2025年廣東省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年廣東省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

—2久2,x>0,

1.(5分)己知/(%)=則不等式/（X+3）</（?+3x）的解集是（）

仇(1—%)/%<0/

A.(-3,1)B.(0,1)

C.(-8,-3)U(1,+8)D.(1,+°°)

。+匕

2.(5分)右x=ln------,y=(Ina+lnb),z=y/lna-Inb，貝！J()

2

A.x<zVyB.yVzVxC.z<.x<.yD.z<y<x

3.（5分）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形

態(tài)有關(guān)在如圖分布形態(tài)中，a,b,c分別對(duì)應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是

()

C.c〈b〈aD.c<a<.b

4.(5分)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則一z=(

z-z

111

A.-—iB.——iC.-+iD.-77+i

222

5.（5分）如圖所示，在平行六面體ABC。-A向CLDI中，N為ACi與BLDI的交點(diǎn)，M為。Di的中點(diǎn),

T——>T7->

)

若ZB=a,AD=b,AAr=c,則MN=(

ITL1一171-1->

A--a+-b-^-cB.-a--b+-c

222222

ITLIT1T1-1T

C.-a+~b—~cD.-a——b—-c

222222

6.（5分）安排4名男生和3名女生去參加甲、乙兩個(gè)不同的社團(tuán)活動(dòng)，每個(gè)社團(tuán)至少3人，且社團(tuán)甲的

男生數(shù)不少于社團(tuán)乙的男生數(shù)，則不同的參加方法種數(shù)是（）

A.31B.53C.61D.65

7.（5分）己知外是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，。3+。5+。7+。9=12,則511=（）

A.22B.33C.40D.44

8.（5分）關(guān)于函數(shù)/⑶=#一#一2%+1,下列說法正確的是（）

①曲線＞=/（無）在點(diǎn)（3,f（3））處的切線方程為8x-2y-25=0；

@f（%）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

③若y=/（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的范圍是（一〈，的；

④/'（%）在（-1,1）上單調(diào)遞減.

A.①④B.②④C.①②③D.①③④

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

（多選）9.（6分）已知函數(shù)/'（x）=/爐——2%+1,則函數(shù)/（x）（）

A.單調(diào)減區(qū)間為（-2,1）

B.在區(qū)間［-3,3］上的最小值為一苧

C.圖象關(guān)于點(diǎn)弓，-條）中心對(duì)稱

D.極大值與極小值的和為一

（多選）10.（6分）函數(shù)/（x）=Asin（u）x+（p）（A＞0,a）＞0,-n＜（p＜0）的部分圖象如圖所示，則下

列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/（x）的最小正周期7二*

B.函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線%=亨+竽（kEZ）對(duì)稱

71

C.把函數(shù)/（x）的圖象向左平移石個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g（%）=Asina）x的圖象

D.f（x）在［0,旬上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

y2

（多選）11.（6分）已知橢圓C：—+77=1（6>。）的左右焦點(diǎn)分別為四、F2,點(diǎn)、Pm,1）在橢圓內(nèi)部,

4

點(diǎn)Q在橢圓上，橢圓。的離心率為e,則以下說法正確的是（）

A.離心率e的取值范圍為（0,

B.當(dāng)e=￥時(shí)，|。為|+|。目的最大值為4+乎

—>—>

C.存在點(diǎn)。，使得QF1?QF2=O

11

D.-------十，的最小值為1

\QF1\IQF2I

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(5分)已知函數(shù)/(%)=Zn(x+1)-^,g。)=%+Zn^(m>0),且/(xi)=g(%2)=0,則號(hào)亮詈

的最大值為.

13.（5分）已知函數(shù)無）=Asin（3x+（p）（A>0,w>0,0<cp<n）的部分圖象如圖所示.若在△BCD

中，CD=陋,=V3,則△BCD面積的最大值為

14.(5分)已知函數(shù)/(%)=a(x-xi)(x-%2)(%-%3)（a>0）,設(shè)曲線無）在點(diǎn)（xi,f（xi））處

切線的斜率為后?（，=：!,2,3）,若劉，及，后均不相等,且fe=-2,則h+4fa的最小值為

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

1

15.(13分)已知全集為R,集合A={x|0V2x+aW3},B={x\-^<x<2].

