高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：向量（解析版）

專題05向量專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）2022年北京冬奧會(huì)開幕式中，當(dāng)《雪花》這個(gè)節(jié)目開始后，一片巨大的“雪

花”呈現(xiàn)在舞臺(tái)中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，

又稱“科赫曲線”，是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：

從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉

底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過程.已知圖①中正三角形的邊長為6,則圖③中亞.兩的值為（）

【答案】A

【分析】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由向量的運(yùn)算求得而，麗的坐標(biāo),

再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算.

【詳解】在圖③中，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

|W|=4,兩=(2cos|>2sinq)=(2,2A^),

MP|=|,即麗=(*0),

2__.1

由分形知PN〃。/0,所以而=（乙,

33

^^XON=OM+MP+PN=

所以兩?網(wǎng)=2x5+2』x羊=24.

故選：A.

2.（2023?全國?高二專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非

常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂點(diǎn)

上L下列關(guān)系中正確的是（

的多邊形為正五邊形，且「

A1

A.BP-TS=J^RS

2

B.CQ+TP=^^-TS

C.ES-AP=Jh^BQ

D.AT+BQ=^-CR

【答案】A

【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問題.

【詳解】解：在如圖所示的正五角星中，以A,B,C,D,E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且紅=避二1.

AT2

uurmiuiruuruir/??iuir

在A中，BP-TS=TE-TS=SE=-——RS,故A正確；

2

uumuiruiruiruu/:1uir

在B中，CQ+TP=PA+TP=TA=^—ST,故B錯(cuò)誤；

在c中，ES-AP=RC-QC=RQ=^1DR=^-QB,故C錯(cuò)誤；

在D中，AT+BQ=SD+RD,避二!■而=麗=麗-而，

一2

^AT+BQ=^^CR,則而=0，不合題意，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角

形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱

為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)QG,4分別為任意AABC的外心、重心、垂心，則下列各式一定正確的是（）

A.OG^-OHB.OH^-GH

23

C.同=必邁D,旃=2一+兩

33

【答案】D

【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線和長度關(guān)系可知AB正誤；利用向量的線性運(yùn)算可表示出前，就，知CD正誤.

,,—.1—.

依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，；.OG=—,

2

:.OG=-OH,OH=-GH,A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；

32

AG=AO+OG=AO+-OH=Ad+-（AH-Ad）=^^^-,C錯(cuò)誤；

33、,3

BG=BO+OG=BO+-OH=BO+-（BH-BO]=--------------,D正確.

33、,3

故選：D.

4.（2021秋?山東威海?高三統(tǒng)考期中）向量旋轉(zhuǎn)具有反映點(diǎn)與點(diǎn)之間特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系的特征，在電子信息傳導(dǎo)

方面有重要應(yīng)用.平面向量旋轉(zhuǎn)公式在中學(xué)數(shù)學(xué)中用于求旋轉(zhuǎn)相關(guān)點(diǎn)的軌跡方程具有明顯優(yōu)勢(shì)，已知對(duì)任

意平面向量Afi=（x,y）,把通繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)夕角得到向量衣=（xcose-ysin9,xsine+ycos。）,

叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。角得到點(diǎn)P,已知平面內(nèi)點(diǎn)4（1,2）,點(diǎn)8。-0,2+20）,點(diǎn)B繞點(diǎn)

n

A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)：后得到點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

4

A.(1,3)B.(-3,1)C.(2,5)D.(-2,3)

【答案】C

【分析】表示出向量通后，根據(jù)平面向量旋轉(zhuǎn)公式可求得行，由此可求得P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】?.?A（l,2）,B（1-A/2,2+2A/2）,.?.油=卜點(diǎn),2忘），

,??點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與等價(jià)于點(diǎn)3繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)號(hào)，

44

AP=[-0cos1-20sin與,-0sin1+272cos=（1,3）,/.P（2,5）,

故選：C.

