2024年秋季德陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)月考試卷附答案解析

年秋季德陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)月考試卷考試范圍：必修二第十章、選修第一冊(cè)第一章；考試時(shí)間：120分鐘第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某實(shí)驗(yàn)中學(xué)共有職工150人，其中高級(jí)職稱的職工15人，中級(jí)職稱的職工45人，一般職員90人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取的高級(jí)職稱、中級(jí)職稱、一般職員的人數(shù)分別為（）A.5、10、15 B.3、9、18 C.3、10、17 D.5、9、164.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為（）A.6 B.7 C.8 D.95.從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.6.已知空間中非零向量，，且，，，則的值為（）A. B. C. D.7.已知空間向量，空間向量滿足且，則＝（

）A.B.C.D.8.已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.二、多選題9.設(shè)是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.若A和互斥，則A和一定相互獨(dú)立B.若事件，則C.若A和相互獨(dú)立，則A和一定不互斥D.不一定成立10.如圖，點(diǎn)是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中滿足平面的是（）AB.C.D.11.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，沿對(duì)角線BD將△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，連接PC，下列說(shuō)法正確的是（）A平面PCD⊥平面PBDB.三棱錐外接球的表面積為C.PD與平面PBC所成角的正弦值為D.若點(diǎn)M在線段PD上（包含端點(diǎn)），則△BCM面積的最小值為第Ⅱ卷（選擇題）三、填空題12.如果從甲口袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙口袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，現(xiàn)分別從甲乙口袋中各摸出1個(gè)球，則2個(gè)球都是紅球的概率是________．13.已知正方體棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離是__________．14.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），若平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_________.四、解答題15.《中華人民共和國(guó)民法典》于2021年1月1日正式施行．某社區(qū)為了解居民對(duì)民法典的認(rèn)識(shí)程度，隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的居民進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)試（滿分：100分），并根據(jù)測(cè)試成績(jī)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)該組測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和第57百分位數(shù)；（2）該社區(qū)在參加問(wèn)卷且測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機(jī)抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事件“兩人的測(cè)試成績(jī)分別位于和”，求.16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．（1）證明：B1D⊥平面ABD；（2）證明：平面EGF∥平面ABD.17.已知甲射擊的命中率為0.8，乙射擊的命中率為0.9，甲乙兩人的射擊相互獨(dú)立．（1）甲乙兩人同時(shí)命中目標(biāo)的概率；（2）甲乙兩人中至少有1人命中目標(biāo)的概率．18.如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)在底面圓周上，為垂足.（1）求證：.（2）當(dāng)直線與平面所成角的正切值為2時(shí)，①求平面與平面夾角的余弦值；②求點(diǎn)到平面距離.19.圖1是直角梯形，，，四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為，若存在，則的值；（3）在（2）前提下，求出直線與平面所成角的正弦2024年秋季德陽(yáng)市外國(guó)語(yǔ)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)月考試卷考試范圍：必修二第十章、選修第一冊(cè)第一章；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用交集性質(zhì)即可得.【詳解】由，，則.故選：C.2.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定.【詳解】，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故選：B.3.某實(shí)驗(yàn)中學(xué)共有職工150人，其中高級(jí)職稱的職工15人，中級(jí)職稱的職工45人，一般職員90人，現(xiàn)采用分層抽樣抽取容量為30的樣本，則抽取的高級(jí)職稱、中級(jí)職稱、一般職員的人數(shù)分別為（）A.5、10、15 B.3、9、18 C.3、10、17 D.5、9、16【答案】B【解析】【分析】利用分層抽樣的定義求出對(duì)應(yīng)人數(shù)，得到答案.【詳解】抽取的高級(jí)職稱人數(shù)為，中級(jí)職稱人數(shù)為，一般職員的人數(shù)為，故抽取的高級(jí)職稱、中級(jí)職稱、一般職員的人數(shù)分別為3、9、18.故選：B4.已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為（）A6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】分析】借助百分位數(shù)定義計(jì)算即可得.【詳解】由，故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為.