武漢市武昌區(qū)2025屆高考模擬（二）數(shù)學試題（含解析）

武漢市武昌區(qū)2025屆高考模擬（二）數(shù)學試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（x）=4_4以-Inx,則/Xx）在（L4）上不單調的一個充分不必要條件可以是（）

1C11^11

A.a>—B.0<〃<—C.a>—或—<。<0D.—

21616216

2.已知m,n為異面直線，m_L平面a,n_L平面0,直線1滿足1_Lm,I_Ln,/△則

（）

A.a//p且/〃aB.a±pK/IP

C.a與0相交，且交線垂直于/D.a與0相交，且交線平行于/

3.如圖，正三棱柱A3C-4與G各條棱的長度均相等，。為A4的中點，分別是線段8月和線段CC的動點

（含端點），且滿足BM=GN,當運動時，下列結論中不氐確的是

A.在ADACV內總存在與平面ABC平行的線段

B.平面DAWJ_平面5。￡四

C.三棱錐A-DMN的體積為定值

D.ADACV可能為直角三角形

-01

4.設a=log23,b=log46,c=5?則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

5.從集合｛—3,—2,-1,1,2,3,4｝中隨機選取一個數(shù)記為M,從集合｛—2,-1,2,3,4｝中隨機選取一個數(shù)記為九，則在方

2222

程上+乙=1表示雙曲線的條件下，方程二+匕=1表示焦點在y軸上的雙曲線的概率為（）

mnmn

98179

A.——B.—c.—D.——

17173535

22

6.已知橢圓C:——+A=1,直線4：〃比+>+3%=。與直線4：x-2y-3=。相交于點尸，且尸點在橢圓內恒成立,

a~+9a"

則橢圓C的離心率取值范圍為（）

A.H)B.C.D.P1

7.記s”為等差數(shù)列｛4｝的前幾項和.若生=-5,邑=-16,則。6=（）

A.5B.3C.-12D.-13

8.已知集合川={%|-1?XV5},N={X|WV2},則()

A.{x\-l<x<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.x10<x<2}

9.已知△ABC中，AB=2,BC=3,ZABC=60°,BD=2DC,AE=EC9則而.而=()

11

A.1B.-2c.一D.——

22

10.某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長為1的等腰直角三角形和邊長為1的正方形，則該幾何體中最長的棱

長為（）.

A.yf2B.73C.1D.瓜

11.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”產(chǎn)禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是

體育和勞動；，，書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連

排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰排課，貝！J“六藝”課程講座

不同的排課順序共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

12.以』（3L1）,8（—2,2）為直徑的圓的方程是

A.x2+y2-x-y-8=0B.x2+y2-x-y-9=0

C.x2+y~+x+y—8=0D.x2+y~+x+y—9=0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1,2,3,4,5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；

隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的L4倍作為其獎金.若隨機變量41和&分別

表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則。（無）=,E（6）-E（6）=.

Ji37r12

14.在平面直角坐標系龍。丁中，點「（%,為）在單位圓。上，設4。。=。，且。e（一若cos（（z+—）=——,

44413

則無。的值為.

15.某公園劃船收費標準如表：

船型兩人船（限乘2人）四人船（限乘4人）六人船（限乘6人）

每船租金（元/小時）90100130

某班16名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，每只租船必須坐滿，租船最低總費用為_____元,

租船的總費用共有種可能.

16.平面向量口與石的夾角為:同=1,同=1,,貝中4—2同=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

一Y，

17.（12分）在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為夕=<+

I2

（1）求曲線C與極軸所在直線圍成圖形的面積；

（2）設曲線C與曲線0sind=g交于A,B兩點,求

18.（12分）如圖，在三棱錐A-5CZ）中，ABVAD,BC±BD,平面平面3CZ>,點E,尸（E與A,。不重合）

分別在棱A。，BD±.,KEF±AD.

A

E

If

求證：(1)E尸〃平面ABC；

(2)AD±AC.

