2024-2025學(xué)年蘇科版九年級上冊月考數(shù)學(xué)試卷 （10月份）（含解析）

2024-2025學(xué)年九年級(上)月考數(shù)學(xué)試卷(10月份)

一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的為()

A.2x2+xy=3B.x2=1C,x2+--5=0D.ax2+bx+c=0

2.用配方法解方程久2一4x-4=0時，原方程應(yīng)變形為()

A.(x-2)2=0B.(x—2)2=8C.(x+2)2=0D.(x+2)2=8

3.。。以原點為圓心，5為半徑，點P的坐標(biāo)為(4,2),則點尸與。。的位置關(guān)系是()

A.點尸在。。內(nèi)B.點P在。。上

C.點P在。。外D.點尸在。。上或。。外

4.如圖，N8是。。直徑，ZXOC=130°,貝吐。=()

A.65°

B.25°

C.15°

D.35°

5.如圖，是。。的直徑，。。垂直弦/C于點。，的延長線交O。于點￡若4C=4裾，DE=4,則

8c的長是()

A.1

B,"

C.2

D.4

6.如圖，N5是半圓O的直徑，點。在半圓。上，AB=2^61,AD=10,C是弧8□上的一個動點，連接

AC,過。點作DHLAC于8,連接在點C移動的過程中，AHr的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分。

7.一元二次方程/=2的根是.

8.若關(guān)于X的一元二次方程依2—6x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是.

9.某菜鳥驛站第一天攬件100件，第三天攬件169件，設(shè)該菜鳥驛站攬件日平均增長率為x,根據(jù)題意所

列方程為.

10.如圖，N8是半圓。的直徑，點C,。在半圓。上.若乙4BC=54。,

則NBDC的度數(shù)為.

11.已知直角三角形的兩條直角邊分別為6、8,則它的外接圓半徑R=.

12.若弦長等于半徑，則弦所對圓周角的度數(shù)是.

13.若三角形的兩邊長分別是2和4,第三邊的長是方程N—6X+8=0的一個根，則這個三角形的周長為

14.平面上一點N與。。上的點的最短距離為2,最長距離為10,則。。的半徑為,

15.已知a,b是關(guān)于x的方程/+3%-2010=0的兩根，則-a-4b的值是,

16.如圖，在半圓。中，C是半圓上的一個點，將前沿弦NC折疊交直徑

48于點。，點￡是前的中點，連接。E,若。E的最小值為避一1,貝妹8

三、解答題：本題共11小題，共88分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題8分)

解方程：(1)/—2x—3=0.

(2)(久—3)2=2x—6.

18.(本小題6分)

如圖，在。。中，點C是藍的中點，D、￡分別是半徑。4和的中點，求證：CD=CE.

19.(本小題8分)

已知關(guān)于x的方程0-3)(%-2)-p2=0.

(1)求證：無論〃取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)設(shè)方程兩實數(shù)根分別為xi，x2,且滿足靖+始=3犯冷，求實數(shù)p的值.

20.(本小題8分)

如圖這是一個殘缺的圓形部件，已知/,B,C是該部件圓弧上的三點.

(1)利用尺規(guī)作圖作出該部件的圓心；(保留作圖痕跡)

(2)若A4BC是等腰三角形，底邊BC=16cm,腰AB=10cm,求該部件的半徑艮

21.(本小題8分)

如圖，/2為。。的直徑，。是弦NC延長線上一點，AC=CD,D2的延長線交。。于點E,連接CE.

(1)求證乙4=N。；

(2)若第的度數(shù)為108。，求NE的度數(shù).

E

B

22.(本小題8分)

某汽車專賣店經(jīng)銷某種型號的汽車.已知該型號汽車的進價為15萬元/輛，經(jīng)銷一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該型

號汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1輛.

(1)當(dāng)售價為22萬元/輛時，求平均每周的銷售利潤.

(2)若該店計劃平均每周的銷售利潤是90萬元，為了盡快減少庫存，求每輛汽車的售價.

