第22講 平面向量的數(shù)量積（教師版） 備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習考點幫（天津專用）

PAGE1第22講平面向量的數(shù)量積（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2024年天津卷，第14題,5分平面向量基本定理的應用平面向量線性運算的坐標表示數(shù)量積的運算律數(shù)量積的坐標表示2023年天津卷，第14題,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計算2021年天津卷，第15題,5分數(shù)量積的運算律2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線(平行)求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標表示2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較高，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握向量的數(shù)量積公式2.能掌握向量的模長，垂直于投影公式3.具備數(shù)形結合的思想意識，會借助直角坐標系，求解向量的數(shù)量積與夾角模長等問題4.會解借助點坐標解決最值與取值范圍問題【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般給出圖形，要求線性表示與數(shù)量積，模長與角度問題。知識講解知識點一．向量的夾角已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．知識點二．平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積，記作a·b.知識點三．平面向量數(shù)量積的幾何意義設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．記為|a|cosθe.知識點四．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.知識點五．平面向量數(shù)量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.幾何表示坐標表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))知識點六.常用結論1．平面向量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有關向量夾角的兩個結論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.考點一、平面向量數(shù)量積的計算1.（2024·河南濮陽·模擬預測）已知向量a=2，b在a方向上的投影向量為?3a，則A．12 B．?12 C．6 D．?6【答案】B【分析】由題意得bcos【詳解】因為b在a方向上的投影向量為?3a所以bcos而a=2，a≠0所以a?故選：B.2.（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，點M(a2c,m)A．23 B．53 C．63【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，結合圓的性質及數(shù)量積的運算律列式，化簡可得2a【詳解】由以MN為直徑的圓過橢圓C的右焦點F(c,0)，得FM⊥FN，即而FM=(a2?c由(OM?2則(a2c)2整理得2a2=3c2，解得c故選：C1.（2024·山西太原·一模）在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，設點D為AC的中點，E在BC上，且AE?A．16 B．12 C．8 D．?4【答案】A【分析】以B為原點，建立如圖坐標系，結合向量的坐標運算即可.【詳解】因為在△ABC中，BC=6，AB=4，∠CBA=π2，以則A4,0，B0,0，C0,6，D2,3，設E0,b，則由題意可知AE?BD=0.即?4,b?2,3所以E0,83，∴故選：A.2.（2024·湖北·模擬預測）直線y=kx與圓x?12+y?1A．