三次函數(shù)（學(xué)生版） -2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題

專題14三次函數(shù)

考情分析

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點與難點，我們知道二次函數(shù)是重要的且具有廣泛應(yīng)用的基本初等函數(shù),

學(xué)生對此已有較為全面、系統(tǒng)、深刻的認識，并在某些方面具備了把握規(guī)律的能力，由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二

次函數(shù)，我們可以利用二次函數(shù)深入研究三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，這使得三次函數(shù)成為高考數(shù)學(xué)的一個熱點.

解題秘籍

(-)三次函數(shù)的單調(diào)性

由于三次函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)/(x)是二次函數(shù),我們可以利用/■'(x)=0根的情況及根的分布來研究三次函數(shù)

的單調(diào)性，特別是含有參數(shù)的三次函數(shù)的單調(diào)性通常要借助二次方程根的分布求解.

【例1】(2024屆青海省部分學(xué)校高三下學(xué)期聯(lián)考)已知函數(shù)/(工)=；/+；心尤2一(%+1N.

⑴討論的單調(diào)性；

⑵若/(x)有3個不同的零點，求機的取值范圍.

2

［解析］(1)/'(x)=x+mx-(m+l)=(x-l)(x+w+l),

令/'(x)=0,解得％=1或%=-加一1,

①當-m-1>1,即加<一2時，

由/'(X)>°得或x>-m-1；由/'(x)<0得1<x<-m-1,

所以/(x)在(-0,1)和(-加T+動上單調(diào)遞增；在(L-加-1)上單調(diào)遞減；

②當一加一1=1,即加=一2時，

r(x)>o恒成立，所以/(%)在R上單調(diào)遞增；

③當-m一1<1,即加〉—2時，

由/'(X)>°得x〉l或x<—機-1：由/'(X)<0得一加一1<x<l,

所以/(X)在(-8,-〃L1)和(L+8)上單調(diào)遞增；在(-加T1)上單調(diào)遞減;

綜上，

當機＜-2時,/（x）在（-雙1）和（-加-1,+“）上單調(diào)遞增；在（1,-加-1）上單調(diào)遞減；

當加=-2時J（元）在R上單調(diào)遞增；

當機＞-2時,〃x）在（-雙-加-1）和（1,+8）上單調(diào)遞增；在（-機-1,1）上單調(diào)遞減.

（2）因為〃龍）有3個零點，所以加片-2,

m217

當機＞一2時,極大值/（-w-l）=—+—（機+1）一7；極小值/（1）=一5加一］

63

(m

lu+i2(加+1)2>0

4

所以，解得加＞一］且小N-l,

1

——m—<0

[2t

12m2

當》＜-2時,極大值/（1）=-］加--；極小值-1）=—+—W+1)：

63

(m2

\6+3+1)~<0

所以，解得m<-4,

1

—m—->0

123

綜上產(chǎn)的取值范圍為（-8,-4八卜2-11口（-1,+功.

（二）過平面上一點P作三次函數(shù)圖象的切線的條數(shù)

1.此類問題一般是先設(shè)出切點⑺）,寫出曲線〃x）在X處的切線方程，把點尸坐標代入，整理出一

個關(guān)于/的三次方程，該方程實根個數(shù)就是切線條數(shù).

2.以三次函數(shù)為/（x）=a/+區(qū)為例，研究■下三次函數(shù)的切線問題：若M（Xi,yi）是三次曲線

/（x）=ax'+區(qū)上的任一點，設(shè)過〃的切線與曲線y=f（x）相切于（x0,y0），則切線方程為

F一必）=/'（項））（》一/），因點〃上此切線上，故必一汽=/'（/）（項一/），又

332

y0-ax^+bx0,yl-ax/+bxx,所以axi+bxr-（ax0+bx0）=（3ax0+b）（xx-x0）,整理得：

2

（x0-%1）（2%0+匹）=0,解得=$或%=一蓑.綜上所述，當點M是對稱中心即$=0時，過點M作曲

線的切線切點是惟一的，且為M故只有一條切線；當點M不是對稱中心即X］W0時，過點M作曲線的切線可

產(chǎn)生兩個不同的切點，故必有兩條切線，其中一條就是以M為切點（亦即曲線在點M處）的切線.

