直線與圓的最值問題-2024-2025學年高二年級上冊數(shù)學?？碱}專練

專題2-3直線與圓的16類最值問題全歸納

求解與圓有關(guān)的最值問題，其通法是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想，與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求

幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面.解決此類問

題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化，今天我們一起來學習一下直線與圓相關(guān)最值問題的

所有題型！

【題型1】點到含參直線距離最值.................................................2

【題型2】過定點的弦長最短......................................................3

【題型3】通過點與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍.......................................5

【題型4】點圓型最值問題........................................................7

【題型5】斜率型最值問題........................................................8

【題型6】圓上的點到直線的距離為定值的個數(shù)（教材原題改編）...................12

【題型7】與基本不等式結(jié)合求最值..............................................18

【題型8】隱圓型最值問題.......................................................23

【題型9】阿氏圓...............................................................27

【題型10】與切點弦有關(guān)的最值問題.............................................34

【題型11］過定點的弦與圓心所圍成的三角形面積最值............................40

【題型12］半圓與直線交點問題.................................................45

【題型13］三角換元求最值......................................................49

【題型14］圓的軌跡類問題......................................................51

【題型15】點到直線距離公式為背景的最值問題...................................55

【題型16］張角最大問題........................................................62

【題型1】點到含參直線距離最值

基礎(chǔ)知識

點尸到含參直線/距離最大值即尸點到定點A的距離

如圖，直線/繞定點A旋轉(zhuǎn)，易知PHWR4

1.點(0,-D到直線y=-x+l)距離的最大值為()

A.1B.72C.73D.2

【解答】解：方法一：因為點(0,-1)到直線y=+1)距離d=上色=卜9+1=Ji+

VF+1V^+1V匕+1

要求距離的最大值，故需左＞0;

?.,F+L.ZZ,當且僅當左=1時等號成立，

可得/,?+竺=應(yīng)，當左=1時等號成立.

V2k

方法二：由y=笈(x+l)可知，直線，=左(％+1)過定點B(-LO),

記A(0,-l),則點A(0,-l)到直線y=P(x+1)距離d?|AB|=72

/“鞏固練習/

【鞏固練習】已知直線/方程為(2+加)龍+(1-2川)丁+4-3相=0,那根為時，點。(3,4)到直線/

的距離最大，最大值為

4

【答案】-y2岳

【分析】求出直線/過定點尸的坐標，當。尸時，|。。|為所求點到直線距離的最大值，再由垂直求

得加值.

［詳解］直線Z:（2+m）x+（l_2m）y+4_3機=0化為（％_2y_3）機=_2%_y_4,

fx—2y—3=0fx=—1

由1_2x_y_4=0，^［y=-2，

...直線/必過定點（-L-2）.

當點。（3,4）到直線/的距離最大時，0P垂直于已知的直線/,

即點Q與定點P（T-2）的連線長就是所求最大值,

此時直線PQ與直線（2+機）x+（l—2機）y+4-3加=0垂直,

-2-43.2+m_24

解得m=—亍,

-1-3

此時，點。（3,4）到直線的最大距離是J（3+1）?+（4+2）2=2JR.

綜上所述，機=-g時，點Q（3,4）到直線的距離最大，最大值為2，1^.

4,—

故答案為：-,；25.

【題型2】過定點的弦長最短

核心?技巧

設(shè)點M是圓C內(nèi)一點，過點M作圓C的弦，則弦長的最大值為差徑，最短的弦為與過該點的差徑

垂垂直的弦弦長為

/"典型例題/

2.已知直線/：加7-幾+1=0和圓C:/+y2-4y=0交于A,3兩點，則仙叫的最小值為（）

A.2B.V2C.4D.272

【答案】D

【分析】求出直線/過定點（1』），再利用弦長公式即可得到最小值.

【詳解】/：Mx-l）-y+l=0,令x=l,則y=l,所以直線/過定點（1,1）,

當x=l,y=l得12+i2-4xl=—2<0,則（1」）在圓內(nèi)，則直線/與圓必有兩交點，

因為圓心（0,2）到直線/的距離1w^（1-0）2+（1-2）2=72,所以|AB|=2,22-6/2>272.