5.（2022.高一課時(shí)練習(xí)）我校八角形?；沼蓛蓚€(gè)正方形疊加變形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南開

人”面向四面八方，胸懷博大，廣納新知，銳意進(jìn)取”之精神，如圖，在抽象自“南開?；铡钡亩噙呅沃校阎?/p>

其由一個(gè)正方形與以該正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后的正方形組合而成，已知向量加M則向量2（

A.2n+3kB.（2+V^"）幾+3左

C.（2++（2+D.（1+V5）〃+（2+A/^）E

【答案】D

【分析】根據(jù)對(duì)稱性可得線段的長度關(guān)系以及點(diǎn)共線，再由向量的加法法則可求解.

【詳解】根據(jù)題意可得問=忖，

由該圖形是由正方形中心為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后與原正方形組合而成，如圖

由對(duì)稱性可得\AB\=\BC\=\CD\=陷=儂=\QF\,

\CE\=\EF\=\FG\=y/2\AB\=V2|?|

由對(duì)稱性可得點(diǎn)B,C,E,0共線，點(diǎn)Q,RG共線.

所以苑=阮+區(qū)+匹=（2+無）后,QG=QF=FG=（l+^n

所以％=而+的=（2+夜）》+（1+0）元

故選：D

G

6.(2022春?黑龍江黑河?高一嫩江市高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平

面示意圖.其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為1,且相鄰的圓都相切，A、8、C、。是其中

四個(gè)圓的圓心，則麗.①=().

【答案】B

【分析】如圖所示，?。?、區(qū)為一組基底的基向量，其中貳1=1且］、晟的夾角為60。，將荏和前化

為基向量，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律可得結(jié)果.

【詳解】如圖所示，建立以耳、02為一組基底的基向量,

其中|冢|<￡|=1且錄、1的夾角為60。，

/.AB=2e1+4e2,CD=4St+2g,,

旗?歷=（2耳+4瓦）―（4耳+2瓦）=8。；+8胃+20及⑥=8+8+20xlxlx；=26.

故選：B.

7.（2022.全國?高三專題練習(xí)）偉大的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒（Descartesl596?1650）創(chuàng)立了直角坐標(biāo)系.他用平

面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來確定這個(gè)點(diǎn)的位置，用坐標(biāo)來描述空間上的點(diǎn)，因此直角坐標(biāo)系又被

稱為“笛卡爾系”；直角坐標(biāo)系的引入，將諸多的幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，大大降低了問題的難

度，而直角坐標(biāo)系，在平面向量中也有著重要的作用；在正三角形ABC中，。是線段上的點(diǎn)，AB=3,

BD=2,則須.亞=（）.

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【解析】以通、衣為一組基底，表示出詬，再根據(jù)向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得；

【詳解】解：在正三角形ABC中，。是線段BC上的點(diǎn)，AB=3,BD=2,所以

AI）=AB+-BC=AB+-（AC-AB）=-AB+-AC

33、'33

AB-AD=AB-I-AB+-AC|=-AB2+-AC-AB=ix32+-x3x3xl=6

3）33332

故選：B

A

BDC

8.（2021春?福建福州?高一?？茧A段練習(xí)）“勾3股4弦5”是勾股定理的一個(gè)特例.根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)

學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形

ABCD^,AABC滿足“勾3股4弦5”，且鉆=3,E為AD上一點(diǎn)，AC.若屁=幾麗+〃肥，貝U彳+〃

的值為（）

A-V

B-1?D.1

【答案】B

—?/9

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用向量的坐標(biāo)表示，設(shè)BE=（a,3）,由衣.詼=0可得再由

BA=A,BE+!LIAC,利用坐標(biāo)表示建立方程組求解即可.

【詳解】由題意建立如圖所示直角坐標(biāo)系

因?yàn)锳B=3,3c=4,則3（0,0）,A（0,3）,C（4,0）,麗=（0,3）,而=（4,—3）,設(shè)麗=（a,3）,因?yàn)?E_LAC,

所以?麗=4a-9=0,解得。=].由麗=2而+〃而，得（。,3）=4（：,3）+〃（4,-3）,所以《4'+4"-C

4''[32-3//=3,

解得

7

所以幾+〃=~,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2022春?北京?高一北京市第二十五中學(xué)?？计谥校?jù)《九章算術(shù)》記載，商高是我國西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家,

曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，比畢達(dá)哥拉斯早500年.如圖，現(xiàn)有AABC滿足“勾3股4弦5”,

其中AC=3,3c=4,點(diǎn)。是CB延長線上的一點(diǎn)，則/.而=（）

A.3B.4C.9D.不能確定

【答案】C

【解析】根據(jù)AABC滿足“勾3股4弦5”可得AC1.CB,再利用平面向量的線性運(yùn)算以及兩個(gè)垂直向量的數(shù)

量積為0,可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳C=3,CB=4,AB=5,所以

所以AC_LCB,所以近S麗=0，所以".詼=0，

所以.而=衣.（衣+前）=*2+蔗?①=9+0=9.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，考查了平面向量的線性運(yùn)算，考查了兩個(gè)垂直向量的數(shù)量積為0,屬于基礎(chǔ)

題.

10.（2022?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割[Go/de”Sec〃o〃）是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有

嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取0.618,就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取3.14

一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大

多在畫面的Q618處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形

{GoldenRectangle）的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊1.618倍.黃金分割率和黃金矩形

能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個(gè)很

好的例子，達(dá)?芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后

的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金

分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于

該部分之比，黃金分割比為逐二0.618.其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它

2

是我國數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形A5CD中，AC,相交于點(diǎn)。，BF1AC,DH.LAC,AE±BD,

CG1BD,而=避二1而，則喬=（

2

【答案】D

【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理即可求解.

【詳解】解：?.?麗麗，顯然3E=DG,BO=OD^-BD,

22

所以布=（2一去』也土萼而，

<7-

5-5/510

2222

.?.麗=三如麗+好旃，

25

故選：D.

11.（2022秋?寧夏銀川?高三銀川一中?？茧A段練習(xí)）圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽

滿“，是自古以和為貴的中國人所崇拜的圖騰.如圖，是圓0的一條直徑，且|AB|=4.C,。是圓。上

的任意兩點(diǎn)，1=2,點(diǎn)P在線段8上，則西?麗的取值范圍是（）

B

A.[-1,2]B.[>/3,2]C.[3,4]D.[-1,0]

【答案】D

【分析】設(shè)。為圓心，連接。P,根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到百?麗=|而『-4,根據(jù)點(diǎn)P在線段8上，即

可求出I而I的取值范圍，即可得解.

【詳解】解：如圖，。為圓心，連接。尸，

則胡?麗=（用+兩）?匹+函=反f+協(xié)麗+協(xié)兩+訴9=方+協(xié)胸+的一加=|PO|2-4-

因?yàn)辄c(diǎn)尸在線段8上且\CD\=2,則圓心到直線CD的距離d=在二產(chǎn)=6,

所以及卡力|2,

所以3蒯的『4,則-喇府『-40,

即麗?麗的取值范圍是[T,0L

故選：D.

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡(jiǎn)易

側(cè)視圖（為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿加，PB,PC,的一端P在垂直于水

平面的塔柱上，另一端43,C,。與塔柱上的點(diǎn)。都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知AB=8m,3O=16m,

尸O=12m,而.京=0.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得I■（蘇+而）+；（定+而）=2而，貝i]CD=（）

塔M

A.28mB.20mC.31mD.22m

【答案】D

【分析】由麗.定=0，得PB工PC,則可得尸O'OBOC，可求得OC=9m,M,N分別為AB,。。的

中點(diǎn)，則由已知可得。為的中點(diǎn)，再結(jié)合已知的數(shù)據(jù)可求得結(jié)果

【詳解】因?yàn)榉?左=0，所以PB_LPC,

因?yàn)槭琌13C,所以aPOCsABOP,

所以P胃O=左OC，所以PO'OBOC，

OBPO

因?yàn)?O=16m,PO=12m,

所以0C=9m,

設(shè)M,N分別為A氏8的中點(diǎn)，

因?yàn)?（西+旃）+；（定+兩）=2的，

所以加+麗=2麗，

所以。為MN的中點(diǎn)，

因?yàn)锳B=8m,3O=16m,所以QW=20m,

所以O(shè)N=20m,

所以O(shè)V=ON—OC=20—9=llm,

所以CD=2OV=22m

故選：D

fi,v

13.（2022?全國?高三專題練習(xí)）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱為“趙

爽弦圖”,它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如圖所示，若次=?,DC=n，

AF=^AE,則需=（）

【答案】B

【分析】由已知可得出=利用平面向量的線性運(yùn)算得出=再結(jié)合平面的基

本定理可得結(jié)果.

