北京市某中學(xué)高三年級上冊10月月考數(shù)學(xué)試題

北京一零一中20232024學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要

求的一項.

1,已知集合“NTT，。」，2},N=W—x—6訓(xùn)，則“N=()

A.{-2,-1,0,1}B,{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據(jù)交集的運算解出.

方法二：將集合”中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出.

【詳解】方法一：因為N={x,—x—6N0}=(—嗎―2]U[3,+8)，而加={—2,—1,0,1,2},

所以McN={-2}.

故選：C.

方法二：因為加={-2,-1,0,1,2},將一2,-1,0,1,2代入不等式V—尤—620,只有—2使不等式成立，

所以VcN={—2}.

故選：C.

2.下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

1

A.y=x3B.y=一

x

C.y=9-X2D.'=國

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性確定正確答案.

【詳解】y=xa\y=上1是奇函數(shù)，不符合題意.

X

y=9-爐在(0,+8)上單調(diào)遞減，不符合題意.

y=N是偶函數(shù)，且,=忖=<X；；：0，

所以y=國在(0,+8)上單調(diào)遞增.

故選：D

cihC

3.已知AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若---=------=------,則AABC是

cosAcosBcosC

()

A.鈍角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】先由正弦定理得tanA=tanB=tanC,進而得至UA=B=C,即可求解.

sin/IqinRqin

【詳解】由正弦定理得-----=------=------,貝hanA=tan3=tanC,又A,3,C為三角形內(nèi)角，

cosAcosBcosC

則A=B=C,則AABC是等邊三角形.

故選：B.

4.復(fù)數(shù)z=cose+isine,且z?為純虛數(shù)，則々可能的取值為()

71?7171

A.0B.—C.—D.一

432

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算、二倍角公式化簡z2,再復(fù)數(shù)的概念得到cos21=0,結(jié)合余弦函

數(shù)的性質(zhì)求出a,即可得解.

【詳解】因為z=coscr+isincr,

所以z2=(cosa+isina)-=cos2cr-sin2?+2sin(zcosai=cos2a+sin2ai.

cos2a=0n

因為z?為純虛數(shù)，所以〈.?八，所以2a=—+E,keZ,

sin2a^02

7iku,

所以。=—I---,kE7J.

42

故選：B

5.已知a<〃<0<c,則下列不等式正確的是()

C.logc(-a)>logc(-Zj)

【答案】D

【解析】

【分析】A作差法比較大??；B特殊值法，令a=-l,c=2即可判斷正誤；C令0<c<l,利用對數(shù)函數(shù)

的性質(zhì)判斷即可；D根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系.

【詳解】A：匚巴二匚二L,Xa<b<0,則尸—/<。，ab>0,故2一;<0,即2<幺，錯誤；

abababab

B：當(dāng)〃=-l,c=2時，不成立，錯誤;

C：由a</?<0,即一4>一。>0,當(dāng)0<c<l時有l(wèi)ogc(—a)<logc(—〃)，錯誤;

<iY

D：由a<0<c,則上>1>上，正確.

故選：D.

__.I__?2________?

6.如圖，在“RC中，AN=-NC,P是直線BN上的一點，若而=7〃旃+—而，則實數(shù)機的值為

45

)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線定理的推論的推論，根據(jù)題意化簡Q=通+2而，再由加+2=1即可得解.

【詳解】由而=,雙，所以麗=!/，

45

__?__2__,2__?__?__?

AP=mABk+—ACk=mAB+—x5AN=mAB+2AN,

55

由加+2=1,可得機=-l,

故選：B

7.已知正項等比數(shù)列｛a“｝的公比為4,前幾項和為S〃，貝是“510+工2〉251]”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】由題HO+512>2S]1，變形得42〉。11即可選出選項

【詳解】由題：S10+S12>2S11；Sl2-Sll>Sll-Sl0,

即42〉。11，由于題目給定｛4｝各項為正，所以等價于公比為4>1.