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，求AUB；

（2）若求實(shí)數(shù)a的范圍.

16.（15分）2023年10月22日，2023襄陽馬拉松成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要

保障，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第

一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95］,繪制成如圖所示

的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相同.

(1)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù).

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本次宣傳者.若本次宣傳者中第二組面試者的

面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40,第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和70,

據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的方差.

頻率

17.(17分)函數(shù)“切=Bs譏(3%+軟3>0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C

為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形.

(1)求3的值;

(2)若/(刀0)—3M,且xoe(0,1),求/'(%()—R的值；

(3)求關(guān)于x的方程“X)=搭在［0,2024］上的最大根與最小根之和.

瓜(15分)已知橢圓。：記=1(4Q。)的離心率為了，。的長(zhǎng)軸是圓C2：/+廿=2的直徑.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過橢圓C1的左焦點(diǎn)廠作兩條相互垂直的直線/1,12,其中/1交橢圓C1于P,0兩點(diǎn)，/2交圓C2

于M,N兩點(diǎn)，求四邊形PMQV面積的最小值.

19.(17分)設(shè)數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為S”已知及=2,Sn=/迎，令狐=。濁.

(1)求｛外｝的通項(xiàng)公式;

(2)當(dāng)“eN*時(shí)，bn^bk,求正整數(shù)依

(3)數(shù)列｛m｝中是否存在相等的兩項(xiàng)？若存在，求所有的正實(shí)數(shù)x,使得｛加｝中至少有兩項(xiàng)等于x；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

2025年廣東省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.(5分)已知/(%)=(—2，'則不等式/(x+3)</(X2+3X)的解集是()

Un(l-x),x<0,

A.(-3,1)B.(0,1)

C.(-8,-3)u(1,+8)D.(1,+8)

【解答】解:由題意知，當(dāng)無W0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)尤>0時(shí)，/(無)單調(diào)遞減，且尤=0時(shí)函數(shù)連

續(xù)，

所以無)在R上單調(diào)遞減，

故不等式/(x+3)</(X2+3X)等價(jià)于1+3>冗2+3%,即W+2X-3V0,

角軍得-3VxVl,

所以原不等式的解集為(-3,1).

故選：A.

a+b1_______

2.(5分)右〃>Z?>1,x=ln-----，y=?(Ina+lnb),z=VIna-Inb,貝!J()

22

A.xVzVyB.yVzVxC.z<x<yD.z<y<x

【解答】解：

1,—a+b.

y=2(lna+l〃b)=ln7ab<ln~~=x,.\y<x.

1_______

又y=2(Ina+lnb)>7Ina-Inb=z,

.\y>z,

綜上可得：zVyVx.

故選：D.

3.(5分)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形

態(tài)有關(guān)在如圖分布形態(tài)中，。，b,c分別對(duì)應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是

A.a〈b〈cB.b〈a〈cC.c〈b〈aD.c〈a〈b

【解答】解：根據(jù)題意，由數(shù)據(jù)分布圖知，

數(shù)據(jù)的眾數(shù)為C,眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)C為右起第二個(gè)矩形下底邊的中點(diǎn)值,

數(shù)據(jù)的中位數(shù)為c,直線x=6左右兩邊矩形面積相等，而直線x=c左邊矩形面積大于右邊矩形面積,

則b<c,

數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a,由于數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，則平均數(shù)a小于中位數(shù)乩即

所以a<b<c.

故選：A.

4.（5分）已知復(fù)數(shù)z=2+i,則—=()

z-z

11

A.B.--iC.-+iD.一不+i

22

【解答】解：???z=2+i,

z2-i2—i2i—i2i+l1

——i

z—z2+i-(2—i)2i2i-22

故選：A.

5.（5分）如圖所示，在平行六面體ABCQ-ALBCLDI中，N為4。與BLDI的交點(diǎn)，M為。。1的中點(diǎn),

TTT—TT則嬴=（）

c,

1-LITI-L1一

A.-a+-b+-cB.-a--b+~c

222222

ITLITITLIT

C.—a+-b--cD.—a——b——c

222222

【解答】解:因?yàn)镹為A1C1與BiDi的交點(diǎn),

所以—>=於1遇—>1+緲石

[T]T

=-2Ao+2AB=—2b+]a,

故MN=DiN-DiM=—卻+R—（一和）=-p+jc.

