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認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

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PAGE1第28講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積（7類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷，第9題,5分柱體體積的計(jì)算2023年天津卷，第8題,5分錐體體積的有關(guān)計(jì)算證明線面垂直2022年天津卷，第8題,5分柱體體積的有關(guān)計(jì)算求組合體的體積2021年天津卷，第6題,5分錐體體積的有關(guān)計(jì)算球的體積的有關(guān)計(jì)算2020年天津卷，第5題,5分球的表面積的有關(guān)計(jì)算2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握幾何體的有關(guān)特征，掌握不同幾何體的表面積與體積的計(jì)算公式。2.能掌握不同幾何體的展開圖的特征。3.具備數(shù)形空間思維，會(huì)計(jì)算空間幾何體中的最短路徑問題。4.會(huì)解外接球，內(nèi)切球與棱切球問題?！久}預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出幾何體，求解幾何體的表面積。體積與球的相關(guān)問題。知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一.構(gòu)成空間幾何體的基本元素—點(diǎn)、線、面1.空間中，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．2.空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．知識(shí)點(diǎn)二.簡單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺(tái)1.棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長都相等的長方體．2.棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．3.棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．簡單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．知識(shí)點(diǎn)三.簡單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球1.圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．2.圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．3.圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)．4.球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長度）．知識(shí)點(diǎn)四.組合體由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．知識(shí)點(diǎn)五.表面積與體積計(jì)算公式1.表面積公式表面積柱體為直截面周長錐體臺(tái)體球體積公式體積柱體錐體臺(tái)體球知識(shí)點(diǎn)六.空間幾何體的直觀圖1.斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐標(biāo)系．（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于O'x'，O'y（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y'軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去x'軸、y注：直觀圖和平面圖形的面積比為242.平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．考點(diǎn)一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.（·北京·高考真題）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1A．3個(gè) B．4個(gè)C．5個(gè) D．6個(gè)2.（2007·安徽·高考真題）在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體.

1.（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）碳60（Co）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個(gè)碳原子構(gòu)成，形似足球，又稱為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個(gè)面，且滿足：頂點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2，則其六元環(huán)的個(gè)數(shù)為（

）.A．12 B．14 C．18 D．202.（2023高三上·廣西·學(xué)業(yè)考試）如圖、以矩形ABCD的邊AB所在直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是（

）A．圓錐 B．圓臺(tái) C．圓柱 D．球3.（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）要使正方體ABCD?A1B1C1D14.（24-25高三·上?！るS堂練習(xí)）連結(jié)正三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)，可以組成個(gè)四面體．考點(diǎn)二、空間幾何體的表面積1.（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成.如圖，已知一木制陀螺的圓柱的底面直徑為6，圓柱和圓錐的高均為4，則該陀螺的表面積為（

）A．44π B．46π C．48π D．50π2.（24-25高三上·貴州黔東南·開學(xué)考試）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AB=1，BC=3

A．26π+5π B．3π+5π C．11π1.（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐PO的頂點(diǎn)為P，其三條母線PA,PB,PC兩兩垂直，且母線長為A．2π B．26π C．62.（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐SO的底面半徑為1，過高線的中點(diǎn)且垂直于高線的平面將圓錐SO截成上?下兩部分，若截得小圓錐的體積為324π，則圓錐A．4π B．2π C．2π D．3.（24-25高三上·河南·開學(xué)考試）已知圓錐的高與底面半徑之和為3，則當(dāng)該圓錐的體積取得最大值時(shí)，圓錐的側(cè)面積為（

）A．25π B．25+4π 4.（2024·四川宜賓·三模）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BCA．4 B．10+42 C．12+42 考點(diǎn)三、空間幾何體的體積1.（2023·天津·高考真題）在三棱錐P?ABC中，點(diǎn)M,N分別在棱PC,PB上，且PM=13PC，A．19 B．29 C．132.（2024·北京·高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為65mm,325mm,325mm，且斛量器的高為230mm，則斗量器的高為mm，升量器的高為mm．1.（2024·全國·高考真題）已知圓臺(tái)甲、乙的上底面半徑均為r1,下底面半徑均為r2，圓臺(tái)的母線長分別為2r2?2.（2023·全國·高考真題）已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA3.（2023·全國·高考真題）在正四棱臺(tái)ABCD?A1B14.（2023·全國·高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為．考點(diǎn)四、幾何體的直觀圖1.（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中D'是B'C'的中點(diǎn)，且A'DA．2 B．2 C．22 2.（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△O'A'B'是水平放置的△OAB用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與x'軸和

A．82 B．122 C．241.（2022高三·全國·專題練習(xí)）下圖中小正方形的邊長為1，四邊形ABCD為某圖形的直觀圖，則該圖形的面積為（

）A．7528 B．7524 C．2.（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在水平放置的平面α上畫一個(gè)邊長為2的等邊三角形，在斜二測(cè)畫法中線段AC的長為.3.（23-24高三上·貴州黔西·階段練習(xí)）如圖，矩形O'A'B'C'是水平放置的平面圖形OABC4.（2023·遼寧錦州·模擬預(yù)測(cè)）已知用斜二測(cè)畫法畫梯形OABC的直觀圖O'A'B'C'如圖所示，O'A'=3C'B'

