專(zhuān)題12.5 全等三角形的判定（ASA與AAS）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）（人教版）（教師版） 2024-2025學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（人教版）

專(zhuān)題12.5全等三角形的判定（ASA與AAS）（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類(lèi)講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)一】三角形全等的判定方法——角邊角（ASA）（1）基本事實(shí)：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）.（2）書(shū)寫(xiě)格式：如圖，在△ABC和△中，【知識(shí)點(diǎn)二】三角形全等的判定方法——角角邊（AAS）（1）基本事實(shí)：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）（2）三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.【知識(shí)點(diǎn)三】判定方法的選擇（1）選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見(jiàn)下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SASAASASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASAAAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SASSSS（2）如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個(gè)可能全等的三角形中，可以證這兩個(gè)三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個(gè)三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個(gè)三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】用ASA和AAS證明三角形全等【例1】（23-24七年級(jí)下·四川成都·期中）如圖，點(diǎn)、在上，，，．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)∠D的度數(shù)是【分析】（1）由，推導(dǎo)出，由，證明，即可根據(jù)“”證明；（2）由，，根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”得，，求得．此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，推導(dǎo)出，，進(jìn)而證明是解題的關(guān)鍵．（1）證明：，，，，，在和中，，．（2）解：，，，，，，，的度數(shù)是．【變式1】（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）一塊三角形玻璃被摔成如圖所示的四塊，小江想去買(mǎi)一塊形狀、大小與原來(lái)一樣的玻璃，但是他只想帶去其中的兩塊，則這兩塊玻璃的編號(hào)可以是（

）A．①② B．②④ C．③④ D．①④【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，學(xué)會(huì)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．①②兩塊玻璃是已知兩角及其一夾邊，可用證明全等來(lái)說(shuō)理．解：A、①②兩塊玻璃是已知兩角及其一夾邊，可用證明全等，故本選項(xiàng)符合題意；B、②④兩塊玻璃是已知兩角，無(wú)法證明全等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、③④兩塊玻璃是已知一角，無(wú)法證明全等，故本選項(xiàng)不符合題意；D、①④兩塊玻璃是已知兩角，無(wú)法證明全等，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【變式2】（22-23八年級(jí)上·福建龍巖·期中）如圖，已知與相交于點(diǎn)，，點(diǎn)為中點(diǎn)，若，，則．

【答案】4【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和線段中點(diǎn)，證明，得到，再根據(jù)，即可求出的長(zhǎng)．解：，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，，在和中，，，，，，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型2】用ASA和AAS證明三角形全等與三角形全等性質(zhì)綜合求值【例2】（22-23八年級(jí)上·廣東深圳·期末）如圖，在中，為上一點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連．（1）求證：；（2）若，，，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)和判定、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)．熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．（1）利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的判定得出即可；（2）根據(jù)（1）求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)，結(jié)合角的和差關(guān)系即可得答案．（1）證明：∵為中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）∵，，∴，∵，∴，∴．【變式1】（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在中，，垂足分別是D、E，、交于點(diǎn)．已知，則的長(zhǎng)度為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用證明得出，即可求解．解：∵，∴，∴，在和中，∴，∴又，∴，故選：C．【變式2】（23-24七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)E、F在線段上．，的面積為18，則與的面積之和．【答案】12【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，和三角形的面積求法，能夠證明是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)與等高，底邊值為，得出與面積比為1∶2，再證，即可得出和的面積和，即可選出答案．解：標(biāo)記角度如下：∵在等腰中，，，∴與等高，底邊比值為∴與的面積比為，∵的面積為18∴的面積為6，的面積為12，∵,即，∴，∵，，，∴，∴∴與的面積相等，∴，故答案為：12．【題型3】添加條件證明三角形全等【例3】（2023·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使．（1）你添加的條件是______（只需添加一個(gè)條件）；（2）利用（1）中添加的條件，求證：．【答案】(1)（答案不唯一）(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余，三角形的內(nèi)角和定理，垂直的定義．解題的關(guān)鍵是正確尋找判定三角形全等的條件，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）由題意得到，推出，，再根據(jù)判定定理得添加一個(gè)條件為，即可使；（2）根據(jù)三角形全等的判定定理證明即可．（1）解：∵，∴，∴，，由得添加一個(gè)條件為，故答案為：（答案不唯一）；（2）證明：，，，在和中，，．【變式1】（23-24七年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在和中，再添兩個(gè)條件不能使和全等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題考查了三角形全等的判定方法，根據(jù)全等三角形的判定方法分別進(jìn)行判定即可．解：A、∵，∴，又∵，∴，故A選項(xiàng)不符合題意；B、∵，，，不能根據(jù)判定兩三角形全等，故B選項(xiàng)符合題意；C、∵，，又，∴，故C選項(xiàng)不符合題意；