故選：B.

6.（5分）安排4名男生和3名女生去參加甲、乙兩個(gè)不同的社團(tuán)活動(dòng)，每個(gè)社團(tuán)至少3人，且社團(tuán)甲的

男生數(shù)不少于社團(tuán)乙的男生數(shù)，則不同的參加方法種數(shù)是（）

A.31B.53C.61D.65

【解答】解：以社團(tuán)甲中的人數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，則可分為兩類：第一類是社團(tuán)甲有3人，第二類是社團(tuán)甲

有4人.

當(dāng)社團(tuán)甲有3人時(shí)，可以分為2男1女和3男0女兩種情況，

所以此時(shí)不同的參加方法有盤廢+盤=18+4=22（種）；

當(dāng)社團(tuán)甲有4人時(shí)，可以分為2男2女、3男1女和4男0女三種情況，

所以此時(shí)不同的參加方法有廢或+盤盤+盤=18+12+1=31（種）.

由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的不同的參加方法種數(shù)是22+31=53.

故選：B.

7.（5分）已知%是等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，03+45+47+49=12,則511=（）

A.22B.33C.40D.44

【解答】解：解法一：因?yàn)椋浚堑炔顢?shù)列，

所以。3+。5+。7+。9=2。4+2。8=446=12,

則“6=3,所以Sil==11；2a6==33

解法二：設(shè)等差數(shù)列｛板｝的公差為心

則由。3+。5+。7+。9=12得，4（ai+5d）=12,得。i+5d=3,

1

所以S11=11%+Jx11x10d=11（的+5d）=33.

故選：B.

8.（5分）關(guān)于函數(shù)〃＞）=#—"—2x+l,下列說法正確的是（）

①曲線y=/（x）在點(diǎn)（3,f（3））處的切線方程為8x-2y-25=0；

@f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

③若y=f（x）-根有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)相的范圍是（―〈，的；

④/'（x）在（-1,1）上單調(diào)遞減.

A.①④B.②④C.①②③D.①③④

【解答】解：函數(shù)/(久)=/久3—32—2x+L求導(dǎo)得/(X)-X-2=(x+1)(X-2),

對(duì)于①，/'(3)=4,而/⑶=—表則切線方程為y+*=4(x—3),即8x-2y-25=0,①正確；

對(duì)于②，/(—3)=—竽/(3),則/(無)的圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，當(dāng)x<-1或無>2時(shí)，(x)>0；當(dāng)-l<x<2時(shí)，/(x)<0,

即函數(shù)/(x)在(-8,-1),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,2)上單調(diào)遞減，

因此函數(shù)/(x)在x=-1處取得極大值/(一1)=甘，在尸2處取得極小值/(2)=-3

函數(shù)y=/(x)-m的零點(diǎn)，即直線>=根與函數(shù)y=/(%)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

因此當(dāng)直線尸根與函數(shù)y=/(x)圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，me%,③正確；

對(duì)于④，/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，④正確.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

11

(多選)9.(6分)已知函數(shù)/(%)=耳/——2%+1,則函數(shù)/(%)()

A.單調(diào)減區(qū)間為(-2,1)

B.在區(qū)間［-3,3］上的最小值為-苧

C.圖象關(guān)于點(diǎn)—先)中心對(duì)稱

D.極大值與極小值的和為一

6

【解答】解：對(duì)于A,/(x)=|x3-1x2-2x+l,

故，(無)—X1-x-2=(x-2)(尤+1),

所以在(-8,-1)和(2,+8)上，f'(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

在(-1,2)上，f(無)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由A知，函數(shù)“無)的極大值為/(一1)=—?2+2+1=今

極小值f(2)=葭一2-4+1=-L

則/(一1)+〃2)=-專1故。正確;

Q12

對(duì)于b/(-3)=-9-:+6+1=-^</(2),

1Q

結(jié)合函數(shù)在［-3,3］的單調(diào)性可知：/(%)血譏=/(-3)=-竽，故3正確；

11

對(duì)于C,f(1—%)=@(1-%)3—1(1—%)2—2(1—X)+1,

11111

所以/(I-%)+f(%)=W(1—%)3—1(1—%),—2(1—%)+1+可爐—2%2—2%+1=—

故函數(shù)了(無)圖象關(guān)于點(diǎn)8，一條)中心對(duì)稱，故C正確.