考點(diǎn)五、幾何體的展開圖1.（·廣東·高考真題）已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（

）A．1+4π4π B．1+2ππ C．1+2π2π2.（·北京·高考真題）如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°1.（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π，側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為V甲和V乙．若A．5 B．22 C．10 D．2.（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開圖，在該正方體中，下列命題正確的是（

）

A．AB∥HG B．CG⊥BH C．3.（2022·江蘇連云港·二模）如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖，若兩個(gè)半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺(tái)的體積是（

）A．72π24 B．73π244.（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的軸截面是頂角為α的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為β的扇形，則當(dāng)β?α的值最大時(shí)，A．1 B．2C．π2?1 考點(diǎn)六、最短路徑問題1.（24-25高三上·廣東·開學(xué)考試）圓錐頂點(diǎn)A，底面半徑為1，母線AB=4,AB的中點(diǎn)為M，一只螞蟻從底面圓周上的點(diǎn)B繞圓錐側(cè)面一周到達(dá)A．0 B．255 C．452.（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知某圓錐的軸截面是頂角為α的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為β的扇形，則當(dāng)α?β最小時(shí)，A．1 B．2 C．π2?1 1.（2019高三·全國·專題練習(xí)）如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為43

A．153 B．3235π27 C．2.（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB

A．3 B．732 C．1563.（23-24高三上·山西大同·期末）已知圓臺(tái)的上、下底面的圓心分別為O1，O2，母線AB=1（點(diǎn)A位于上底面），且BO2A．1 B．3 C．2 D．54.（23-24高三上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=考點(diǎn)七、球相關(guān)問題1.（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為33和4A．100π B．128π C．144π D．192π2.（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤A．18,814 B．274,8141.（2022·全國·高考真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A．13 B．12 C．332.（2021·天津·高考真題）兩個(gè)圓錐的底面是一個(gè)球的同一截面，頂點(diǎn)均在球面上，若球的體積為32π3，兩個(gè)圓錐的高之比為A．3π B．4π C．9π3.（2021·全國·高考真題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且AC⊥BC,A．212 B．312 C．244.（2021·全國·高考真題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S=2πrA．26% B．34% C．42% D．50%1．（23-24高三下·天津南開·階段練習(xí)）三星堆遺址祭祀坑區(qū)4號(hào)坑發(fā)現(xiàn)了玉琮.一種內(nèi)圓外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的禮器.假定某玉琮中間內(nèi)空，形狀對(duì)稱，如圖所示，圓筒內(nèi)徑長2cm，外徑長3cm，筒高4cm，中部為棱長是3cm的正方體的一部分，圓筒的外側(cè)面內(nèi)切于正方體的側(cè)面，則該玉琮的體積為（

）A．27?9π4cm3 B．27?7π42．（2024·天津·二模）已知正方體ABCD?A1B1C1D1A．23 B．23 C．423．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知斜三棱柱ABC?A1B1C1中，O為四邊形ACC1A1A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．2:34．（2024·天津?yàn)I海新·二模）如圖所示，這是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)：圓柱容球定理.圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，在當(dāng)時(shí)并不知道球的面積和體積公式的情況下，阿基米德用窮竭法解決面積問題，用杠桿法解決體積問題.我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，求圓柱的表面積與球的表面積之比和圓柱體積與球體積之比（

）A．32，65 B．54，54 C．32，35．（2023·天津河北·一模）一個(gè)體積為43A．18 B．27 C．36 D．546．（2024·四川宜賓·二模）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)E?F分別為棱PA和PB中點(diǎn)，則四棱錐A．25 B．37 C．381．（2024·天津·三模）已知直四棱柱ABCD?A1B1C1D1A．3 B．2 C．33 2．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）如圖，正方體ABCD?A1B1A．43 B．1 C．8+2393．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）四棱錐P?ABCD的底面為正方形，PA⊥AB,A．四棱錐P?ABCDB．四棱錐P?ABCDC．在△PAC中，當(dāng)AM⊥D．四棱錐P?ABCD4．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）已知AB，CD分別是圓臺(tái)上、下底面圓的直徑，且AB⊥CD，若圓臺(tái)上底面圓直徑為2，下底面圓直徑為8，母線長為5，則三棱錐A．283 B．323 C．145．（2024·天津·二模）天津包子是一道古老的傳統(tǒng)面食小吃，是經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的大眾化食品，在中國北方，在全國，乃至世界許多國家都享有極高的聲譽(yù).某天津包子鋪商家為了將天津包子銷往全國，學(xué)習(xí)了“小罐茶”的銷售經(jīng)驗(yàn)，決定走少而精的售賣方式，爭取讓天津包子走上高端路線，定制了如圖所示由底面圓半徑為4cm的圓柱體和球缺（球的一部分）組成的單獨(dú)包裝盒，球缺的體積V=π3R???2A．198π3 B．196π3 C．172π36．（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）如圖，已知梯形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°,AB=(1)求證：DF//平面ABE(2)求平面ABE與平面BEF的夾角的余弦值；(3)求三棱錐F?1.（2023·全國·高考真題）已知四棱錐P?ABCD的底面是邊長為4的正方形，PC=A．22 B．32 C．422.（2