【鞏固練習1】過點（1,1）的直線/與圓C：/一4x+/=0相交于A、B兩點，則|鈿|的最小值是.

【答案】2拒

【分析】利用垂徑定理很快就可以找到最小弦長的直線，再利用勾股定理進行求解即可.

【詳解】因為圓C:x2—4x+y2=0o（x—2y+y2=4,圓心C（2,0）,半徑R=2

所以當過點尸（1,1）的直線/垂直于PC時，弦長|A邳取最小值，

即［明=21R2-PC?=2A/4-2=272.

【鞏固練習2】（24-25高三上?江蘇蘇州?開學考試）已知直線/:（2左+l）x-外一1=0（其中左為常數(shù)），

圓。:/+;/=8,直線/與圓。相交于A,B兩點，則AB長度最小值為.

【答案】2g

【分析】求出直線/過的定點，求出圓。的圓心和半徑，連接0尸，當直線/與OP垂直時弦長A3最

小，求出AB長度最小值.

【詳解】由題意得直線/：（2左+1）%一?！?=。過定點尸（1,2）,

圓。：/+/=8圓心為0（0,0）,半徑為廠=2近，

連接。尸，當直線/與OP垂直時弦長A3最小，

此時|0尸|=」付+22=JJ

所以AB長度最小值為26-1OP『=2>/3.

【鞏固練習3】（23-24高二下?廣東茂名.階段練習）己知圓C:（x-3）2+（y-4）2=9,直線

/:（〃z+3）x-（機+2）y+〃z=0.則直線/被圓C截得的弦長的最小值為（）

A.2幣B.回C.20D.新

【答案】A

【分析】先求出直線/所過的定點尸（2,3）,數(shù)形結(jié)合得到當CP時，直線/被圓C截得的弦長最小，

再由垂徑定理得到最小值.

【詳解】直線/:（m+3）%—+2）y+根=加（%—丁+1）+3%—2y=。，

fx—y+l=0fx=2/、

令。CC,解得。，所以直線/恒過定點尸2,3）,

［3%-2y=0［）=3

圓。：（*一3）2+（、-4）2=9的圓心為。（3,4）,半徑為r=3,

且|PC「=0-3）2+（3-4）2=2<9,即尸在圓內(nèi)，

當CP_U時，圓心C到直線/的距離最大為d=|PC|=J5,

此時，直線/被圓C截得的弦長最小，最小值為2^^=25.

X

【題型3】通過點與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍

核心?技巧

在圓的一般方程中，判斷點Z圓的位置賣系

已知點/(%,%)和圓的一般式方程OC：X2+y2+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F>0),

則點M(不，%)與圓的位置關(guān)系：

①點M(%,%)在。。外+%~+Dx0+Ey0+F>0

②點M在。。上x~+%?+XEy+F=0

(x0,%)0DQ+0

③點M在0(J內(nèi)x~+為XEy+F<0

(x0,%)U>02+DQ+0

注意：做題時不要漏掉。2+石2一4尸>o這個不等式

/“典型例題/

3.若點(。+1,。一1)在圓丁+丁-2沖-4=0的內(nèi)部，則a的取值范圍是().

A.a>1B.0<a<lC.—1<a<D.a<1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，將點的坐標代入圓的方程計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】由題可知，半徑升=，4+4,所以aeR,把點(a+1,。—1)代入方程，

則(a+l)2+(a-l)2-2a(a-l)-4<0,解得a<1,所以故a的取值范圍是a<1.

/“鞏固練習/

【鞏固練習。若點4(2,1)在圓丁+丁一2如一2y+5=0(加為常數(shù))外，貝U實數(shù)機的取值范圍為()

A.(-co,2)B.(2,+co)C.(-00,-2)D.(-2,+oo)

【答案】C

【分析】由點A在圓外代入圓的方程可得加<2,再由圓的一般方程中。2+石2_4b>0可得根<-2,

最后求交集即可.

【詳解】由題意知22+f—4m-2+5>0,

故機<2,

又由圓的一般方程/+產(chǎn)+6+或+F二。，

2

可得。2+石2_4尸>o,即(-2m)+(—2)2—4x5>0,

即機<一2或加〉2,

所以實數(shù)加的范圍為用<-2.