11+k2 B．k2【答案】C【分析】先聯(lián)立方程，結合韋達定理可求出x1【詳解】聯(lián)立y=kxx?12+則Δ>0，即4k+12設Mx1,y1OM故選：C3.（2024·河南周口·模擬預測）已知△ABC中，AC=22，∠C=π4，AD為BC上的高，垂足為D，點E為AB上一點，且AE=2EBA．?43 B．43 C．?【答案】A【分析】利用向量的線性關系及數(shù)量積的運算律得CE?【詳解】如圖所示，由題意可知，AC=22，∠ADC=π2，∠ACD=因為AE=2EB，所以CE=則CE=1故選：A.4.（2024·四川涼山·三模）在△ABC中，已知AB=1,AC=3，點G為△ABC的外心，點O為△ABC重心，則OG?BC【答案】4【分析】設BC的中點為D，根據(jù)三角形外心性質，得GD⊥BC，由重心性質得OD=【詳解】設BC的中點為D，連接AD,GD，由點G為△ABC的外心，可得GD⊥BC，由點O為△ABC重心，可得OD=故OG===1

故答案為：435.（2024·天津河西·二模）在四邊形ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，∠ABC=60°，AB=2，AD=3，E、F分別為線段AB、CD的中點，若設AD=a，BC=b，則EF可用a，b表示為【答案】12a【分析】利用向量的加法可以求出第一個空；通過轉化確定CD及CD與AD，BC的夾角，代入數(shù)量積的計算公式即可求出第二個空.【詳解】由題意得，EF=EA+由E、F分別為線段AB、CD的中點，知EA+EB=因此，2∴EF延長AD、BC交一點G,由AB⊥AD,∠ABC=60°，AB=2，∴AG=23∵AD=3,又∵CB⊥CD，∴∠GCD=90°,∴CD=32∴EF?CD故答案為：12a考點二、模長問題1.（2020·全國·高考真題）設a,b為單位向量，且|a+b【答案】3【分析】整理已知可得：a+b=a+b2，再利用a【詳解】因為a,b所以a解得：2所以a故答案為：3【點睛】本題主要考查了向量模的計算公式及轉化能力，屬于中檔題.2.（2024·河南·二模）若向量a,b滿足b=1,A．2 B．3 C．2 D．3【答案】A【分析】由已知結合向量數(shù)量積的性質即可求解．【詳解】因為向量a，b滿足|b|=1，(a所以(a+b所以(a+2b故選：A．1.（2024·河南濮陽·模擬預測）已知A1,0，B0,1，Ccosα,sinα，A．3π4 B．π2 C．π【答案】C【分析】根據(jù)向量模長公式結合同角三角關系可得tanα=1【詳解】由題意可得：AC=若AC=BC，則可得2?2cosα=2?2sin且α∈0,π，所以故選：C.2.（2024·河北·三模）已知非零向量a，b的夾角為π3，a=?32A．1 B．32 C．2 D．【答案】D【分析】分析可知a=1，向量a，a?b的夾角為π【詳解】因為a=?3且非零向量a，b的夾角為π3，a?b=1，可知向量a，則a?所以a+故選：D.3.（2024·陜西西安·三模）已知向量a=2,m，b=1,1，A．－3 B．－1 C．1 D．3【答案】A【分析】結合平面向量的數(shù)量積運算，即可求解.【詳解】因為向量a=2,m，b=1,1，由a+b=故選：A4.（2018·遼寧朝陽·三模）已知向量a與b的夾角為60°，a=2，b=3，則【答案】6【分析】根據(jù)模長公式結合數(shù)量積的定義和運算律即可求解.【詳解】由題意，向量a與b的夾角為60°，a=2，所以3a所以3a故答案為：65.（2024·四川資陽·二模）已知向量a，b的夾角為150°，且a=2，b=2，則A．1 B．2?3 C．2+3 【答案】D【分析】借助向量模長與數(shù)量積的關系與數(shù)量積的計算公式計算即可得.【詳解】因為a?所以a?故選：D6.（24-25高三上·廣東·開學考試）已知p=sinx,?1，q=cosx,【答案】3【分析】借助向量垂直可得其數(shù)量積為0，利用向量數(shù)量積公式與模長公式計算后結合三角函數(shù)基本關系即可得解.【詳解】由p⊥q，則有p?又p?則p?故p?故答案為：37.（24-25高三上·湖北·階段練習）若平面內不共線的向量a,b,c兩兩夾角相等，且a【答案】3【分析】把向量的模轉化為數(shù)量積，再應用數(shù)量積運算律計算求解.【詳解】因為平面內不共線平面向量a,即a,b,a===3故答案為：3.考點三、角度問題1.