2020-2021學年安徽省合肥市一中、六中、八中高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2020-2021學年安徽省合肥市一中、六中、八中高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z=（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算法則求解即可得出．【詳解】解：，故選：C．2．已知向量，，若，則實數(shù)m的值為（）A．9 B．7 C．17 D．21【答案】B【分析】由垂直的坐標表示計算．【詳解】由已知，因為，所以，解得．故選：B．3．某校高一年級15個班參加慶祝建黨100周年的合唱比賽，得分如下：858788898990919192939393949698，則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)、90%分位數(shù)分別為（）A．90.5，96 B．91.5，96 C．92.5，95 D．90，96【答案】A【分析】根據(jù)分位數(shù)及分位數(shù)的計算規(guī)則計算可得；【詳解】解：因為一個15個數(shù)據(jù)，所以，則分位數(shù)為從小到大排列的第個和第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為，，則分位數(shù)為從小到大排列的第個數(shù)據(jù)為，故選：A4．從裝有大小和形狀完全相同的個紅球和個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，下列各對事件中，互斥而不對立的是（）A．“至少一個白球”和“都是紅球”B．“至少一個白球”和“至少一個紅球”C．“恰有一個白球”和“恰有一個紅球”D．“恰有一個白球”和“都是紅球”【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件與對立事件的概念依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】A選項中“至少一個白球”和“都是紅球”二者是互斥事件，同時二者必發(fā)生其一，是對立事件，A錯誤；B選項中“至少一個白球”和“至少一個紅球”有可能都表示一個白球，一個紅球，不是互斥事件，B錯誤；C選項中“恰有一個白球”和“恰有一個紅球”有可能都表示一個白球，一個紅球，不是互斥事件，C錯誤；D選項中“恰有一個白球”和“都是紅球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，又由于兩個事件之外還有“都是白球”事件，故不是對立事件，D正確.故選：D.5．設(shè)，是兩個不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列說法正確的是（）①若，，則或②若，，則③若，，則④若，，，，則A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)，面面平行判定這，面面垂直的性質(zhì)分別判斷各命題．【詳解】一條直線與兩個平行平面中的一個平行，則這條直線在另一平面內(nèi)或與另一平面平行，①正確；垂直于同一平面的兩條直線平行，這是線面垂直的性質(zhì)定理，②正確；垂直于同一直線的兩個平面平行，即兩個平面的法向量相同，顯然它們平行，③正確；兩個平面垂直，一個平面內(nèi)與交線垂直的直線必與另一平面垂直，這是面面垂直的性質(zhì)定理，④正確．故選：D．6．在一次體檢中，甲、乙兩個班學生的身高統(tǒng)計如下表：班級人數(shù)平均身高方差甲2010乙3015其中甲－乙＝5，則兩個班學生身高的方差為（）A．19 B．18 C．18.6 D．20【答案】A【分析】求出總平均值，再根據(jù)方差公式計算方差．【詳解】由已知，所以，設(shè)兩個班總均值為，則，所以兩個班的方差為．故選：A．7．在一個擲骰子的試驗中，事件A表示“向上的面小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事件B表示“向上的面小于4的點出現(xiàn)”，則在一次試驗中，事件發(fā)生的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出事件后易得概率．【詳解】由題意＝“向上的面的點數(shù)為2或4或5或6”，所以其概率為．故選：B．8．在中，已知，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由余弦定理化角為邊，然后通過代數(shù)式的變形可得．【詳解】因為，所以，，，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形．故選：D．9．如圖，矩形中，，正方形的邊長為1，且平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】取AF的中點G，聯(lián)結(jié)AC交BD于O點，異面直線與所成角即直線與所成角.