故選：C

【點睛】此題考查與等比數(shù)列有關(guān)的兩個條件充分性與必要性，關(guān)鍵在于題目給定各項均為正的前提下如

何利用Sio+S12〉2S”.

8.如圖，在曲柄CB繞C點旋轉(zhuǎn)時，活塞A做直線往復(fù)運動，設(shè)連桿A3長為40cm,曲柄CB長10cm,

則曲柄CB從初始位置C耳按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。時，活塞A移動距離A&約為（）

（病亡7.81，V70?8.37）

A.8.15cmB.6.95cmC.5.95cmD.3.15cm

【答案】C

【解析】

【分析】作圖，在三角形中，根據(jù)三角函數(shù)求出相關(guān)線段的長度，結(jié)合圖形，即可得出答案.

如圖，過點3作54，AC于點與，

由己知可得，AB=40,&穌=40,BC=IO,ZACB=6Q°,

0

所以，BB,=BCsin60°=10x—=573.CB}=BCCOS60=10x-=5,

122

所以，BXBO=CB0-CBX=5.

在中，由勾股定理可得，=《AB。-BB；=5屈早39.05,

所以，AB0—ABj—BXBQ~39.05—5=34.05,

所以，A%=&穌—網(wǎng)a40—34.05=5.95.

故選：C.

9.已知A（x，0）,3（光2,0）兩點是函數(shù)/（%）=25111（。％+9）+1（（9>0,^^（0,萬））與工軸的兩個交點，且

滿足值-/L=：，現(xiàn)將函數(shù)7（%）的圖像向左平移彳個單位，得到的新函數(shù)圖像關(guān)于，軸對稱，則夕的

可能取值為（）

71「2兀51

A.—cD.

6-T~6

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)歸-X21mhi=g,即可求得。，再根據(jù)平移后函數(shù)為偶函數(shù)，即可求得。

1

【詳解】令2sin(o>x+0)+l=0,解得sin(ox+e)=—

2

._.、？?I7C,,.77r117r

因為|石―引巾山=§，故令/〉藥，并取力玉+0=工-,口九2+夕=一

24

則。（%—%）=3-,即可求得。=2.

此時/（%）=2sin（2%+⑴+1,

向左平移2?個單位得到y(tǒng)=2sin12x+。++1,

jrrr

若其為偶函數(shù)，則一+0=—+2左肛左eZ,

32

71

解得0=2左乃+―.

6

TT

當(dāng)左=0時，cp=—.

6

故選：A.

【點睛】本題考查由三角函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值，屬綜合中檔題.

10.已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項是20.接下來的兩項是20，

2、再接下來的三項是2°，2］，2?，依此類推?求滿足如下條件的最小整數(shù)N,N>50.且該數(shù)列的前N

項和為2的整數(shù)暴.那么N是()

A.83B.87C.91D.95

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意進行分組，然后分組求和即可.

【詳解】根據(jù)題意將數(shù)列分組，第一組為第一項是2°，

第二組為為第二項和第三項是2°，21-

依次類推,第九組為2°，2、2?，…2“T，

第九組含有九項，

所以第九組的和為：匕1=2"—1,

1-2

前幾組內(nèi)一共含有的項數(shù)為：“C,

2

所以前九組內(nèi)的項數(shù)和為：=21-1+22-1+23-1+...+2,,-1=2"+1-2-H,

若該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)幕.，只需將—2—n消去即可；

若1+2+(―2—71)=0,則n-1,N="卜。+2=3,

不滿足N>50；

若l+2+4+(—2—n)=0,則〃=5,N=——-+3=18,

不滿足N>50；

若l+2+4+8+(—2—n)=0,則”=13,N=""；l)+4=95,

滿足N>50；

故滿足如條件的最小整數(shù)N為95.

故選：D

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)/(x)=tan(x—m)的定義域為.