23.(本小題8分)

如圖，四邊形48CD內(nèi)接于O0,連接NC、AD相交于點￡

(1)如圖1,若AC=BD,求證：AE=DE；

(2)如圖2,若2C1BD,連接OC,求證：AOCD=AACB.

圖1圖2

24.(本小題8分)

已知，在。。中，設(shè)前所對的圓周角為NB4C,求證：NB4C=%B0C.

證明；圓心?？赡茉?艮4c的一邊上，內(nèi)部和外部(如圖①、②和③).

如圖①，當(dāng)圓心。在NB4C的一邊上時.

???OA=OC,

???Z-A=乙C,

Z.BOC=Z-A+Z.C,

ABOC=2^A,即NBac/zBOC.

請你完成圖②、圖③的證明.

A

25.（本小題8分）

如圖，48是。。的直徑，弦CD14B,垂足為K為弧ZC上一動點，AK,0c的延長線相交于點尸,

連接CK,KD.

(1)求證：4AKD=4CKF；

(2)已知力B=8,CD=4y/3,求NCKF的大小.

26.（本小題8分）

閱讀下面的材料，解決問題：

解方程-—5*2+4=0,這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：

設(shè)尤2=>,那么久4=y2,于是原方程可變?yōu)閥2-5y+4=0,解得月=1,y2=4.

當(dāng)y=l時，x2=1,x=±1；

當(dāng)y=4時，久2=4,x=±2；

:?原方程有四個根：x1=l,x2--l,x3=2,x4=—2.

（1）解方程（7+%）2—4（久2+%）—12=0；

（2）解方程：/—3田=18.

27.（本小題10分）

【問題背景】

在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小軍對蘇科版數(shù)學(xué)九年級教材第42頁的第4題很感興趣.

教材原題：如圖1,BD、CE是AABC的高，M是2C的中點.點3、C、D、￡是否在以點M為圓心的同

一個圓上？為什么？

小軍在完成此題解答后提出：如圖2,若BD、CE的交點為點。，則點/、D、。、￡四點也在同一個圓

上.

(1)請對教材原題或小軍提出的問題進行解答.(選擇一個解答即可)

當(dāng)大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結(jié)論：三角形的三條高所在

直線交于同一點，可通過上面的結(jié)論加以解決.

(2)如圖3,AABC的兩條高2D、CE相交于點。，連接工。并延長交2C于點反

求證：//為ANBC的邊8c上的高.

【拓展延伸】

在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個問題：

⑶在(2)的條件下連接EF、尸。(如圖4),設(shè)=貝吐40B的度數(shù)為.(用含a的式子表示)

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：/、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，不合題意；

夙是一元二次方程，故本選項符合題意；

C、分母中含有未知數(shù)，不是整式方程，故本選項不符合題意；

D、當(dāng)a=0時不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

故選：B.

根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可.

本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：只含有一個未知

數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

2.【答案】B

【解析】解：X2—4%—4=0,

移項，得%2-4%=4,

兩邊同時加4,得久2一4%+4=8,

(x-2/=8,

故選：B.

根據(jù)配方法即可求出答案.

本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型.

3.【答案】A

【解析】解：過尸作PM1久軸于

點P的坐標(biāo)為(4,2),

.-.OM=4,PM=2,

在RtAOMP中，由勾股定理得：OP=?TN="U<5,

???O。是以原點為圓心，5為半徑的圓，

點尸和O。的位置關(guān)系是點尸在O。內(nèi)，

故選：A.

畫出圖形，求出0P的長，再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系得出即可.

本題考查了點的坐標(biāo)、點與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識點，能求出。尸的長是解此題的關(guān)鍵.

4.【答案】B

【解析】解：???乙4。。=130°,

NBOC=180°-AA0C=180°-130°=50°,

1

:?乙D=]x50=25.故選：B.

先根據(jù)鄰補角的定義求出NB0C,再利用圓周角定理求解.

本題利用了圓周角定理和鄰補角的概念求解.

