華南師范大學(xué)電磁學(xué)習(xí)題課-靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)

靜電場(chǎng)中的電介質(zhì)習(xí)題、例題分析+5.2兩個(gè)同心的薄金屬球殼,內(nèi)、外球殼的半徑分別為R1=0.02m和R2=0.06m.球殼間充滿兩層均勻電介質(zhì),它們的相對(duì)介電常數(shù)分別為εr1=6和εr2=3.兩層電介質(zhì)的分界面半徑為R=0.04m.設(shè)內(nèi)球殼帶電R1R2Rε1

ε2量為Q=－6×10-8C，求:D和E的分布，并畫D－r，E-r曲線；兩球殼之間的電勢(shì)差；貼近內(nèi)金屬殼的電介質(zhì)表面上的面束縛電荷密度.解:(1)由D的高斯定理及D－E關(guān)系: 易得R1R2Rε1

ε2r0RR2R1-1-2-3-4-5R1R2Rε1

ε2D-r,E-r曲線如下圖所示E,DR1R2Rε1

ε2(2)兩球殼之間的電勢(shì)差為代入有關(guān)數(shù)據(jù)求得(3)

由

及

可得貼近內(nèi)金屬殼的電介質(zhì)表面上的面束縛電荷密度為5.4一平板電容器板間充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的電介質(zhì)而帶有電量Q.試證明:與金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷的電量為證明:因?yàn)闊o(wú)電介質(zhì)存在時(shí)，電容器極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度為因此極板間充滿了相對(duì)介電常數(shù)為εr的電介質(zhì)后，電容器極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度變?yōu)殡娊橘|(zhì)中的極化強(qiáng)度為圖中與上金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷密度為故與上金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷的電量為同法可求得與下金屬板相靠的電介質(zhì)表面所帶的面束縛電荷的電量為P5.19一平行板電容器面積為S,板間距離為d,板間以兩層厚度相同而相對(duì)介電常數(shù)分別為εr1和εr2的電介質(zhì)充滿.求此電容器的電容.解:方法一:利用電容器串聯(lián)公式原電容器可看成是由兩個(gè)電容器C1與C2串聯(lián)而成，如右圖所示.C1C2因此原電容器的電容為解:方法二:利用電容的定義公式設(shè)電容器帶電量為Q,如圖所示.則相對(duì)介電常數(shù)為εr1的電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為相對(duì)介電常數(shù)為εr2的電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度為那么,原電容器兩極板間的電勢(shì)差為因此,電容器的電容為5.23將一個(gè)100pF的電容器充電到100V，然后把它和電源斷開(kāi)，再把它和另一電容器并聯(lián)，最后電壓為30V.第二個(gè)電容器的電容多大？并聯(lián)時(shí)損失了多少電能？這電能哪里去了？解:由于第一個(gè)電容器充電后與電源斷開(kāi),所以其上的電量保持不變,設(shè)為Q0.當(dāng)它與第二個(gè)電容器并聯(lián)時(shí),這電量將在這兩個(gè)電容器中重新分布,但總量不變.于是有所以有并聯(lián)時(shí)損失的電能為代入有關(guān)數(shù)據(jù),可求得這電能消耗在連接導(dǎo)線的焦耳熱上5.3兩共軸的導(dǎo)體圓筒的內(nèi)、外筒半徑分別為R1和R2,R2<2R1.其間有兩層均勻電介質(zhì),分界面半徑為r0.內(nèi)層介質(zhì)相對(duì)介電常量為εr1,外層介質(zhì)的相對(duì)介電常量為εr2,且εr2=εr1/2.兩層介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)都是Emax.當(dāng)電壓升高時(shí)，哪層介質(zhì)先擊穿？?jī)赏查g能加的最大電勢(shì)差多大？r0R2εr1R1εr2解:設(shè)內(nèi)圓筒帶電，其面電荷密度為σ.則利用D的高斯定理易得內(nèi)、外圓筒間的電位移為場(chǎng)強(qiáng)為:內(nèi)層介質(zhì)中外層介質(zhì)中場(chǎng)強(qiáng)為:內(nèi)層介質(zhì)中外層介質(zhì)中r0R2εr1R1εr2顯然,內(nèi)層介質(zhì)中最大場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)在r=R1處外層介質(zhì)中最大場(chǎng)強(qiáng)出現(xiàn)在r=r0處因?yàn)?,故由于當(dāng)電壓升高時(shí),外層介質(zhì)場(chǎng)強(qiáng)總大于內(nèi)層介質(zhì)場(chǎng)強(qiáng),故外層介質(zhì)中的r0處先達(dá)到擊穿場(chǎng)強(qiáng)而被擊穿.場(chǎng)強(qiáng)為:內(nèi)層介質(zhì)中外層介質(zhì)中Rr02εr1R1εr2內(nèi)外筒間的電壓為不致電介質(zhì)被擊穿的最大電壓為5.14一個(gè)平行板電容器的每個(gè)板的面積為0.02m2,兩板相距0.5mm,放在一個(gè)金屬盒子中(如圖所示).電容器兩板到盒子上下底面的距離各為0.25mm,忽略邊緣效應(yīng),求此電容器的電容.如果將一個(gè)板和盒子用導(dǎo)線連0.25mm0.25mmA0.50mmBHAA