在中，分別求得，利用余弦定理即可求得，從而求得異面直線夾角的余弦值.【詳解】取AF的中點G，聯(lián)結(jié)AC交BD于O點，如圖所示，則，且，異面直線與所成角即直線與所成角，由平面平面知，平面，由題易知，，則，，，則在中，由余弦定理知，，由兩直線夾角取值范圍為，則直線與所成角即異面直線與所成角的余弦值為故選：C【點睛】方法點睛：將異面直線平移到同一個平面內(nèi)，利用余弦定理解三角形，求得線線夾角.10．如圖，在中，，，點為的中點，將沿折起到的位置，使，連接，得到三棱錐，若該三棱錐的所有頂點都在同一球面，則該球的表面積是A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得該三棱錐的面是邊長為的正三角形，且平面，設(shè)三棱錐的外接球球心為，的外接圓的圓心為，則平面，所以四邊形為直角梯形.由,及，可得，即為外接球半徑，故其表面積為.點睛：設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來求.若長方體長寬高分別為則其體對角線長為;長方體的外接球球心是其體對角線中點.找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過幾何體各個面的外心分別做這個面的垂線,交點即為球心11．如圖，在平行四邊形中，，，動點M在以點C為圓心且與相切的圓上，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，然后以為軸建立平面直角坐標系，求出圓的方程丹鳳出點坐標，用坐標表示向量積，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得最大值．【詳解】由題意，所以，即，所以，以為軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，．直線方程為，即，所以圓半徑為，圓方程為，設(shè)，，，所以，顯然其最大值為．故選：A．12．已知四棱錐的底面是邊長為8的正方形，平面，且，E，F(xiàn)，M為，，的中點，則經(jīng)過E，F(xiàn)，M的平面截四棱錐的截面面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，的四等分點，順次連接、、、、，則平面就是經(jīng)過，，的平面截四棱錐所得截面，由此能求出經(jīng)過，，的平面截四棱錐所得截面的面積．【詳解】解：取中點，的四等分點，順次連接、、、、，設(shè)MG交BD于N，連接交EF于J，則N也為BD的四等分點，∵INPB，MEPB，則MEIN，同理GFIN，則、、、、共面，則平面就是經(jīng)過，，的平面截四棱錐所得截面，四棱錐的底面是邊長為8的正方形，，，，為，，的中點，，，，且是矩形，，,經(jīng)過，，的平面截四棱錐所得截面的面積為：．故選：B．二、填空題13．在中，，，，則_______.【答案】2【分析】由余弦定理列方程求解．【詳解】由余弦定理得，即，整理得，解得（負數(shù)舍去）．故答案為：2．14．底面直徑為2的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的表面積為________.【答案】【分析】由展開圖求出圓錐母線長，再由圓錐表面積公式計算．【詳解】設(shè)圓錐母線長為，由題意，所以，，所以圓錐表面積為．故答案為：．15．在某次測試中，甲、乙通過的概率分別為0.8，0.5，若兩人測試是否通過相互獨立，則至少有一人通過的概率為__________.【答案】0.9【分析】通過其對立事件兩人都未通過來計算概率．【詳解】由題意兩人都未通過的概率為，所以至少有一人通過的概率為．故答案為：0.9．16．在中，角A，B，C滿足，則_____.【答案】【分析】由正弦定理可得，結(jié)合余弦定理可得，利用三角函數(shù)同角關(guān)系得出，結(jié)合二次根式的意義得到和，求出角C即可.【詳解】因為由正弦定理，得，由余弦定理，得，所以，整理，得，所以，因為，所以，得，即，此時，又，所以，所以，得，所以.故答案為：三、解答題17．已知復(fù)數(shù).（1）若在復(fù)平面中所對應(yīng)的點在直線上，求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化簡，得在復(fù)平面中所對應(yīng)的點的坐標，代入直線計算；（2）代入模長公式表示出，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可.【詳解】（1）化簡得，所以在復(fù)平面中所對應(yīng)的點的坐標為，在直線上，所以，得.（2），因為，且，所以，所以的取值范圍為.18．某校高一年級為了提高教學效果，對老師命制的試卷提出要求，難度系數(shù)須控制在（難度系數(shù)是指學生得分的平均數(shù)與試卷總分的比值，例如：滿分為100分的試卷平均分為68分，則難度系數(shù)），某次數(shù)學考試（滿分100分）后，王老師根據(jù)所帶班級學生的等級來估計高一年級1800人的成績情況，已知學生的成績分為A，B，C，D，E五個等級，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）試估算該校高一年級學生獲得等級為B的人數(shù).