19.(12分)已知定點4(—3,0),3(3,0),直線AM、相交于點〃，且它們的斜率之積為-g,記動點M的軌

跡為曲線C。

(1)求曲線C的方程；

(2)過點T(l,0)的直線與曲線C交于P、。兩點，是否存在定點S(1,0)，使得直線SP與SQ斜率之積為定值，

若存在，求出S坐標；若不存在，請說明理由。

20.(12分)已知集合A=｛x|log2(x+3)?3｝,B=[x]2m-l<x<m+3].

(1)若m=3,則AU8；

(2)若4口5=8,求實數(shù)〃，的取值范圍.

31

21.(12分)在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinA=-,tan(A-B)=-,角C為鈍角，b=5.

(1)求sin6的值；

(2)求邊c的長.

22.(10分)已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，前〃項和為S“，且$5=3%,%+。6=8.

(1)求4.

(2)設"=2"?a”,求數(shù)列也，｝的前n項和Tn.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

先求函數(shù)在(1,4)上不單調的充要條件，即尸(%)=。在(1,4)上有解，即可得出結論.

【詳解】

2ax2-4ax-1

fr(x)=lax-4a--=

Xx

若/(x)在(1,4)上不單調，令g(x)=2ax2-4ax-l,

貝U函數(shù)g(x)=2。%2一4以一1對稱軸方程為x=l

在區(qū)間(L4)上有零點(可以用二分法求得).

當。=0時，顯然不成立；

a>Q

當awO時，只需(g(l)=—2a—1<0

g(4)=16a—l〉0

a<0

或<g(l)=-2。-1〉0,解得或a<—」.

g(4)=16a-1<0I，"

故選:D.

本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調性及充分不必要條件，要注意二次函數(shù)零點的求法，屬于中檔題.

2.D

【解析】

試題分析：由相，平面戊，直線/滿足/，加，且/aa,所以///a,又〃，平面夕，所以〃/用，由

直線加，〃為異面直線，且加，平面％〃，平面夕，則a與夕相交，否則，若a//月則推出相〃心與九〃異面矛盾,

所以外尸相交，且交線平行于/,故選D.

考點：平面與平面的位置關系，平面的基本性質及其推論.

3.D

【解析】

A項用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交，則交線與平面ABC平行;

B項利用線面垂直的判定定理；

C項三棱錐A-DA/N的體積與三棱錐N-4。/體積相等，三棱錐N-ADM的底面積是定值，高也是定值，則體

積是定值；

D項用反證法說明三角形DMN不可能是直角三角形.

【詳解】

A項，用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;

B項，如圖：

當M、N分別在BBi、CCi上運動時,若滿足BM=CN,則線段MN必過正方形BCCiBi的中心0,由DO垂直于平面BCCB

可得平面。平面BCG耳，故正確；

C項，當M、N分別在BBi、CCi上運動時,△AiDM的面積不變,N到平面AiDM的距離不變，所以棱錐N-AiDM的體積

不變，即三棱錐Ai-DMN的體積為定值，故正確；

D項，若△DMN為直角三角形，則必是以/MDN為直角的直角三角形，但MN的最大值為BCi,而此時DM,DN的長大于

BBi,所以△DMN不可能為直角三角形，故錯誤.

故選D

本題考查了命題真假判斷、棱柱的結構特征、空間想象力和思維能力，意在考查對線面、面面平行、垂直的判定和性

質的應用，是中檔題.

4.A

【解析】

先利用換底公式將對數(shù)都化為以2為底,利用對數(shù)函數(shù)單調性可比較。力,再由中間值1可得三者的大小關系.

【詳解】

-01

a=log23e(1,2),b=log46=log2A/6e(1,log23),c=5￡(0,1),因此a>6>c,故選：A.

本題主要考查了利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小,屬于基礎題.

