河北省保定市六校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

河北省保定市六校聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3.考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色黑水簽宇筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊第一章～第三章第2節(jié)．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，且，則A.-1 B.1 C.-2 D.22.過點的直線的方向向量為，則該直線的方程為A. B. C. D.3.平行六面體中，為與的交點,設,用表示，則A. B. C. D.4.已知離心率為2的雙曲線與橢圓有相同的焦點，則A.21 B.19 C.13 D.115.已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于A，B兩點，若AB的中點坐標為，則橢圓的方程為A. B. C. D.6.已知是雙曲線右支上的一點，M，N分別是圓和圓上的點，則的最大值為A.6 B.7 C.8 D.97.直線與曲線恰有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.8.如圖，在棱長為2的正方體中，點在線段（不含端點）上運動，給出下列結(jié)論：①正方體外接球的表面積為；②異面直線與所成角的取值范圍是；③直線平面；④三棱錐的體積隨著點的運動而變化.則上面結(jié)論中正確的是A.①② B.①③ C.②③ D.③④二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是A.直線的傾斜角為B.經(jīng)過點，且在軸，軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為C.直線恒過點D.已知直線，則“”的充要條件是“或”10.如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則A. B.點到直線的距離為C.直線與平面所成角的正弦值為 D.點到平面的距離為11.法國著名數(shù)學家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：如圖，橢圓或的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以坐標原點為圓心，為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓，則下列說法正確的是A.橢圓的蒙日圓方程為B.已知矩形的四邊均與橢圓相切，若為正方形，則的邊長為C.若是橢圓的蒙日圓上一個動點，過作橢圓的兩條切線，與該蒙日圓分別交于P，Q兩點，則面積的最大值為18D.若是直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線，切點為M，N，O是坐標原點，連接OP，當為直角時，直線OP的斜率為0或三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，若，則的值為______.13.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為______．14.已知雙曲線的左、右焦點分別為，過左焦點作直線l，l與雙曲線交于A，B兩點（B在第一象限），若線段AB的中垂線經(jīng)過點，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為______.四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知關于x，y的方程.（1）當為何值時，方程表示圓；（2）若圓與直線相交于M，N兩點，且，求的值.16.（本小題滿分15分）如圖，四棱錐的側(cè)面PCD為正三角形，底面ABCD為梯形，，平面平面ABCD，已知.（1）證明：平面PBC；（2）若，求直線AM與平面PAB所成角的正弦值.17.（本小題滿分15分）已知曲線與雙曲線有相同的漸近線，且雙曲線經(jīng)過點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求實數(shù)的值.18.（本小題滿分17分）如圖1，在平行四邊形ABCD中，，將沿BD折起到位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面BCD；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19.（本小題滿分17分）已知為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的上頂點，以為圓心且過的圓與直線相切.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線交橢圓于M，N兩點，若直線的斜率等于1，求面積的最大值.

六校聯(lián)盟2024年11月期中聯(lián)考·高二數(shù)學參考答案、提示及評分細則1.A 2.A 3.D 4.B 5.C 6.D 7.C 8.C 9.AC 10.AC 11.ABD15.解：（1）由圓的一般方程性質(zhì)可知：，解得，所以當時，方程表示圓.…………5分（2）由，得，所以該圓圓心為，半徑.………………7分所以圓心到直線的距離，……10分根據(jù)弦長公式可知：，即，解得.………13分16.（1）證明：如圖，取PC上的點，使得，因為，所以四邊形ABNM為平行四邊形，所以，…………………3分又平面平面PBC，所以平面PBC．………6分（2）解：取CD的中點，連接AO，PO，因為，所以，因為為正三角形，所以，又平面平面ABCD，平面平面平面PCD，所以平面ABCD，因為平面ABCD，所以.…………………8分以為坐標原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以.………………10分設為平面PAB的法向量，則即令，得，所以平面PAB的一個法向量為，…………12分所以，故直線AM與平面PAB所成角的正弦值為.………15分17.解：（1）設雙曲線的方程為，將代入的方程，得，解得，……6分所以雙曲線的方程為.……………………7分（2）由得，……9分設，則AB中點坐標為，由韋達定理可得，所以，………12分所以AB中點坐標為，……………………13分因為點在圓上，所以，解得．…………15分18.（1）證明：在中，因為，由余弦定理，得，所以，所以，…………2分所以．如圖1所示：在中，作于點，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又因為平面，所以平面，因為平面，所以，…………6分又平面BCD，所以平面BCD.………7分（2）解：方法一：如圖2所示：存在點，當是的中點時，二面角的大小為.……………8分證明如下：由（1）知平面BDC，所以且，所以，又因為是的中點，所以，同理可得：，…………12分取BD的中點為O，DC的中點為，連接MO，EM，OE，因為，所以是二面角的平面角，………14分又因為，所以．此時．……17分方法二：以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖3所示的空間直角坐標系，則．……………8分假設點存在，設，則，設平面MBD的一個法向量為，則取，可得，…12分又平面CBD的一個法向量為，……………14分假設在線段上存在點，使得二面角的大小為，則，解得，………………16分所以點存在，且點是線段的中點，即．………17分19.解：（1）因為，所以，即，…………………2分又且以為圓心的圓與直線相切，所以此圓半徑，又圓過點，所以，即，解得，……5分所以，即，故橢圓的方程為．……………7分（2）如圖所示，不妨令直線，聯(lián)立得，………