專題13.14 等腰三角形七種常見輔助線作法（方法梳理與題型分類講解）（人教版）（學(xué)生版） 2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（人教版）

專題13.14等腰三角形七種常見輔助線作法（方法梳理與題型分類講解）第一部分【模型歸納與題型目錄】題型目錄【題型1】作等腰三角形底邊上高線求值或證明.................................1【題型2】遇到中點作中線求值或證明.........................................2【題型3】過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線.............................3【題型4】過一腰上的某一已知點做底邊的平行線...............................4【題型5】倍長中線構(gòu)造等腰三角形...........................................5【題型6】截長補短構(gòu)造等腰三角形...........................................6【題型7】延長相交構(gòu)造或證明等腰三角形.....................................7第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】作等腰三角形底邊上高線求值或證明【例1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，是等腰三角形，．設(shè)．(1)如圖1，點D在線段上，若，求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）．(2)如圖2，已知．若，過點B作于點H，求證：．【變式1】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，平分交于點，是上一點，且．求證：．

【變式2】（22-23八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）在中，，過點C作射線，使（點與點B在直線的異側(cè)）點D是射線上一動點（不與點C重合），點E在線段上，且．

(1)如圖1，當(dāng)點E與點C重合時，與的位置關(guān)系是，若，則的長為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點E與點C不重合時，連接，①若，求的度數(shù)；②用等式表示與直間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【題型2】遇到中點作中線求值或證明【例3】（23-24七年級下·四川成都·階段練習(xí)）在中，，且的頂點E在邊上移動，在移動過程中，邊，分別與，交于點M，N，(1)當(dāng)且M與A重合時，求證：(2)當(dāng)E為中點時，連接，求證：【變式1】（23-24八年級上·廣東汕頭·期中）如圖，中，，是的中點，、分別是、上的點，且，求證：．

【變式2】（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在中，，過的中點D作，，垂足分別為點E，F(xiàn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【題型3】過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線【例3】（23-24八年級上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，是的中點，點在上，點在直線上，(1)當(dāng)點與重合時，判斷的形狀，并說明理由?(2)當(dāng)點在的延長線上時，求證：．【變式1】（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在等邊中，點D、E分別在和邊上，以為邊作等邊，連接．若，．則的長是．【變式2】（22-23八年級下·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖，等邊三角形中，D為上一點，E為延長線上一點，交于點F，且．若，則的長為．【題型4】過一腰上的某一已知點做底邊的平行線【例4】（23-24八年級上·湖南懷化·期末）如圖，在等邊中，點M為上任意一點，延長至點N，使，連接交于點P．

(1)求證：；(2)作于點H，設(shè)，請用含的式子表示的長度．【變式1】（23-24七年級下·陜西榆林·階段練習(xí)）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．如圖，已知E是的中點，點A在上，且．求證：．

(1)現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長到點F，使，連接；②如圖2，過點B作，交的延長線于點F，過點C作，垂足為G．請你在圖3中添加不同于（1）中的輔助線，并對原題進行證明．【變式2】（21-22八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在等邊三角形中，點D在上，延長至點E，使于點F．(1)如圖①，若點D是的中點，求證：；(2)如圖②，若點D是上任意一點，是否仍然成立？請證明你的結(jié)論；(3)如圖③，若點D是延長線上的任意一點，其他條件不變，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？畫圖并寫出你的結(jié)論，不必證明．【題型5】倍長中線構(gòu)造等腰三角形【例5】（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點，E是上一點，，的延長線交于點F，若，，則求的度數(shù)為．

【變式1】（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖在四邊形中，是的中點，連接，平分，，，則線段的長為．【變式2】（24-25八年級上·陜西西安·開學(xué)考試）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完全等三角形后，發(fā)現(xiàn)可以通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形來解決問題．(1)如圖（1），是的中線，且，延長至點，使，連接，可證得，其中判定兩個三角形全等的依據(jù)為________．(2)如圖（2），在中，點在上，且，過作，且．求證：平分．【題型6】截長補短構(gòu)造等腰三角形【例6】（23-24八年級上·廣東深圳·期末）如圖，在中，，，三角形內(nèi)有一點，連接，，，若平分，，則．

【變式1】（23-24八年級上·江蘇南京·期末）如圖，在中，，平分交于點D，點E在的延長線上，，若，則線段的長為．【變式2】（2024·陜西西安·三模）如圖，是等邊三角形，D為外一點，且，連接，若，則的長為．【題型7】延長相交構(gòu)造或證明等腰三角形【例7】（23-24八年級上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，動點在射線上，交于，的平分線交于．則當(dāng)時，．