5.A

【解析】

2222

設事件A為“方程土+匕=1表示雙曲線”，事件B為“方程二+匕=1表示焦點在y軸上的雙曲線”，分別計算出

mnmn

P(AB}

P(A),P(AB),再利用公式「(5/4)=［一計算即可.

【詳解】

2222

設事件A為“方程工+匕=1表示雙曲線”，事件B為“方程土+匕=1表示焦點在y軸上

mnmn

3x3+4x217g

的雙曲線”，由題意，P(A)=-------------=一，P(AB)=-,則所求的概率為

7x5357x535

P(AB)9

P(B/A)=

P(A)17,

故選：A.

本題考查利用定義計算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.

6.A

【解析】

先求得橢圓焦點坐標，判斷出直線/1,4過橢圓的焦點.然后判斷出4,,2,判斷出P點的軌跡方程，根據(jù)P恒在橢圓內

列不等式，化簡后求得離心率e的取值范圍.

【詳解】

設4(—c,0),耳(c,0)是橢圓的焦點，所以，=。2+9一/=9,c=3.直線4過點E(—3,0),直線勾過點月(3,0),由

于77ZX1+1X(一切)=0,所以，6，所以P點的軌跡是以耳,且為直徑的圓V+/=9.由于尸點在橢圓內恒成立,

,90,11,所以

所以橢圓的短軸大于3,即〃T=9,所以儲+9>18,所以雙曲線的離心率，2=亦€

ee0,—

\7

故選：A

本小題主要考查直線與直線的位置關系，考查動點軌跡的判斷，考查橢圓離心率的取值范圍的求法，屬于中檔題.

7.B

【解析】

4x3一

由題得4+d=-5,4qH---d——16,解得q=-7,d=2,計算可得4?

【詳解】

Oj=-5,S4=-16,q+d=-5,4al■)■――<7=-16,解得％=-7,d=2,

0=%+5d—3.

故選：B

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，前九項和公式，考查了學生運算求解能力.

8.A

【解析】

考慮既屬于"又屬于N的集合，即得.

【詳解】

N={x|-2<%<2},AfcN={%|-1Wx<2}.

故選：A

本題考查集合的交運算，屬于基礎題.

9.C

【解析】

以麗，宓為基底，將而，通用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，即可求解.

【詳解】

__2____9_______________?_?

BD=2DC,BD=-BC,AD=BD-BA=-BC-BA,

33

AE=EC,:.BE=-BC+-BA,

22

_____?____,2__________?1_____?1____?

ADBE=(-BC-BA)(-BC+-BA)

1---?21---?---?1--->2

=-BC——BCBA——BA

362

=1,——1x2cx3cx—1=—1.

622

故選:C.

本題考查向量的線性運算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運算，屬于中檔題.

10.B

【解析】

首先由三視圖還原幾何體，進一步求出幾何體的棱長.

【詳解】

解：根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，

所以，該四棱錐體的最長的棱長為/njF+F+a=,.

故選：B.

本題主要考查由三視圖還原幾何體，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題.

11.C

【解析】

根據(jù)“數(shù)”排在第三節(jié)，貝『‘射"和“御”兩門課程相鄰有3類排法，再考慮兩者的順序，有延=2種，剩余的3門全排列,

即可求解.

【詳解】

由題意，“數(shù)”排在第三節(jié)，則“射”和“御”兩門課程相鄰時，可排在第1節(jié)和第2節(jié)或第4節(jié)和第5節(jié)或第5節(jié)和第6節(jié),

有3種，再考慮兩者的順序，有￡=2種，

剩余的3門全排列，安排在剩下的3個位置，有看=6種，

所以“六藝”課程講座不同的排課順序共有3x2x6=36種不同的排法.

故選：C.

本題主要考查了排列、組合的應用，其中解答中認真審題，根據(jù)題設條件，先排列有限制條件的元素是解答的關鍵，

著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.

12.A

【解析】

設圓的標準方程，利用待定系數(shù)法一一求出。力,「，從而求出圓的方程.