【鞏固練習2】若點(0,1)在圓f+y2_2ax-2y+a+l=0外，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】a>\

【分析】根據(jù)圓心到點(0,1)的距離大于半徑即可列不等式求解.

【詳解】圓的標準方程為(x-a)~+(y-l)2=a2-a,

由于點(0,1)在圓外，

.(0—G)+(1—1)>a~~a.

所以"j','',解得a>l

a—a>0

【鞏固練習3】過點尸(LI)可以向圓Y+y2+2x-4y+"2=0引兩條切線，則人的范圍

【答案】(2,7)

【分析】根據(jù)方程表示圓和點尸在圓外可得不等式，由此可解得％的范圍.

【詳解】由x2+；/+2x-4y+k-2=0表示圓可得：4+16—4(左一2)>0,解得：k<l;

?.,過尸可作圓的兩條切線，在圓外，.?.12+12+2一4+左一2>0,解得:k>2；

綜上所述：左的范圍為(2,7).

【題型4】點圓型最值問題

/核心?技巧/

圓。上的動點P到直線/距離的最大值等于點。到直線/距離的最大值加上半徑，最小值等于點C

到直線距離的最小值減去半徑

///典型例題/

4.若實數(shù)X,〉滿足/+丁=1,則J(x-l)2+(y一的最大值是.

【答案】V2+1/1+V2

【分析】利用兩點間距離幾何意義求解最值.

［詳解］設(shè)點P(x,y),由實數(shù)X,y滿足x2+y2=l可得：

點P在以原點為圓心，以1為半徑的圓上，

設(shè)點4(1,1),則"(尤—Ip+(y—1)2的幾何意義為動點尸到定點劫(LD的距離,

由仔+仔=2>1,則點A在圓f+y2=1夕卜，

結(jié)合圖形可知，|AP|max=l°叫+1=后+卜

7(%-l)2+(y-l)2的最大值是V2+1.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】若點P(x,y)在圓/+>2_4、+1=0上，貝|。一1)2+/的最小值為.

【答案】8-2715

【分析】利用(x-1y+y表示點(羽y)與點(1,0)的距離的平方，求出圓心(0,2)與點(1,0)的距離為近,

可求得最小距離，繼而可求得所求.

【詳解】因為/+/一4>+1=0,化為d+(y-2)2=3,

圓心為(0,2),半徑為

又(x-1)?+y2表示點(乂y)與點(1,0)的距離的平方，

圓心(0,2)與點(1,0)的距離為小,

所以點(x,y)與點(1,0)的距離的最小值為75-73,

故(x-+9的最小值為(A/5-A/3)2=8-2715

【鞏固練習2】若點尸(x,y)是圓C:/+y2一8x+6y+16=0上一點，則f+,2的最小值為(

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)圓外一定點到圓上一點距離的平方的幾何意義進行求解即可.

【詳解】圓C:尤2+y2-8x+6y+16=0可化為(x-4)2+(y+3)2=9.

f+y2表示點尸(x,y)到點0(0,0)的距離的平方，

因為|CO|=，42+(-3)2=5,

所以#+y2的最小值為(5-3)2=4.

【鞏固練習3】已知圓。：(％-3)2+0-4)2=1,點4(0,-1)與3(0,1),尸為圓C上動點，

當|PA『+1取最大值時點P坐標是.

【解答】解：設(shè)尸(X?),則6/=|叢|2+|設(shè)5|2=無2+(丫+])2+%2+(1_1)2=2(爐+/)+2,

次+/的幾何意義是P(x,y)到原點的距離，

由已知，圓心C(3,4),半徑為1,C到O的距離|CO|=5,

,《x2+的最大值是5+1=6,

：.d的最大值為2x6?+2=74,

4

由直線y=與圓。：(%一3)2+(丁一4尸=1,可得(5%-12)(5X-18)=0,

12W18

X=—或X=—,

55

???當IPA『+1pg|2取最大值時點p坐標是(竺，.

