2025屆新高三學(xué)情摸底考試數(shù)學(xué)試卷（新課標卷新高考）

保密★啟用前

2025屆新高三學(xué)情摸底考01（新課標卷）

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將

準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.

寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.

3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四

個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置

上.

1.設(shè)集合/={x|-l<x<3},8={1,2,3},則/口2=（）

A.{1}B.{1,2}C.{3}D.{153}

【答案】B

【分析】根據(jù)交集的定義直接求解即可.

【詳解】因為/={x|-l<x<3},5={1,2,3）,

所以/。8={1,2}.

故選：B

2.已知i為虛數(shù)單位，z=（l-i）（3+i）,則在復(fù)平面內(nèi)z的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法可得z=4-2i,再結(jié)合共軌復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】由題意可得：z=（l-i）（3+i）=4-2i,則1=4+2i，

所以在復(fù)平面內(nèi)z的共軌復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位（4,2）,位于第一象限.

故選：A.

3.向量花=（1,1）石=（2"-1）忑=（2,-3）,且,+町|年一方則實數(shù)九=

A.5B.—5C.2D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)向量的線性運算可得Z+3曰-3,結(jié)合向量平行的坐標運算分析求解.

【詳解】因為N=(U)]=(2,4T)，K=(2,_3),Jil!]2+K=(3,A),c-K=(0,-2-A),

若卜+州|年一3）,則3（-2-4）=人0,解得幾=一2.

故選：D.

4.設(shè)函數(shù)〃x）=e'fx,則曲線＞=/（x）在點（0,1）處的切線與兩坐標軸所圍成的三角

形的面積為（）

1112

A.-B.—C.-D.—

6323

【答案】A

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算可得其在點（0/）處的切線方程，即可得其與坐標軸的交

點坐標，即可得其面積.

-2x

【詳解】

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

則/''(0)=3,

(M"

即該切線方程為y-l=3x,即v=3x+l,

令％=0,則歹=1,令歹=0,則X=一；，

故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積S=：xlx-（=）

236

故選：A.

5.若tana=2,則2a的值為()

sin2a+cosa

32

A.B.C.D.

4552

【答案】B

【分析】利用二倍角公式及正余弦齊次式法求值即得.

cos*2a-sin2a_1-tan2a_1-22_3

【詳解】由tana=2,得.產(chǎn)2a)

smLa+cosa2sinacosa+cos2a2tana+12x2+15

故選：B

6.已知。（7:/+/+》一2了+3=0,則該圓的圓心坐標和半徑分別為（）

A.RB.（-1,2）,V3

C.加，V3D.（1,-2）,R

【答案】A

【分析】將圓的一般方程化成標準方程即可求解.

［詳解］。。：/+/+工-2了+；=0的標準方程為++（^-1）2=|,故所求分別為

H4與

故選：A.

7.唐代是我國古代金銀器制造最為成熟與發(fā)達的時期.強盛的國力、開放的心態(tài)、絲綢之路的

暢通，使得唐代對外交往空前頻繁.走進陜西歷史博物館珍寶館，你會看到“東學(xué)西漸”和“西

風東來”，各類珍寶無不反映出唐人對自我文化的自信.素面高足銀杯（如圖1）就是其中一

件珍藏.銀杯主體可以近似看作半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁光滑，杯壁厚度可忽略），如

圖2所示.己知球的半徑為「，酒杯容積為竺貯，則其內(nèi)壁表面積為（）

3

<------>

X—

圖1圖2

.10兀/.214兀，222兀廠2

A.-------B.4兀/C.---------D.--------

333

【答案】D

141OTTF3R

【分析】設(shè)圓柱的高為〃，內(nèi)壁的表面積為S,可得_^3加3+兀廠2.〃=也匕，可得力

2333

利用幾何體的幾何特征可求內(nèi)壁表面積.

【詳解】設(shè)圓柱的高為〃，內(nèi)壁的表面積為S,

32

由題意可知：-x-ro-+7rr.A=^^,解得〃=9尸，

2333

內(nèi)壁的表面積等于圓柱的側(cè)面積，加半球的表面積,

]822

BP5=2兀r?/z+—x4兀尸2=2兀rx—r+2兀/=——兀/.

233

故選：D.