由此可見，不僅切線與曲線的公共點可以多于一個，而且過曲線上點的切線也不一定惟一

【例2】(2024屆福建省泉州市高中畢業(yè)班5月適應(yīng)性練習(xí))已知函數(shù)〃x)=*-2x2-2x+a(a>0).

⑴當。=1時,若直線y=-3x+6與曲線y=/(x)相切，求6；

⑵若直線V=-2x-2與曲線y=〃x)恰有兩個公共點，求a.

【解析】(I)當°=1時,〃X)=X3-2X2-2X+1J'(X)=3X2-4X-2,

因為直線V=-3x+b與曲線y=〃x)相切，

設(shè)切點為(％,%),則切線斜率左=/'(工0)=3焉-4工(1-2,

1

3XQ-4XQ-2=-3%二1

4

可得<典=-3%+b，解得V為=_2或.%一藥,

%=xo3-2/2―2%+1

b=l31

b=—

27

所以6=1或6=二.

27

(2)因為直線V=-2x-2與曲線了=/(元)恰有兩個公共點,

以1^3不壬ctx^-2廠-2x+a=-2x-2,

即方程a,+1)-2(/-1)=0有兩個不等實根,

因為尸-1是方程a(d+1)-2(/-1)=0的一個根;

當x力一1時，方程可化為ax~—+2)尤+。+2=0(*),

依題意，方程(*)有不等于-1的唯一根，

因為。。0,若。=0,則(*)即-2x+2=0,x=l,滿足條件；

若空0,則由12(.一n解得：”十

△=(Q+2)—4Q(Q+2)=03

2

綜上所述,。=0或。=(.

【例3】(2024屆江蘇省南通市高三上學(xué)期期初質(zhì)量監(jiān)測)已知函數(shù)/口)=加+加2+5(”>0)的極小值為

-2淇導(dǎo)函數(shù)/''(耳)的圖象經(jīng)過"(TO)*。,。)兩點.

⑴求〃x)的解析式;

(2)若曲線y=/(x)恰有三條過點P(l,m)的切線，求實數(shù)加的取值范圍.

【解析】(1)f'(x)=3ax2+2bx+c,

因為a>0,且尸(x)的圖象經(jīng)過囚T0),8(1,0)兩點.

所以當xe(-8,-l)時J(x)>0J(x)單調(diào)遞增;

當xe(-1,1)時J'(x)<0J(x)單調(diào)遞減；

當xe(1,+⑹時,/'(X)>0J(x)單調(diào)遞增.

所以「(X)在x=l處取得極小值，所以〃l)=a+6+c=-2,

又因為/'(-l)=0,/'(l)=。,所以3a-2b+c=0,3a+2b+c=0,

3a-2b+c=0

解方程組<3a+2b+c=°得。=1,6=0,。=—3,

a+b+c=-2

所以/(力=/-3工

(2)設(shè)切點為(%,%)),則為=x；-3%,

因為/(無)=3尤2-3,所以廣為)=3X；-3,

所以切線方程為J，_(x”3x°)=(3x；-3)(x-%,

將尸(1,加)代入上式，得2x；-3x；+加+3=0.

因為曲線了=/(x)恰有三條過點尸(1,加)的切線，所以方程2/-3/+〃,+3=0有三個不同實數(shù)解.

記g(x)=2x3-3x2+加+3,則導(dǎo)函數(shù)g'(x)=6x，-6x=6x(x-l),

令g'(x)=0,得x=0或1.

列表：

X(-8,0)0(0』)1(1,+CO)

g'(x)+0-0+

g（x）7極大\極小7

所以g（x）的極大值為g（O）=切+3,g（x）的極小值為8⑴二加+2,

fg（0）＞0/、

所以，解得-3＜加＜-2.故切的取值范圍是（-3,-2）.

（三）三次函數(shù)的極值

三次函數(shù)/（x）的極值點就是二次函數(shù)/'（X）的零點，所以與三次函數(shù)極值有關(guān)的問題常借助“三個二次”的

關(guān)系求解.

【例4】（2024屆山東省實驗中學(xué)高三二模）已知函數(shù)/（x）=（x-4）2（x-6）（a,6eR,q＜6）.