【答案】---1■防I,左wZ>

6

【解析】

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義域求解即可.

IFJT

【詳解】由九一一w—+E,k￡Z,

32

5兀

即xW----Fkit,k￡Z,

6

所以函數(shù)/(x)=tan[x-的定義域為<xx^^-+kn,keZ>.

5兀

故答案為：\x一+kn,k&Z>.

6

12.已知等差數(shù)列｛”“｝的前幾項和為S”.若q=9,公差d=—2,則S”的最大值為.

【答案】25

【解析】

【分析】

由已知求出等差數(shù)列｛%｝的通項公式，求出滿足420的最大〃值，代入可得S”的最大值.

【詳解】?.?q=9,d=-2,\q,=9+(〃-1)?(2)=11-2n

令an20,解得〃w],又〃eN*，貝

5'4

5〃的最大值為85=5?9??？(2)=25

故答案為：25

13.在^ABC中，角A,B,C所對的邊分別為"，b,c,S表示△ABC的面積，若

6zcosB+Z?cosA=csinC,S=—(b2-^-c2-a2),則/B—.

4

TT

【答案】-

4

【解析】

〃十0?—11???

【詳解】試題分析：???COSA=3^——,??.S=—AsinA=—(/+/—/)

2bc24

—bcsinA=—x2bccosA,tanA=LA=—.VacosB+bcosA=csinC,Asin（A+5）=sinC,

244

JT71

sinC=1,；.C=一,/.B=一.

24

考點：解三角形.

TT

【思路點睛】先利用余弦定理和三角形的面積公式可得tanA=l,可得A=一,再用正弦定理把

4

acos3+bcosA=csinC中的邊換成角的正弦，利用兩角和公式化簡整理可求得C=90。，最后根據(jù)三角

形內(nèi)角和，進而求得8.

14.已知AABC為等邊三角形，且邊長為2,貝反配）=；若忸可=1,CE=EA，則

AD-EB的最大值為.

【答案】①.y②.3+G

【解析】

【分析】根據(jù)向量夾角的定義即可求出（初,百引，根據(jù)向量的運算可以得到麗.麗=3-麗?屁，由，

設(shè)（加，詼）=8,由向量夾角的取值范圍即可求解.

【詳解】因為為等邊三角形，所以NA3C=1,所以（須，百仁）=夸；

因為G=麗，所以E為AC中點，所以礪?麗=（而+麗）］—；麗—；就］

^--BAAB--BCAB--BABD--BCBD^-x4--x2x2xcos---BD（BA+BC］

22222232、，

=3-BDBE'

設(shè)（BD,BE）=e,則cosee[—1,1],

又M?麗=3—而?近，

所以當(dāng)M.而=-舊時詬.麗有最大值3+6.

故答案為：；3+-\/3-

兀

，元<不，

2

兀

15.已知函數(shù)/(%)=<cos羽一《光?兀給出下列四個結(jié)論:

2

e~x+n+4Q,x〉兀

①若/(%)有最小值，則。的取值范圍是一：,0；

②當(dāng)a>0時，若/(尤)=/無實根，則/的取值范圍是[頌,4a]U[4a+L+w)；

③當(dāng)aW-；時，不等式f(x2+2]>f(|x|+4)的解集為(—2,2)；

④當(dāng)。之1時，若存在％<%2，滿足一1</(玉)=/(%)<0，則%+々>0.

其中，所有正確結(jié)論的序號為.

【答案】②③④

【解析】

【分析】對①，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系結(jié)合函數(shù)圖象求解；對②，利用函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解；

對③，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式；對④，利用函數(shù)的切線與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，以及圖形的對稱關(guān)系，數(shù)形結(jié)

合求解.