22

8.已知雙曲線U=-2=1（。＞0力＞0）的左右焦點分別為用與，曲線C上存在一點尸，使得

ab

△PGB為等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（）

A.B.V2C.V2+1D.

22

【答案】C

【分析】畫出圖形，用雙曲線定義和勾股定理構(gòu)造方程求解即可.

【詳解】如圖所示，△「周馬為等腰直角三角形，且巧鳥|=|尸月|=2c,

運用勾股定理，知道根據(jù)|P耳|=20c.由雙曲線定義，知道IWH%|=2a,

即2&c-2c=2°，解得/區(qū)%=，2+1，故離心率為：V2+1.

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四

個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有

選錯的得0分.

9.已知事件42滿足尸（4）=0.3,尸⑻=0.5,則下列說法正確的是（）

A.若事件/與事件3相互獨立，則它們的對立事件也相互獨立

B.事件”與事件3可能為對立事件

C.若事件/與事件8相互獨立，則"48）=0.15

D.若事件/與事件2互斥，貝UP（/U8）=0.8

【答案】ACD

【分析】選項A,利用相互獨立事件的定義，即可求解；選項B,利用對立事件的概率和為

1,即可求解；選項C,利用相互獨立事件的概率公式，即可求解；選項D,利用互斥事件

的概率公式，即可求解.

【詳解】對于選項A,根據(jù)相互獨立事件的定義易知選項A正確；

對于選項B,對立事件的概率和為1,但尸（N）+P（8）=0.8*1.故選項B錯誤；

對于選項C,根據(jù)相互獨立事件的定義，尸（N8）=P（/）P（8）=O.15,故選項C正確;

對于選項D,事件A與事件B互斥，則P（/u8）=P（/）+P（8）=0.8,故選項D正確.

故選：ACD.

10.若函數(shù)/（x）=tan（2x+0）（M<]的圖象經(jīng)過點尸（0,1）,則（）

A.點序0）為函數(shù)圖象的對稱中心

B.函數(shù)的最小正周期為兀

C.函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值范圍為[1,+⑹

D.函數(shù)|/（x）|的單調(diào)增區(qū)間為「空4，”+[]（左"）

[_zozoJ

【答案】ACD

【分析】先求出/（x）解析式，對于A,求出函數(shù)/'（x）的對稱中心即可判斷；對于B,由解

7T

析式及最小正周期公式求解即可；對于C,根據(jù)變量范圍得出角2X+：的范圍即可得出函數(shù)

/（X）的函數(shù)值范圍；對于D,求出正切型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間以及零點即可根據(jù)正切（型）

函數(shù)圖象性質(zhì)得出函數(shù)|/（x）|的單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】由題〃0）=tan°=l,又冏故夕=；,所以〃x）=tan（2x+1,

?_兀ATL.?kiL7C

對于A,令2xH———，左￡Z,貝!Jx=------，左1￡Z,

4248

所以/（X）的對稱中心為

當左=1時，x=p故點（50）為函數(shù)/（X）圖象的一個對稱中心，故A正確;

對于B,由上/（x）的最小正周期為7=工=W，故B錯誤；

co2

對于C,當無e0,J2x+：e,故/(x)=tan|2x+：Je[1,+e),故C正確;

rtT—A1兀c兀,71,?LLt、t左兀371kit兀7?

又寸D,ku---<2xH—<kjiH—，左￡Z,\以------<x<---1—,keZ,

2422828

所以函數(shù)〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間為[尤點-壽<x<”+7,左ez],無單調(diào)遞減區(qū)間,

I2o28,

令/(x)=0即tan2x+：)=0,所以2x+?=E,左eZ即X*」入Z,

428

kjL7L

一+—(A-eZ),故D正確.

28

11.已知定義在R上的函數(shù)/(%),對任意x/￡R有/(%+力=/(%)+/3),其中

/(1)=1;當x>0時，f(x)>0,貝I]()

A./(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)

B./(X)為奇函數(shù)

C.若函數(shù)〃x)為正比例函數(shù)，則函數(shù)g(x)=§在x=0處取極小值

D.若函數(shù)/(x)為正比例函數(shù)，則函數(shù)〃(》)=/仁)-25加-1有兩個零點

【答案】AB

【分析】選項A,利用函數(shù)單調(diào)性的定義，設(shè)無2=占+乙/>0,得出/(乙)-/(再)=/”)>0

即可得證；選項B,先得出"0)=0,再設(shè)>=-x,得出/(x)+/(-x)=0,即可得證；選

項C,在〃x)=；x前提下，求函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x),分析導(dǎo)函數(shù)g'(x)的正負，得出

函數(shù)g(x)的單調(diào)性以及極值即可；選項D,在〃x)=；x前提下，函數(shù)

A(x)=1x-2sinx-l,利用零點存在性定理，代入特殊值檢驗即可.