【詳解】

設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b￥=r2,

由題意得圓心。(區(qū)3為A，3的中點，

根據(jù)中點坐標公式可得。=3一-2=16=—-1詈+7=1

2222

又不二地二重3+2)2+(-1—2)：二叵，所以圓的標準方程為：

222

ii17

(X——)2+(y——)2=—,化簡整理得x2+y2_x_y_8=0,

222-

所以本題答案為A.

本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關鍵是假設圓的標準方程，建立方程組，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.20.2

【解析】

分別求出隨機變量6和a的分布列，根據(jù)期望和方差公式計算得解.

【詳解】

設a,6G{1,2,1,4,5},則p("a)=g,其占分布列為：

612145

11111

rD

55555

E(<fi)=-x(1+2+1+4+5)=1.

5

D(fl)=1x[(1-1)2+(2-1)2+(1-1)2+(4-1)2+(5-1)2]=2.

芻=1.4|a-目的可能取值分別為：1.4,2.3,4.2,5.6,

42332211

尸(《2=1.4)=￡=二，尸(。=2.3)=^-=—,P?2=4.2)=^-=—,尸(芻=5.6)=《=而，可得分布歹山

61.42.34.25.6

2321

p

5To10io

，、2321

E(芻)—1.4x—P2.3x--1~4.2x----1-5.6x—=2.3.

5101010

：.E(6)-E⑸=0.2.

故答案為：2,0.2.

此題考查隨機變量及其分布，關鍵在于準確求出隨機變量取值的概率，根據(jù)公式準確計算期望和方差.

14.在

26

【解析】

JF1971

根據(jù)三角函數(shù)定義表示出和=cosa,由同角三角函數(shù)關系式結合cos(tz+z)=-E求得sin(a+z)，而

f71]71

xo=COS6Z=COSI<z+—I--,展開后即可由余弦差角公式求得瓦的值.

【詳解】

點P(%,%)在單位圓。上，設=

由三角函數(shù)定義可知costz=x0,sine=y0,

因為。e(2,也)，則a+fe加，

444

所以由同角三角函數(shù)關系式可得sin1-cos2a+

71

所以為=cosa=cos

~4

(萬、n.(7l、\.7C

=cosaH——cos—+sinaH——sin—

I4；4I4；4

12V255/2-7A/2

=--------X----------1-------X--------=--------------

13213226

故答案為：zZ^l.

26

本題考查了三角函數(shù)定義，同角三角函數(shù)關系式的應用，余弦差角公式的應用，屬于中檔題.

15.36010

【解析】

列出所有租船的情況，分別計算出租金，由此能求出結果.

【詳解】

當租兩人船時，租金為："x90=720元,

2

當租四人船時，租金為：一xl00=400元,

4

當租1條四人船6條兩人船時,租金為：100+6x90=640元，

當租2條四人船4條兩人船時,租金為：2x100+4x90=560元,

當租3條四人船2條兩人船時,租金為：3x100+2x90=480元,

當租1條六人船5條2人船時,租金為：130+5x90=580元，

當租2條六人船2條2人船時，租金為：2x130+2x90=440元，

當租1條六人船1條四人船3條2人船時，租金為：130+100+3x90=500元，

當租1條六人船2條四人船1條2人船時，租金為：130+2x100+90=420元，

當租2條六人船1條四人船時，租金為：2x130+100=360元，

綜上，租船最低總費用為360元，租船的總費用共有10種可能.

故答案為：360,10.

本小題主要考查分類討論的數(shù)學思想方法，考查實際應用問題，屬于基礎題.

16.V13

【解析】

由平面向量模的計算公式，直接計算即可.

