2024-2025學(xué)年天津某中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年天津一中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.集合力={x|-1<x<3},B={-2,-1,0,2,4},則（CR4）nB=（）

A.{-2,-1,4}B.{-1,2}C.{-2,4}D.0

2.設(shè)xeR,貝!J"log?久<1"是+x—6<0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)y=（2x-s譏龍）?2-因的圖象可能是（）

4.某校1000名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，隨機(jī)抽取了20名學(xué)生的考試成績(jī)（單位：分），成績(jī)的頻率分布直方

圖如圖所示，則下列說法正確的是（）

A.頻率分布直方圖中a的值為0.004

B.估計(jì)這20名學(xué)生考試成績(jī)的第60百分位數(shù)為75

C.估計(jì)這20名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的眾數(shù)為80

D.估計(jì)總體中成績(jī)落在［60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為150

5.已知小，71為兩條不同的直線，a,0為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）

A.mua,riua,m//pfn//p=>a//p

B.n//m,n1am1a

C.m1a,m1n=>n//a

D.a//S，znua,九u￡=m//n

-1

6.已知？。=仞2,b=lg(Zn2),c=In-,貝！Ja,b,c的大小關(guān)系是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.b<c<a

7.將函數(shù)/(x)=sin2x圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的(縱坐標(biāo)不變，再將所得的圖象向右平移令個(gè)

單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)9(?的圖象，則()

A.歷(初的最小正周期為513.9(久)的圖象關(guān)于直線尤=答對(duì)稱

C.gQ)在(-/向上單調(diào)遞增D.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)向,0)對(duì)稱

8.拋物線/=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線《一號(hào)=1的漸近線相交于4、B兩點(diǎn)，若AABF的

周長(zhǎng)為4，1,貝陰=()

A.2B.2/2C.8D.4

9.如圖，過圓。外一點(diǎn)P'作圓的切線P'4P'B,切點(diǎn)分別為4,B,現(xiàn)將APTIB沿4B折起到APAB,使點(diǎn)P

1BD1

A.2-2-

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.已知i是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)粵的結(jié)果為.

11.二項(xiàng)式(/-2)5的展開式中含工的系數(shù)為—.

12.已知實(shí)數(shù)a>0,b>0,a+b=l,則2。+2b的最小值為

13.袋子中裝有n個(gè)白球，3個(gè)黑球，2個(gè)紅球，已知若從袋中每次取出1球,

N

取出后不放回，在第一次取到黑球的條件下，第二次也取到黑球的概率為

I，貝切的值為—，若從中任取3個(gè)球，用X表示取出3球中黑球的個(gè)數(shù)，則\X

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=—.'

14.如圖，在邊長(zhǎng)1為正方形力BCD中，M,N分別是BC,CD的中點(diǎn)，則祠?

AC=，若前=4前+〃麗，貝1」4+“=.力'

15.已知函數(shù)/⑶={1nHi'"(J。，則?(!>)=；若/⑺在尤6(a,|)既有最大值又有最小值，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

三、解答題：本題共4小題，共48分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題12分)

△ABC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且73(。？+c?—/)=2bcs譏4.

(I)求角B的大??；

(II)若cosA=],求sin(24—B)的值.

17.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—2BCD中，底面48CD為矩形，PD1平面ABC。，AB=4,PD=AD=2,點(diǎn)E在線段

4B上，S.AE=^AB.

(I)求證：CE1平面PBD；

(II)求直線P4與平面PCE所成角的正弦值；

(III)求平面8CE與平面PCE的夾角的余弦值.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/(久)—ex+ax(aGR),g(x)=ln(x+1).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)(0,1)處的切線；

(2)若/(久)>1一9(久)對(duì)任意的萬￡[0,+8)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.(本小題12分)

已知橢圓C；今+方=l(a>6>0)的禺心率為右焦點(diǎn)為F(2,0).

(1)求橢圓方程；

(2)過點(diǎn)F的直線/與橢圓交于4B兩點(diǎn)，線段4B的垂直平分線與直線x=3交于點(diǎn)C,△ABC為等邊三角

形，求直線/的方程.

參考答案

1.71

2.A

3.C

4.0

5.B

6.C

7.C

8.X

9.D

10.1+5i

11.-270

12.272

13.2?