5.【答案】C

【解析】【分析】

由垂徑定理可知，點。是/C的中點，則。。是AABC的中位線，所以。設(shè)。。=羽貝法C=2

x,0E=4-x,AB^20E=8-2x,在RtAABC中，由勾股定理可得A/=AC2+呂。2,即(8—2x)2

=(4出產(chǎn)+(2x)2,求出x的值即可得出結(jié)論.

【解答】

解：???4B是。。的直徑，

.?.“=90°,

0D1AC,

???點。是/C的中點，

.??。。是△ABC的中位線，

0D//BC,且。。=如C,

設(shè)。D=x,則BC=2x,

??,DE=4,

OE=DE—OD=4—%,

???AB=20E=8—2x,

在中，由勾股定理可得ZB2=AC2+BC2,

即(8-2久A=(4*)2+(2%)2,

解得X=1.

BC=2久=2.故選:C.

【點評】

本題主要考查垂徑定理，中位線的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識，設(shè)出參數(shù)，根據(jù)勾股定理得出方程是解

題關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查點與圓的位置關(guān)系、勾股定理、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，利用輔

助線解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

如圖，取的中點連接區(qū)D,HM,BM.由題意點〃在以〃為圓心，為半徑的OM上，推出當(dāng)

M、H、8共線時，8〃的值最小即可.

【解答】

解：如圖，取的中點連接BO,HM,BM.

■.■DH1AC,

■■^AHD=90°,

.??點〃在以M為圓心，為半徑的OM上,

.?.當(dāng)M、H、8共線時，8〃的值最小，

???48是直徑，

N4DB=90°,

???BD=J（2V61）2-io2=12,

BM=y/BD2+DM2=y/122+52=13,

的最小值為BM-MW=13-5=8.

故選：D.

7.【答案】x=±"

【解析】解：TX2=2,

兩邊開平方得：X=+72,

%1="，久2=一也.

故答案為：X\=",X2=—V2.

根據(jù)直接開平方法解方程即可.

此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的

右邊，化成N=a(a20)的形式，利用數(shù)的開方直接求解.

8.【答案】卜<9且人力。

【解析】解：；依2_6X+1=。有兩個不相等的實數(shù)根，

??.A=36—4/c>0,且

解得k<9且k豐0；

故答案是：卜<9且人去0.

根據(jù)一元二次方程—+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，知A=62—4ac>0,然后據(jù)此列出關(guān)于左的方

程，解方程即可.

本題主要考查了一元二次方程的根的判別式.解題時，注意一元二次方程的“二次項系數(shù)不為0”這一條

件.

9.【答案】100(1+x)2=169

【解析】解：設(shè)該菜鳥驛站攬件日平均增長率為x,根據(jù)題意所列方程為：

100(1+久)2=169.故答案為：100(1+*)2=169.

設(shè)該菜鳥驛站攬件日平均增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用增長率問題，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】144°

【解析】解：???48是半圓。的直徑，

：.^ACB=90°,

??ZBC=54。，

.-./.CAB=90°-AABC=36°,

???四邊形4BDC是。。的內(nèi)接四邊形，

AA+ZBDC=180°,

/8℃=180°-/4=144°.故答案為：144°.

根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得NACB=90。，從而求出Z_C4B,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補，即可

解答.

本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】5

【解析】解：,；直角邊長分別為6和8,

斜邊是10,

???這個直角三角形的外接圓的半徑為5,

故答案為：5.

根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

本題考查了三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓.三角形外接圓的

圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.也考查了勾股定理.

12.【答案】30°或150°

【解析】解：由弦長等于圓的半徑得到這條弦和兩條半徑組成了等邊三角形，因此這條弦所對的圓心角是

60°,

①當(dāng)圓周角的頂點在優(yōu)弧上時，此時圓周角的度數(shù)=￡x60。=30。，

②當(dāng)圓周角的頂點在劣弧上時，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，得到此時圓周角的度數(shù)=180。一30。=

150°,

???弦所對圓周角的度數(shù)是30°或150。.