【詳解】當(dāng)X>兀時，f(x)=ex+n+4ae(4a,4a+1),

當(dāng)!■<x<兀時，/(X)=COSXG[-1,0],

若a>0,則當(dāng)時，/(x)</(?=頌，則此時函數(shù)無最小值；

若a=0,則當(dāng)時，/(另=0，x>兀時，/(x)=eF"+4ae(0』)，

則函數(shù)有最小值為-1滿足題意；

若a<0,則當(dāng)xC'l■時，/(x)>f(~)=an>x>兀時，/(x)=e-￥+7t+4ae(4a,4a+1),

Tia>-11

要使函數(shù)有最小值，則1,,,解得一一W。<0；

4a>-l4

綜上，。的取值范圍是-；,0,①錯誤；

_4_

當(dāng)。>0時，函數(shù)/*)在18,單調(diào)遞增，p7l單調(diào)遞減，(兀,收)單調(diào)遞減，

作圖如下,

因為/(%)=，無實根，所以及或，N4a+1,②正確;

兀)

因為4〃+14一1,所以函數(shù)/(%)在萬,+8)單調(diào)遞減,

又因為/+222,國+4",所以由/，+2)>/刎+4)可得，

x2+2<\x\+4,即/一國一2<0,解得04兇<2,所以xe(-2,2),

所以不等式/(*+2)>/(W+4)的解集為(―2,2),③正確；

兀兀兀

所以切線方程為V=—%~1，則由圖象可知，XE—,71時，COSX>—XH,

2_2_2

設(shè)/(%)=〃/)=me(—L。)，

記直線丁=根與函數(shù)/(x),xe[-co,51,y=—x+],/(x),xep7t交點的橫坐標(biāo)為升,玉,%，

因為/（x）=a［x+|J，x<T經(jīng)過點（一］⑼，

所以由對稱性可知，當(dāng)時，%1+x0>0,又因為々〉玉），所以占+工2>0，④正確；

故答案為:②③④.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的②③④小問都用數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合的思想通常與函數(shù)的單調(diào)性、最

值等有關(guān)聯(lián)，根據(jù)單調(diào)性、最值，以及一些特殊的點準(zhǔn)確作出函數(shù)圖象是用數(shù)形結(jié)合來解決問題的關(guān)鍵.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.

16.已知等差數(shù)列｛?！埃凉M足6+4=1°，。4一。3=2.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)等比數(shù)列也｝滿足4=%，4=%，問：%與數(shù)列｛叫的第幾項相等？

（3）在（2）的條件下，設(shè)g=5?！币痪洌瑪?shù)列｛%｝的前幾項和為求：當(dāng)九為何值時，用的值最大？

【答案】（1）an=2n+2

（2）第63項（3）當(dāng)“=4時，S”的值最大

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義與通項公式即可得解；

（2）先求得務(wù)，/，再利用等比數(shù)列的定義與通項公式求得為,再令4=包，從而得解；

（3）利用分組求和法即可求出S,，再利用導(dǎo)數(shù)求得｛S“｝的單調(diào)性，從而得解.

【小問1詳解】

依題意，設(shè)等差數(shù)列｛??｝的公差為d,

則d=%-%=2,又。］+。2=10，得。1+囚+2=10,解得q=4,

所以4=4+2（〃-1）=2"+2；

【小問2詳解】

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為4，

則"=。3=8，&=%=16,所以￡=*=乎=2,仇=%=4,

28q

所以d=4x2,=2,=128,令%=2〃+2=128,解得〃=63.

【小問3詳解】

由（2）可知〃=4X2"T=2"+I,則孰=5%-2=5（2〃+2）-2"+1,

所以S“=5[4+6+—?+（2九+2）]_4（；一：）=5x〃（4+j九+2）_4（2“一1）

=-2,!+2+5n2+15n+4-

2,v+2

令y（x）=—+5X+15x+4（xeN+）,則/（x）=-2ln2+10x+15,

由于xeN+，當(dāng)時，/^%）>0,函數(shù)/（元）單調(diào)遞增；

當(dāng)時，f\x）<0,函數(shù)/（無）單調(diào)遞減，

>/（5）=-128+125+75+4=76,/（4）=-64+80+60+4=80,

所以當(dāng)〃=4時，S“有最大值且最大值為邑=80.