⑴當a=l,b=2時,求曲線T=/（x）在點（2,/（2））處的切線方程；

⑵設(shè)和血是/（X）的兩個極值點,七是〃X）的一個零點，且當HX],X3工赴.是否存在實數(shù)匕,使得占戶2，9戶4按

某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求X,；若不存在，說明理由.

【解析】（1）當。=1,6=2時,〃X）=（X-1）2（X-2）,

則/'（力=2（》-1）（》-2）+（工-1）2=（》-1）（3》-5）,故八2）=1,

又/⑵=0,所以曲線＞=〃x）在點（2,0）處的切線方程為y=x-2；

（2）/（X）=2（x-a）（x-6）+（x-a）2=3（）一°）]3，,

由于a＜6,故二2”,

令r（x）＞0,解得或令，（“＜0,解得

可知＞=〃x）在3,@產(chǎn)]內(nèi)單調(diào)遞減，在（-雙與絲,+"內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/（x）的兩個極值點為x=",x=，不妨設(shè)玉=a,x[=與約，

因為馬力占廣3片%,且退是/（x）的一個零點，故％=上

又因為丁-T、，

故匕=以0+三絲卜女此時見怨々匕絲,6依次成等差數(shù)列，

所以存在實數(shù)尤4滿足題意，且匕=現(xiàn)￥

(四)三次函數(shù)的零點

1.若三次函數(shù)/(X)沒有極值點，則/(X)有1個零點；

2.三次函數(shù)/(x)有2個極值點七,超,，則〃再)/泣)〉。時/(x)有1個零點；〃再)/泣)=。時

/(x)有2個零點；/(再)/(%2)<0時/(x)有3個零點.

【例5】(2023屆江西省贛撫吉H"一校高三第一次聯(lián)考)已知函數(shù)〃X)=X3-4加/-3加/+2,其中以20.

⑴若“X)的極小值為一16,求加；

⑵討論〃x)的零點個數(shù).

［解析】(1)由題得/'(%)=3x2-Smx-3m2=(x-3m)(3x+加)淇中加［0,當加=0時J'(x)20J(%)單調(diào)遞增,

無極值；當加〉0時，令/(、)>0,解得或%>3加；令/。)<0,解得-g<x<3加，所以/⑴的單

調(diào)遞減區(qū)間為1*3加),單調(diào)遞增區(qū)間為所以當x=3加時,〃x)取得極小值

〃3加)=2-18加3,所以2_18加=一16，解得加=1.

(2)由⑴知當…時,/(x)的極小值為〃3時=278療J(x)的極大值為(T=2+/3>O,

r產(chǎn)

//當2-18療<0,即加>出時J(x)有三個零點，如圖①曲線；當2-18加3=0,即

flV53

皿T時J(x)有兩個零點,如圖②曲線；當2-18加>0,即0<加考時J(x)有一個零點,如圖③曲線；當

加=0時J(x)=/+2,易知/⑴有一個零點.綜上，當時,/(x)有一個零點；當機=日時，

/(x)有兩個零點；當.>日時J(x)有三個零點.

(五)三次函數(shù)圖象的對稱性

三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a豐0)的圖象有六種，如圖：

圖⑷

對函數(shù)/(x)=ax3+bx2+CX+d(a豐0)進行求導(dǎo)：f'(x)=3ax2+2bx+c是二次函數(shù)，原函數(shù)的極值點與

單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負有關(guān)，所以容易發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)中的參數(shù)。與A的符號起決定性作用.當a為正時，原函數(shù)

的圖象應(yīng)為上圖中的(1)、(3)、(5)三種情況；而當a為負時，原函數(shù)的圖象則為(2)、(4)、(6)三種情

況.當A〉。時，二次方程八%)=0有兩相異實根乂,憶，且在汨,％的兩邊/'(X)的符號相反,故函數(shù)/(x)存

在兩個極值點，圖象為上圖中的(3)、(4)兩種；當△=()時，二次方程/'(x)=0有兩相等實根，且在根的兩

邊/'(X)的符號相同，這時函數(shù)/(x)只存在駐點(但不是極值點),函數(shù)的圖象為上圖中Q)、Q)兩種，當△<()

時；方程/'(x)=0無實根，/'(X)的值恒為正(或負)，函數(shù)的圖象為上圖中的(5)、(6)兩種.