【詳解】對于選項A,設(shè)了2>再，且％2=尤1+，，t>0,

X

f(x2)=f(xl)+f(t),BP/(2)-/(^)=/(/)>0,

故單調(diào)遞增，選項A正確；

對于選項B,是定義在R上的函數(shù)，取x=y=O,則/⑼=0,

取了=一》，貝ij/(x)+/(-x)=0,即=

故〃x)是奇函數(shù)，選項B正確；

對于選項C、D,設(shè)/(x)=Ax,代入〃l)=g,得/(x)=gx,

其中C選項，g(x)="l=W，g'(x)=^，

當x<l時，g'(x)>0,g(x)在區(qū)間(-8,1)上單調(diào)遞增，

當x>l時，g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減，

函數(shù)g(x)=誓在x=l處取極大值，無極小值，選項C錯誤；

其中D選項，函數(shù)〃(x)=；x-2sin尤-1,

其中A(-71)=-2sin(-71)-1=<0,

/z^-|^|=-^-2sin^-|-^-l=l-^>0,/z(0)=-l<0,

〃(兀)=]-2sin7t-l=^-l>0,

由零點存在性定理可知，函數(shù)4(x)分別在區(qū)間(-匹-$，與,0)和(0,%)上

各至少存在一個零點，選項D錯誤；

故選：AB

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在(x+l『+(x+l)3+(x+l)4+...+(x+l)i°展開式中，含丁項的系數(shù)是__________.(用

數(shù)字作答)

【答案】165

【分析】根據(jù)二項式定理及組合數(shù)的性質(zhì)計算可得.

【詳解】(x+l)~+(x+l)3+(X+l)4+...+(X+l)10

=(l+x)2+(l+x)3+(1+x『+...+(l+X)10,

其中(1+x)"展開式的通項為心=CX且reN),

所以(i+xy+o+xy+a+xy+...+a+x/展開式中含F(xiàn)項的系數(shù)為:

C；+C；+C；4-------+-C；o=C；+C；+C；H------+-C；o=C：+C；H------+-C；。

心優(yōu)+…+小

=/+/=「=165.

故答案為：165

13.在“BC中，//C8=12O1/C=2,4B=V7,//C8的角平分線交48于。，則

CD=.

【答案】|

【分析】在“8C中，由余弦定理可得：BC=\,由正弦定理可得sin8=叵，根據(jù)角平分

7

線的性質(zhì)可得：DA=2BD=①,在△50中，由正弦定理可得：總=.”即可

3smBsmZDCB

求解.

【詳解】因為在“3C中，/ACB=120°,AC=2,AB=5

由余弦定理可得：AB2=AC2+BC2-2AB-BC-cosZACB,解得8c=1

ACAB

由正弦定理可得:BPsin5，解得：sin5=-----，

sin5sin乙4cB~7

因為4CB的角平分線交所以4。=6。?！山瞧椒志€性質(zhì)可得：-=

所以DA=2BD=^-

3

V7,

在△BCD中，由正弦定理可得：當=.B2即黑=今，解得：CD=W

sin6sinADCB。21J33

~YT

7

故答案為：f

22

14.已知片，耳分別為橢圓C:版+方=l(4>6>0)的左，右焦點，/為橢圓C的上頂點，且

△/月片為等邊三角形；過片且垂直于力入的直線與橢圓C交于兩點，則△/DE的周長

為.