故選：BCD.

(多選)10.(6分)函數(shù)/(%)=Asin(o)x+(p)(A>0,a)>0,-n<(p<0)的部分圖象如圖所示，則下

列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)/(x)的最小正周期T=*

B.函數(shù)/(%)圖象關(guān)于直線%=為+孚(kEZ)對(duì)稱

71

C.把函數(shù)/(%)的圖象向左平移石個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(%)=Asino)x的圖象

D./(x)在［0,上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【解答】解：根據(jù)函數(shù)/(%)=Asin(o)x+(p)(A>0,a)>0,-n<(p<0)的部分圖象，

T7171Tl

可得A=2,—=—=一+—,3=2.

2336

結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得2xg+(p=。???(p=—孩.

3丁，TO

故函數(shù)/(%)=2sin⑵一看)，故A錯(cuò)誤.

令2x-看=%TC+,女GZ,求得x=+等依Z,可得函數(shù)/(x)圖象關(guān)于直線l=§+(kEZ)對(duì)稱,

故5正確.

71

把函數(shù)/(X)的圖象向左平移不個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=2sin2x的圖象，故C正確.

根據(jù)/(無)在［0,上恰有3個(gè)零點(diǎn),2X-1G［-1,3a-/

可得2jrV3q—[<3n,求得---VzV

61818

137r197r

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是（---，----）.

1818

故選：BC.

%2-y2

（多選）11.（6分）已知橢圓C：—+片=1（6>0）的左右焦點(diǎn)分別為為、F2,點(diǎn)P（段,1）在橢圓內(nèi)部,

4

點(diǎn)。在橢圓上，橢圓。的離心率為e,則以下說法正確的是（）

A.離心率e的取值范圍為（0,

B.當(dāng)e=￥時(shí)，IQF1I+IQPI的最大值為4+9

—>―?

C.存在點(diǎn)。，使得QFI?QF2=0

11

D.-------+的最小值為1

lQFi||QF2|

21

【解答】解：對(duì)于A項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)。（四，1）在橢圓內(nèi)部，所以二+/<1，得2<廬<4,

4b4

所以得：e=、e(0,,故A項(xiàng)正確;

對(duì)于B項(xiàng)：由橢圓定義知|。"+|。尸|=4-\QF2\+\QP\,

當(dāng)。在x軸下方時(shí)，且尸，Q,五2三點(diǎn)共線時(shí)，|。八|+|。尸|有最大值4+IPBI，

由e=￥=*得?=苧，尸2（苧，0）,所以得IPF2I=J（或一￥尸+1=苧,

所以1。為1+1。尸1最大值4+苧，故8項(xiàng)正確;

對(duì)于C項(xiàng)：設(shè)。（x,y）,若QF1,QF2=0,即：（-c-x,-y）*（c-x,-y）=0,

則得/+/=02,即點(diǎn)。在以原點(diǎn)為圓心，半徑為C的圓上，

又由A項(xiàng)知：e=3€（0,￥），得?=ea=e（0,V2）,

又因?yàn)?<廬<4,得2）,

所以得：c<6,所以該圓與橢圓無交點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)：由橢圓定義得。乃|+|。/2|=20=4,

11111

所以=4,+IQ^)(I<2F11+及01)

_；2+也+也)>工(2+2IQ^L,I

一4(2+M|+航1)24(2+2WT=1,

當(dāng)且僅當(dāng)I。尸1|=|QR|=2時(shí)取等號(hào)，故。項(xiàng)正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

IT)VXQCX-I+1)

12.(5分)已知函數(shù)/(%)=仇(％+1)一訐0(%)=%+in—(m>0),且/(xi)=g(x2)=0,則一em-i~

的最大值為1.