仔細觀察圖象，我們還不難發(fā)現(xiàn)三次函數(shù)是中心對稱曲線,這一點可以得到進一步的驗證:設(shè)

/(m-x)+f(m+x)=2〃，得

[a(jn-x)3+b(jn-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2〃整理得，

(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2mc+2d)=2”.據(jù)多項式恒等對應(yīng)系數(shù)相等，可得m=-■2且

3a

n=am3-\-brn1+加。+乙從而三次函數(shù)是中心對稱曲線，且由n=/(加)知其對稱中心(加,/(加))仍然在曲

線上.而加=-2是否具有特殊的意義？對函數(shù)/(x)進行兩次求導(dǎo)J〃(x)=6"+26再令等于0,得

3。

x=--，恰好是對稱中心的橫坐標，這可不是巧合，因為滿足/"(機)=0的"正是函數(shù)拐點的橫坐標，這一

3a

性質(zhì)剛好與圖象吻合.

【例6】對于三次函數(shù)"X)=+反2+CX+"(aW。),給出定義：設(shè)/'(X)是函數(shù)＞=fix)的導(dǎo)數(shù)，/"(X)是

/(X)的導(dǎo)數(shù)，若方程r'(x)=0有實數(shù)解%,則稱點(%,/(%))為函數(shù)＞=/(x)的，拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):

任何一個三次函數(shù)都有“拐點，，；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若

1,1,5

/(x)=§x-5一+3%一方,請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn).

(1)求函數(shù)/(x)的對稱中心；

1232020

(2)計算/(——)+/(——)+/(—)+-?-+/(—).

2021202120212021

【解析】(1)'.1f'{x)=x2-x+3,f"{x}=2x-1,

令/"(x)=0,即2%-1=0,解得X=；,

?■?/(i)=ix(i)34x(l)2+3x1-il=b

由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)/(X)的對稱中心為。,1).

(2)由⑴知函數(shù)/四=#-9+3”卷的對稱中心為(”，

所以/(”)+〃；-無)=2,即〃x)+/(l-x)=2,

故/(—1^)+2020=2,/(^2)+/(2^0^19)=2…20201=2,

202120212021202120212021

1?320201

所以/(——)+/(——)+/(——)+-?-+/(——)=—x2x2020=2020.

20212021202120212

(六)三次函數(shù)與韋達定理的交匯

由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，而二次函數(shù)常與韋達定理交匯,故有時可以用定理交匯處理三次函數(shù)問題

a、b、c

【例7】設(shè)X],X2是函數(shù)/(x)=1X+]/—。2M。〉0)的兩個極值點，且a|+口21=2

(1)求。的取值范圍；

(2)求證：怪64V一3.

22

【解析】⑴/(x)=ax+bx-a,xx,x^f'(x)=0的兩個實根，又a>0

XjX2=_a<0,Xj+X2=----,|Xj|+|X21=1X]—/|=~+4fi!

由|X1|+|/1=2得與+4a=4,即Z>2=4a2—4a3=4t72(l—a)

一a

b1>00<a<1

⑵設(shè)/=g(a)=4a2-4/,則g(a)=8a-12a2=4a(2-3a)

77

g(a)在(0,§)在單調(diào)遞增，在(1,1)上單調(diào)遞增

「/、1_/2、_16y4指

[g(a)]max=g(-)=—^-<—^―

[例8](2024年2月第二屆“魚塘杯”高考適應(yīng)性練習(xí))對三次函數(shù)/")=加+&2+5+4。30,如果其存

_bcd_

在三個實根西,工2，三,則有匹+%2+退=--,XjX+XX+XXj=一,用工2%3=.稱為三次方程根與系數(shù)關(guān)系.

a2233aa

(1)對三次函數(shù)/(力=辦3+&2+5+4,設(shè)8(力=/(力,存在為€11,滿足0=/(%)=8(/)/8，(%).證明：存

在百工%,使得/@)=。卜-王)(》-工0)2；

⑵稱〃x)是卜%上的廣義正弦函數(shù)當且僅當〃x)存在極值點國,/e(m,M)，使得

[〃西),〃X2)}={〃")，〃朋9}.在平面直角坐標系短了中,4(°,6)是第一象限上一點,設(shè)

/(x)=x(a-x)+—,g(x)=x(a-x1-46“已知g(x)在(0,。)上有兩根x0<x3,

(i)證明：/(x)在(0,+8)上存在兩個極值點的充要條件是03>276；

(ii)求點A組成的點集，滿足/(x)是民,9]上的廣義正弦函數(shù).

