2020-2021學(xué)年A佳湖南大聯(lián)考高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages33頁2020-2021學(xué)年A佳湖南大聯(lián)考高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)（i為虛數(shù)單位），則（）A．25 B．5 C．13 D．【答案】B【分析】先寫共軛復(fù)數(shù)，進(jìn)行加法運(yùn)算，再計(jì)算復(fù)數(shù)的模長即可.【詳解】，則，∴，所以.故選：B．2．如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（）A．①是棱臺 B．②是圓臺C．③是棱錐 D．④是棱柱【答案】D【分析】利用空間幾何體的概念特征直接判斷即可.【詳解】根據(jù)棱臺的概念，①中上下底面不相似，不是棱臺；根據(jù)圓臺的概念，②中上下底面不平行，不是圓臺；根據(jù)棱錐的概念，③中下底面不是多邊形，即不是棱錐；故A，B，C都是錯誤的，根據(jù)棱柱的概念，④是上下底面為五邊形的五棱柱的，故D正確的.故選：D．3．已知，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．或【答案】C【分析】分析可知，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由已知可得，，且，所以，，解得.故選：C.4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】先化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，再判斷對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限即可.【詳解】依題意，對應(yīng)的點(diǎn)為在第二象限.故選：B．5．如果一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是一個等腰直角三角形，斜邊長為2，且斜邊落在斜二測坐標(biāo)系的橫軸上，則原圖形的面積為（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)斜二測畫法可得原圖，從而可計(jì)算其面積.【詳解】斜二測直觀圖如圖（1）所示，原圖如圖（2）所示，其中：，故其面積為，故選：A．6．設(shè)函數(shù)在上的最小值為7，則在上的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則為奇函數(shù)且，根據(jù)的最小值可得的最小值，從而可得的最大值，故可求的最大值.【詳解】，其中為奇函數(shù)．由條件知上有，故在上有，所以在上有，故選：D．7．若將函數(shù)圖象沿軸向左平移個單位，然后再將所得函數(shù)圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮為原來的一半（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)圖象變換求得函數(shù)的解析式，然后利用正弦型函數(shù)的對稱性可求得結(jié)果.【詳解】將函數(shù)的圖象上每個點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的倍，可得到函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)圖象沿軸向右平移個單位，可得到函數(shù)的圖象，由，解得，當(dāng)時，，因此，函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為.故選：C.8．已知的邊的中點(diǎn)為D，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)P（P點(diǎn)不在邊界上）滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先以為x軸，D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，得到對應(yīng)坐標(biāo)，再根據(jù)向量關(guān)系解得，結(jié)合題意知，即解得結(jié)果.【詳解】以為x軸，D為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系．設(shè)，則，，由，有，故，∵點(diǎn)P在內(nèi)，∴即，解得.故選：A．二、多選題9．邊長為1的菱形中，，已知向量滿足，則下列結(jié)論中正確的有（）A．為單位向量 B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)單位向量的定義即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)向量的線性運(yùn)算和共線向量的概念即可判斷B選項(xiàng)；由即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)向量的線性運(yùn)算和向量的垂直關(guān)系即可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：易知是邊長為1的等邊三角形，而∴A正確；，而，∴，故B正確；∵夾角為，C不正確；取中點(diǎn)E，故，故D正確．故選：ABD.10．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為的中點(diǎn)．則（）A．正方體體積是三棱錐體積的24倍B．直線與平面平行C．平面截正方體所得的截面面積為D．三棱錐與在棱錐的體積相等【答案】ABC【分析】根據(jù)正方體和棱錐的體積公式，可判定A正確；連接和，證得面面，結(jié)合面面平行的性質(zhì)，可判定B正確；根據(jù)三角形的面積公式，可判定C正確；根據(jù)棱錐的體積公式，求得兩三棱錐的體積，可判定D不正確．【詳解】由正方體的棱長為2，可得其體積為，又由三棱錐的體積，可得，所以正方體體積是三棱錐體積的24倍，所以A正確；連接和，則，可得面面，因?yàn)槠矫?，所以面，所以B正確；由為等腰三角形，底邊，故三角形的高為，可得的面積為，所以C正確；由，所以D不正確．故選：ABC11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的在最大值為0B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)為偶函數(shù)D．若方程在R上有4個不等實(shí)根，則【答案】ACD【分析】將函數(shù)配方，根據(jù)單調(diào)性，可判斷選項(xiàng)A,B真假，根據(jù)奇偶性定義，可判斷選項(xiàng)C真假，做出的圖像，結(jié)合對稱性，可判斷選項(xiàng)D真假.