故答案為：30?；?50°.

根據(jù)圓的一條弦長等于它的半徑得到這條弦和兩條半徑組成了等邊三角形，所以這條弦所對的圓心角是

60°,再根據(jù)弦所對的圓周角有兩種情況即可求解，

本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是求出這條弦所對的圓心角

的度數(shù)，分兩種情況討論.

13.【答案】10

【角犁析】解：%2—6%+8=0

（x-2）0-4）=°解得x=2或x=4

當(dāng)x=2時，2+2=4,不能構(gòu)成三角形.舍去；

當(dāng)尤=4時，2+4>4,4-2<4,可以構(gòu)成三角形，故三角形的周長為2+4+4=10.

故答案為：10.

利用因式分解法求出X的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形，求出周長即可.

本題主要考查三角形的三邊關(guān)系以及解一元二次方程，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】6或4

【解析】解：當(dāng)點/在圓內(nèi)時，。。的直徑長為10+2=12,半徑為6；

當(dāng)點/在圓外時，O。的直徑長為10—2=8,半徑為4；

即。。的半徑長為6或4.

故答案為：6或4.

分點/在圓內(nèi)或圓外進行討論.

本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心距

離與半徑的關(guān)系可以確定該點與圓的位置關(guān)系.

15.【答案】2022

【解析】解：a是關(guān)于x的方程N+3久—2010=0的兩根，

.-.a2+3a—2010=0,

a2+3a=2010,

原式=-4(a+b)+2010,

??,a與b是關(guān)于x的方程N+3x-2010=。的兩根，

a+b=—39

??.原式=-4x(-3)+2010=2022.

故答案為：2022.

先根據(jù)一元二次方程的解得到a2+3a—2010=0,則a2+3a=2010,所以原式可化簡為一4(a+b

)+2010,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求解.

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若久1，久2是一元二次方程公2+6刀+。=0(￡1力0)的兩根時，%1+%2=

%1?冷=泉也考查了一元二次方程的解.

16.【答案】2

【解析】解：補全弧所在的圓及圓心，連接CE,OC,O'E,O'C,

由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)。、C、E共線時最小，即。E="—1,

設(shè)部的弧度為必，

???林的弧度為：(180-x)。,

VZ.CAD=4CAB,

???曲的弧度為:(180-%)°,

???將廢沿弦/C折疊交直徑AB于點D,

屈的弧度為￡,

???筋的弧度為：%°-(180-%)°=(2%-180)°,

???點E為弧4D中點，

；?會的弧度為：!(2x-180)°=(x-90)°,

???禧的弧度為：(180-%)°+(%-90)°=90°,

即禧所對圓心角NCO'E=90°,

設(shè)半圓。的半徑為r,則由折疊的性質(zhì)得：?！??！?「，

???OE=72-1,

：.CE=r+y/2-l,

.../+/=&+*—1)2,

解得：勺=1,寶=2"—3(不符合題意，舍去)，

AB=2,

故答案為：2.

連接CE,OC,由三角形任意兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)O、C、E共線時O￡最小，設(shè)藍的弧度為￡,求

出福的弧度為90。，再設(shè)半徑為A列方程求解即可.

本題考查了圓的相關(guān)知識點的應(yīng)用，圖形折疊及三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

17.【答案】解:(l)x2-2x-3=0,

移項，得：x2-2x=3,

配方,得：x2-2x+1=3+1,即O—1)2=4,

兩邊同時開方，得：X—1=±2,

=3,%2——］；

(2)???(久—3)2=2(x—3),

(x_3)2_2(%-3)=0,

則(％—3)(%—5)=0,

■■■x—3—?；騲—5=0,

解得刀1—3,*2=5.

【解析】(1)方程利用配方法求解即可；

(2)方程移項后，利用提公因式法因式分解求解即可.

本題考查了解一元二次方程，掌握配方法以及提公因式法因式分解是解答本題的關(guān)鍵.