【解析】⑴因為〃龍o)=O,所以不妨設(shè)〃x)=a(x-尤/0),

所以g(x)=/'(x)=，(工一工0)(%—再)+。('—Xo)(x—工2)+。(%—x1)('—工2),(〃。,

因為o=g(尤0)Wg'伉),所以g伉)=((％)=。(％-X])伉一x2)=0,(a*0),

所以不妨取了2=%滿足題意，且此時必有工產(chǎn)后，

3,2，

否則若X=%,則有/(x)=fl(x-x0),g(x)=/(x)=3a(x-x0),g(A：)=6<7(x-x0),

而此時8'(%)=6。(%0-%)=0與已知0=850)心，舊)矛盾，

綜上所述，存在/%,使得/'(x)=a(x-)(x-X。丫.

(2)(i)/(凡6)是第一象限上一點，所以a>0,6>0,

因為/(x)=x(fl_x)+2,所以/(x)=a-2x-=~2x+ax~b,(a>0,Z>>0),

XXX

32

設(shè)/z(x)=-2x+ax-b,則/z(0)=-Z)<0?

而x-—00時,〃(x)T+8,Xf+00時,〃(x)T-00,

所以〃(%)=一2%3+"2_b=0存在負根，

因為“X)在(0,+句上存在兩個極值點，等價于方程r(x)=-2x：x~=0在(0,+8)上有兩個根,

等價于方程人⑴=-2x3+#_6=0在(0,+8)上存在兩個根，

注意到三次方程最多有3個根，所以方程"x)=-2d+辦2-6=o有一個負根，兩個不同的正根，

而h'(x)=-6x2+2ax，當0<x<：時,”(x)=-6x2+2ax>0,/z(x)單調(diào)遞增，

當x>￡時,/(x)=-6x2+lax<0,/z(x)單調(diào)遞減，

所以當且僅當〃[*]=-蕓+/-6=(-6>0,即當且僅當。3>27江

綜上所述，命題(i)得證；

(ii)容易驗證1>276時,g(x)=。也恰好有兩個正根沖,七,

止匕時：由于對x>0來說，/''(x)=0等價于2x3-辦2+6=0透(》)=0等價于工.一"2-46=0,

所以對x>0,如果g(x)=0,那么寧)+6=0,

這意味著玉=號,馬=寧，

然后，對兩個不相等的正數(shù)〃,VJ(")-〃V)=(M-V)a-(u+v)--,

所以/(")=/3)當且僅當"+V+—=心

uv

那么如果t=再或*2，就有。-2/=X?；騒?,故/■'。)=gg-2。，

232

,z_xbbb-t(a-2t)2t-at+b

此時t+(6Z-2/)+---------=a-t+—-------=a+—————T=a+--------=a,

/(a-2。7(a-2。

所以/(/)=/(。一2/),這意味著/(%)=/(%),/(再)=/(%)，

最后,由于加(X)=i(x)=2x3_o?+6有一個極值點x=,

所以X”吃都不等于。(再,乙是不相等的正零點，同時該方程還有另一個負零點，但與只要是根就是二重的，所

以§不可能是根)，這就說明占3W%，

結(jié)合/(x)的單調(diào)性以及/(%)=/(丫2)J(xj=/(X3),必有/<X[<X?<X3,

所以此時〃X)一定是廣義正弦函數(shù)，

綜上所述，滿足題意的4={(。力)I43>27b}.

典例展示

【例11(2024屆福建省泉州市高三5月適應(yīng)性練習(xí))已知函數(shù)y(x)=G3-2x2-2x+a(aN0).

(1)當。=1時,若直線V=-3x+6與曲線y=/(x)相切，求6；

(2)若直線>=-2x-2與曲線y=/(x)恰有兩個公共點，求a.

