或vOnln—<xv—1,

aaa

則“X)在1-8,InJ上單調遞增，在-1)上單調遞減，在(T+⑹上單調遞增.

綜上，時，“X)在(-叫-1)上單調遞增，在11,InJ上單調遞減，在卜上

單調遞增；a=e時，〃x)在(e,y)上單調遞增；

4>e時，在卜0InJ上單調遞增，在卜上單調遞減，在(T+8)上單調遞增.

(2)/(x)>Inx-g/_1等價于以?“-lnx-%+120(x>0).

當%>0時，xex>0,

則當〃2、時，axQx>xex-2(x>0),即證axe"-Inx-x+1>xex~2-lax-x+1>0(x>0),

e

令g(x)-xe"-2-Inx-x+l(x>0),則=(x+1)卜/_J_).

而無+l>0,^h(x)=e-2--,

x

因為函數(shù)y二/凡丁二―g在區(qū)間(0,+“)上都是增函數(shù)，

所以函數(shù)M%)在區(qū)間(。,+。)上單調遞增.

???/2(1)=」一1<0,/2(2)=g>0,.?.存在/€(1,2),使得力(％0)=0,

e2

1_

即e*°~=—,x0—2=—hr%,

%

當xe(O,x。)時，g[x)<0,則g(x)在(0,飛)上單調遞減,

當xe(Xo，+co)時，g<x)>0,則g(x)在(如+oo)上單調遞增,

-22,nJb

所以g(x)min=g(x0)=xoe'°-lnxo-xo+l=xoe^~-1=xoe~-1=0,

所以g(x)20,即axe1-lux-x+l>xex~2-Inx-x+l>0(x>0),

所以/(無)21nx-gx2T.

【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的問題，要先對證明式進行等價轉

化，構造新函數(shù)g(x)=xeA2_inr—x+i(x>0),在求g(x)的單調性過程中，根據(jù)零點存在

定理找到g'(x)的隱零點％,最后再求g(x)的最小值即可證明.

2.(2024?全國?模擬預測)己知函數(shù)〃x)=lnx-e'(eR),且/(x)在點(1,〃功處的切線

的斜率為l-e.設函數(shù)〃尤)的最大值為限

(1)求f的值;

(2)求證：k<-2；

⑶若不等式e*Jln(2x)+2N租，求實數(shù)〃，的最大值.

【答案】(1〃=1;

⑵證明見解析；

(3)2.

【分析】(1)根據(jù)題意，求導可得尸(可，再由導數(shù)的幾何意義即可得到結果；

(2)根據(jù)題意，將函數(shù)最值問題轉化為隱零點問題，然后求導得最值，代入計算，即可證

明；

(3)根據(jù)題意，令g(x)=e25-ln(2x)+2,x?0,4w),將不等式問題轉化為最值問題,結

合函數(shù)的單調性以及零點存在定理，轉化為零點問題，再結合(2)中的結論，再由導數(shù)的

應用代入計算，即可得到結果.

【詳解】⑴因為〃x)=hiLeH(reR),

所以廣⑺三一把比，

所以尸(1)=1—君=1—e,即時=6,所以yL

(2)證明：由(1)可知,/(x)=lnx-e\且f(x)的定義域是(0,+助,

所以((x)=1-e，，

令Mx)=^_e\貝。"(力=_二_1<0,

XX

所以/7(力在(0,+8)上單調遞減，

即尸(x)在(0,+8)上單調遞減,且r(1)=1-e<0,

咱=2工>0,

由零點存在定理可得叫使得/%)=0,即十七。=01啄=%,

且當彳€(0,飛)時，f^x)>0；當xe(xo，+co)時，f'(x)<0,

所以/'(x)在(。，天)上單調遞增，在(如心)上單調遞減，

所以函數(shù)的最大值上=/(毛)=1叫一e'。=一4一e'。=一不一十,y=-1x+在上單

調遞增，所以k<-2.

(3)令g(%)=■+&-In(2x)+2,%￡(0,+oo),

所以短(x)=2e2，+J」，

X

令加(x)=2e2x+*--,則加(x)=4e2x+i+-y>0,

所以〃z(x)在(0,+8)上單調遞增,

k

所以g'（x）在（0,+8）上單調遞增，且g'2+->0,

k

當x30時，2e2z12e&,±-+oo,

所以當尤—0時，g'（x）fro,

g］，使得g'（xj=。，

由零點存在定理可得，

即2e2w+t__=0,即2%+左=-111(2%),

即2玉+111（2玉）=-左，

且當xe（O,占）時，g'（x）<0；當尤?菁,y）時，g'（x）>0,

所以g（無）在（0,芯）上單調遞減，在（/內）上單調遞增，

所以函數(shù)g（x）的最小值為gG）=e2>Jln（2占）+2.

由（2）知，一左=Xo+e*=lne*+e*,

所以Ine-+e*=2玉+ln（2號），

設〃（r）=t+lntJ>0,所以〃'?）=1+工>0,

所以〃（。在（0,+“）上單調遞增，

所以e'0=2無—即不）=ln（2X］）,

所以2玉+左=-ln（2x1）=-x0,

所以g（x）的最小值g（%）=e2>&-ln（2芯）+2=1%—尤0+2=%—尤0+2=2.

又不等式e?x+丘-In（2x）+22加，

所以〃?W2,所以機的最大值為2.

【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)最值問題以及函數(shù)零點問題，難度較

大，解答本題的關鍵在于將隱零點問題轉化為函數(shù)的最值問題.

3.（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)〃=-Inx+lnm-1.

（1）當772=1時，討論函數(shù)“X）的單調性；

⑵若函數(shù)/（%）有兩個不同的零點，求實數(shù)〃2的取值范圍.