【詳解］由題意得加=§麗=§（近一通）=§荏一jxy亞=§礪一而+現(xiàn)），

13--2―-4----6—■4--4—6-

所以一DE=—ABAD,即DE=—OC+—=—根+—"，

93913131313

故選：B.

14.（2022春?江蘇南京?高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年第十屆中國花卉博覽會(huì)興辦在即，其中，以“蝶

戀花”為造型的世紀(jì)館引人注目（如圖①），而美妙的蝴蝶輪變不僅帶來生活中的賞心悅目，也展示了極致

的數(shù)學(xué)美學(xué)世界.數(shù)學(xué)家曾借助三角函數(shù)得到了蝴蝶曲線的圖像，探究如下：如圖②，平面上有兩定點(diǎn)。，

A,兩動(dòng)點(diǎn)B,Q,>|OA|=|OB|=I,函繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到麗所形成的角記為6.設(shè)函數(shù)

l,x>0

〃e）=4-sign⑻-sin5。，（一萬萬），其中，sign（x）=<0,尤=0,令p=于⑼,作麗礪隨著6的

-l,x<0

變化，就得到了。的軌跡，其形似“蝴蝶”.則以下4幅圖中，點(diǎn)。的軌跡（考慮糊蝶的朝向）最有可能為（）

【答案】B

【分析】考慮特殊值，用排除法，取。=0，土凡確定質(zhì)的的位置，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)得結(jié)論.

【詳解】先考慮與次共線的蝴蝶身方向，令6=0,土方，麗=-4礪=4次要滿足，故排除4,C；

TT

再考慮與次垂直的方向，令8=5，函=-礪要滿足，故排除

故選：B.

15.（2023秋?云南?高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的

漢族傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史珞久，風(fēng)格獨(dú)特，深受國內(nèi)外人士所喜愛.如圖甲是一個(gè)正八邊形窗花隔

斷，圖乙是從窗花圖中抽象出的幾何圖形示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為2及，又是正八邊

形ABC-DEFG"邊上任意一點(diǎn)，則應(yīng)限詼的最大值為（）

A.30+45歷B.D.24+16應(yīng)

【答案】D

【分析】取AB的中點(diǎn)。，連接M。，通過轉(zhuǎn)化得面.碗=而2-2，則轉(zhuǎn)化為求I麗的最大值，由圖得當(dāng)

點(diǎn)M與點(diǎn)尸或點(diǎn)E重合時(shí)，I標(biāo)I取得最大值，計(jì)算I屈I最值即可.

【詳解】如圖，取A8的中點(diǎn)。連接MO,連接3E,0E,分別過點(diǎn)C,點(diǎn)。作BE的垂線，垂足分別為//,

所以必礪=（礪+弧?頌5+函=須5+兩.（而_函）=破、而=MO2-2，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)尸或點(diǎn)E重合時(shí)，|屈|取得最大值，

易得四邊形CD〃為矩形，ABC7,ADEJ為等腰直角三角形，則〃=2后，

BI=EJ=2,則2E=4+20,B0=6，,

MO取得最大值為BO2+BE2=+（4+2應(yīng)了=26+16近，

所以涼?赤的最大值為24+16&,

故選：D.