H

HBB圖1接起來(lái)，電容器的電容又是多大？解：分別以A、B.H表示平行板電容器的兩個(gè)極板和金屬盒子.那么，平行板電容器與金屬盒子所組成的電容器系統(tǒng)的電路如圖1所示.這一系統(tǒng)的等效電容為HA0.50mmB0.25mm0.25mmAA

H

HBB其中S=0.02m2,d1=0.50mm=5×10-4m圖1其中S=0.02m2,d2=0.25mm=2.5×10-4m由(1)、(2)、(3)式,并代入有關(guān)數(shù)據(jù)可求得HA0.50mmB0.25mm0.25mm圖2圖3ABBAA

HB當(dāng)平行板電容器的一個(gè)極板(如

B板)與盒子用導(dǎo)線相連接的情況,如圖2所示.此系統(tǒng)的電路如圖3所示.這一系統(tǒng)的等效電容為A

H

H代入有關(guān)數(shù)據(jù)可求得5.20一種利用電容器測(cè)量油箱中油量的裝置示意圖如圖1所示.附接電子線路能測(cè)出等效相對(duì)介電常量εr,eff(即電容相當(dāng)而充滿板間的電介質(zhì)的相對(duì)介電常量). 設(shè)電容器兩板的高度都是a,試導(dǎo)出等效相對(duì)介電常量和油面高度的關(guān)系,以εr表示油的相對(duì)介電常量.就汽油(εr=1.95)和甲醇(εr=33)相比,哪種燃料更適宜用此油量計(jì)？解：設(shè)圖1中兩板的距離為d，板的寬度 為b. d該裝置相當(dāng)于兩個(gè)電容器并聯(lián)，其中a εr一個(gè)電容器極板間充滿油料.等效電容為 h圖1其中adεrh圖1由此可得等效相對(duì)介電常量為由此式知,當(dāng)εr較大,則液面高度有同樣的變化時(shí),εr,eff較大.因?yàn)榧状嫉南鄬?duì)介電常量(εr=33)比汽油的相對(duì)介電常量(εr=1.95)大,故甲醇更適宜用此油量計(jì).所以等效電容為5.21一球形電容器的兩球間下半部充滿了相對(duì)介電常量R1為εr的油，它的電容較未充油前變化了多少？解：設(shè)球形電容器的兩球的半徑分別是R1和R2.未充油前,球形電容器的電容為R2充油后,球形電容器相當(dāng)兩個(gè)半球形電容器并聯(lián)而成,故其電容為由以上兩式可求得它的電容較未充油前變化了5.18將一個(gè)12μF的電容器和兩個(gè)2μF的電容器連接起來(lái)組成電容為3μF的電容器組.如果每個(gè)電容器的擊穿電壓都是200V，則此電容器組能承受的最大電壓是多大？解：將一個(gè)12μF的電容器和兩個(gè)2μF的電容器連接起來(lái)組成電容為3μF的電容器組，則只有如圖1所示的連12μF2μFC1圖22μF圖14μF

12μFC2接才行.其等效電路如圖2所示.其中C1.C2的擊穿電壓都是200V.設(shè)電容器帶有電量為Q，則有由此可得12μF2μF4μFC1圖212μFC22μF圖1設(shè)此電容器組所承受的電壓為U,則有由以上兩式求得因?yàn)楣蔬@表明此電容器組能承受的最大電壓是Umax=267V5.22將一個(gè)電容為4μF的電容器和一個(gè)電容為6μF的電容器串聯(lián)起來(lái)接到200V的電源上，充電后將電源斷開(kāi)并將兩電容器分離.在下列兩種情況下，每個(gè)電容器的電壓各變?yōu)槎嗌?？?充電后，每個(gè)電容器所帶電量都為Q0:6μF(1)將每一個(gè)電容器的正板與另一個(gè)電容器圖1的負(fù)板“反向”相連,如圖1所示.那么兩電容器上的等量正負(fù)電荷將中和,每個(gè)電容器的電壓都變?yōu)?.將每一個(gè)電容器的正板與另一個(gè)電容器的負(fù)板相連;將兩電容器