【解析】(1)當a=1時,/'(x)=—2x?-2x+1J'(x)=3x~-4x—2,

因為直線>=-3x+6與曲線y=/(x)相切，

設(shè)切點為(％,%),則切線斜率先=/'(Xo)=3x：-4xo-2,

1

-

%3

3XQ—4XQ—2=-3%二14

-

-一

可得<%=-3%+b，解得V%=_2或.Jo

27

%=-2/2-2x0+1b=l

31一

b:

27

所以6=1或6=布.

27

(2)因為直線>=-2》-2與曲線y=/(x)恰有兩個公共點，

所以方程ax'-2x?-2尤+a=—2.x—2,

即方程a(Y+l12(/_1)=0有兩個不等實根，

因為尸-1是方程。(/+1)-2,-1)=0的一個根；

當XW-1時，方程可化為/-(a+2)x+a+2=0(*),

依題意，方程(*)有不等于-1的唯一根，

因為。20,若。=0,則(*)即-2x+2=0,x=l,滿足條件；

Q+Q+2+Q+2W02

若a>0,則由|,2/解得："=￡,

△=(Q+2)—4Q(Q+2)=03

2

綜上所述,。=0或a=].

【例2】(2024屆福建省泉州第五中學(xué)高考熱身測試)已知函數(shù)/(司=/-"+2,aeR.

(1)若x=-2是函數(shù)/(x)的極值點，求。的值，并求其單調(diào)區(qū)間;

⑵若函數(shù)/(x)在1,3上僅有2個零點，求。的取值范圍.

【解析】(1)-(x)=3/-a2)=12-a=0,得°=12,

當Q=12時J'(x)=3x2-12=0,得工=一2或x=2,

x,r(x),/(x)的變化情況如下表所示，

X(-雙-2)-2(-2,2)2(2,+8)

f(x)+0-0+

小)增區(qū)間極大值18減區(qū)間極小值-14增區(qū)間

所以函數(shù)/⑺的增區(qū)間是(-8,-2)和(2,+動,減區(qū)間是(-2,2)；

(2)令/(x)=%3一"+2=0,%￡；,3,

2

得。=X+2=X?+-,^-g(x)=x+-,x&3

XXxr，

22

g,(x)=2x--=-=0,得x=l,

x2

如下表,

￡

X1。，3)3

3加

g'(x)-0+

5529

g(x)減區(qū)間極小值增區(qū)間

~93T

因為函數(shù)〃X)在1,3上僅有2個零點，即了=。與y=g(x)有2個交點，如圖:

即3<041.

[例3](2024屆陜西省銅川市高三下學(xué)期模擬)已知函數(shù)"幻=2丁+3/-12x+m(機eR)的一個極值為

⑴求實數(shù)機的值；

"3-

⑵若函數(shù)〃(x)在區(qū)間k,-上的最大值為18,求實數(shù)上與加的值.

【解析】(1)由〃(x)=2%3+3,一12%+加(加￡R),得Zz'(x)=6—+6x—12=6(x+2)(x—l),

令//(x)=0,得工=一2或x=l；令〃(x)<0,得-2vx〈l；令〃(x)>0,得%<-2或x>l.

所以函數(shù)〃(x)有兩個極值〃(-2)和人⑴.

若〃(—2)=—2,得2x(—2)3+3x(—2)2—12x(—2)+加=—2,解得加=—22；

若"(1)=-2,得2xF+3xF-i2xl+機=-2,解得加=5.

綜上,實數(shù)用的值為一22或5.

(2)由(1)得,“(力,力(力在區(qū)間,叫|的變化情況如下表所示:

3

X(-GO,-2)-2(-24)1

2

h'^x)+0—0+

9

//(%)/極大值加+20極小值加-7/m——

2

由表可知，

①當1"＜|時，函數(shù)在區(qū)間用上單調(diào)遞增，所以最大值為〃［］=加

其值為或］不符合題意；

②當上=-2時，函數(shù)3)在(-2,1)上單調(diào)遞減，在臼上單調(diào)遞增，

因為〃(-2)=20+加，?||=入-：,〃(2)＞彳|),所以“工)在左,|上的最大值為可-2)=加+20淇值為_2

或25,不符合題意；

③當左＜-2時，函數(shù)〃(x)在(鼠-2)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因為人(-2)=20+%彳|)=加-|血2)＞同,所以〃(力在,上的最大值為力(-2)=加+20淇值為_2