二、多選題

16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我國建筑中有一定影響.如圖是受“八

圭卜''的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若。是正八邊形ABCDEFGH的中心，且|通|=1,則（）

FE

A.通■與方能構(gòu)成一組基底B.ODOF=0

C.OA+OC=yj2OBD.ACCD=^

【答案】BCD

【分析】連接3G,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF//BG,可判斷選項(xiàng)A；從而可得

1兀

ZDOF=-x2n=~,可判斷選項(xiàng)B；連結(jié)AC交于點(diǎn)M,可判斷選項(xiàng)C；先判斷出AB_LCD,結(jié)合向

42

量的加法和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】連接BG,CF,由正八邊形的性質(zhì)可知，AH//BG,CF//BG,

所以4/〃C尸，所以A"與C/是共線向量，所以質(zhì)與方不能構(gòu)成一組基底，A項(xiàng)錯(cuò)誤；

17T

XZDOF=-x27t=-,所以前，。幾所以歷.麗=0,B項(xiàng)正確；

42

由上過程可知礪_1_4，連結(jié)AC交于點(diǎn)

在直角三角形。4c中，M為AC的中點(diǎn)，

貝UOA+OC=2OM,

又兩|二由|=當(dāng)兩=與函,

222

所以兩+雙=及赤，C項(xiàng)正確；

1

又正八邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：-（8-2）x7t--,

8'4

jr

延長OC,AB,相交于點(diǎn)N,則NC3N=ZBCN=：,

4

TT

所以/BNC=—,故⑷3，CD,

2

所以樂.歷=（通+而）?麗=麗?函+宓?）=|初|cos（7t-網(wǎng)）=亞，D項(xiàng)正確.

42

故選：BCD.

17.（2022春?廣東揭陽?高一?？茧A段練習(xí)）“圓哥定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)

結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓。的

半徑為2,點(diǎn)P是圓。內(nèi)的定點(diǎn)，且。尸=0,弦AC、8。均過點(diǎn)P,則下列說法正確的是（）

A.而.無為定值B.況.而的取值范圍是[-2,0]

C.當(dāng)時(shí)，荏.歷為定值D.罔的最大值為12

【答案】AC

【分析】根據(jù)題設(shè)中的圓幕定理可判斷AC的正誤，取AC的中點(diǎn)為M,連接OM,利用向量的線性運(yùn)算可

判斷B的正誤，根據(jù)直徑的大小可判斷D的正誤.

【詳解】

如圖，設(shè)直線P。與圓。于E,F.

則而.無=-|P^|PC|=-\EP\\PF\=-(|OE|-|PO|)(|OE|+|PO|)=|PO|2-|EO|2=-2,

故A正確.

取AC的中點(diǎn)為連接則

OA-OC=（OM+MAy（OM+MC^=OM2-MC1

--------，2（-------2\------Q.

=OM-4-OM\=2OM-4,

ffi]0<W2<|C?P|2=2,故函.元的取值范圍是[Y,0],故B錯(cuò)誤.

當(dāng)AC130時(shí)，ABCZ5=（AP+PB）（CP+PD）=APCP+PBPD

=-|A?||CP|-|PB||PD|=-2\EP\\PF\=-4,故C正確.

因?yàn)閨明44,|現(xiàn)44,故“，叫V16,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

18.（2021春?江蘇常州?高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)

的圓心為界，畫出相等的兩個(gè)陰陽魚，陽魚的頭部有陰眼，陰魚的頭部有個(gè)陽眼，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，

互相滲透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律.圖2（正八

邊形ABCDEFGH）是由圖1（八卦模型圖）抽象而得到，并建立如下平面直角坐標(biāo)系，設(shè)。4=1.則下述四

個(gè)結(jié)論，正確結(jié)論是（）

圖1圖2

A.以直線由為終邊的角的集合可以表示為卜￡=『2匕獲Z

JT

B.在以點(diǎn)。為圓心、Q4為半徑的圓中，弦所對(duì)的弧長為:

4

C.麗.歷=正

2

D.而=（-6,-吟

【答案】BD

【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義可判斷A；利用扇形的弧長公式可判斷B；利用平面向量數(shù)量積的定義可

判斷C；利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,以直線而為終邊的角的集合可以表示為=±+左ez1,故A錯(cuò)誤；

TTJTTT

對(duì)于B,ZAOB=~,以點(diǎn)。為圓心、為半徑的圓的弦A3所對(duì)的弧長為/==故B正確；

444

對(duì)于C,由平面向量數(shù)量積的定義可得麗?詬=|詞.|因3,=-白，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,易知點(diǎn).?.法=卜后廠友），故D正確.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題以數(shù)學(xué)文化為背景，解題的關(guān)鍵是熟悉終邊相同的角的集合、扇形的弧長、平

面向量數(shù)量積的定義以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.（2022?甘肅張掖.高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型

圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH,其中Q4=l,則下列結(jié)論正確的有（）

A.OA.OD=-^-

OB+OH=-y/2OE

AHHO=BCBO

向量詼在向量荏上的投影向量為-與§

【答案】ABD

【分析】直接利用向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角的應(yīng)用結(jié)合圖像求出結(jié)果，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可得

出答案.