故選：C.5.從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【詳解】任取2個(gè)不同數(shù)可能有、、、、、、、、、，共10種情況，其中和為偶數(shù)的情況有、、、，共4種情況，所以取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為.故選：D6.已知空間中非零向量，，且，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以．故選:C7.已知空間向量，空間向量滿足且，則＝（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)表示與數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】∵，且空間向量滿足，∴可設(shè)，又，∴，得．∴，故A正確.故選：A.8.已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由等面積法求得的長(zhǎng)，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面角的向量求解方法可得答案．【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得．，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：．二、多選題9.設(shè)是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.若A和互斥，則A和一定相互獨(dú)立B.若事件，則C.若A和相互獨(dú)立，則A和一定不互斥D.不一定成立【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于AC：根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件分析判斷即可；對(duì)于B：根據(jù)事件間關(guān)系分析判斷即可；對(duì)于D：舉反例說(shuō)明即可.【詳解】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：若A和互斥，則，顯然，所以A和一定不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若事件，則，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若A和相互獨(dú)立，則，所以A和一定不互斥，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，若A和互斥，則，則，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.如圖，點(diǎn)是正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中滿足平面的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合題目條件，根據(jù)線面平行的判斷定理，構(gòu)造線線平行，證明線面平行.【詳解】對(duì)A：如圖：連接，因?yàn)闉檎襟w棱的中點(diǎn)，所以，又，所以，平面，平面，所以平面.故A正確；對(duì)B：如圖：因?yàn)槭钦襟w棱的中點(diǎn)，所以，，，所以，同理：，.所以5點(diǎn)共面，所以平面不成立.故B錯(cuò)誤；對(duì)C：如圖：因?yàn)槭钦襟w棱的中點(diǎn)，所以，，所以.平面，平面，所以平面.故C正確；對(duì)D：如圖：因?yàn)闉檎襟w棱的中點(diǎn)，連接交于，連接，則為的中位線，所以，平面，平面，所以平面.故D正確.故選：ACD11.如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，沿對(duì)角線BD將△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD⊥平面BCD，連接PC，下列說(shuō)法正確的是（）A.平面PCD⊥平面PBDB.三棱錐外接球的表面積為C.PD與平面PBC所成角的正弦值為D.若點(diǎn)M在線段PD上（包含端點(diǎn)），則△BCM面積的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合線線垂直，線面垂直與面面垂直的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系檢驗(yàn)A,根據(jù)外接球的球心位置即可結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求解半徑，可判斷B,結(jié)合空間直角坐標(biāo)系及空間角及空間點(diǎn)到直線的距離公式檢驗(yàn)．【詳解】中，，，，所以，故，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面，又，平面所以平面，平面,所以平面平面，故A正確；取的中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,過(guò)作,由平面平面,且平面平面，又,平面,故平面,因此平面,由于為直角三角形，且為斜邊中點(diǎn)，所以,又,所以,因此,因此為三棱錐外接球的球心，且半徑為,故球的表面積為，故B錯(cuò)誤，以為原點(diǎn)，聯(lián)立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，因?yàn)椋?，，，1，，,設(shè)平面的法向量為，所以，取，則所以，故PD與平面PBC所成角的正弦值為，故C正確，因?yàn)樵诰€段上，設(shè)，0，，則，0，，所以點(diǎn)到的距離，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)面積取得最小值，D正確．故選：ACD．第Ⅱ卷（選擇題）三、填空題12.如果從甲口袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙口袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，現(xiàn)分別從甲乙口袋中各摸出1個(gè)球，則2個(gè)球都是紅球的概率是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率乘法公式求解．【詳解】從甲口袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，從乙口袋中摸出一個(gè)紅球的概率是，現(xiàn)分別從甲乙口袋中各摸出1個(gè)球，則2個(gè)球都是紅球的概率．故答案為：．13.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離是__________．【答案】##【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到直線的向量公式可得.