2024年九年級中考數(shù)學復習：平面幾何輔助線常見類型含答案

幾何輔助線第1章角平分線PAGE2024年九年級中考數(shù)學復習：平面幾何輔助線常見類型目錄2024年九年級中考數(shù)學復習：平面幾何輔助線常見類型TOC\o"1-2"\h\u第1章角平分線1.1作垂線 11.2作平行線 31.3截取等線段 4第2章中點2.1構造中位線 82.2構造中線 10第3章全等3.1遇到中點倍長中線或作平行線 173.2遇到平分線段作平行線 203.3構造共頂點旋轉全等（手拉手） 223.4構造鄰邊相等對角互補 283.5構造一線三等角全等 323.6構造腳拉腳全等 373.7構造十字架全等 413.8構造等腰直角三角形和平行四邊形 45第4章直角三角形和等腰三角形4.1倍長一直角邊構造等腰三角形 574.2雙勾股定理 59第5章相似5.1構造A字型或8字型相似 655.2構造共頂點旋轉相似（手拉手） 735.3構造一線三等角相似 795.4構造十字架相似 855.5構造共邊共角相似 89第6章二倍角6.1作二倍角的平分線構造等腰三角形 1056.2延長二倍角的一邊構造等腰三角形（由倍角造半角） 1066.3延長半角的一邊構造等腰三角形（由半角造倍角） 1096.4在三角形內或外構造二倍角 111第7章四點共圓和輔助圓7.1四邊形對角互補 1187.2同底同側張等角（定弦定角） 1197.3利用圓的定義構造輔助圓（共頂三等腰） 1217.4作三角形的外接圓 123參考答案與解析第1章角平分線1.1作垂線 1291.2作平行線 1301.3截取等線段 131第2章中點2.1構造中位線 1362.2構造中線 137第3章全等3.1遇到中點倍長中線或作平行線 1453.2遇到平分線段作平行線 1473.3構造共頂點旋轉全等（手拉手） 1493.4構造鄰邊相等對角互補 1553.5構造一線三等角全等 1603.6構造腳拉腳全等 1643.7構造十字架全等 1673.8構造等腰直角三角形和平行四邊形 172第4章直角三角形和等腰三角形4.1倍長一直角邊構造等腰三角形 1874.2雙勾股定理 189第5章相似5.1構造A字或8字型相似 1965.2構造共頂點旋轉相似（手拉手） 2055.3構造一線三等角相似 2135.4構造十字架相似 2215.5構造共邊共角相似 225第6章二倍角6.1作二倍角的平分線構造等腰三角形 2536.2延長二倍角的一邊構造等腰三角形（由倍角造半角） 2546.3延長半角的一邊構造等腰三角形（由半角造倍角） 2566.4在三角形內或外構造二倍角 258第7章四點共圓和輔助圓7.1四邊形對角互補 2697.2同底同側張等角（定弦定角） 2707.3利用圓的定義構造輔助圓（共頂三等腰） 2717.4作三角形的外接圓 273PAGE7第1章角平分線1.1作垂線已知條件：如圖，點P是∠MON平分線上一點，PA⊥OM于點AMOBNPA輔助線作法：過點P作MOBNPA結論：PA＝PB（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）典例透析AC例1BDEAC例1BDE例1如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于點EAC例1BDEAC例1BDE怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD平分∠ABC，DE⊥AB輔助線作法：過點D作DF⊥BC于點F結論：DF＝DE思路點撥：根據(jù)DF＝DE及AB，BC的長，分別求出△ABD和△DBC的面積．ACAC例1BDE解：例2．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DE＝1，求BC的長．ABABC例2DEABC例2DEF怎樣解作輔助線的依據(jù)：AD平分∠BAC，DE⊥AB輔助線作法：過點D作DF⊥AC于點F結論：DF＝DE思路點撥：根據(jù)DF＝DE及∠B＝30°，∠C＝45°，分別求出BD和DC的長．AABC例2DE我能解解：針對訓練1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DC＝4，△ABD的面積是28，求AB的長．AABC第1題D2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，AD＝5，DC＝4，求AB的長．AABC第2題D3．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，BC＝CD，AB＝4，AD＝10，CE⊥AD于點E，求DE的長．AAEBDC第3題4．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D為∠ACB的外角平分線上一點，且∠ADB＝45°，BD交AC于點E，求證：AE＝AB．AA第4題DEBPCAB第5題DCFE5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AF平分∠CAB，交CD于點E，若ACAB第5題DCFE1.2作平行線MONPQ已知條件：如圖，點PMONPQ輔助線作法：過點P作PQ∥ON交OM于點Q結論：OQ＝PQ典例透析例1如圖，在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，BD平分∠ABC，DC＝2，求BD的長．