17.如圖所示，已知“IBC中，。為AC上一點，ZA=-,AB=4,BD=y/10,AD>AB.

(1)求sinZADB；

(2)若sin/5DC=2sin/C,求。C的長.

【答案】(1)—

5

⑵372

【解析】

【分析】(1)在△A3。中，由正弦定理可得答案；

(2)由(1)得cos/AZM.法1：由正弦定理、sin/5DC=2sin/C可得BC,再由余弦定理可得

DC.法2：求出sin/C及cosNC,再由兩角差的正弦展開式求出sin/DBC,在△5DC中由正弦定理

可得答案.

【小問1詳解】

在△A3。中，由正弦定理可得---------=-------

sinZADBsinZA

所以sin/ADB=sin/A,

BD

又因為NA=殳,46=4,3。=癡,

4

后M4V22^/5

所以sin/ADB=—7=x——=------

71025

【小問2詳解】

因為A￡)>A5,所以NABDA/ADB，所以NAD3<90°，

由(1)結(jié)論，計算可得cos/ADB=J1—sii?NADB=@

BCBD

法1：由正弦定理可知又sin^BDC=2sin/C,

sin^BDCsin/C

所以8。=25。=2加，

由余弦定理可得=3￡>2+。02-2BDDCCOSNBDC，

化簡整理得DC2+2V2DC—30=0，

解得。C=3后.

法2：因為sinXBDC=sin^ADB=2心且sin/BDC=2sin/C,

5

所以sin/C=$山/BDC=且，

25

由題意可得NC<NADS,所以cos/C=2逝，

5

所以sin^DBC=sin(^ADB-/C)

=sin/ADB?cos/C—cos/ADB?sin/C

2后2小小后3

=------x--------------x-----=—，

55555

DCBD

在△加。中，由正弦定理可得

sinZDBCsin/C

3

所以DC=sin/D；CBD=、M=36.

sm/C，5

T

2Y—1

18.已知函數(shù)/（尤）=a（x-lnx]+———（0<a<2）.

（1）討論函數(shù)/（%）的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=l時，令g(x)=/(x)—/〈X)-(x—Inx),XG[1,2],求證：g(x)2；

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】⑴求出八力=（"—1乂，—2）,然后分。=0,0<?<2,。=2三種情況，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可

得出函數(shù)的單調(diào)性；

312

（2）代入a=l,化簡得出g（x）=\+j-了-1,求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出g（x）在[1,2]上的單調(diào)性，進而

得出最小值，即可證明.

【小問1詳解】

2J

由已知可得，f（x）=ax—d]nx-\-------,定義域為（0,+8）,

a22_(九一1)(加一2)

所以/'(%)=

——2~T-3

XXXX

（i）當(dāng)a=0時，2（『）

當(dāng)0<x<l時，有r（x）=-2（：-1）〉0,八X）在（0,1）上單調(diào)遞增;

當(dāng)％>1時，有廣⑺:-2（：-1）<0,“工）在。,收）上單調(diào)遞減.

X

（ii）當(dāng)0<a<2時，解r（x）=C"__^1=0，

可得％=1，或x=±j2(舍去負值)，且J2〉i.

VaVa

解制x)>?？傻?，O<X<1或x>A,所以在(0,1)上單調(diào)遞增，在+s］上單調(diào)遞增;

a)

所以〃力在L\22

解/'(x)<0可得，1<%<上單調(diào)遞減.

aa

2(X-1)2(X+1)

(iii)當(dāng)a=2時，/(%)=?0在(0,+。)上恒成立,

%3

所以，/(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)a=0時，/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<。<2時，/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,5］上單調(diào)遞減，在1上單調(diào)遞增;

當(dāng)a=2時，"％)在(0,+e)上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

?1192

由(1)知，當(dāng)〃=1時，/(%)=%—InxH------,/'(%)=------——-+1,

XXXXX

21(122、/

所以，g(%)=f(%)-/'(%)一(%—x—InxH---------------—5"+］

XXJCXXJ

312,

=-+——-r-1-

XXX

所以，g'(x)==一?(3工2+2x-6).