【解答】解：由/(xi)=g(%2)=0,可得,Qq+1)-%.1=0,x2+In景=0=zn=(%i+l)Zn(x1+

X2

1)=x2e,

因?yàn)閙>0,所以xi+l>l,x2>0,顯然e*2>i,

X2X2X2

由(%1+1)》+1)=x2e=elne,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=xlnx(x>l)=g'(x)=l+lnx>0=>g(x)在(1,+°°)上單調(diào)遞增，

X2X2X2

由(％i+l)Zn(x1+1)=x2e=elne=>g(x*+1)=g(e*2),

而g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以有％i+l=e%2,

,,,,%(Xi+1)xeX2mrn1—m

因此2:T=布2■=設(shè)h(m)=護(hù)(機(jī)>0)^h(jn)=產(chǎn)r

當(dāng)相>1時(shí)，h'(m)<0,h(m)單調(diào)遞減，

當(dāng)0＜相＜1時(shí)，h'(m)＞0,h(m)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)m=l時(shí)，函數(shù)h(m)有最大值，即〃(m)max=h(1)=1,

故答案為：1.

13.(5分)已知函數(shù)/(x)=Asin(u)x+(p)(A>0,co>0,0<(p<n)的部分圖象如圖所示.若在△BCD

T7T7127r.

【解答】解———=—,.*.0)=2,

31243

又s譏(2x$+g)=L0<(p<7i,.9.(p=

又As譏5=遮，，A=2.

,.,/(f)=V3,/.sin(B+1)=~,又：.B=

設(shè)角B,C,D的對(duì)邊為b,c,d,則b1=c1+d2-eddied-cd,當(dāng)且僅當(dāng)c=d=舊時(shí)等號(hào)成立.

??SABCD=]cdsiTiB4~~,

3\/3

ABCD面積最大值為—.

4

故答案為：~~~-

4

14.(5分)已知函數(shù)/(%)—a(x-xi)(x-X2)(x-X3)(〃>0),設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(羽，f(x/))處

切線的斜率為k?(1=1,2,3),若XI,X2,X3均不相等，且尬=-2,則匕+4依的最小值為18.

【解答】解：/(%)=〃(x-X1)(X-X2)(%-X3)(〃>0),即為/(x)=〃口3-x2(XI+X2+X3)+X(X1X2+X2X3+X1X3)

-X1X2X3]，

可得/(x)的導(dǎo)數(shù)為/(x)=a[3j?-2x(X1+X2+X3)+(X1X2+X2X3+X1X3)],

貝Ijk2=仇3嫌一2X2(X1+X2+X3)+(X1X2+X2X3+X1X3)]=〃(X2-XI)(X2-13)=-2,

由〃>0,可得（XLX2）（X2-X3）>0,

2（巧一％3）

kl=a(XI-X3)(XI-X2)=

%2一%3

2（巧一工3）

ki=a(X3-XI)(X3-X2)=

%1一%2

則3=碧F+號(hào)套=23-X3）（卷+卷）=2回-X2）+（X2-X3）］（S+七）

=2[5+』+曳七沿

%2-%3xl-x2

r2y[a,r

22(5+4)=18,當(dāng)且僅當(dāng)衛(wèi)士--------，即Xl-X2=2(X2-X3)=±----時(shí)，取得等號(hào).

%2一久3x-i-x7a

故答案為：18.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

1

15.(13分)已知全集為R,集合A={x|0V2x+〃W3},B={x\-^<x<2].

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求AUB；

(2)若AG5=A,求實(shí)數(shù)〃的范圍.

【解答】解：(1)。=1時(shí)，A=[x\-^<x<1},且B={x\x<—或x>2],

'.A\JB={x\x<1>2}；

/c、/IciCL7,3—a、c,1)w

(2)A={x|-2<x4一2~}，B=r{%|-2<x<^2},

VAnB=A,

：.AQB,

,解得-1<aW1,

：.a的取值范圍為(-1,1］.

16.(15分)2023年10月22日，2023襄陽馬拉松成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要

保障，某單位承辦了志愿者選拔的面試工作.現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第

一組［45,55),第二組［55,65),第三組［65,75),第四組［75,85),第五組［85,95］,繪制成如圖所示

的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3,第一組和第五組的頻率相同.