ABABC例1EDHABC例1D怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD平分∠ABC輔助線作法：過點D作DE∥AB交BC于點E，DH⊥BC于點H結論：DH＝，BE＝DE＝2DH思路點撥：由∠ACB＝45°，DC＝2，可得DH，由DE∥AB，可得∠DEH＝∠ABC＝30°，得到BE，DE，EH的長，在Rt△BDH中，根據(jù)勾股定理求出BD的長．AABC例1D我能解解：ABC例2DABC例2EDH例2如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABCABC例2DABC例2EDH怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD平分∠ABC，CD平分∠ACB輔助線作法：過點D作DE∥AB交BC于點E，DH⊥BC于點H結論：BE＝DE＝CD思路點撥：導角可得∠DEC＝∠DCE＝30°，則BE＝DE＝CD，在Rt△BDH中，根據(jù)勾股定理求出BD的長．ABABC例2D解：針對訓練AB第1題CD1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，求證：AC＋AB第1題CDABC第2題OED2．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD與CE相交于點OABC第2題OED1.3截取等線段已知條件：如圖，點P是∠MON平分線上一點，點A是射線OM上一點，MONPAB輔助線作法：在ON上截取MONPAB結論：△OAP≌△OBP典例透析例1如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，AC＝2，求CD的長．ABABC例1DABC例1DE怎樣解作輔助線的依據(jù)：AD平分∠BAC輔助線作法：在AB上截取AE＝AC，連接DE結論：CD＝DE＝BE思路點撥：導角可得∠EDB＝∠ABC，則CD＝DE＝BE＝AB－AE＝AB－AC．ABABC例1D解：例2如圖，在△ABC中，∠A＝60°，角平分線BD與CE相交于點O，求證：OD＝OE．ABABC例2FDEOABC例2DEO怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD平分∠ABC，CE平分∠ACB輔助線作法：在BC上截取BF＝BE，連接OF結論：OF＝OE思路點撥：導角可得∠BOC＝120°，則∠BOF＝∠BOE＝∠COD＝60°，則∠COF＝∠COD＝60°，可得△OCD≌△OCF，則OD＝OF＝OE．ABABC例2DEO解：針對訓練1．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分線，AB＝3，BD＝2，求AC的長．AAB第1題DC2．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝10，AD是角平分線，∠ADB＝45°，求AD的長．ABAB第3題CODEAB第2題DC3．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，角平分線BD與CE相交于點O，記四邊形BEDC的面積為S1，△BOC的面積為S2，求證：S1＝2S2．培優(yōu)必練AB第1題DCE1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，點E為AC邊上一點，∠DEC＝∠B，DE＝BD，ABAB第1題DCE2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BD＝5，DC＝3，求AB的長．AAB第2題DCABC第3題ED3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD平分∠ABC，AE⊥BD交BD的延長線于點EABC第3題ED4．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，BD為∠ABC的角平分線，CD⊥BD于點D，連接AD，若△ABC的面積為m，求△ACD的面積（用含m的式子表示）．AADBC第4題AB第6題CD5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝2∠ABC＝45°，AB第6題CDAABC第5題6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，探究線段BD與CD的數(shù)量關系．DAB第7題GCEF7．如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上的一點，EF⊥AC交BC于點F，DE的延長線交BC于點GDAB第7題GCEFAB第8題DCEFG8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，中線AD與角平分線BE交于點F，點G為CE的中點，連接FGAB第8題DCEFG9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥AC，AE⊥AB，BD＝5，CE＝12，求DE的長．