【詳解】以D為原點(diǎn)，以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，所以，記與同向的單位向量為，則，所以，點(diǎn)A到直線BE的距離.故答案為：14.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），若平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】記的中點(diǎn)為，點(diǎn)的軌跡與交于點(diǎn)，則平面平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用垂直于平面，的法向量確定點(diǎn)的位置，利用向量即可得解.【詳解】由題知，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，記的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉檎叫危瑸橹悬c(diǎn)，所以，且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，記點(diǎn)的軌跡與交于點(diǎn)，由題知平面，因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的相交直線，所以平面平面，所以即為點(diǎn)的軌跡，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，設(shè)為平面的法向量，則，令得，因?yàn)?，所以，解得，則，又所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用向量垂直確定點(diǎn)的軌跡與的交點(diǎn)位置，然后利用向量運(yùn)算求解即可.四、解答題15.《中華人民共和國(guó)民法典》于2021年1月1日正式施行．某社區(qū)為了解居民對(duì)民法典的認(rèn)識(shí)程度，隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的居民進(jìn)行問(wèn)卷測(cè)試（滿分：100分），并根據(jù)測(cè)試成績(jī)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計(jì)該組測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和第57百分位數(shù)；（2）該社區(qū)在參加問(wèn)卷且測(cè)試成績(jī)位于區(qū)間和的居民中，采用分層隨機(jī)抽樣，確定了5人.若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為該社區(qū)民法典宣講員，設(shè)事件“兩人的測(cè)試成績(jī)分別位于和”，求.【答案】（1）平均數(shù)76.2；第57百分位數(shù)79；（2）.【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)及百分位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣確定測(cè)試成績(jī)分別位于和的人數(shù)，按照古典概型計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖可知測(cè)試成績(jī)的平均數(shù).測(cè)試成績(jī)落在區(qū)間的頻率為，落在區(qū)間的頻率為，所以設(shè)第57百分位數(shù)為a，有，解得；【小問(wèn)2詳解】由題知，測(cè)試分?jǐn)?shù)位于區(qū)間、的人數(shù)之比為，所以采用分層隨機(jī)抽樣確定的5人，在區(qū)間中3人，用，，表示，在區(qū)間中2人，用，表示，從這5人中抽取2人的所有可能情況有：，，，，，，，，，，共10種，其中“分別落在區(qū)間和”有6種，所以.16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．（1）證明：B1D⊥平面ABD；（2）證明：平面EGF∥平面ABD.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)證得平面.（2）利用向量法證得平面平面.【小問(wèn)1詳解】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、BC、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，設(shè)BA＝a，則A(a,0,0)，所以＝(a,0,0)，＝(0,2,2)，＝(0,2，－2)，·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，因此B1D⊥平面ABD.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，E(0,0,3)，G，F(xiàn)(0,1,4)，則＝，＝(0,1,1)，·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，因此B1D⊥平面EGF.結(jié)合(1)可知平面EGF∥平面ABD.17.已知甲射擊的命中率為0.8，乙射擊的命中率為0.9，甲乙兩人的射擊相互獨(dú)立．（1）甲乙兩人同時(shí)命中目標(biāo)的概率；（2）甲乙兩人中至少有1人命中目標(biāo)的概率．【答案】（1）0.72（2）0.98【解析】【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求出答案.（2）利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榧咨鋼舻拿新蕿?.8，乙射擊的命中率為0.9，甲乙兩人的射擊相互獨(dú)立，設(shè)事件A表示甲命中，事件B表示乙命中，則,所以甲、乙兩人同時(shí)命中目標(biāo)的概率,【小問(wèn)2詳解】甲乙兩人中至少有1人命中目標(biāo)的對(duì)立事件是甲、乙都沒(méi)擊中目標(biāo)，甲、乙都沒(méi)擊中目標(biāo)的概率,所以甲乙兩人中至少有1人命中目標(biāo)的概率為：18.如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)在底面圓周上，為垂足.（1）求證：.（2）當(dāng)直線與平面所成角的正切值為2時(shí)，①求平面與平面夾角的余弦值；②求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①；②【解析】【分析】（1）利用線面垂直得到平面，進(jìn)而證明即可.（2）①建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法處理即可.②利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知底面平面，故，又平面，故平面，由平面，得，又平面，故平面，由平面，可得.【小問(wèn)2詳解