【答案】16

【分析】根據(jù)條件可得|40|=①詞,|/同=忸周，然后根據(jù)橢圓的定義可得

【詳解】

因為耳耳為等邊三角形，|/4|=|/Fj=a=2c=4,

且過耳且垂直于AF2的直線與橢圓C交于，E兩點，

所以DE為線段〃'的垂直平分線，

得|4D|=|。閭,|/同=|%|,

則ZUDE的周長為|“。|+|/￡|+|。同=|。用+忸巴|+|。耳|+|%|=24+2a=40=4、4=16,

故答案為：16

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.(13分)文明城市是反映城市整體文明水平的綜合性榮譽稱號，作為普通市民，既是文

明城市的最大受益者，更是文明城市的主要創(chuàng)造者.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識,

舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績

（滿分100分,成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］

得到如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

組距

0.025

0.020

0.010

0.005

O405060708090100分數(shù)

（1）求頻率分布直方圖中a的值；

⑵求樣本成績的第75百分位數(shù)；

（3）已知落在［50,60）的平均成績是56,方差是7,另一組落在已知［60,70）內(nèi)，且兩組成績的

總平均數(shù)彳為62和總方差$2為23.求落在［60,70）的平均成績以及方差.

【答案】（1）0=0.030（2）84.（3）平均數(shù)為65,方差為4

【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，

（2）根據(jù)百分位數(shù)的計算公式即可求解，

（3）根據(jù)平均數(shù)的計算可得［60,70）的平均數(shù)，即可利用總體方差公式即可求解.

【詳解】（1）由每組小矩形的面積之和為1得，0.05+0.1+0.2+10^+0.25+0.1=1,所以

（2）成績落在［40,80）內(nèi)的頻率為0.05+0.1+0.2+0.3=0.65,

落在［40,90）內(nèi)的頻率為0.05+0.1+0.2+0.3+0.25=0.9,

顯然第75百分位數(shù)me（80,90）,由。65+（加—80）x0.025=0.75,

解得加=84,所以第75百分位數(shù)為84.

（3）由頻率分布直方圖知，成績在［50,60）的市民人數(shù)為100x0.1=10,

成績在［60,70）的市民人數(shù)為100x0.2=20,所以［60,70）的平均數(shù)為x,方差為廣,

由樣本方差計算總體方差公式，得總方差為

Y=正片|10'［7+（56-62）1+20/+伍5一62）1［=?3，計算可得方差為4.

16.（15分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且q+%+%=18,%=2%.

⑴求｛對｝的通項公式；

4

（2）設(shè)“=——，求數(shù)列也｝的前〃項和打

anan+\

【答案】（1M=2〃；⑵，=1.

n+l

\a,+a,+a.=34=18，、

【分析】（1）由題可得ja12d），從而求出的，d,進而得到數(shù)列｛%｝的通項

公式；

（2）由（1）得b1-一二,采用裂項相消法求出S".

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為"嗎+。3+。5=3。3=18,解得生=6.

出=2々，可得4一d=2（%—2d）,解得d=2.

所以〃〃=4+2(〃-3)=2〃.

4_1j___1_

(2)

nn+\

n

所以S*=4+刈+%T---也

n+\

17.45分）如圖，在三棱錐尸-N8C中，平面尸NC_L平面NBC,PALAC,PA=AB=BC=\,

（1）求證：平面P8C1平面尸45；

⑵線段PC上是否存在點N,使得尸C,平面可N?若存在，求券的值；若不存在，請說明

理由.

PN2

【答案】（1）證明見解析（2）存在，§

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理可得證；

（2）過點M作兒W,PC垂足為F,根據(jù)線面垂直的判定可證PC，平面BMN,然后根據(jù)

平面幾何知識求出CN=在,進而求出尸N=2后即可得.

【詳解】(1)因為平面尸NCJ-平面ABC,P/u平面尸/C,PAIAC,平面尸NCCl平面ABC

=AC,

所以P4_L平面ABC,8Cu平面ABC,所以尸N_L8C,

又尸N=l,PC=6，PA1AC,所以AC7PC?-P配=6,

又4B=BC=1,所以3=482+",

所以又P41.BC,尸4/8是平面尸內(nèi)的兩條相交直線,

所以8CJ,平面P/3,又BCu平面尸3C,

所以平面尸8。1平面PAB

(2)

B

PN2

存在，當正=］時，尸C，平面BMN,

過點M作禰V_LPC垂足為F,

由(1)知尸/_L平面ABC,MBu平面ABC,所以尸

又點M為AC的中點，AB=BC=\,

所以九/，/C,PA1MB,P4/C是平面尸/C內(nèi)的兩條相交直線，

所以枚_L平面尸/C,又尸Cu平面P/C,

所以MB，PC,MNVPC,Affi,MV是平面BMN內(nèi)的兩條相交直線,

所以「C_L平面BMN,

由已知得sin/PC4=￡=+=q=黑，又MC=；4C=+，

所以PN=PC-CN=GT=乎，所以案=g，

PN2

故當拓=§時，PC_L平面BMN,

18.(17分)已知動圓P過點月(2,0),并且與圓月：(X+2)2+/=4外切，設(shè)動圓的圓心尸

的軌跡為C.

