排列與組合 2025年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布2025年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第二節(jié)排列與組合目錄排列問題組合問題排列與組合的綜合應(yīng)用壹貳叁排列問題壹教材知識(shí)萃取

直接法分類法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),將要完成的事件分成幾個(gè)類型,分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù),再根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù).分步法選定一個(gè)適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn),將事件分成幾個(gè)步驟來完成,分別計(jì)算出各步驟的排列數(shù),再根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù).捆綁法可以把相鄰元素看作一個(gè)整體,與其他元素進(jìn)行排列,同時(shí)也要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.插空法先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列后所形成的空中.定序法對(duì)于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以已定序元素的全排列.間接法對(duì)于分類過多的問題,一般利用正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法加以解決.教材素材變式［人A選必三P38復(fù)習(xí)參考題6第8題變式］已知有7名同學(xué)，其中4名男同學(xué)，3名女同學(xué)（這7名同學(xué)中有甲、乙、丙），若這7名同學(xué)站成一排，則共有_______種不同的排法.5

040

（1）若這7名同學(xué)站成兩排，前排3名同學(xué)，后排4名同學(xué)，則共有_______種不同的排法.5

040

（2）若這7名同學(xué)站成兩排，前排3名女同學(xué)，后排4名男同學(xué)，則共有_____種不同的排法.144

（3）若這7名同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，則共有_____種不同的排法.720

（4）若這7名同學(xué)站成三排，第一排站2名同學(xué)，第二排站3名同學(xué)，第三排站2名同學(xué)，其中甲站在第二排的中間位置，則共有_____種不同的排法.720

（5）若這7名同學(xué)站成一排，則甲、乙只能站在兩端的排法共有_____種.240

（6）若這7名同學(xué)站成一排，則甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有_______種.2

400

（7）若這7名同學(xué)站成一排，則甲、乙必須相鄰的排法共有_______種.1

440

（8）若這7名同學(xué)站成一排，則4名男同學(xué)必須站在一起，3名女同學(xué)也必須站在一起的排法共有_____種.288

（9）若這7名同學(xué)站成一排，則甲、乙必須相鄰，且丙不能站在排頭和排尾的排法有_____種.960

（10）若這7名同學(xué)站成一排，則甲、乙不能相鄰的排法共有_______種.3

600

（11）若這7名同學(xué)站成一排，則甲、乙、丙這3名同學(xué)彼此不能相鄰的排法共有_______種.1

440

（12）若這7名同學(xué)站成一排，則4名男同學(xué)彼此不能相鄰，3名女同學(xué)彼此也不能相鄰的排法共有_____種.144

（13）若這7名同學(xué)站成一列，則甲必須站在乙的前面（可以相鄰也可以不相鄰）的排法共有_______種.2

520

（14）若這7名同學(xué)站成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，則共有_______種排法.3

720

組合問題貳教材知識(shí)萃取

分組問題完全均勻分組解題時(shí)要注意分組后一定要除以組數(shù)的階乘數(shù),避免重復(fù)計(jì)數(shù).部分均勻分組解題時(shí)要注意分組后一定要除以均勻分組數(shù)的階乘數(shù).不等分組先分組,后排列即可.分配問題相同元素分配問題常用“隔板法”求解.不同元素分配問題常用分步乘法計(jì)數(shù)原理,先分組,后分配.有限制條件的分配問題常用分類討論法求解.教材素材變式1.［多選］［人A選必三P26習(xí)題6.2第8題變式］下列等式中，正確的是(

)

ABD

2.&1&

［人A選必三P25例7變式］在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人（包含甲、乙、丙3人）通過了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn).（1）任意選5人，不同選法的種數(shù)為_____；792

（2）甲、乙、丙3人必須參加,不同選法的種數(shù)為____；36

（3）甲、乙、丙3人不能參加,不同選法的種數(shù)為_____；126

（4）甲、乙、丙3人中只能有1人參加,不同選法的種數(shù)為_____；378

（5）甲、乙、丙3人中至少有1人參加,不同選法的種數(shù)為_____;666

（6）甲、乙、丙3人中至多有2人參加,不同選法的種數(shù)為_____.756

3.&2&

［人A選必三P22思考2變式］按下列要求分配6本不同的書.（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本,有____種不同的分配方式；60

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有_____種不同的分配方式；360

（3）平均分成三份，每份2本，有____種不同的分配方式；15

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本,有____種不同的分配方式；90

（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有____種不同的分配方式；15

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有____種不同的分配方式；90

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有____種不同的分配方式.30

（1）將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有____種不同的放法；10

（2）將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，允許有空箱子，共有____種不同的放法；84

（3）將6個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的箱子中,每個(gè)箱子至多可以放3個(gè)小球,且允許有空箱子,共有____種不同的放法；10

（4）將6個(gè)不同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有____種不同的放法；65

（5）將6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有_______種不同的放法.（結(jié)果用數(shù)字作答）1

560

排列與組合的綜合應(yīng)用叁教材知識(shí)萃取求解排列與組合的綜合應(yīng)用題的方法以元素為分析對(duì)象先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素,即優(yōu)元法(直接法)以位置為分析對(duì)象先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置,即優(yōu)位法(直接法)先不考慮附加條件計(jì)算出所有排列數(shù)或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)(間接法)教材素材變式

BA.30

B.36

C.360

D.1

296

2.［人B選必二P38復(fù)習(xí)題A組第5題變式］從某學(xué)習(xí)小組的8人中選2人分別擔(dān)任組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)，其中甲不能擔(dān)任組長(zhǎng)，則不同的選派方法共有____種.（用數(shù)字作答）49

3.[人B選必二P38復(fù)習(xí)題A組第8題變式,2023全國(guó)甲卷（理）]現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有(

)

BA.120種

B.60種

C.30種

D.20種

4.[人B選必二P24習(xí)題3-1A第7（2）題變式，2021全國(guó)乙卷（理）]將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有(

)

CA.60種

B.120種

C.240種