【詳解】解：圖2中的正八邊形ABCDEFGH,其中|。4|=1,

對(duì)于A:兩?次J=lxlxcos^=-交，故A正確；

42

對(duì)于8：無+麗=血西=-0區(qū)，故B正確；

對(duì)于C：因?yàn)閨麗=|南，質(zhì)|=|的，（網(wǎng)=網(wǎng)）號(hào)，（BC-BO）=y,則

571

汨協(xié)=畫.匹cos（而，網(wǎng)=網(wǎng).西cos——

8

BC-BO=|Bc|.|Bo|cos（BC,BO）=|B^.|B^cosy,所以麗.而工前屈，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)橄?=第，所以向量7正在向量項(xiàng)上的投影向量即為正在通向量上的投影向量

i-j-rvi3>TTAB>/2-=-

\AH\C0S~^'\^=~~AB-故D正確.

故選：ABD.

20.（2020春?廣東東莞?高一校考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定

理則被稱為歐拉線定理.設(shè)點(diǎn)0、G、“分別是金。的外心、重心、垂心，且M為BC的中點(diǎn)，則（）

A.GA+GB+GC=6B.AB+AC=2HM-4MO

C.AH=3OMD.|OX|=|OB|=|OC|

【答案】ABD

【解析】向量的線性運(yùn)算結(jié)果仍為向量可判斷選項(xiàng)A；由GO=^HG可得HG=：H0,利用向量的線性運(yùn)

^AB+AC=2AM=6GM=6（HM-HG）,再結(jié)合加二加+而集合判斷選項(xiàng)B；利用

=而-不存=2兩"-2而=2時(shí)故選項(xiàng)C不正確，利用外心的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)D,即可得正確選項(xiàng).

【詳解】

因?yàn)镚是AABC的重心，。是AABC的外心，H是AABC的垂心,

___1__.

且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，所以GO=-HG,

2

對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)镚是AASC的重心，M為的中點(diǎn)，所以才小=2而彳，

又因?yàn)榍?前=2前，所以而+覺=而，BPGA+GB+GC=6，故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)镚是AABC的重心，/為BC的中點(diǎn)，所以而=2的，

,1__.__?2__?

AM=3GM?因?yàn)镚O=,HG,所以=

AB+AC=2AM=6GM=6（ffi?-HG）=6^W-|HO^

=6HM-4HO=6HM-4iHM+MO）=2HM-4MO,即存+前=2麗-4跖，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：Ml=^G-HG=2GM-2GO=2OM，故選項(xiàng)C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)。是AABC的外心，所以點(diǎn)。到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，BR|OA|=|OB|=|OC|,故選項(xiàng)D正確；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用已知條件GO=]"G得HG=1”。，利用向量的線性運(yùn)算結(jié)

合不存=2前可得出向量間的關(guān)系.

21.（2021?全國?高三專題練習(xí)）奔馳定理：己知。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,AAOB的面積分別

為S”SB,Sc,則名?礪+%?礪+7?。己=0.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)

定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的/ogo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若。、P是銳角

△ABC內(nèi)的點(diǎn)，A、B、C是AABC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足中+而+無=3回，OAOB=OBOC=OCOA^

則（）

Aqqs-4?9?3

4.2&PAB**APBC,

B.ZA+ZBOC=n

C.|OA|:|(?B|:|oc|=cosA:cosB:cosC

D.tanAOA+tanBOB+tanCOC=6

【答案】ABCD

【分析】可+而+無=§5變形后表示為麗=-§西定，再由奔馳定理得出向量而，而，正的關(guān)系，

利用平面向量基本定理判斷A,利用數(shù)量積的運(yùn)算，變形后證明。是“1BC的重心，由平面幾何知識(shí)判斷B,

利用數(shù)量積的定義表示已知數(shù)量積的等式，結(jié)合選項(xiàng)B的結(jié)論可證明C,求出的面

積，利用選項(xiàng)B的結(jié)論轉(zhuǎn)化，再利用選項(xiàng)C的結(jié)論可得面積比，然后結(jié)合奔馳定理可判斷D.