【題型5】斜率型最值問題

/核心?技巧/

形如M=2心的最值問題，可轉(zhuǎn)化為點(X,y)與定點(。，力的動直線斜率的最值問題

x-a

5.已知實數(shù)x,V滿足方程(％-2)2+丁=3,求上的最大值和最小值

X

【解答】解:(1)圓(x-2產(chǎn)+.=3,圓心(2,0),半徑為「=百,

令上=k,即履-y=0,2的最值，就是圓心到直線的距離等于半徑時的左的值，

XX

\2k\rv

I',2=,解得左=±百，，-的最大值為拓，最小值為-JL

6.(24-25高二上?江西上饒?開學考試)已知兩點4(-3,2),B(2,l),過點尸(0,-1)的直線/與線段

AB(含端點)有交點，則直線/的斜率的取值范圍為()

A.(^?,-l]U[l,-H?)B.[-1,1]C.^-oo,[l,+oo)D.

【答案】A

【分析】求出直線以、尸3的斜率后可求直線/的斜率的范圍.

故直線/的取值范圍為+8)

7.若點P在曲線C：/+/_2苫-6、+1=0上運動，則一二的最大值為_______.

x+3

【答案】y

【分析】先根據(jù)已知求出圓心，半徑，再把分式轉(zhuǎn)化為斜率，最后化簡為直線結(jié)合直線和圓的位置

關(guān)系應(yīng)用點到直線距離求解即可.

【詳解】曲線C方程化為(x—iy+(y—3)2=9,是以(1,3)為圓心，3為半徑的圓，

上表示點P(x,y)與點(—3,0)連線的斜率，不妨設(shè)上=左即直線/：kx-y+3k=0,

又尸在圓上運動，故直線與圓。有公共點，則匕3+3』J

收+1

24v74

化簡得7/一24440解得0V左V亍，故壬的最大值為日.

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】(22-23高二上?安徽馬鞍山?階段練習)已知直線斜率為3旦一6C手,那么傾

3

斜角a的取值范圍是()

2兀

C.U---,71

%3

【答案】C

【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系，結(jié)合圖象可得答案.

【詳解】k=tana在[0,兀)上的圖象如圖所示，

由圖可知，當—百時，

3

兀27r\

傾斜角a的取值范圍為.

-63；

故選：C.

【鞏固練習2】如果實數(shù)x,'滿足(x-2y+y2=2,則十的范圍是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-co,-l)u(l,+oo)D.(YO,-1]U[L+<?)

【答案】B

【分析】設(shè):=左，求號的范圍救等價于求同時經(jīng)過原點和圓上的點(％y)的直線中斜率的范圍，結(jié)

合圖象，易得取值范圍.

【詳解】解：設(shè))=%，則y="表示經(jīng)過原點的直線，左為直線的斜率.

X

如果實數(shù)犬，y滿足(x-2)2+y2=2和2=%,即直線y=Ax同時經(jīng)過原點和圓上的點(x,y).

其中圓心C(2,0),半徑一行

從圖中可知，斜率取最大值時對應(yīng)的直線斜率為正且剛好與圓相切，設(shè)此時切點為E

則直線的斜率就是其傾斜角/EOC的正切值，易得|OC|=2,|CE|=r=應(yīng)，

可由勾股定理求得\OE\=^OC2-CE2=亞,于是可得到％=tanZEOC=母=1為?的最大值;

同理，上的最小值為一1.

則上的范圍是[-1』.

X

【鞏固練習3】已知兩點43,0),B(0.4),動點P(x,y)在線段A5上運動，則旺■的范圍是,

x-2

(x+iy+V的范圍是.

【答案】f-OO,--1u[l,+oo)^^,17

【分析】根據(jù)A,8坐標畫出線段AB,可知上丑的幾何意義為(羽y)與C(2,-1)連線斜率，(x+Ip+V

的幾何意義為(x,y)與￡>(-1,0)距離的平方，即可由斜率公式及距離公式求解.

【詳解】根據(jù)題意畫出線段AB如下圖所示：

直線AB的方程為4x+3y—12=0,

上出的幾何意義為(x,y)與C(2,-l)連線斜率，kAC=l,kBC=--,

x-22

所以上口€

-00,u[l,+oo);

%—2

(x+1)2+/的幾何意義為(工,丁)與。(一1,0)距離的平方，

1-4-12116I------------------

由點到距離公式可知在歹手=《,DA=4,DB=y/(~l)2+42

所以(尤+1)2+丁€—,17,

故答案為：(-co,-|U[1,4-00)器7

【題型6】圓上的點到直線的距離為定值的個數(shù)(教材原題改編)

/核心?技巧/

教材原題改編：選擇性必修第一冊第99頁

@拓廣探索

!13.已知圓f+y=4,直線y=/+b.6為何值時，同上恰有三個點到直線/的距離都等于1?