解g'(x)=0,可得％=二15迪(舍去負值)，

且4<M<5,所以1<一1+M<a<2.

33

當(dāng)l<x<2時，解g'(x)>0可得，1<%<三叵，

所以g(x)在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時，解g'(%)<0可得，T\M<XW2,

所以g(x)在上單調(diào)遞減.

3191

又g⑴=3+1—2_1=1,g(2)=-+----l=-<g(l),

Z4oZ

所以，當(dāng)l<x<2時，g(x)在x=2處取得最小值g(2)=j

所以有g(shù)(x)N；.

19.己知函數(shù)/'(x)=sin2&x+sin公^(^。四+萬①:^/右見.再從條件①、條件②、條件③這三個條件

中選擇兩個，使得函數(shù)/(%)的解析式唯一確定

⑴求〃龍)的解析式及最小值;

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間(T/)(f>0)上有且僅有2個零點，求r的取值范圍.

條件①：函數(shù)/(%)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為I"；

條件②：函數(shù)/(%)的圖象經(jīng)過點

條件③：函數(shù)/(%)的最大值與最小值的和為1.

【答案】(1)/(%)=—sinf2x--L-；/(x)=—受+工

2I4J2min22

、兀3兀、

⑵z

[44)

【解析】

【分析】(1)先將A》)解析式化簡，再選擇相應(yīng)條件，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐一分析，從而得解;

(2)先求得Ax)在％=0附近的五個零點，從而得到關(guān)于/的不等式組，由此得解.

【小問1詳解】

選條件①②：

/?/\-2.1—COS2G%1._,

由題意可知，/(%)=sma)x+sina)xcosa>x+b7-----------F—sin2cox+b

22

V2.r吟〃i

=——sin2a)x——+/?+—,

2I4J2

ITTJI9JT

函數(shù)AM圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為一，則一=—=—,所以。=1,

2222。

因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點

所以/［工］=^sin［2x3—工］+人+工=1,所以/,=(),

12)2I24j2

所以/(X)=等sin(2x—+g,

所以/（X）min=一3+g，

選擇條件①③:

7T

函數(shù)人九）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為一,

2

—.T712兀LL,

則一二一二—，所以G=1,

222a)

，/、_母及1〃、_611

f(X)min=__^-+6+5，/(X)max=—+^+->

函數(shù)/(X)的最大值與最小值的和為1,所以—正+6+_1+受+6+工=1，則^=0,

2222

所以/(x)=^^sin(2x—+g,

所以/(x)min=_#+g.

選條件②③：

一、_0八1〃、_0八1

f(x)min=__~+^+—，/(X)max+^+，

函數(shù)AM的最大值與最小值的和為1,所以一正+6+1+也+6+1=1，則人=0,

2222

因為函數(shù)/（尤）的圖象經(jīng)過點

+—=1>所以sin((y7i-二兀

所以fsin2?x---=心

"Fl2424_虧

jIj?J?3jI

所以。兀——=—+2bi,kGZ或am——=---n2E,keZ,

4444

顯然此時。的值有多個，人盼的解析式唯一確定，所以此種情形不符合題意，舍去.

【小問2詳解】

由(1)知/(x)=^^sin(2x—：)+g,

令/(%)=^^sin(2x—3]+L=0,得sin2x~~=-^~,

2I4；2I4；2

TTTTTTjIT

所以2x——=---b2E,kwZ或2x——=----F2E,keZ,

4444

_71

即I=也,左￡2或犬=——+ht,keZ,

4

TT37r

所以AM在光=o附近的五個零點為X=—兀，A：=--,x=o,尤=r，x=兀，

44

因為〃工)在區(qū)間(TJ)?＞0)上有且僅有2個零點,

所以尤=-：,尤=0為〃％)在區(qū)間＞0)上的兩個零點,

71

-7l<-t<——

4

故＜解得卜與

八,3兀

0<t<—

4

7737r\

所以/的取值范圍是，—.