AABEDC第9題10．如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線EF折疊，使點B的對應點M落在邊AD上，點C落在點N處，MN與CD交于點P，折痕分別與邊AB，CD交于點E，F(xiàn)，連接BM．MDAB第10題CMDAB第10題CPFNE（2）若DP＝1，求MD的長．11．在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD與CE相交于點O．AABC圖1DEOB圖2COAABC圖1DEOB圖2CODE第11題（2）如圖2，若∠A＝90°，＝，求的值．幾何輔助線第2章中點PAGE16PAGE第2章中點2.1構造中位線已知條件：如圖，在△ABC中，點D為邊AB的中點，且已知BC的長輔助線作法：取AC的中點E，連接DEABDCE結論：DE是△ABC的中位線，DE∥BC，ABDCE典例透析例1如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，點D為邊BC的中點，點E在邊AB上，且∠BED＝30°，求DE的長．ABABCDE例1ABCDEF例1怎樣解作輔助線的依據(jù)：點D為邊BC的中點，AC＝4輔助線作法：取AB的中點F，連接DF結論：DF∥AC，DF＝思路點撥：由DF是△ABC的中位線，可知DF∥AC，DF＝＝2，則∠DFE＝180°－∠A＝90°，由∠BED＝30°，可得DE＝2DF＝4．ABABCDE例1解：ABCF例2DEABCF例2DEG例2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點E是AC上一點，點FABCF例2DEABCF例2DEG怎樣解作輔助線的依據(jù)：點F是BC的中點輔助線作法：取AC的中點G，連接FG結論：FG∥AB，F(xiàn)G＝思路點撥：由FG是△ABC的中位線，可知FG∥AB，F(xiàn)G＝，導角可得EG＝FG，則EC＝EG＋GC．我能解ABABCF例2DE針對訓練1．如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，點E是AC上一點，∠A＝2∠DEC，求證：AB＋AE＝CE．AAEBC第1題DABCDE第2題2．如圖，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BD⊥AD，點E為BC的中點，求證：DE＝(AB－ABCDE第2題3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝6，點D是邊AC上一點，點E是邊BC的中點，若DE平分△ABC的周長，則DE的長是_________．BBC第3題EADACB第4題DEF4．如圖，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，點E是AC上一點，點F是BC的中點，EF∥ACB第4題DEF2.2構造中線直角三角形中已知條件：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為斜邊AB的中點輔助線作法：連接CDABCD結論：CDABCD等腰三角形中已知條件：如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC的中點輔助線作法：連接AD結論：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合）AABCD典例透析ABC例1EFABC例1EFD例1如圖，在△ABC中，點E是邊AC的中點，點F是△ABC內一點，EF∥BC，∠ABC例1EFABC例1EFD怎樣解作輔助線的依據(jù)：點E是邊AC的中點，EF∥BC，∠AFB＝90°輔助線作法：取AB的中點D，連接DE，DF結論：DE∥BC，DE＝，DF＝思路點撥：由DE是△ABC的中位線，可知DE∥BC，DE＝，由DF是Rt△ABF的斜邊AB上的中線，可知DF＝，由EF∥BC，可知D，F(xiàn)，E三點共線，則EF＝DE－DF．ABABC例1EF解：ABC例2DEABC例2DEO例2如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點D為BC的中點，將△ABC例2DEABC例2DEO怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠BAC＝90°，點D為BC的中點輔助線作法：連接BE交AD于點O結論：AD＝，∠BEC＝90°思路點撥：由AD是Rt△ABC的斜邊BC上的中線，可知AD＝，由點D為BC的中點及翻折，可知∠BEC＝90°，由面積法求出OB的長，則BE＝2OB，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出CE的長．