18.【答案】證明：連接CO,如圖所示，

???OA=OB,且。、￡分別是半徑OA和OB的中點,

0D-0E,

又?點C是藍的中點，

???AC=CB,

/.Z.COD=Z-COE,

在△C。。和△COE中，

(OC=OC

Z.COD=(COE

0D=0E

??.ACOD沿△COE(SAS),

CD=CE.

【解析】連接OC,構(gòu)建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的對應(yīng)邊相等證得CD=CE.

本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，以及全等三角形的判定與性質(zhì).判定兩個三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS,SSA,HL.

注意：AAA.SSN不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對

應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

19.【答案】(1)證明：方程整理為久2—5x+6—p2=o,

；.△=(一5尸—4x1x(6-p2)=1+4p2,

...4P2>o,

0,

這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)解：根據(jù)題意得％1+刀2=5,%1%2-6—p2,

=

V+%23%1%2>

(%i+*2)之—2刀1%2=3%1比2，

即25=5(6—p2),

p=+1.

【解析】本題考查了一元二次方程a/+6%+c=0(aH0)的根的判別式△=b2-4ac,當(dāng)△>。時，方程

有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<()時，方程沒有實數(shù)根，也考查了

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

(1)先把方程化為一般式，再計算出A=l+4p2,根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△>(),則根據(jù)判別式的意義得到

這個方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到得X1+%2=5,%1%2=6-p2,由已知條件變形得到01+X2)2-2x^2=3%1

K2，即25=5(6—p2),然后解關(guān)于P的方程即可.

20.【答案】解：(1)如圖所示：分別作弦和/C的垂直平分線交點。即為所求的圓心;

(2)連接/。，OB,BC,BC交OA于D.

■：AB=AC,

???AB=AC,

???OALBC,

BD=DC,

BC=16cm,

.?.BD—8(cm),

AB—10cm,

AD=7AB2-BD2=^/102-82=6(cm),

設(shè)圓片的半徑為R,在RtABOD中，0D=(R—6)cm,

R2=82+(R—6)2,

解得：R=ycm,

???圓片的半徑R為箏

【解析】(1)作相等/C的垂直平分線交于點。，以。為圓心，04為半徑作。。即可；

(2)利用垂徑定理，勾股定理求解.

本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識

解決問題.

21.【答案】（1）證明：連接8C,

?.TB是。。的直徑，

???即AD1BC,

又AC=CD,

■■AB=BD,

Z.A=Z.D；

（2）解：?.?薪的度數(shù)為108°,

???乙EBA=54°,

又4E8A=Z.A+zD,Z,A=zD,

??.41=%EBA=27。,

???Z-E—Z.A=27°.

【解析】（1）連接BC,首先證明B4=BD,即可解決問題；

（2）根據(jù)0的度數(shù)為108。，可得NEB4=54。，又=乙4=ND,所以NA=，NEB4=27。，即

可求出答案.

本題考查圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考

題型.

22.【答案】解：（1）由題意，可得當(dāng)售價為22萬元/輛時，平均每周的銷售量是：失￥xl+8=14,

則此時，平均每周的銷售利潤是：（22-15）x14=98（萬元）；

（2）設(shè)每輛汽車降價x萬元，根據(jù)題意得：

（25-%-15）（8+2%）=90,

解得％1=1,x2=5,

當(dāng)x=l時，銷售數(shù)量為8+2x1=10（輛）;

當(dāng)x=5時，銷售數(shù)量為8+2x5=18（輛）,

為了盡快減少庫存，貝卜=5,此時每輛汽車的售價為25—5=20(萬元)，

答：每輛汽車的售價為20萬元.

【解析】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，本題關(guān)鍵是會表示一輛汽車的利潤，銷售量增加的部

分.找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系：每輛的盈利x銷售的輛數(shù)=90萬元是解決問題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)當(dāng)該型號汽車售價定為25萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出1

輛，即可求出當(dāng)售價為22萬元/輛時，平均每周的銷售量，再根據(jù)銷售利潤=一輛汽車的利潤X銷售數(shù)量

列式計算；

(2)設(shè)每輛汽車降價x萬元，根據(jù)每輛的盈利X銷售的輛數(shù)=90萬元，列方程求出x的值，進而得到每輛

汽車的售價.