L744J

20.對于函數(shù)八％),g(x),如果它們的圖象有公共點P,且在點尸處的切線相同，則稱函數(shù)"％)和g(x)

在點尸處相切，稱點尸為這兩個函數(shù)的切點.設(shè)函數(shù)/'(￡)=分2—6x(。。0),g(x)=lnx.

(1)當(dāng)a=-l,〃=0時，判斷函數(shù)〃尤)和g(x)是否相切?并說明理由；

(2)已知a=b,a＞0,且函數(shù)〃尤)和g(x)相切，求切點尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)。＞0,點P的坐標(biāo)為問是否存在符合條件的函數(shù)7(%)和g(x),使得它們在點P處

相切?若點尸的坐標(biāo)為(e,l)呢？(結(jié)論不要求證明)

【答案】(1)不相切，理由見解析

(2)切點尸的坐標(biāo)為(1,0).

(3)P的坐標(biāo)為，，-"時，存在符合條件的函數(shù)八%)和g(x),使得它們在點尸處相切，P的坐標(biāo)為(e,l)

時，不存在.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)兩函數(shù)相切可得/'(%)=g'(x)，即可說明求解;

as2-as=]ns

(2)根據(jù)題意可知函數(shù)/(%)和g(x)在切點P(s/)處滿足(1即可求解;

2as—a=一

、s

ax~-bx=\nx

ax2-bx=]nx

(3)根據(jù)兩個函數(shù)存在切點，則有〈

1,即＜?,將所給的兩個點坐標(biāo)分別代入

2ax-b=—lax-bx=l

x

即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)°=-1,b=0時，/(x)=-x2,g(x)=lnx,

f\x)=-2x,g〈x)=L令r(x)=g<x),

即—2x=L無解,所以函數(shù)〃%)和g(x)不相切.

【小問2詳解】

因為a=＞，a＞0,所以/(%)=依2—依(。＞0),

f'^x)=2ax-a,g[x)=L

設(shè)切點為尸(S"),(S＞。),

as2-as=]ns

則1,消去。得二；=lns,(*)

2as-a=—2s-1

、s

注意至|J”/八＞0,所以s〉L,

s(2s-l)2

設(shè)函數(shù)/(》)=■------lnx,xe—,+co

2x-l\2

F(尤)=一(4：；1)(：；1),令尸(了)=0,解得x=i或％=工(舍),

x(2x—1)4

令尸'(x)>0,解得工<x<l；令尸(x)<0,解得尤>1；

2

Y—1—Inx,xGf,+ooj在

所以函數(shù)尸(X)=----1單調(diào)遞增，(1,+8)單調(diào)遞減,

2x-LT

所以F(X)max=F6=0，

所以(*)方程有且僅有一個解為s=l,于，=lns=O,

所以切點尸的坐標(biāo)為(1,0).

【小問3詳解】

(x)=2ax-b,=L

2

ax-bx=]nx2

若兩個函數(shù)存在切點，則有11ax-bx=]nx

2ax-b=—lax1-bx=l

假設(shè)存在尸的坐標(biāo)為

abaJ

=—1

ee2ea=2e2

則《即《解得《滿足題意,

2ab2a2=1b=3e

二1

e,e2e

所以尸的坐標(biāo)為[5-1,存在符合條件的函數(shù)“力和g(x),使得它們在點尸處相切,

此時/(%)=2e2x2-3ex,g(%)=In%.