ABABC例2DE解：例3在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為AB的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AC，BC上，且∠EDF＝90°，AE＝3，BF＝4，求EF的長．ADADEBC例3FADEBC例3F怎樣解作輔助線的依據(jù)：AC＝BC，點D為AB的中點輔助線作法：連接CD結論：CD⊥AB，CD＝AD＝思路點撥：由CD是等腰直角△ABC的斜邊AB上的中線，可知CD⊥AB，CD＝AD＝，由∠EDF＝90°可知∠ADE＝∠CDF，∠A＝∠DCF＝45°，可得△ADE≌△CDF，則AE＝CF，在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理求出EF的長．AADEBC例3F我能解解：ADBC例4ADBC例4EF例4在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點D為△ABC內一點，ADADBC例4ADBC例4EF怎樣解作輔助線的依據(jù)：AC＝BC，DB＝DC輔助線作法：過點D作DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F結論：DF＝CE＝BE＝思路點撥：由DB＝DC可知DF＝CE＝BE，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理求出AF的長，則DE＝CF＝AC－AF．AADBC例4我能解解：針對訓練B第1題EDACH1．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E是BC邊上的動點，BH⊥AE于點H，連接B第1題EDACH2．如圖，AB∥CD，∠ADC＝90°，點M為BC的中點，連接AM，DM，求證：AM＝DM．AABC第2題DM3．如圖，在正方形ABCD中，點E為CD的中點，AF⊥BE于點F，連接DF，求證：DF＝DC．DDAB第3題CEF4．如圖，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝30°，點D為BC邊上一點，∠ADC＝45°，求證：BD＝DC．AAB第4題CD5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C作直線l∥AB，點D為直線l上任意一點（不與點C重合），連接AD，作DE⊥AD交直線BC于點E，連接AE，求證：∠AED＝∠BAC．AABlE第5題CDA第6題EDBC6．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，點D，E在邊BC上，若∠DAE＝30°，tan∠EAC＝EQ\F(1,3)，則BD＝A第6題EDBC7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E，F(xiàn)分別為邊BC，AD上的點，連接EF，BD交于點G，若DE平分∠CEF，BG＝BE，則DF的長為_________．AADF第7題EBCG8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，點E為邊AC上的動點，線段BE的垂直平分線交AD于點F，交BE于點G，連接EF，求證：∠BEF＝∠BAF．BBDC第8題AEFG9．如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD，AE，AF分別是中線、角平分線和高線，探究線段AB，CE，DF之間的數(shù)量關系．AAB第9題CDEF10．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC的中點，BE⊥AC于點E，交AD于點P，若BP＝3，PE＝1，求AE的長．AAB第10題CDPE11．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，連接DE，若BE＝1，DE＝eq\r(,7)，求CD的長．AAB第11題CDE培優(yōu)必練AB第1題CED1．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝7，BD，CE分別是∠ABC，∠ACB的平分線，AD⊥BD于點D，AE⊥CEAB第1題CED2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AD⊥BC于點D，BE，CF為角平分線，AD分別與BE，CF相交于點M，N，點G，H分別為FN，EM的中點，求GH的長．AAB第2題DCEFMNGHADB第3題CGMEF3．如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，點E在CD上，點G在BC的延長線上，M是ADB第3題CGMEF4．如圖，點E為正方形ABCD外一點，AB＝4，∠AED＝90°，點F為CE的中點，連接BF，求BF的最大值．EEAD第4題BCF5．如圖，在△ABC中，點D為AC的中點，點E為△ABC內部一點，∠BEC＝90°，∠CED＝∠ABE，DE＝2，AB＝6，求BC的長．