23.【答案】證明：⑴???4C=BD,4r---、

^AB+BC=BC+CD,j//小)

^ADB=ACAD,c

AE=DE；圖2

(2)作直徑CR連接DR如圖2,

AC1BD,

??.AAED=90°,

???N4DE+"/D=90°,

???乙ACB=乙ADE,ZF=Z.CAD,

cACB+ZF=9O°,

???CF為直徑，

/.ZCDF=90°,

??.ZF+ZFCP=90°,

Z.ACB=Z-FCD,

即4OCD=4ACB.

【解析】(1)利用"=得到標(biāo)=訪，則旋=曲，然后根據(jù)圓周角定理得到乙4DB=NC4。，從而得到

結(jié)論；

(2)作直徑CR連接。尸，如圖2,先利用垂直定義得到N4DE+4010=90。，再利用圓周角定理得到N

ACB=^ADE,乙F=4CAD,乙CDF=90。,然后根據(jù)等角的余角相等得到結(jié)論.

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.也考查了圓周角定理.

24.【答案】解：圖②證明：如圖②所示，連接4。并延長交圓。于

圖②

OA=OB=0C,

Z-OAB=Z-OBA,Z.OAC=/-OCA,

???乙BOD=/.OBA+乙。28,乙COD=Z-OCA+NOZC,

/.Z-BOD=2/-0AB,Z.COD=2/-0AC,

???乙BOD+Z.COD=2(OAB+2N0AC,

.-.Z.BOC=2/-BAC,BPZB^C=1ZBOC；

圖③證明：如圖③所示，延長8。交圓。于E,

由圖①的證明可知NE=jzBOC,

Z71=^ABAC.

【解析】圖②證明：如圖②所示，連接/。并延長交圓。于。，根據(jù)。a=OB=OC,得到NO4B=N

OBA,N04C=N0C4利用三角形外角的性質(zhì)得到NB0D=2N(MB,乙COD=2乙0AC,由此證明即可；

圖③證明：如圖③所示，延長80交圓。于￡,由同弧所對的圓周角相等得到NE=ABAC,再由圖①的證

明等量代換即可證明圖③.

本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，圓周角定理，同弧所對的圓周角

相等等等，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】（1）證明:連接ZD、AC,

???NCKF是圓內(nèi)接四邊形ZDCK的外角，

???Z.CKF+/.AKC=180°,UKC+Z.ADC=180°

???乙CKF=/.ADC,

?-?AB為。。的直徑，弦CO1AB,

BD=BC,

???AD=AC,

：.Z.ADC=Z.AKD,

■■■^LAKD=NCKF；

(2)解：連接OD,

,"B為O。的直徑，AB=8,

??.OD=OA=4,

?.?弦CD14B,CD=473,

:.DE=CE=*D=2B

在Rt△ODE中,OE=y/OD2-DE2=2,

???AE=6,

在RtZkAOE中，tanZ-ADE==A/3,

DE27s

???AADE=60°,

,:乙CKF=/.ADE=60°.

【解析】⑴連接4。、4c根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形對角互補”以及同角得到補角相等，推知=乙4DC；

然后由圓心角、弧、弦間的關(guān)系以及圓周角定理證得乙4OC=乙4KD；最后根據(jù)圖中角與角間的和差關(guān)系

證得結(jié)論;

(2)連接。。.利用垂徑定理知DE=CE=2CD=2平,然后在Rt△ODE中根據(jù)勾股定理求得0E=2,最后在

RM4DE中利用三角函數(shù)的定義求得tan〃DE=擲，由等量代換知NCKF=60°.

此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理以及解直角三角形等知識，熟練運用

有關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

26.【答案】解:(1)設(shè)/+%=%

則原方程可化為：y2-4y