14。一目

2**5

15.—1；；[-3,-1]

16.解：(I)由余弦定理爐—a2+c2-2accosB,則a?+c2—b2=2accosB,

又，^(a2+c?—爐)=26cs出4,所以2，^accosB=2bcsin4,BP-\A3acosB=bsinA,

由正弦定理可得4cosB=sinBsinA,因?yàn)閟inA>0,

所以CcosB=sinB,則=又0<B<兀，所以B=?

(II)因?yàn)閏os4=I，0<X<y,所以sinA=V1-cos2X=有二

所以sin2a=2sinAcosA=2x1X,cos2A=2cos2A—1=—，

所以sin(24—B)=sin2AcosB—cos2AsinB=X￡+：X空=

9292彳，l？o呼

17.(/)證明：PD1平面4BCD,CEu平面

P

ABCD,：.PDICE,???AB=4,AE=^AB,

4

.■.AE=3,BE=1,.?.黑=黑=2,ARt△

ADBE

CBEsRtABAD,

BD1CE,PD_LCE,PDDBD—D,y

CE_L平面PBD,

(II)解：???PD1平面力BCD,4Du平面

ABCD,CDu平面ABCD,

：.PD1AD,PDLCD,???ABC。為矩形，AD1CD,

AD,CD,PD兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),4(2,0,0),

~pc=(0,4,-2),CE=(2,-1,0),

設(shè)平面PCE的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

則E至=2X7=0,令>1,貝物=2,z=4,

平面PCE的一個(gè)法向量為元=(1,2,4),

又西=(2,0,-2)-

設(shè)直線P4與平面PCE所成角為8,

.八,，一、?I同畫|2-8|742

stnd=\cos<PA，n>1=南通=商不反=年；

(III)vPD_L平面ABCD,取平面BCE的法向量為沅=(0,0,1),

rnrl一療rn>>—nm—4—4V21

則rcnoQs<m>一哂—-

所以二平面BCE與平面PCE的夾角的余弦值為筆1

18.解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(%)=?*+%,ff(x)=ex+1,

所以尸(0)=e°+l=2,故/(%)在點(diǎn)(0,1)處的切線為y—l=2%,即2%—y+l=0.

(2)/(%)>1—g(x),即e*+a%+In(%+1)—1>0在%E[0,+8)上恒成立，

設(shè)h(%)=ex+ax+ln(x+1)—1,注意到h(0)=0,

11

/iz(x)=ex+a+up令(p(x)—//(%)=e*+a+二p

則“(%)=ex------^在汽G[0,+8)為增函數(shù)，且d(0)=0,

(%+1)

所以(//(%)>0恒成立，即0(%)=h'(x)=ex+a單調(diào)遞增,

其中0(0)=九'(0)=。+2,

若。之一2,則伊(%)=/(%)之0恒成立,此時(shí)h(%)單調(diào)遞增，又%(0)=0,所以h(x)>。恒成立,

即短+a%+In(%+1)—1>0在汽G[0,+8)上恒成立，即結(jié)論成立；

若a<—2,則0(0)<0,

又以ln(-a))=〃(ln(-a))=0皿-。)+a+>°，

故由零點(diǎn)存在性定理可知，在(0,ln(—a))內(nèi)存在久。，使得9(&)=0，

當(dāng)％E(O,%o)時(shí)，0(%)="(%)<0,所以九(%)單調(diào)遞減，又九(0)=0,

所以當(dāng)％e(O,%o)時(shí)，九(%)v0，即f(%)<1-g(%),不合題意，舍去；

綜上：實(shí)數(shù)a取值范圍是[-2,+8).

19.解：(1)由題意可得e=；=*,c=2,解得。=喝，

由Z?2=小一。2,...按=2,則橢圓C的方程為土+斗=1.

(2)當(dāng)直線為%軸時(shí)，易得線段的垂直平分線與直線％=3沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；

當(dāng)48所在直線的斜率存在且不為無軸時(shí)，設(shè)該直線方程為y=k(x-2)(/c,力0),A(x1,y1),B(x2,y2),

y=fc(x—2)

聯(lián)立％2y2,消去y可得(3/+1)%2一]2憶2%+12々2一6=0,

匕+彳=1

22

4=144k4-4(3fc+l)(12fc-6)=243+1)>o,

所以久】+比2=黑'/比2=暮'