D、∵，∴，又∵，，∴，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【變式2】（23-24八年級(jí)上·北京平谷·期末）如圖，在和中，若，且，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使．添加的條件是：（寫(xiě)出一個(gè)即可）．

【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查全等三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，對(duì)頂角性質(zhì)．先證明，又因?yàn)椋鶕?jù)全等三角形的判定定理，在與中只需要再加一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等即可使，所此求解即可．解：如圖，

∵，∴，∴，∵，∴∵，∴，∴當(dāng)添加時(shí)，則在與中，，∴故答案為：（答案不唯一）．【題型4】靈活運(yùn)用SSS、SAS、ASA、AAS證明三角形全等【例4】（22-23七年級(jí)下·河北保定·期末）如圖，是的中線，，分別是和延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且．

（1）與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；（2）若，，的面積為3，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積．【答案】(1)，見(jiàn)解析；(2)6【分析】（1）根據(jù)中線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定即可證明；（2）過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，的面積為3，根據(jù)三角形的面積公式求得，即可求解．（1）解：，理由如下：∵是的中線，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，如圖：

∵，的面積為3，∴，的面積為3，∴，則的面積為．【點(diǎn)撥】本題考查了中線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2024·河北邯鄲·二模）如圖所示，甲、乙兩個(gè)三角形中和全等的是（

）A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定，熟知判定全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)判定三角形全等的條件，逐一判斷即可解答．解：甲的邊的夾角和的邊的夾角不對(duì)應(yīng)，故甲三角形與不全等；乙的角和邊b與的角和邊b對(duì)應(yīng)，故可利用“角邊角”證明乙三角形與全等，故選：B．【變式2】（23-24八年級(jí)上·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在下列各組條件中，能夠判斷和全等的有．①，，；②，，；③，，；④，，．【答案】①②③【分析】全等三角形的判定定理有，，，，根據(jù)以上知識(shí)點(diǎn)逐個(gè)判斷即可．解：①、符合全等三角形的判定定理，即兩三角形全等，故符合題意；②、符合全等三角形的判定定理，即兩三角形全等，故符合題意；③、符合全等三角形的判定定理，即兩三角形全等，故符合題意；④、不符合全等三角形的判定定理，即兩三角形不全等，故不符合題意；故答案為：①②③．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判斷定理有，，，．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·四川涼山·中考真題）如圖，點(diǎn)在上，，，添加一個(gè)條件，不能證明的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有等．根據(jù)求出，再根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行分析即可．解：∵，∴，即，，∴當(dāng)時(shí)，利用可得；當(dāng)時(shí)，利用可得；當(dāng)時(shí)，利用可得；當(dāng)時(shí)，無(wú)法證明；故選：D．【例2】（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，，．若________，則．請(qǐng)從①；②；③這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫(xiě)序號(hào)），使結(jié)論成立，并說(shuō)明理由．【答案】①或③（答案不唯一），證明見(jiàn)解析【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形即可證明；②得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．解：選擇①；∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即；選擇②；無(wú)法證明，無(wú)法得出；選擇③；∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即；故答案為：①或③（答案不唯一）2、拓展延伸【例1】（23-24八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）在中，是的中點(diǎn)．（1）如圖1，在邊上取一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：．（2）如圖2，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，另兩邊分別與相交于點(diǎn)，，求證：．【分析】（1）運(yùn)用證明即可解題；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．推導(dǎo)，即可得到結(jié)論．解：（1）證明：是的中點(diǎn)，．，，，．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．由（1）知．．，，．在中，，．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊的不等關(guān)系，能作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【例2】（22-23八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖1，直線于點(diǎn)B，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，一條光線從點(diǎn)A射向D，反射后與直線l交于點(diǎn)E（提示：作法線）．（1）求證：；（2）如圖2，連接交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)H，，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，求的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)5【分析】（1）由可證，可得；（2）由可證，可得，由余角的性質(zhì)