或25,不符合題意；

④當-2〈人＜1時,〃⑴在停,1)上單調(diào)遞減，在［1,1)上單調(diào)遞增，

若力(X)在區(qū)間椅上的最大值為彳3=加一(其值為。或-?，不符合題意，

「3-

又因為若加=-22,則〃(-2)=m+20=-2.那么，函數(shù)在區(qū)間k,-上的最大值只可能小于一2,不合題

,zsh=.

忌、,

「3-1

所以要使函數(shù)〃(X)在區(qū)間k,-上的最大值為18,必須使〃化)=2左'+3左2-12左+加=18,且〃2=5,

艮［J"(左)=2左3+3左2-12左+5=18.所以2后3+3斤2—12左一13=0,

所以2^+2/+^+左一13/一13=0.所以2F優(yōu)+1)+上伍+1)-13化+1)=0,

所以(2r+左一13)伍+1)=0.所以2"+"13=0或后+1=0,

所以左=T±.或左+1=0.因為一2<:<1,所以左=T±.舍去.

44

綜上,實數(shù)上的值為-1,"的值為5.

【例4】(2023屆江蘇省徐州市睢寧縣高三下學(xué)期5月模擬)已知函數(shù)/(x)=-2x3+加eR,且g(x)=I/(%)I

在xe(0,2)上的極大值為1.

⑴求實數(shù)加的值；

(2)若b=f{a),c=f(b),a=/(c)，求a也c的值.

[解析](1)g(x)=x212x-/w|,0<x<2,

①加W0時，g(x)=2x3-mx2g'(x)=6x2-2mx>0,無極值.

②加24時,g(x)=-2x3+mx2g'(x)=2x(m-3x),

fTl

當I22,即加26時,g'(x)20,無極大值;

TV]m

當4?冽<6時,X<§時,gr(x)>0；§<X<2時,g'(x)<0,

...g(x)在X=g處取極大值，即g(9=1=1,.??加=3,舍去.

-+加I?,0?1工——

(3)0<m<4時,g(x)=<

2x3-mx2,—<x<2

2

2x(加-3x),0Kx<—

???g'(x)=，-

2x(3x-m),-y<x<2

YYlvyimvv]

0<x<§時,g'(x)>0；§<X<5時,g'(x)<0；,<X<2時,g'(x)>0.

...g(x)在x=g處取極大值嗎=1m=3符合題意.

3乙/

(2)由(1)可知,/(%)=-2丁+3%2/(1)二-6工2+6%=61(-1+1),

令/'(、)>0可得-l<x<0,令/'卜)<0可得%〉1或…,

如圖所示.

①當〃<0時。=/(a)>0,

當時,。vc=/(6)W1,貝Ua=/(c)>。,矛盾；

當6〉；時,。=/3)<0,.?.。=/?>0,矛盾.

②當。=0時，符合題意.

③當0<a<」時,0<x<,時,/(x)<x0<b=/(?)<?<-,

222

則0<C=f(b)<6<；,0<a=/(c)<c<^,.-.a<c<b<a，矛盾.

?當時，符合題意.

⑤當：<a<l時,(<尤<1時,/(x)>xl>b=/(a)>?>1,

貝！J1〉。=/3)>6〉；,1>a=/(c)>c>ga>c>b>a，矛盾.

⑥當。=1時，符合題意.

⑦當1va4］時,。w6=/(a)v1,貝lj。Wc=/(6)<1a=7(c)V1,與Q>1矛盾.

33

?當Q>］時,6=/(。)<0,。=/3)>0,??.。=/0?1,與?！?矛盾.

綜上,a=b=c=O,或。=6=c=；，或a=b=c=l.

【例5】(2023屆重慶市第十一中學(xué)校高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測)已知函數(shù)/(x)=d-3/+G+3,/(X)在

X1處取極大值，在x?處取極小值.