假設(shè)存在P的坐標(biāo)為(e,l),

2a=0

ae—be=1解得Li

不滿足題意,

2ae2-be=lb=——

Ie

所以尸的坐標(biāo)為(e,l),不存在符合條件的函數(shù)/(%)和g(x),使得它們在點尸處相切.

21.對于數(shù)列｛%｝定義△q?=為｛??｝的差數(shù)列，△"△-—△q為｛??｝的累次差數(shù)列.如果

｛叫的差數(shù)列滿足|△4|T△力|,(Vz,jeN*,z>jj,則稱｛4｝是“絕對差異數(shù)列”；如果｛4｝的累次差數(shù)

列滿足旨生卜片⑷，(Vz,jeN*),則稱｛4｝是“累差不變數(shù)列”.

(1)設(shè)數(shù)列4：2,4,8,10,14,16；A2：6,1,5,2,4,3,判斷數(shù)列4和數(shù)列4是否為“絕對差異

數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，直接寫出你的結(jié)論；

(2)若無窮數(shù)列｛4｝既是“絕對差異數(shù)列”又是“累差不變數(shù)列"，且｛4｝的前兩項4=0,%=a,

\/^a\=d(d為大于0的常數(shù))，求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(3)已知數(shù)列8：偽也，…也I也，是“絕對差異數(shù)列”，且他也，…也"｝=｛12…,2鞏｝.證明:

-b2n="的充要條件是｛偽,包,…32“｝=｛1,2「一,〃｝.

【答案】21.答案見解析

22.答案見解析23.證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)定義分析判斷即可；

(2)根據(jù)題意分析可知△Zq.為定值，利用累加法結(jié)合等差數(shù)列運算求解；

(3)根據(jù)“絕對差異數(shù)列”結(jié)合充分、必要條件分析證明.

【小問1詳解】

對于數(shù)列A：2,4,8,10,14,16；可得：

差數(shù)列為：2,4,2,4,2,不滿足|△力w|△a小所以不是“絕對差異數(shù)列”；

累次差數(shù)列為：2,-2,2,-2,滿足|△24=|△2aJ,所以是“累差不變數(shù)列”，

對于數(shù)列4：6,1,5,2,4,3；可得：

差數(shù)列為：-5,4,-3,2,-1,不滿足|△力w|△a，，所以不是“絕對差異數(shù)列”；

累次差數(shù)列為：9,-7,5,-3,不滿足公力卜公勺卜所以不是“累差不變數(shù)列”.

【小問2詳解】

因為貝!]△24=±d,

反證：假設(shè)不是定值，即存在左eN*，使得△2%+424+1=0,

可得(△%—△4)+(△1?—△%)=°，即△為+2=△W,

這與｛4｝既是“絕對差異數(shù)列”相矛盾，假設(shè)不成立，所以A?%為定值，

①若A2^.=d,即△6+i一△%=d,

可知數(shù)列｛△/｝是以首項為△%=%-%=〃，公差為d的等差數(shù)列，

當(dāng)2時,則an=(%——見_2)+…+(。2—%)+%

=△〃〃_]~\~/\U_2+…+△〃[+Q]=(〃------------d，

n2

當(dāng)”=1時，q=0符合上式，

綜上所述:a〃=5_l)a+("T)[L2)d；

②若△?%=-d,同理可得一1)。一^~J；

綜上所述：若△?%=d,an=(z2-l)tz+—~——<7;

若N%=_d,an=(n-1)a-^—^^—^-d.

【小問3詳解】

因為他也，…4}={1,2,…,2〃}，根據(jù)集合的互異性可知3豐bjt(Vz,/eN*,iw/),

貝ij|AZ^I=1,2,???,2"-1,i=1,2,???,2”一1,

又因為數(shù)列3是“絕對差異數(shù)列"，則|3網(wǎng)△4,(VZ,JGN*,ZVJ),

充分性：若偽一用”=一〃，

可得8"一4=(%,一4I)+(4〃一1一4"-2)+…+(2一偽)=一",

fl-2m