（2020·浙江·高考真題）設e1，e2為單位向量，滿足|2e1?e2|≤2，a=e【答案】28【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡條件得e1?e【詳解】∵|2e∴4?4e∴e∴=4故答案為：2829【點睛】本題考查利用模求向量數(shù)量積、利用向量數(shù)量積求向量夾角、利用函數(shù)單調性求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.2.（24-25高三上·貴州·開學考試）若向量a=?2,2，b=?1,3的夾角為A．?255 B．55 C．【答案】C【分析】由向量夾角公式，數(shù)量積及模的坐標計算公式求解即可．【詳解】由題可知，cosθ=故選：C．1.（2024·山西太原·二模）已知a=b=1，c=3，aA．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【分析】依題意可得c=?a+【詳解】因為a=b=1，c所以c=?a+b，則解得a?設a與b的夾角為θ，則cosθ=a?所以θ=60°，即a與b的夾角為60°.故選：C2.（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量a=(1,?2),b=(?1,?2)，設a與b的夾角為θA．?35 B．35 C．?【答案】D【分析】用夾角公式計算出余弦值后，再根據(jù)同角三角函數(shù)平方關系即可算出正弦值.【詳解】因為a=(1,?2),所以a??b所以cosθ=因為θ為a與b的夾角，所以sinθ=故選：D3.（23-24高三上·湖北十堰·開學考試）已知平面向量a→,b→滿足a?a+A．?12 B．?32 C．【答案】D【分析】運用數(shù)量積性質和定義計算夾角，再結合同角三角函數(shù)關系可解.【詳解】a因為a故選：D.4.（24-25高三上·貴州貴陽·開學考試）已知向量a,b滿足a=4,b=10，且a在b上的投影向量為?A．π6 B．π3 C．2π【答案】C【分析】先利用投影向量求出數(shù)量積，利用夾角公式可得答案.【詳解】依題意，a在b上的投影向量為a?b|于是cos?a,b?=所以向量a與向量b的夾角為2π故選：C5.（24-25高三上·浙江·開學考試）已知向量a=1,2,b=2?λ,λ，若a與【答案】?2,【分析】根據(jù)題意列出不等式即可.【詳解】因為a,→所以a→·b所以2?λ+2λ>0λ≠2×(2?λ)解得λ>?2且λ≠故答案為：?2,4考點四、向量垂直的應用1.（2021·全國·高考真題）已知向量a=1,3,b=3,4，若【答案】3【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量的線性運算列出方程，即可解出．【詳解】因為a?λb=31?3λ+43?4λ故答案為：35【點睛】本題解題關鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標表示，設a=a⊥2.（23-24高三下·山東青島·開學考試）已知向量a=log43,sin5πA．?23 B．?3 C．3 【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示結合對數(shù)的運算即可求解.【詳解】由a⊥b，可知即log48?3故選：C1.（22-23高三下·安徽池州·階段練習）已知點M1,?1和拋物線C:y=14x2，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A,BA．1617 B．?1617 C．1【答案】C【分析】設Ax1,y1，Bx2,y2，直線AB方程y=kx+1，然后由直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去【詳解】拋物線標準形式x2=4y，焦點坐標0,1，設Ax直線AB方程y=kx+1，代入拋物線方程得x2所以Δ=16k2+16>0，y1+y所以AM?BM=得4k故選：C.2.（2023·河南·模擬預測）已知向量a=2cos75°,2sinA．8 B．?8 C．4 D．?4【答案】A【分析】利用向量垂直的坐標表示，結合數(shù)量積公式，即可求解.【詳解】因為a?a=2，b所以2a所以λ=8.故選：A3.（2024·西藏·模擬預測）已知向量a=cosα+π3,sinA．?2 B．?12 C．