【詳解】

7T

因為平面向量口與5的夾角為萬，所以a?石=0,

所以慟一2同=,9同?+4同一12〃?B=713；

故答案為而

本題主要考查平面向量模的計算，只需先求出向量的數(shù)量積，進而即可求出結果，屬于基礎題型.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)-71+--,(2)百

42

【解析】

(1)利用互化公式，將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，得出曲線。與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為

1的,圓周及一個兩直角邊分別為1與6的直角三角形，即可求出面積；

4

(2)聯(lián)立方程組，分別求出A和3的坐標，即可求出

【詳解】

一

解：(1)由于C的極坐標方程為夕=<2sin［，+%J,

JT

I2

根據(jù)互化公式得，曲線C的直角坐標方程為:

當0<xV時，x+yfiy--\/3=0?

當一LWxWO時，x2+y2=1,

則曲線。與極軸所在直線圍成的圖形，

是一個半徑為1的;圓周及一個兩直角邊分別為1與6的直角三角形,

.?.圍成圖形的面積5=4兀+走.

c/兀、化直角坐標方程為X+=石,

2sinI3+-6；-

.?.|明=曰+孚=技

本題考查利用互化公式將極坐標方程化為直角坐標方程，以及聯(lián)立方程組求交點坐標，考查計算能力.

18.（1）見解析（2）見解析

【解析】

試題分析：（1）先由平面幾何知識證明EF〃AB,再由線面平行判定定理得結論；（2）先由面面垂直性

質定理得3C_L平面如，則再由ABLA。及線面垂直判定定理得平面ABC,即可得

ADLAC.

試題解析：證明：（1）在平面AB￡>內，因為EF±AD,所以砂||AB.

A

又因為EFa平面ABC,ABu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

（2）因為平面A3。_L平面BCD,

平面ABDc平面BCD=BD,

BCu平面BCD,BC±BD,

所以BC,平面AB￡）.

因為ADu平面AB￡＞，所以BC,AD.

y.AB±AD,BCcAB=B,ABu平面ABC,BCu平面ABC,

所以A。_L平面ABC,

又因為ACu平面ABC,

所以AOL4C

點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；（2）

證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.

2

19.（1）y+y2=l（x^±3）；⑵存在定點S（±3,0）,見解析

【解析】

（1）設動點”（x,y）,則勉=上,％=上（"土3），利1用L求出曲線。的方程.

x+3x-39

x=my+1

（2）由已知直線/過點T（LO）,設/的方程為》=%+1,則聯(lián)立方程組121八，

%2+9y2=9

消去x得（加2+9）/+2相y-8=0,設P（%,%）,e（x2,%）利用韋達定理求解直線的斜率，然后求解指向性方程,

推出結果.

【詳解】

解：（1）設動點M（X,y）,貝”"a=」^（xw—3）,

X十J

^MB--。3），

x—

kMA-kMB=---即

x+3x—39

2

化簡得：—+/=1?

9'

尤2

由已知xw±3,故曲線。的方程為土+y2=豐+3）o

9

(2)由已知直線/過點T(l,0),設/的方程為》=沖+1,

x=my+1,

則聯(lián)立方程組《%21,消去x得(》?+9)y2+2沖一8=0,

—+V2=1

19

2m

y+%=-

m+9

設P(%，X),。(々,%)，貝卜

8

%%=一-

m+9

又直線SP與SQ斜率分別為股+17。

.一%%

SQ~~[

x2-xQmy2+l-x0

_______________________=_________-8

則ksp-kQ

S22

（切1+1-/乂噂2+1-%）（%o-9）/W+9（1-X0）

-8_2

當/=3時，Vme7?,^SP'^SQ2=

9（1-X0）"9

1

當/=-3時，Vme7?.^SP1^SQ

18

所以存在定點S(±3,0)，使得直線SP與SQ斜率之積為定值。

本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查計算能力，屬于中檔題.

20.(1){x|-3<%<6}；(2)[-1,2]U[4,+oo)

【解析】

(1)將加=3代入可得集合B,解對數(shù)不等式可得集合A,由并集運算即可得解.

(2)由4口6=3可知B為A的子集，即當8=0符合題意，當B不為空集時，由不等式關系即可求得機

的取值范圍.

【詳解】

（1）若〃z=3,則3={115<x<6},