圓心C到直線1的距離為d,圓C上的動點尸到直線的距離為d,則

(1)直線與圓有公共點時，此時dWr

①當">d+r(dWr)時，點P個數(shù)為0

②當"=d+r(dWr)時，點P個數(shù)為1

③當r—d<d<r+d3Wr)時，點P個數(shù)為2

④當"=r—d(d/r)時，點P個數(shù)為3

⑤當0<"<廠一或dsr)時，點P個數(shù)為4

(2)當直線與圓無公共點時，止匕時

①當"<d—r(d>r)時，點P個數(shù)為0

②當"=d—r(d>r)時，點P個數(shù)為1

③當d—Yd<d+r3>r)時，點P個數(shù)為2

/“典型例題/

8.已知點尸在圓(x-4>+(y-5)2=16上，點A(4,0),3(0,2).求點尸到直線A3距離的最大值;

【答案】26+4

【分析】首先求出直線的方程，再根據(jù)圓上的點到直線的距離最大值為圓心到直線的距離與半徑

的和求解即可.

【詳解】因為A（4,0）,3（0,2）,

所以k=^―|=-；,所以直線的方程為了=一^彳+

ABA32即x+2y—4=0,

圓（x-4）2+（y-5）2=16的圓心為（4,5）,半徑廠=4,

圓心（4,5）到直線A8的距離為d='+1尸1=26>4,

故圓與直線48相離，所以圓上的點P到直線A3距離的最大值為2班+4.

9.（多選）在平面直角坐標系xQv中,已知圓爐+「=4上有且僅有四個點到直線12x-5y+c=。的

距離為1,則實數(shù)c的取值可能是（）

A.14B.-13C.12D.-10

【答案】CD

【分析】分析可知直線12x-5y+c=0平行且與該直線間距離為1的直線的方程為12x-5y+c+13=O、

12%—5丁+。-13=0,由題意可知，直線12x-5y+c+13=0、12x—5y+c—13=0與圓/+y2=4均相

交，可得出關(guān)于。的不等式組，解出。的取值范圍，即可得出合適的選項.

【詳解】設(shè)與直線12x-5y+c=。平行且與該直線間距離為1的直線的方程為12%-5）+6=0,

「―一q—

解得祖=c+13或〃?=c-13,

則kF’

所以,直線12x—5y+c+13=0、12x—5y+c—13=0均與圓x2+y。=4相交,

而圓心為原點。，圓的半徑長為2,所以，,,,解得-13<c<13

c-13一

10.若圓（>3）2+（y-5）2=r2（r>0）上有且僅有兩個點到直線4x-3y-2=0的距離為5,貝"的取值

范圍是.

【答案】4<r<6

【分析】求出圓心尸（3,5）到直線4芯-3、=2的距離等于1,由能求出半徑r的取值范圍.

/、112-3x5-21

【詳解】圓心尸（3,5）到直線4*-3丫=2的距離等于1j]6+9='

圓（x-3）2+（y-5）2=/（「>0）上有且僅有兩個點到直線4x-3y-2=0的距離為5,

[r-l<5

由圓的幾何性質(zhì)可得〈，

[r+l>5

解得4<r<6,

「?半徑一的取值范圍是4<r<6,故答案為4<r<6.

11.已知圓CX2+/=4,直線/：x+y+根=0,若圓。上有且僅有兩個不同的點到直線/的距離為

1,則機的取值范圍是

【答案】（-3夜，-@U（血，3逝）

【分析】首先結(jié)合已知條件，求出當圓C上有1個和3個不同的點到直線/的距離為1時，圓心到

直線/的距離，進而得到圓C上有且僅有兩個不同的點到直線/的距離為1時，圓心到直線/的距離

的范圍，然后結(jié)合點到直線的距離公式求解即可.

【詳解】當圓C上有且僅有兩個點到直線/的距離等于1時，如下圖所示.