【詳解】，時，當(dāng)時函數(shù)取最大值0，∴A正確；在遞減，在遞增，∴B不正確；令，所以為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)C正確；令，的根轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)，做出圖像如下圖所示：圖像關(guān)于對稱，當(dāng)與有四個交點(diǎn)時，兩兩分別關(guān)于對稱，所以，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD12．中，，，，在下列命題中，是真命題的有（）A．若且，則為銳角三角形B．若，則為鈍角三角形C．若，則為等邊三角形D．若，則為直角三角形【答案】BD【分析】利用平面向量數(shù)量積與向量夾角的關(guān)系可判斷AB選項(xiàng)的正誤；利用平面向量數(shù)量積可得出，可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得出，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，，則，則角為銳角，同理，由可知角為銳角，但角不一定是銳角，所以，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，，則，則角為鈍角，所以，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，可得，即，即，故，故為等腰三角形，C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，，即，即，即，化簡可得，故，即為直角三角形，即D正確．故選：BD.三、填空題13．已知向量，若，則_____．【答案】3【分析】先計(jì)算的坐標(biāo)，再根據(jù)列關(guān)系解得參數(shù)即可.【詳解】向量，則，所以由知，，解得．故答案為：3.14．已知實(shí)數(shù)滿足（i是虛數(shù)單位），，則實(shí)數(shù)的值為_______．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法與復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由，故有，所以，，故.故答案為：.15．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線夾角為，且面積等于2，圓錐軸截面為等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為_______．【答案】【分析】先求出圓錐的底面半徑，由圓錐側(cè)面展開形成扇形，代入扇形面積公式即可【詳解】設(shè)圓錐母線長為l，高為h，則由．于是圓錐底面圓半徑為，所以圓錐的側(cè)面積為．故答案為：16．已知函數(shù)，，若對任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【分析】求出函數(shù)的值域，結(jié)合對任意的，總存在實(shí)數(shù)，，使得成立，轉(zhuǎn)化為的值域是函數(shù)值域的子集即可．【詳解】設(shè)函數(shù)的值域分別為集合A、B，當(dāng)時，當(dāng)時，，所以，因?yàn)閷θ我獾?，總存在?shí)數(shù)，，使得成立，所以應(yīng)有，故當(dāng)顯然不合要求．當(dāng)時，在上符合要求．當(dāng)時，在上遞增，所以，故，所以有．綜上，.故答案為：四、解答題17．已知函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)不等式的解集確定對應(yīng)二次方程的根，再根據(jù)韋達(dá)定理解出參數(shù)即可；（2）根據(jù)題意知對稱軸在區(qū)間內(nèi)，列不等式即解得答案.【詳解】解：（1）由已知得方程的兩根為1和3，故由，解得，再由韋達(dá)定理有，得，符合要求，故實(shí)數(shù)k的值為；（2）∵函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，二次函數(shù)對稱軸為，∴，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為．18．在平面四邊形中，．（1）若，求實(shí)數(shù)x的值；（2）若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）利向量的加法求得、，再根據(jù)得：，即可求得實(shí)數(shù)x的值；（2）先求出，根據(jù)與的夾角為鈍角，得，且與不共線，即可求出實(shí)數(shù)x的取值范圍．【詳解】（1），∵，∴，即，或；（2），由條件應(yīng)有，即得．由得，∴，故所求為．19．如圖，已知在長方體中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的表面積與體積．【答案】（1）證明見解析；（2）4，.【分析】（1）連接交于點(diǎn)O，連接，可證，從而可證平面.（2）利用公式可求三棱錐的表面積和體積.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，連接，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)O是的中點(diǎn)∴為的中位線，故．又平面，平面，∴平面.（2）在長方體中，均直角三角形，其面積分別為1，1，．而在中，，故等腰底邊上的高，得的面積為，所以三棱錐的表面積為．∵，三棱錐的高，故所求體積為．20．在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．（1）求角A的大?。唬?）若，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先進(jìn)行角化邊，利用余弦定理計(jì)算，再結(jié)合角的范圍求得角A即可；（2）由已知條件利用基本不等式解得，再計(jì)算，即得其最大值.【詳解】解：（1）由已知有，即∴，又，∴；（2）由知，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即面積的最大值為．21．一艘船以的速度向正北航行．在A處看燈塔S在船的北偏東方向，后航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東方向．已知距離此燈塔以外的區(qū)域?yàn)楹叫械陌踩珔^(qū)域，那么該船繼續(xù)沿正北方向航行安全嗎？請說明理由．【答案】該船繼續(xù)沿正北方向航行安全，理由見解析.【分析】由正弦定理求得，以及船與燈塔的最短距離為，結(jié)合大小關(guān)系，即可得到結(jié)論.而即，所以航道在安全區(qū)域內(nèi)，【詳解】如圖所示，在中，．因?yàn)樗杂烧叶ɡ淼霉蚀c燈塔的最短距離為．而即，所以航道在安全區(qū)域內(nèi)，故該船繼續(xù)沿正北方向航行安全．22．已知函數(shù)在上有最小值1．（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若關(guān)于x的方程恰好有4個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先研究時，利用單調(diào)性判斷不