⑴直線與。與圓￡相切于點。，求陽。的值；

⑵求曲線c的方程；

⑶過點耳的直線4與曲線C交于E,尸兩點，設(shè)直線/：x=；,點。（-1,0）,直線勖交/于

點證明直線尸M經(jīng)過定點，并求出該定點的坐標.

2

【答案】（1）|瑪0|=26⑵x2-4=l,x>。；（3）證明見解析，定點（1,0）

【分析】（1）利用直線與圓相切的幾何性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，即可求解；

（2）由圓與圓的位置關(guān)系，構(gòu)造雙曲線的定義，即可求解；

（3）分直線的斜率存在和不存在兩種情況討論，并聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達定理

表示“=kMQ,即可求解定點.

（1）

【詳解】由直線與圓的位置關(guān)系可知，F(xiàn){QYF2Q,

（2）由題意可知，設(shè)動圓半徑為R,|/啊=尺，|尸耳|=R+2,|耳用=4,

即|「蜀-|尸8|=2<4,

所以點尸是以片,耳為焦點的雙曲線的右支，2a=2,2c=4,則〃=3,

2

所以曲線C的方程為x2-匕=1,x>0:

3

（3）當直線/1的斜率不存在時，￡（2,3）,尸（2,—3）,

1383、

直線￡。。=龍+1,當x=］，得W，即叫合力直線M3x+y-3=0,

此時直線過點（1,0）,

當直線4的斜率存在時,設(shè)直線4：了=左（》-2）,￡（士,名），尸（尤2,%），

直線即:k告1('+1),當x]時,加=前立

A/fl

聯(lián)立],n(^-k2)x2+4k2x-(3+4k2)=Q,

、，2八4r3+4左2

3-左-wO,玉+/=一^7，X|X,=_3_心，

下面證明直線FN經(jīng)過點。(1,0),印證原■2=無皿，*=3，

把弘=?(占一2),%=左(超一2)代入整理得4項%2-5(再+%2)+4=0,

口，，(3+4F)=(4〃)12+16廿_20r

即4x|--------5x------+4=---------------+4=—4+4=0,

(3-k2)[3-k2)F-3

所以直線尸M經(jīng)過點(1,0),

綜上可知，直線尸N經(jīng)過定點，定點坐標為(1,0).

19.(17分)對于函數(shù)/(力,規(guī)定4(x)=[/(力],/2)(x)=[r(x)],,...,

/〃)(x)=[/("-')(X)],f⑻(X)叫做函數(shù)〃X)的n階導(dǎo)數(shù).若函數(shù)〃x)在包含％的某個閉

區(qū)間&4上具有〃階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間(。力)上具有(〃+1)階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間[a,b]上任意

一點x,2

/W=/(XO)+/X^O)(^-^O)+^^(X-XO)+---+^^(X-XO)"+7?(?)(X)I

該公式稱為函數(shù)/'(%)在無=%處的”階泰勒展開式，片“)(x)是此泰勒展開式的"階余項.已

知函數(shù)/(x)=ln(x+l).

(1)寫出函數(shù)〃x)在x=l處的3階泰勒展開式(R(“)(x)用峪)(x)表示即可)；

⑵設(shè)函數(shù)〃X）在x=0處的3階余項為g（x）,求證：對任意的xe（-u）,g（x）＜0；

⑶求證：（1+；小+曰］1+小小+：）＜同〃。）

【答案】（l）〃x）=ln2+=（xL6x2+21xT6）；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解.

【分析】（1）根據(jù)函數(shù)Ax）在x=l處的3階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；

（2）根據(jù)泰勒公式的定義，計算函數(shù)/（x）在x=0處的3階泰勒展開式余項

小小x4

颯=%)(?=,￡介于0與x之間的常數(shù)，再通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即