由于圓C的半徑為2,

故當圓C上有1個不同的點到直線/的距離為1時，圓心到直線的距離d=2+l=3,

當當圓C上有3個不同的點到直線/的距離為1時，圓心到直線的距離d=2-l=l,

從而圓C上有且僅有兩個不同的點到直線/的距離為1時，

則圓心C到直線/的距離d滿足|2—力<1,解得l<d<3,

\m\

因為圓心（0,0）到直線/：x+y+m=0的距離d正,

m

所以]<\\

正<3,解得-3忘〈根<-忘或忘<機<3庭,

故m的取值范圍是卜3夜,-夜）U（夜,3夜）.

12.（24-25高二上?江蘇徐州?開學考試）已知圓C：（x+l）2+（y-l）2=4,若直線，=6+5上總存在

點尸，使得過點P的圓C的兩條切線夾角為60。，則實數(shù)上的取值范圍是

Q

【答案】k>0^k<——.

【分析】根據(jù)切線夾角分析出1尸口=4,由圓心到直線的距離不大于4列出不等式求解可得.

【詳解】圓C:(x+l『+(y—1)2=4,則圓心為C(—1,1),半徑r=2,

設(shè)兩切點為A8,貝1網(wǎng)=\PB\,因為ZAPB=60。，在RtAT^lC中NAPC=|NAPB=30°,\AC\=r=2,

所以|PC|=4,

因此只要直線/上存在點P,使得|尸。=4即可滿足題意.

1-^-1+5|8

圓心C(-l,l),所以圓心到直線的距離d=i=—24,解得左20或ZW--.

收+115

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】(2024?廣東珠海?一模)已知點A(T0),3(0,3),點尸是圓(尤-3)2+丁=1上任意一

點，貝葭衛(wèi)鉆面積的最小值為()

A.6B.-C,-D.6--

222

【答案】D

【分析】求出直線A8的方程，利用點到直線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)求出點P到直線A8距離的最小

值即可求得最小值.

【詳解】兩點A(-LO),8(0,3),則|陰=](-1)2+32=阿直線AB方程為y=3x+3,

圓(x-3『+y2=l的圓心C(3,0),半徑廠=1,

126回

點C到直線AB:3x-y+3=0的距離d=

5

因此點P到直線A5距離的最小值為=,

5

所以ABIB面積的最小值是1xa5x（5叵-1）=6-巫.

—252

【鞏固練習2】已知點P為圓/+產(chǎn)=1上一點，記"為點?到直線xr改一2=。的距離.當m變化時，

d的最大值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)直線方程，求得該直線的定點，利用點到過定點直線以及點到圓上點距離的性質(zhì)，可

得答案.

【詳解】由直線方程尤-陽-2=0,則該直線過定點（2,0）,

易知圓尤2+y=1上任意定點到該直線的最大距離就是該點到（2,0）的距離，

由圓的方程/+9=1,則其圓心為（0,0）,半徑為1,

點（2,0）到圓/+y=1上點的最大距離為2+1=3.

【鞏固練習3】在圓（x-2『+y2=4上有且僅有兩個點到直線3x+4y+a=。的距離為1,則。的取值

范圍為?

【答案】（-21,71）U（T9）

【分析】由圓的方程確定圓心和半徑，利用點到直線距離公式求得圓心到直線距離4=\?；根據(jù)

已知可確定5<d<r+l,由此構(gòu)造方程求得a的取值范圍.

【詳解】由圓的方程知其圓心為（2,0）,半徑廠=2,

設(shè)圓心到直線3x+4y+a=。的距離為』，則"；&；

圓上有且僅有兩個點到直線3x+4y+a=0的距離為1,則］<“<廠+1,

即1<<3,解得：-21<a<-11或-1<a<9,

二。的取值范圍為（-21,-L1）U（-1,9）.

【鞏固練習4】若圓（％-1）2+（了+1）2=居上有且僅有兩個點到直線4x+3y=ll的距離等于1,則半徑

R的取值范圍是.

【答案】1<R<3

【分析】根據(jù)題意分析出直線與圓的位置關(guān)系，再求半徑的范圍.

【詳解】圓心到直線的距離為2,又圓(X-1)2+(y+1)2=夫2上有且僅有兩個點到直線4x+3y=ll

4-3-11

的距離等于1,滿足R-',o'<1,

V42+32

即：IR-2IV1,解得1VRV3.