（2）若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)90分，80分，70分，60分，50分，請問按王老師的估計：本次考試試卷命制是否符合要求.（3）王老師決定對成績?yōu)镋的16名學生（其中男生4人，女生12人）先找4人進行單獨輔導，按分層抽樣抽取的4人中任取2人，求恰好抽到1名男生的概率.【答案】（1）252人；（2）符合要求；（3）.【分析】（1）用樣本頻率估計總體頻率后可得；（2）根據(jù)統(tǒng)計圖表數(shù)據(jù)計算均值后可得；（3）按分層抽樣，抽到的4人中男生1人，女生3人，可用列舉法寫出任取2人的方法，得抽取的方法數(shù)后計算概率．【詳解】解析：（1）高一年級獲得成績?yōu)锽的人數(shù)為（人）.（2）王老師所帶班級平均分為，所以估計難度系數(shù)為0.674，符合要求.（3）按分層抽樣，抽到的4人中男生1人，編號為，女生3人編號為1，2，3，4人中任取2人有共有6種取法，2人中恰有1名男生有共3種取法，所以恰好抽到1名男生的概率為.19．已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）若的面積為2，求的周長的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化角為邊，然后由余弦定理可求得角；（2）由三角形面積求得，再由基本不等式求得的最小值，結(jié)合余弦定理求得的最小值，從而得周長最小值．【詳解】解析：（1）由已知，得，由正弦定理，得，即.再由余弦定理得.又，所以.（2）由（1）及已知得，的面積為，所以.又，當且僅當時等號成立，于是，所以三角形周長，所以周長最小值為，此時，.20．如圖，三棱柱中，側(cè)面是邊長為2的菱形，且，點M，G分別在，上，且，.（1）證明：直線平面.（2）若點G恰好是點在平面內(nèi)的正投影，此時，求三棱錐的體積.（注：本大題用空間坐標系解題一律不給分）【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）過G作交于E，連接，證明是平行四邊形，得后可證得線面平行；（2）用換底法與體積公式求體積：．【詳解】解析：（1）過G作交于E，連接，因為為等邊三角形，所以，又，所以，又，,所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以直線平面.（2）因為，所以，又，所以，在直角三角形中，，，又平面所以.【點睛】本題考查證明線面平行，考查求棱錐的體積，求三棱錐的體積常常利用換底法，一是利用線面平行，換頂點不換底；二是換底換頂點，三棱錐的每個面都可以作為底，另外一個點作為頂點．這樣可選擇高易求的點為頂點，求出底面積即可．21．合肥逍遙津公園是三國古戰(zhàn)場，也是合肥最重要的文化和城市地標，是休閑游樂場，更是幾代合肥人美好記憶的承載地.2020年8月啟動改造升級工作，欲對該公園內(nèi)一個平面凸四邊形的區(qū)域進行改造，如圖所示，其中米，米，為正三角形.改造后將作為人們旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域，將作為對三國歷史文化的介紹區(qū)域.（1）當時，求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域的面積；（2）求旅游觀光、休閑娛樂的區(qū)域的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理求得，再由正弦定理求得，求出，易得面積；（2）不妨設(shè)，，用余弦定理表示出，用正弦定理表示出，再用余弦定理表示出，然后表示出的面積，利用兩角和的正弦公式展開代入，再利用兩角差的正弦公式化簡，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)得最大值．【詳解】解析：（1），∴，又，∴，易知是銳角，所以，∴，，（2）不妨設(shè)，，于是由余弦定理得①，②，③，∴，當且僅當時取等號，∴最大值為.【點睛】本題考查解三角形的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是選用一個角為參數(shù)，然后把其他量表示為參數(shù)的三角函數(shù)，這里注意正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形，最后利用正弦函數(shù)性質(zhì)求得最值．22．如圖，在直三棱柱中，平面，其垂足D落在直線上.（1）求證：；（2）若P是線段上一點，，，三棱錐的體積為，求二面角的平面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由直三棱柱的定義可得，由平面，得，從而由線面垂直的判定可得平面，從而得；（2）由于，，可得，設(shè)，則，由可得，從而由三棱錐的體積為，可求得，則，連接，過P作交于O點，