【詳解】因?yàn)槲?而+定=；西，所以西+而+定=g（而一定），即:西+而+?配=小，所以

—?2—?4-.

PB=__PA_—PC,

33

又由奔馳定理S^PBCPA+S^CAPB+S^PABPC=6^~PB=-^?cpA-1^PC,

^APCA^APCA

因?yàn)槲?，正不共線，所以-學(xué)也;-；-14皿=-：,

、4PCAJ^APCAJ

所以：S^pBC-1^APCA—4：2：3,A正確；

延長AO,BO,CO分別與對(duì)邊交于點(diǎn)2瓦尸，如圖，

由力?礪=礪?文得無?（次一反"）=礪m=0，所以O(shè)3_LAC,同理。C_L4?,Q4_L3C,所以。是

AABC的垂心，

所以四邊形AEO77中/區(qū)4C+/EO9=乃，/EOF=NBOC,所以/A+/BOC=%,B正確；

由見礪=礪.詼=而/得網(wǎng)|詞cos/AOB=|網(wǎng)因cos/2OC=|回網(wǎng)cos/AOC,

所以:|（?B|:loci=cosZ.BOC:cosZAOC:cosZAOB,

由選項(xiàng)B得cosZBOC=-cosA,cosZAOC=—cosB,cosZAOB=-cosC,

VJ.|OA|：|^s|：|oc|=cosA:cosB:cosC,C正確；

由上討論知，

SA0BC=||OB||OC|sinZBOC=||OB||OC|sinA,

SMAC=||OA||OC|sinZAOC=||OA||OC|sinB

5AoM=g|OA||O邸inZAO2=JoA||O邸in/C，

_sinAsinBsinC

：

所以XOBC：^AOAC^A0A5=

\A0\'\OB\'\0C\'

又由選項(xiàng)C：|OA|:|(?B|:|oc|=cosA:cosB:cosC,

sinAsinBsinC

得S^OBC*S/\OAC'S40AB=tanA:tanB:tanC,

cosAcosBsinC

由奔馳定理：SA-次+SB?礪+Sc?3=。得tanA?）+tanB?礪+tanC?近=。，D正確.

故選：ABCD.

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，理

解新知識(shí)、應(yīng)用新知識(shí)的能力.解題關(guān)鍵一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法

是唯一的，由此可得等量關(guān)系，二是利用數(shù)量積的運(yùn)算得出。是三角形的垂心，由此利用平面幾何知識(shí)得

出角的關(guān)系，再利用三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo)得出相應(yīng)結(jié)論.

三、填空題

22.（2020秋?四川成都?高一成都七中?？茧A段練習(xí)）早在兩千多年前，我國首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，

就提出了宛田（扇形面積）的計(jì)算方法:“以徑乘周，四而一（直徑與弧長乘積的四分之一）.已知扇形的弧

長為2小面積為6肛設(shè)"+西=2M,則實(shí)數(shù)Z等于.

【答案】百

【分析】先利用扇形的面積公式及弧長公式求出半徑和圓心角，再利用向量數(shù)量的運(yùn)算求出伊+得和網(wǎng),

進(jìn)而可得實(shí)數(shù)彳的值.

【詳解】解：如圖

由扇形面積公式可得6萬=；2%/，得r=6,

2

所以扇形圓心角a=^=q,則440B為等邊三角形，貝U網(wǎng)=6,

X|OA+=4OA+2OAOB+OB=^62+2x6x6x1+62=64,

所以俘+詞=百網(wǎng),即人行

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題考查本題考查扇形的面積公式及弧長公式的應(yīng)用，考查向量模的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

23.（2022秋?四川內(nèi)江.高三四川省隆昌市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬象變化的

古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形一八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰

陽太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦圖.已知正八邊形MCDEFGH的邊長為2,P是正八邊形

ABCDEFGH所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則麗.麗的最小值為.