AAD第5題BCE6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，點D，E分別為邊AB，BC上的動點，且DB＝DE，過點E作EF⊥DE交AC于點F，連接DF，求DF的最小值．AA第6題BCEDF7．如圖，在△ABC中，∠ABC＝75°，AD⊥BC于點D，AD＝EQ\F(1,2)BC，求證：AC＝BC．第7題第7題BCAD8．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，點D為邊BC上一點，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連接CE并延長交AD的延長線于點F，若CE＝6，EF＝9，求AF的長．AABCDEF第8題CABEFGD第9題9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分別是邊BC，AB上的點，∠ADC＝∠EDB，過點E作EF⊥ADCABEFGD第9題（1）求證：∠AEG＝∠BED；（2）若EQ\F(CD,BD)＝EQ\F(1,n)，求EQ\F(AG,CG)的值（用含n的式子表示）．ABC第10題DNHEFM10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，將線段CA繞點C順時針旋轉（旋轉角小于90°）得到CD，ABC第10題DNHEFM（1）求∠AEC的度數(shù)；（2）過點C作CF⊥AB于點F，點M，N分別為CF，DE的中點，連接MN，若AC＝BC＝4，求MN的長．11．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，且BD＝BC＝CE，∠CDE＝30°，CD與BE相交于點F．ABCEABCEDF第11題（2）探究線段AD，AE，EF之間的數(shù)量關系，并證明；（3）若AE＝kEF，求EQ\F(BC,EF)的值（用含k的式子表示）．幾何輔助線第3章全等PAGE35PAGE第3章全等3.1遇到中點倍長中線或作平行線ABDCE已知條件：如圖，在△ABC中，ABDCE輔助線作法：延長AD到點E，使DE＝AD，連接BE（或者過點B作BE∥AC，交AD的延長線于點E）結論：△ACD≌△EBD典例透析例1如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC邊上的中線AD＝2，求△ABC的面積．ABABC例1DABC例1DE怎樣解作輔助線的依據(jù)：AD是BC邊上的中線輔助線作法：延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE結論：△ABD≌△ECD思路點撥：根據(jù)全等三角形的性質，可得CE＝AB，根據(jù)勾股定理的逆定理可知∠E為直角，△ABC的面積即等于△AEC的面積．AABC例1D我能解解：例2．如圖，在△ABC中，點E是中線AD上一點，∠CED＝∠BAD，求證：CE＝AB．ABABCDEABC例2DEF怎樣解作輔助線的依據(jù)：AD是BC邊上的中線輔助線作法：過點B作BF∥EC，交AD的延長線于點F結論：△FBD≌△ECD思路點撥：根據(jù)全等三角形的性質，可得BF＝CE，∠F＝∠CED＝∠BAD，則AB＝BF＝CE．AABC例2DE我能解解：針對訓練ABC第1題EFD1．如圖，在△ABC中，點D為AB的中點，點E為CD上一點，BE＝AC，BE的延長線交AC于點ABC第1題EFD2．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點D為BC的中點，∠DAC＝90°，AC＝2，求△ABC的面積．AABC第2題DADEFBC第3題3．如圖，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接BE、CD，取CD的中點F，連接AFADEFBC第3題4．如圖，在等邊△ABC中，點D為邊BC上一點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉120°得到AE，連接BE交AC于點F，求證：CD＝2AF．AABC第4題DEFADBC第5題ED′PGH5．如圖，在矩形ABCD中，點P為邊CD上一點，連接AP并延長交BC的延長線于點E，將△APD沿AP折疊得到△APD'，連接D'D交AP于點H，點G為AE的中點，當∠EAD'＝2∠AED'時，求證：GH＝EQ\F(1,ADBC第5題ED′PGH6．如圖，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉得到矩形EFCG，使點B落在AD邊上的點F處，連接BG交CF于點M，求證：BM＝GM．EEADFMBC第6題G7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于點D，點E是線段CB上一點，連接ED，將線段ED繞點E順時針旋轉90°得到EF，連接AF交CD于點G，求證：AG＝GF．第7題第7題FBCEADG8．如圖，在△ABC和△DBC中，AC＝BC，∠ACB＝∠BDC＝90°，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到AE，連接BE交CD于點F，求證：BF＝EF．