1【答案】A【分析】利用三角函數(shù)的和差公式和同角三角函數(shù)的平方公式得到a=b=1再依據(jù)向量垂直的條件建立方程求解即可.【詳解】由題意得a=b=1=cosα+π所以2a+b?a+xb故選：A．4.（2024·山東菏澤·模擬預測）已知向量m=sinα+π2,1,A．32 B．12 C．34【答案】B【分析】由m⊥n，所以m?n=0【詳解】由m⊥n，所以m?化簡得cos2α=14，由故選：B.5.（2024·江西新余·模擬預測）已知焦點在x軸上的橢圓C的左右焦點分別為F1、F2，經(jīng)過F2的直線l與C交于A、B兩點，若F1AA．x29+y24=1 B．【答案】A【分析】由題意可知：BA⊥BF1，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得F1B=4【詳解】因為BF1?則F1A?可得F1B=4，AB=3，即F1由橢圓定義可得4a=AF1且F2B=2即2c=25，可得c=5，所以橢圓C的方程為x2故選：A.考點五、投影問題1.（24-25高三上·湖北武漢·開學考試）已知a=1,b=2,a?A．12b B．12a C．【答案】C【分析】先根據(jù)數(shù)量積的運算律求出a?【詳解】由a?b=所以a?所以a在b上的投影向量為a?故選：C.2.（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知向量a,b滿足a=2,b=A．16,0 B．13,0 C．【答案】C【分析】將a?b=【詳解】因為a=2,b=3所以a?b2所以向量a在向量b方向上的投影向量為a?故選：C1.（2024·浙江紹興·三模）若非零向量a，b滿足a=b=a+A．2b B．32b C．b【答案】B【分析】利用向量的模長關系可得a?【詳解】根據(jù)題意a=b=所以，則所以a?則a+2b在b方向上的投影向量為故選：B2.（2024·湖北·模擬預測）已知向量a=1,0,b=A．12,12 B．22,【答案】A【分析】設出c的坐標，利用給定條件得到c，再利用投影向量公式求解即可.【詳解】設c=x,y，因為所以1×x+0×y=10×x+1×y=1，解得x=1y=1，即向量a在向量c上的投影向量為a?故選：A.3.（2024高三·全國·專題練習）已知平面向量a=2,m，b=n,1，c=m+1,?1，若a⊥A．?22 B．?105 C．10【答案】B【分析】根據(jù)垂直和平行向量的坐標表示求出m，n，得到b和a+【詳解】由a⊥b得由b//c得m+n+1=0，所以m=?2，所以b=1,1，a→=(所以b在a+c方向上的投影數(shù)量為故選：B．4.（23-24高三下·湖南婁底·階段練習）在三角形ABC中，若AB?AC=0,BC=2BO，則向量【答案】1【分析】由題意可得O為線段BC的中點，∠BAC=90°，則△AOB為等腰三角形，然后根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因為BC=2BO，所以O為線段因為AB?AC=0，所以AB所以OA=OB=OC，所以△AOB為等腰三角形，所以向量AO在向量AB上的投影向量為AO=AO故答案為：125.（2023·天津和平·三模）已知△ABC中，點D是AC中點，點M滿足BM=2MC，記BA=a，BD=b，請用a，b表示AM=；若BA【答案】43b【分析】由題意可得AM=23BC?BA，BC=2BD?【詳解】根據(jù)題意，可得AM=由點D是AC中點，可得BC所以AM=向量AM在向量BD上的投影向量AM·因為BA?BD=?5所以向量AM在向量BD上的投影向量的模為：|AM當且僅當43|b所以向量AM在向量BD上的投影向量的模的最小值為203故答案為：①43b?5考點六、數(shù)量積求最值取值范圍問題1.（2023·天津·高考真題）在△ABC中，BC=1，∠A=60°，AD→=12AB→,CE→=【答案】14a【分析】空1：根據(jù)向量的線性運算，結合E為CD的中點進行求解；空2：用a,b表示出AF，結合上一空答案，于是AE?【詳解】空1：因為E為CD的中點，則ED+EC=兩式相加，可得到2AE即2AE=1空2：因為BF=13BC，則得到AF+即3AF=2a于是AE?記AB=x,AC=y，則AE?在△ABC中，根據(jù)余弦定理：BC于是AE?由x2+y故xy≤1，當且僅當x=y=1取得等號，則x=y=1時，AE?AF有最大值故答案為：14a+