【答案】-1

【分析】設(shè)M為48的中點(diǎn)，可得出百.而=可/_1，即可求得⑸.而的最小值.

【詳解】設(shè)/為A8的中點(diǎn)，

------?k/?*\/*?\/**\/**\?2*2

PAPB=\PM+MA^-^PM+MB^=(^PM+MAj\PM-MAj=PM-MA=PM

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸為線段A3的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故麗.麗的最小值為-L

故答案為：-1.

24.（2022秋?全國?高二校聯(lián)考開學(xué)考試）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為

《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.

類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大

等邊三角形，且。尸=2AP,點(diǎn)/為A3的中點(diǎn)，點(diǎn)P是QEF內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，SLMP=XMD-MB,

則A的最大值為.

【答案】2

【分析】由題設(shè)礪=-藍(lán)A，易得入癡＞=癡+而=希-赤=q，過4作的平行線交￡?于點(diǎn)。，即

可判斷P與。重合時(shí)4的值最大，進(jìn)而求最大值.

【詳解】由標(biāo)=2礪一通得：MP+MB=AMD，

又M為A3的中點(diǎn)，所以礪=-麗5，

所以赤-赤=麗=彳而，過A作必）的平行線交ED于點(diǎn)。

當(dāng)尸與。重合時(shí)，入的值最大.

因?yàn)镸為的中點(diǎn)，且MD〃AQ,

所以。為8。的中點(diǎn)，此時(shí)而=2礪,

所以彳的最大值為2.

25.（2022?全國?高三專題練習(xí)）中國文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解釋自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖（1）

是八卦模型圖，將共簡(jiǎn)化成圖（2）的正八邊形ABCD石FGH，若AB=1,貝!]*.而=______________

卜'E

輟―

、二AB

圖⑴圖⑵

【答案】亞+2##2+0

【分析】在四。3中由余弦定理求出進(jìn)而可得AE,AC,再由數(shù)量積的定義求解即可

360°

【詳解】在^403中，設(shè)Q4=O3=x,ZAOB=—=45°,

8

貝#+/一2dcos45o=l,所以尤2="正，

2

又ZAOB=ZBOC=45°,

所以ZAOC=90°,ZOAC=ZOCA=45°,

所以AE=2x==血x也+,，AC=JOA2+OC2==^2+\/2,

所以前.通二時(shí).詞cos45。-,2+血x及x,2+0x立

=2+72

故答案為：2+五

E

AB

26.(2022春?福建泉州?高一?？计谥?著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理

被稱為歐拉線定理.已知AABC的外心為。，重心為G,垂心為H,M為BC中點(diǎn)，且AB=5,AC=4,則

下列各式正確的有.

?AGBC=-3?AOBC=-6

?OH=OA+OB+OC?AB+AC^4OM+2HM

【答案】①③④

【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則以及平面向量的數(shù)量積的定

義及運(yùn)算律逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.

__.2?1.

【詳解】對(duì)于①，AABC重心為G,^AG=-AM=-(AB+AC),

-.---?1---?--------?---?1----2,------2.1

故AG-BC=§(A3+AC)(AC-A8)=§(AC-AB)=-(16-25)--3,故①正確；

對(duì)于②，"LBC外心為。，過三角形ABC的外心。分別作AB、AC的垂線，垂足為E,易知。、E分別

是AB、AC的中點(diǎn)，AO-AB——AB——,AO-AC=—AC=8

222

—.—.—.―.—.259

AOBC=AO(AC-AB)=S--=--,故②錯(cuò)誤；

8MC

對(duì)于③，由歐拉線定理得2加=麗，BPOH=3OG＞又有G4+屈+元=0，

^OA+OB+OC=(OG+GA)+(OG+GB)+(OG+GC)=3OG+GA+GB+GC=3OG，OH=OA+OB+OC,

故③正確；

________________2__.