故半徑R的取值范圍是1VRV3(畫圖)

【鞏固練習5】設(shè)圓C：(x-l)2+(y+l)2=/(r>o)上有且僅有兩個點到直線x-y+2=0的距離等

于V2，則圓半徑，的取值范圍是.

【答案】(五,3夜)

【分析】

計算圓心到直線的距離為20,根據(jù)條件得到|d-r|<VI,解得答案.

【詳解】

圓(尤—iy+(y+l)2=/的圓心坐標為(1,-1),半徑為r,

圓心(1,-1)到直線x-y+2=0的距離+=2后，

因為圓上恰有相異兩點到直線x-y+2=0的距離等于及，

所以

即|2力-廠|<0,所以0<r<3也.

【鞏固練習6】已知直線/：y=x+6,圓O:/+y2=4,圓。上恰有4個點到直線/的距離為1,則

b的取值范圍為

【答案】卜亞，夜)

【分析】根據(jù)題意可得圓心到直線/的距離小于1,再利用點到直線距離即可求出6的取值范圍.

【詳解】圓0上恰有4個點到直線/的距離為1,則圓心到直線/的距離小于1,

則公信＜1,

即-0<6<0,

所以6的取值范圍為卜幾吟.

【題型7】與基本不等式結(jié)合求最值

「核心?技巧;

基本不等式：如果。＞0,匕＞0,那么y/ctb?----,當且僅當〃二/?時，等號成立.（僅限和與積）

常用不等式：若a，beR,則加《劍包當且僅當〃二方時取等號；（從左至右為積,

42

和，平方和）

/“典型例題/

13.若。，萬為正實數(shù)，直線2尤+（2a-3）y+2=O與直線法+2y-1=0互相垂直，則"的最大值為

【解答】解：由直線2%+（2。-3）丁+2=。與直線區(qū)+2丁一1=?；ハ啻怪?

所以2b+2（2〃—3）=0,

即2。+6=3;

又。、b為正實數(shù),所以2a+6..2亞益，

即2",,（幺±2）2=2,當且僅當a=3,6=3時取“=”；

2442

9

所以ab的最大值為一.

8

14.設(shè)直線/的方程為（a+l）x+y+2-a=0（xeR）,若/與x軸正半軸的交點為A,與V軸負半軸的

交點為3,求AAOW。為坐標原點）面積的最小值.

【解答】解：,.?/與無軸正半軸的交點為A,與y軸負半軸的交點為5,

a—2

「.A的橫坐標>0,5的縱坐標Q-2V0,求得av-l.

Q+1

1Z7-9(1-2)2_[3+(Q+1)]2

求AA05（0為坐標原點）面積的為大------（2-?）=

2Q+1—2a—2—2?(Q+1)

9+(。+1)2-6(〃+1)96?+1.?9a+1_,

--------------------------=-------------1--------F3..2i---------------------F3=6當且僅當a+l=—3時，取等

-2(〃+1)-2(〃+1)-2\-2(a+l)-2

號，故AA03（0為坐標原點）面積的最小值為6.

15.（23-24高二上?貴州銅仁?期中）已知圓工2—4x+y2—2>=5關(guān)于直線2ox+y+Z?-3=。（〃，b為

大于0的數(shù)）對稱，則：的最小值為____,此時直線方程為______

ab

9

【答案］12x+3y-7=0

【分析】空1：由題意得直線2分+，+6-3=0過圓心，從而得到4a+6=2,利用基本不等式“1”的

妙用求解最小值；空2：由空1結(jié)果代入回直線方程即可.

【詳解】圓Y-4x+y2-2y=5,整理得（尤—2）2+（y—I）?=10,則其圓心為（2,1）,

由題意得：直線2分+y+Z?-3=0過圓心（2,1）,

所以4a+Z?=2,又。>0,b>0,

所以，+!二|1+I1f.bb4a.]1__b4〃912

b\'—=-4+—+——+1>-x5+2,=5.（當且僅當〃b=-

aba722ab2ab,

時，取"=”).

27

此時直線方程為§x+y_§=0,即2%+3y—7=0.

9

故答案為：-;2%+3y—7=0.