【答案】（1）/（力在（0,1）上單調遞減，在。,入）上單調遞增

(2)(0,1)

【分析】(1)當機=1時，求得廣⑺=f-L結合/'(x)的單調性和/'⑴=0,進而求得

ex

函數(shù)/(X)的單調區(qū)間；

(2)求得(=設e(x)=*_J(x>0),求得"'(x)>0,得到尸(x)在(0,+功

上單調遞增，得出存在X。€(0,+8)使得/伍)=0,得至lJlnm=TnXo-毛+1,轉化為

--21nxo-xo<O,設函數(shù)g(無)=工-2曲-尤，利用導數(shù)求得g(x)在(0,+")上單調遞減，

入0%

結合g(l)=0,求得X。的取值范圍為(1,+8),再設Mx)=?(x>l),利用導數(shù)求得函數(shù)〃(X)

的單調性與最值，即可求解.

【詳解】(1)當機=1時，函數(shù)”x)=《一成一1,可得尸(x)=《-L

eex

由函數(shù)/⑴=:一在(0,+8)上單調遞增，且r(1)=0,

所以當xe(o,l)時，r(x)<0,當xe(L+e)時，f'(x)>0,

故/(X)在(0,1)上單調遞減，在(1,+。)上單調遞增.

(2)由函數(shù)/(x)="je￡T-lnx+lnm—1,可得尸(x)=理-一4(x>0),其中根>0,

當機>0時，設°(x)=^--，(x>0),貝！J°'(尤)=^-+[>0,

exex

所以「(無)在(0,+。)上單調遞增，

且當X.0時，當X-+QO時，廣(%).+8,

所以由零點存在定理得存在唯一的X。e(0,+8)使得「(不)=0,即工=,

m

即1所=-1!?0-毛+1,且“X)在(0,5)上單調遞減，在(尤0,+8)上單調遞增.

當X.0時，當X—+8時，”x)f+8,

因此要使函數(shù)“X)有兩個不同的零點，則只需/(x0)="日T-lnx°+Inm-1<0,

即---21nxo—x0<0,

%

設函數(shù)g(x)=g-21nx-x,貝l|g伉)<0,

1o

則g<x)=-?-:-1<0在(O,+e)上恒成立，所以g(x)在(0,+8)上單調遞減，

而g(l)=O,故由g(毛)<0得尤0>1,故X。的取值范圍為(1,+8),

市1弘_1為

而一=xe%0=」一,

m0e

設函數(shù)4月=也">1),則%)=0'+1)>0,

ee

所以/7(X)在(1,+8)上單調遞增，故/?(*)的值域為(1,+8),所以'Al,故0<1,

m

所以實數(shù)"?的取值范圍為

【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方

法：

1、直接法，直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式(組)確定

參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；

3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結

合求解.

結論拓展：與e*和In無相關的常見同構模型

①ae"4Z>ln6oe"lne"WblnZ?,構造函數(shù)〃x)=xlnx或g(x)=xe%

②上<二=7^工<二，構造函數(shù)=T匚或g(x)=J；

③e"±a>6±ln6oe“±lne”>b±inb,構造函數(shù)/(x)=x±lnx或g(x)=e，土北

4.(23-24高三下?河南信陽?階段練習)已知函數(shù)〃耳=5手卜。血.

(1)當a=T時，求不等式/(X)We*+1的解集；

⑵若〃尤)>。(。>0)，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴律

(2)0,ee

\7

【分析】(1)根據(jù)定義域可化簡函數(shù)，構造新函數(shù)尸(x)=/(x)-e，T,即求尸(x)40的解

集即可，而田(無濡=砥1)=0,所以解集為1}.

(2)引入隱零點初，利用導數(shù)得到在(0,5］上單調遞減，在(％,+8)上單調遞增，最

后得到。的范圍.

【詳解】(1)"⑺的定義域為(0,+8)

「?當〃=一1時，/(x)=ex+—+lnx,

111r_1

令/（尤）=-1=二+lru--l（尤＞0）,歹'（無）=——+二=2^.

當0＜*＜1時，F(xiàn)'（x）＜0,尸⑺在（0,1）上單調遞減，當x＞l時，F(xiàn)（x）＞0,尸（無）在（1,+動

上單調遞增，所以尸⑺上尸⑴=0,

則不等式“X）Ve、+1的解集為{1}.

x

a—xex\xe—a]

(2)當〃>0時，/(%)=-cAwc-------a[nx(x>0),

xx

7z(x)=xex-a(x>0),“(%)=(尤+l)e*>0恒成立，

則無⑺在(0,+8)上單調遞增，又/i(o)=-。<0,

/z(a)=Q(e°—1)>0,存在唯一的九o￡(0,〃)使力(%)=0,且。=%?與,

〃x1八

---e-alwc,0<x<x0

所以/(%)=<x

a[

ex----41nx,x>x

x0'

當0＜尤＜/時，f（x）=--e'-a\wc,由/'（無）=一二一e'＜0,

%XX

則〃尤）在（。,即上單調遞減，

當尤＞天時，/（x）=eJ---flln.x,由尸（x）=e，，+=,（分開考慮導函數(shù)符號）

%XX

當尤＞/時，＞=d-?在區(qū),+8）上單調遞增，則

Xx0%。

所以當X＞無。時，r（x）=e＜￡+/＞0,所以“X）在（無o,+8）上單調遞增,

所以/（x）z，（龍0），

由題意貝!]/(%)=e%---alwco=-alwco>a^O<xo<-,

xoe

,則y'=(x+l)e*>0在(0,j上恒成立,

設y=xe*

所以y=xe"在（0」|上單調遞增，此時。=/e與￡0,1-ee1、,即。目0e

e

Ie)7

（乙）

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為I。,卜.

\7

【點睛】