⑴若”0,求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵在方程/(x)=/(占)的解中，較大的一個記為馬,在方程〃x)=/(々)的解中，較小的一個記為X”證明：

上五為定值.

x3-x2

【解析】(1)當a=0時,/(x)=x3-3f+3,定義域為R,/'(X)=3X2-6X,

當/'(x)>0時,x>2或x<0；當/'(x)<0時,0〈尤<2；

即函數(shù)〃x)的單調(diào)增區(qū)間為(-嗎0),(2,+動；單調(diào)減區(qū)間為(0,2).

(2)由廣(x)=3x?-6x+a,

根據(jù)題意，得3x2-6x+a=O的兩根為x”x?，且玉<%,

即A=36-12。>0，得a<3,

X]+%2=2,

所以占vlv%2,

因f(x)—f(再)，貝!J%，—3/+dx+3—%：—3x；+uXy+3,

2

可矢口—3x+ax=xf-+axx,

因為/(再)=0,即a=6%一3%；,

3222

即x-xf+3xf-3x+ax-axx=(x-xj^x+%(^-3)-2x^+3xJ=(x-x1)(x+2x1-3)=0,

可知&=3—2』,同理，由/(力=)(%)，

222

可知工3_石+3考-3x+ax-ax2=(x-x2)|^x+x(x2-3)-2xf+3x2^|=(x-x2)(x+2x2-3)=0；

得至！J%=3—2X2,

所以當二五=三汩2=匕邃=匕心)=一1.

X-j—%23—2再—%2]—X]]-X]

【例6】已知函數(shù)f(x)=|ax3+|te2+cx(a>0).

⑴若函數(shù)〃x)有三個零點分別為毛,4，尤3，且玉+々+X3=-3,XA=-9，求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若廣⑴=-%,3a>2c>26,證明：函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)一定有極值點；

(3)在(2)的條件下,若函數(shù)/(x)的兩個極值點之間的距離不小于百，求白的取值范圍.

a

【解析】(1)因為函數(shù)+cx=M；a%2+gbx+c)(a>0),

xx

又X1+%+%3=-3,\2二一9，貝!]二°,匹+%2=-3,xxx2=-9

因為是方程；&+；bx+c=0的兩根，

bc

所以/'(x)=ax2+bx+c=a(x2+—x+—)=a(x2+2x-3)=a(x-l)(x+3).

aa

令/'(x)=0解得：x=l,x=-3當/'(x)>0時,x<—3或x>l,

當/'(x)<0時,-3<x<1,故/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-3,1),

單調(diào)遞增區(qū)間是(-叫-3),(1,+功.

(2)因為/'*)=/+bx+cJ'(l)=-；a,

所以a+b+c=-1a，即3a+26+2c=0.

又a>0,3a>2c>26,所以3a>0,26<0,即a>0.b<Q.

于是/")=<0,=c,/'(2)=4a+2b+c=4a-(3a+2c)+c=a-c.

①當c>0時，因為八0)=c>0J'(D=[a<0,而f'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)連續(xù),

則/'(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個零點，設(shè)為“加，

則在xe(0,加),(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

在X€(加,1)J(x)<0,/(%)單調(diào)遞減,

故函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有極大值點x=m；

②當C40時，因為/'(l)=-ga<0,八2)="c>0,

則/'(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一零點.設(shè)為X=",

則在xe(l,?),r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，

在xw(〃,2)/(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

故函數(shù)/(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有極小值點.

綜上得函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)一定有極值點.

(3)設(shè)加，”是函數(shù)的兩個極值點，

則加，〃也是導(dǎo)函數(shù)廠(x)=加+fex+c=0的兩個零點，

由(2)得30+26+2。=0,貝!]加+〃=-2,?2〃=￡=-。-2.

aa2a

222

所以|相一〃|=yj(m+n)-4mn=A/(-—))=./(—+2)+2

Va2a\a

由已知,J(2+2y+22JJ,

Va

則兩邊平方得(2+2)2+223,得出。+221,或2+2WT,

aaa

即—2-1，或—<—3，又2c=-3a-2b,3a〉2c>2b,

aa

3

所以3a>-3a-2b>2b，即-3a<b<--a.

因為a>0,所以-3-.綜上分析,2的取值范圍是1I,-"

a