2

16.（2024?安徽?模擬預(yù)測）已知。（一2a,0）,。伍,"）（〃>0力>。），動圓（％-+（）一人尸=r（r>0）經(jīng)

過原點，且圓心在直線1+2y=2上.當直線尸。的斜率取最大值時，r=（）

V2R2收06n

AA.D.------C.D.----

3333

【答案】B

【分析】運用兩點間斜率公式，結(jié)合基本不等式可解.

nh

【詳解】由題意可得，a2+b2=r\a+2b=2,直線P。的斜率為怎。=-----.

2a+b

2a+b1211(a+26)=：5+?2b2a2b2a9

因為---------=—?—=—++—|>-5+2.

abab2a1ab21ab2

當且僅當竺="，即。=人=2時，等號成立，所以‘^42,

ab32a+b9

即當直線PQ的斜率取最大值時，a=b=j所以產(chǎn)=1+廿=|,故—半.

17.（23-24高二上?陜西西安?期中）已知圓。的半徑為2,過圓。外一點P作圓。的兩條切線，切點

為A,B,那么麗.麗的最小值為（）

A.-16+472B,-12+4V2C.-12+8近D.-16+8收

【答案】C

【分析】設(shè)根據(jù)長度表示出COS/4PB,然后根據(jù)向量的數(shù)量積計算公式求解麗.而，結(jié)

合基本不等式求解出耳.屈的最小值.

設(shè)|P0|=",貝"尸川=|尸理=山2—4,

2

因為sinZAPO--,

d

所以cos/APB=l—2］：）=1一0，

所以可.麗=（/-4）11-總=屋+/一1222寂一12=8加一12,

32

當且僅當屋=/，即力=40>4時，等號成立，

故耳?麗的最小值為8a-12

/“鞏固練習/

【鞏固練習1】過點A（l,l）的動直線4和過點3（4,5）的動直線Z2交于點尸（點P異于A、8）,且4，4，

貝的最大值是（）

A.述B.525

D.

2i2

【解答】解：因為［，4，則E4LPS,

所以|PA『+|尸5『二|AB|2=25,

則g-出丁=今

22

當且僅當|PA|=|PB|=里時取等號,

2

所以1PAi-|尸3|的最大值為三25.

2

【鞏固練習2】過點尸（3,4）的直線/,求/與xj正半軸相交，交點分別是A、氏當AAOB面積最小時

的直線方程.

【答案】4x+3y-24=0.

【解析】設(shè)出截距式方程為』+2=1（。>0,6>0）,代入點的坐標，用基本不等式求得而的最小值,

ab

從而得直線方程.

Xv34

【詳解】設(shè)直線/方程為一+2=1（〃>0/>0）,???直線過點P（3,4）,J—+—=1,

abab

34fp-34

1=-+->2A—,當且僅當1=7，即。=6/=8時等號成立，.\^>48,

ab\abab

S^0AB=-ab>^,...△AOB面積最小值為24,此時直線方程為2+2=1,即4x+3y-24=0

268

【鞏固練習3】（23-24高二上?江蘇無錫?期中）若圓/+）；2+2》-4>+1=0被直線

2依一勿+2=0（a>0力>0）平分，則，+g的最小值為（）

A.-B.9C.4D.-

49

【答案】C

【分析】由題意得圓心（-1,2）在直線2ox—by+2=0（a>0,b>0）上，即得。+6=1,再利用基本不等

式“1”的妙用即可求解.

【詳解】由圓尤2+y2+2x-4y+l=0被直線2flx-&y+2=0（?>0,&>0）平分，

得圓心（-1,2）在直線2以一勿+2=0（。>0力>0）上，則一2。一26+2=0,即。+6=1,

而。>0力>0,則工+!=（_1+?。?+6）=2+0+2\2/2.@+2=4,

ababab\ab

當且僅當2=2,即a=b=工時取等號，所以工+J■的最小值為4.

ab2ab

【鞏固練習4】已知圓。的方程為d+y2=i,過第一象限內(nèi)的點P（a,b）作圓。的兩條切線",PB,

切點分別為A8,若麗.而=8，則的最大值為（）

A.2V2B.3C.3&D,6

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求得麗2=8，得到|PA「=8,結(jié)合圓的切線的性質(zhì)，得到4+人2