2.（2022·天津·高考真題）在△ABC中，點D為AC的中點，點E滿足CB=2BE.記CA=a,CB=b，用a,b表示【答案】32b【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以a,b為基底，表示出AB,DE，由法二：以點E為原點建立平面直角坐標系，設E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得點A的軌跡為以M(?1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+1)2+y2=4，即可根據(jù)幾何性質可知，當且僅當CA【詳解】方法一：DE=CE?CD3b2+a2=4a?b故答案為：32b?方法二：如圖所示，建立坐標系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(?x+3DE⊥AB?(x+32)(x?1)+y22=0?(x+1)2+y2故答案為：32b?1.（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形ABCD中，點E為線段CD的三等分點，CE=12DE,BE=λBA+μBC，則λ+μ=；F為線段BE上的動點，【答案】43【分析】解法一：以BA,BC為基底向量，根據(jù)向量的線性運算求BE，即可得λ+μ，設BF=kBE，求AF,DG，結合數(shù)量積的運算律求AF?DG的最小值；解法二：建系標點，根據(jù)向量的坐標運算求BE，即可得【詳解】解法一：因為CE=12DE，即CE可得λ=13,μ=1由題意可知：BC=因為F為線段BE上的動點，設BF=k則AF=又因為G為AF中點，則DG=可得AF=1又因為k∈0,1，可知：當k=1時，AF?DG解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，則A?1,0可得BA=因為BE=λBA+μBC=因為點F在線段BE:y=?3x,x∈?13且G為AF中點，則Ga?1可得AF=則AF?且a∈?13,0，所以當a=?1故答案為：43；?2.（2024·浙江·二模）已知向量a→，bA．1 B．2 C．2 D．5【答案】C【分析】設向量a,b的夾角為θ，化簡a?2b1?【詳解】由向量a,設向量a,b的夾角為由1?(a?所以a設x=cos令f(x)=5?4x則f'令f'(x)>0，則12<x<1，所以令f'(x)<0，則?1<x<12，所以所以f(x)的最小值為f(1所以a?2b1?故選：C.3.（2024·天津和平·二模）平面四邊形ABCD中，AB=2，AC=23，AC⊥AB，∠ADC=2π3A．?3 B．?23 C．?1 【答案】D【分析】由已知，得A，B，C，D四點共圓，從而判斷點D的軌跡是以AC為弦，圓周角為2π3的劣?。ú缓珹，C【詳解】由AB=2，AC=23，AC⊥AB可得tan∠ABC=ACAB又∠ADC=2π3，所以以BC為直徑作圓，則A，B，C，D四點共圓，如圖所示，故點D的軌跡是以AC為弦，圓周角為2π3的劣弧（不含A，C則AD?又|AD|?cos∠BAD由圖可知，|AD|?cos故AD?AB≥?2（此時點D即AD?AB的最小值為故選：D．【點睛】關鍵點點睛：①由∠ADC+∠ABC=π，得到A，B，C，D四點在以BC②|AD|?cos∠BAD看作是4.（24-25高三上·廣東·開學考試）已知單位向量e1,e2的夾角為A．12 B．32 C．1 【答案】B【分析】直接利用數(shù)量積與模的關系結合二次函數(shù)的性質計算即可.【詳解】易知e1所以e=t即當t=12時，故選：B．5.（2024·天津河西·模擬預測）在梯形ABCD中，AB//CD,AD=1,AB=3,CD=1,AC?AB=32，點M滿足AM=13AB，則∠BAD=；若BD與CM相交于點P【答案】2π3【分析】結合圖形，利用向量的加減運算和數(shù)量積的定義化簡計算即可求得∠BAD；接著根據(jù)條件建立平面直角坐標系，設N(12t,32t),運用向量數(shù)量積的坐標運算式,將【詳解】由圖知，AC?解得，cos∠DAB=?12，因0<∠DAB<如圖建立平面直角坐標系，因∠DAB=2π3，AB//CD,AD=CD=1,則A(0,0),B(3,0),C(12,32直線BD的方程為：3x+7y?33=0,兩直線聯(lián)立解得x=因N為線段AC延長線上的動點，故可設N(12t,于是，NP=(23?