(1)估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù).

(2)現(xiàn)從以上各組中用分層抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本次宣傳者.若本次宣傳者中第二組面試者的

面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為62和40,第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為80和70,

據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的方差.

頻率

0.045.................1~?

0.020

455565758595分?jǐn)?shù)

lOcz+10b=0.3,

【解答】解：(1)由題意可知

10X(0.045+0.020+a)=0.7,

a=0.005,

lb=0.025,

可知每組的頻率依次為。05,0.25,0.45,0.2,0.05,

所以這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)為：

50X0.05+60X0.25+70X0.45+80X0.2+90X0.05=69.5；

(2)設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)分別為元1，元2,方差分別為歐，S2

且各組頻率之比為：

(0.005X10)：(0.025X10)：(0.045X10)：(0.02X10)：(0.005X10)=1：5：9：4：1,

所以用分層抽樣的方法抽取第二組面試者X20=5人,

1+5+9+4+1

4

第四組面試者x20=4人,

1+5+9+4+1

5x62+4x80

則第二組和第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)為元==70,

9

第二組、第四組面試者的面試成績(jī)的方差為:

5454

22

--1+----2

9(xt999X[70+(80-70)]=亨，

400

故估計(jì)第二組、第四組面試者的面試成績(jī)的方差是亍.

17.(17分)函數(shù)/(X)=gsM(3久+軟3>0)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，A為圖象的最高點(diǎn)，B、C

為圖象與x軸的交點(diǎn)，且△ABC為正三角形.

(1)求3的值；

(2)若/(&)=等，且xoe(0,1),求/(久。一》的值；

(3)求關(guān)于x的方程f(x)=亭在[0,2024]上的最大根與最小根之和.

【解答】解：(1):正三角形的高為聲,

:.BC=2,

函數(shù)/(無)的周期T=2X2=4,可得3=竿=今

(2),."&)=攀由⑴有fQo)=百si嗚&+芻=等,

日口.兀11.，n7T、3-.TC

即5，?1石=2<51幾(2%0+不)=耳<—SITL

.7TTCTC57r

而由XOE(0,1),知3X0+56(3，-)?

TCTC27T57r

x+zG(vT%

?'■Z~o33b

_4

cosXQ+手)=一寧

—3=V3sin(^x0—今+今

=V3sin[(^x0+?)-?]

=V3[sm(^-x0+芻cos,-cosg%o+譏勺

=B(|x孝+gX孝)

_7V6

=~To;

(3)*.'/(%)=V3sin(^%+金,

TTTCTC303771.

當(dāng)xG[0,2024],-%G[j/

設(shè)〉=仔與/(%)=V5sinG%+5)(xe[0,2024])的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)最小為xi,最大為必

717171_717157r

^y/3siTi(^x+苧)=貝%+-=-+2/CTT或-x+-=—+2kn,(keZ),

236236

解得久=一力+4k或x=l+4Z,(teZ),

則當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，xi=l+4X0=l最小,

當(dāng)且僅當(dāng)上=506時(shí)，上=—#1506x4=2023(7最大，

97

即此方程在工[0,2024]內(nèi)所有最小根為1,最大根為2023條兩個(gè)之和為2024余

第2y2

18.(15分)已知橢圓Ci：—+—=1Ca>b>0)的離心率為一，C1的長(zhǎng)軸是圓C2：/+/=2的直徑.

a2b22

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過橢圓C1的左焦點(diǎn)尸作兩條相互垂直的直線/1,12,其中/1交橢圓C1于P,。兩點(diǎn)，/2交圓C2

于M,N兩點(diǎn)，求四邊形尸MQV面積的最小值.

【解答】解：(1)由2a=2a，得°=夜，

由e=3=號(hào)，得c=l,所以b=l,

所以橢圓的方程為萬+y2=l.

(2)由(1)可得尸(-1,0),

①當(dāng)過點(diǎn)廠的直線人的斜率不存在時(shí)，|MN=2VL|尸0|=夜，

所以S四邊形PMQN=^MN\\PQ\^2X2&x&=2,

②當(dāng)過點(diǎn)F的直線A的斜率為0時(shí)，|MM=2,\PQ\=242,

11