因t>1，故當t=76時，NP→故答案為：2π3；1．（23-24高三上·天津寧河·期末）已知向量m=2,0，A．m=n C．m⊥n 【答案】D【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積、模的坐標表示計算可得.【詳解】因為m=2,0，所以m=2，n因為2×1≠0×1，所以m與n不共線，故B錯誤；m?n=2×1+1×0=2，所以m又m?n=所以m?故選：D2．（23-24高三上·天津河北·期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F.若AB=2,AD=2,∠BAD=45°，則

A．?32 B．?2 C．?1【答案】C【分析】根據(jù)兩個三角形相似對應邊成比例，得到DF:BA=DE:BE=EF:AE=1:3，運用向量的加減運算和向量中點的表示，結合向量數(shù)量積的定義和性質，將向量用AD，AB表示，計算即可得到結果．【詳解】平行四邊形ABCD，AB=2，AD=2，∠BAD=45°，DF//AB可得△DEF∽△BEA，E是線段OD的中點，可得DF:BA=DE:BE=EF:AE=1:3，AF=2BE=則AF?BE=34×(2?故選：C3．（23-24高三上·天津寧河·期末）已知單位向量e1與e2的夾角為π3，則向量e1+2【答案】2π3【分析】利用平面向量運算法則計算出e1+2e【詳解】因為單位向量e1與e2的夾角為所以e1所以e1e1+2e2e1?3所以cose又e1所以向量e1+2e2與故答案為：24．（23-24高三上·天津·期末）在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，AM=13AD，AP=12AB，過M點作MN∥AB交BC于N點，若E，F(xiàn)分別是【答案】5【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標系xOy，利用坐標表示向量，計算PE?【詳解】由題意，建立平面直角坐標系xOy，如圖所示：過點F作FG⊥MN，垂足為G，則FG=2由AM=13AD，AP=12AB，可設E(x,1)，x∈[0,所以PE=(x?2,1)，PF=(x+2所以PE?當x=2?22時，PE?故答案為：525．（23-24高三上·天津·期中）在直角梯形ABCD中，∠DAB=90°,AB∥CD，且AB=2CD=2，若AC?【答案】?1【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設AD=t（t>0【詳解】如圖，以AB,AD所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標系，設AD=t（t>0則A(0,0),B(2,0),C(1,t),D(0,t)，AC=(1,t),AC?AD=即有AC?故答案為：?1.6．（23-24高三上·天津紅橋·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，且AC=BC=3，點M滿足BM=2MA，則CM?

【答案】3【分析】先利用基底法求出CM=【詳解】因為∠C=90°，所以CB?因為BM=2MA，所以CM=則CM?故答案為：3.7．（23-24高三上·天津北辰·階段練習）在平行四邊形ABCD中，AB=23，AD=6，向量AB在向量AD上的投影向量為12AD，則【答案】30°/π【分析】作出圖形，在直角三角形中求解．【詳解】如圖，作BE⊥AD于點E，由題意E是AD中點，即AE=在直角△ABE中，cos∠BAE=AEAB故答案為：30°．1．（23-24高三上·天津·期末）已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2?y2A．y=±22x C．y=±3x 【答案】D【分析】不妨設漸近線OP的方程為y=bax，求出點P的坐標，根據(jù)已知條件可得出關于a,b【詳解】設雙曲線x2a2?y2b不妨設漸近線OP的方程為y=b

因為直線PF2與直線y=bax聯(lián)立y=bbxy=?a所以，PF因為OQ⊥PF1，所以又PQ=13所以，OQ=?a整理可得b4所以ba4?所以ba故該雙曲線C的漸近線方程為y=±2故選：D.2．（23-24高三上·天津·期末）雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的離心率為52A．2 B．7 C．22 D．【答案】B【分析】根據(jù)余弦定理可得F1PF2P=24，由O為【詳解】由題意可得2a=4,e=ca=在△F1P∴4c由于F1P?F2由于O是F1F2則(PF1即|PF而|PF1|?|PF聯(lián)立①②可得|PO|=7故選：B．3．（23-24高三上·天津·期末）已知a=1,1，b=m,A．15,35 B．?15【答案】D【分析】利用向量加減法以及向量垂直的坐標表示可得m=3，由投影向量定義可求得結果.【詳解】根據(jù)題意可知a?由a⊥a?b可得a?所以向量a在b上的投影向量為a?故選：D4．（2024·天津河西·一模）在△ABC中，D是AC邊的中點，AB=3，∠A=60°，BC?CD=?5，則AC=；設M為平面上一點，且2AM=tAB+【答案】4?【分析】以AB,AC為基底，由BC?CD=?5，求出AC【詳解】△ABC中，D是AC邊的中點，AB=3，∠A=60°，BC?解得AC=4，即AC=4△ABC中，AC=4，AB=3，∠A=60°，以A為坐標原點，AB為x軸，C點在第一象限，建立如圖所示為平面直角坐標系，

則有A0,由2AM=tAB解得x=t2+1，y=則有MB=2?tMB?則有t=313時，MB?故答案為：4；?615．（23-24高三上·天津南開·期末）在△ABC中，AC=1,BC=2,∠C=90°，則CA+CB=；若P為△ABC【答案】3?【分析】建立，利用向量的坐標運算求CA+CB；設P3【詳解】如圖，以C為坐標原點，AC,BC分別為x,y軸所在直線，建立平面直角坐標系，則A1,0可得CA=1,0,所以CA+因為PC=33，設可得PA=則PA?=1其中cosφ=因為sinθ+φ∈?1,1故答案為：3；?26．（23-24高三上·天津·期中）設△ABC是邊長為1的等邊三角形，M為△ABC所在平面內一點，且MA+2λMB+MC=CA，則當【答案】1【分析】由MA+2λMB+MC=CA可推出CM=λMB，進而可得【詳解】因為MA+2λ所以2λMB=所以CM=λCB令λ1+λ=t，則CM=t所以MA=所以MA?所以當t=14，即λ=1故答案為：137．（23-24高三上·天津薊州·階段練習）如圖，已知直角三角形△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，點P在以A為圓心且與邊BC相切的圓上，若BC與圓的切點為M，則CA?CM=，則PB【答案】645【分析】建立如圖平面直角坐標系，求出BC，利用三角形等面積法求出圓的半徑，進而求出CM，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出CA?CM；設BC的中點為D(2,1)，利用平面向量的線性運算可得【詳解】以A為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖，則B(0,2),C(4,0)，且BC=22所以4=12×25AM則CM=AC2設BC的中點為D(2,1)，則PB?又PDmax=AD所以(PB所以PB?PC的取值范圍為故答案為：645；8．（23-24高三上·天津河東·階段練習）△ABC中，AC=BC，∠BAC=60°，D為BC中點，E為AB中點，M為線段CE上動點，BD?BA=4，則|AC|=；AM?【答案】4?【分析】根據(jù)即可條件可判斷出△ABC為等邊三角形，再根據(jù)向量的數(shù)量積運算公式展開題中式子即可算出三角形邊長，最后根據(jù)三角形邊長建立平面直角坐標系將各點表示出來運用向量的坐標運算即可得出答案.【詳解】空1：由題可知△ABC為等邊三角形，BD?解得BA=4，因此BA空2：如圖，設A?2,0，D1,3，MAM=2,y，DM=當y=32時，AM?故答案為：4；?111.（2024·北京·高考真題）設a，b是向量，則“a+b·a?A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知a+b?【詳解】因為a+b?a?可知a+b?若a=b或a=?b，可得若a+b?a?b=0例如a=1,0,b=0,1，滿足綜上所述，“a+b?a?故選：B.2.（2023·全國·高考真題）正方形ABCD的邊長是2，E是AB的中點，則EC?A．5 B．3 C．25 【答案】B【分析】方法一：以AB,AD為基底向量表示EC,【詳解】方法一：以AB,AD為基底向量，可知則EC=所以E