AAB第8題CEFD9．如圖，△ABC和△EFC都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠FEC＝90°，點E在邊AB上，AD⊥BC于點D，連接AF，點G是AF的中點，連接DG，EG，求證：△GDE是等腰直角三角形．AACBDGEF第9題10．如圖，在等邊△ABC中，點D為邊BC上一點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉得到AE，使∠CAE＝∠ADB，連接BE交AC于點F．AEBC第10題DAEBC第10題DF（2）若BD＝kDC，求EQ\F(AF,FC)的值（用含k的式子表示）．3.2遇到平分線段作平行線ABCFGDE已知條件：如圖，在△ABC中，點D是AB邊上一點，點E是AC延長線上一點，連接DE交BCABCFGDE輔助線作法：過點D作DG∥AC交BC于點G結論：△DFG≌△EFC典例透析例1如圖，在△ABC中，點D是AB邊上一點，點E是AC延長線上一點，連接DE交BC于點F，且BD＝CE，DF＝EF，求證：AB＝AC．ADADBCFE例1ADBCFGE例1怎樣解作輔助線的依據(jù)：DF＝EF輔助線作法：過點D作DG∥AC交BC于點G結論：△DFG≌△EFC思路點撥：根據(jù)△DFG≌△EFC可得DG＝CE＝DB，則∠B＝∠DGB＝∠ACB，AB＝AC．AADBCFE例1我能解解：例2如圖，在等邊△ABC中，點D是AB邊上一點，點E是BC延長線上一點，連接DE交AC于點F，且DF＝EF，過點D作DG⊥AC于點G，若AB＝2，求GF的長．ABABC例2EDGFABC例2EDGHF針對訓練ABCGFDE第1題1．如圖，在△ABC中，點D是AB邊上一點，點E是AC延長線上一點，連接DE交BC于點F，過點D作DG⊥BC于點G，若DF＝EF，GFABCGFDE第1題2．如圖，△ABC和△ADE均為等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，AD⊥BD，延長ED交BC于點F，求證：BF＝CF．AADEBC第2題F3．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，且BD＝2CE，過點E作EF⊥DE交BC于點F，連接DF，求證：DF＝AD＋CF．AADEBFC第3題4．如圖，在等邊△ABC中，D是AB邊上一點，E是BC延長線上一點，且AD＝CE，連接DE交AC于點F，若△ADF的周長∶△CEF的周長＝6∶5，求△ADF的面積∶△CEF的值．AADFBEC第4題3.3構造共頂點旋轉全等（手拉手）已知條件：如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAEABCDE輔助線作法：ABCDE結論：△ABD≌△ACE典例透析例1如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC邊上一點，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉到AE的位置，使∠DAE＋∠BAC＝180°，連接BE，取BE的中點F，連接AF，求證：CD＝2AF．EAEAFBC例1DEAFBC例1DG怎樣解作輔助線的依據(jù)：AB＝AC，∠DAE＋∠BAC＝180°輔助線作法：將△ACD繞點A順時針旋轉到△ABG結論：△ACD≌△ABG思路點撥：由三角形全等可得CD＝BG，∠DAC＝∠GAB，等角可得G，A，E三點共線，AF是△BEG的中位線．EEAFBC例1D我能解解：例2如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC為斜邊向下作等腰直角三角形BCD，連接AD，求AD的最大值．ABABC例2DEABC例2D怎樣解作輔助線的依據(jù)：BD＝CD，∠BDC＝90°輔助線作法：將△ACD繞點A順時針旋轉到△EBD結論：△ACD≌△EBD思路點撥：由三角形全等可得BE＝AC，ED＝AD，∠EDB＝∠ADC，△ADE是等腰直角三角形，由三角形三邊關系可得AE的取值范圍，從而得到AD的最大值．我能解解：AABC例2D針對訓練ABCDE第1題1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥BC于點B，點E在BC上，∠DAE＝45°，求證：DEABCDE第1題2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠ABD＝15°，AB＝AC＝2，則AD的長為_________．AAB第2題CD3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，AD⊥BC于點D，點E為邊AC上一點，AE＝2，點F為AD延長線上一點，∠BEF＝60°，則DF的長為_________．AABCDEF第3題4．如圖，點D為等邊△ABC外一點，∠ADC＝60°，CD＝2，則△BDC的面積為_________．AAB第4題CD5．如圖，點D是等腰Rt△ABC內一點，∠ABC＝90°，∠ADB＝135°，AD＝1，CD＝5，則BD的長為_________．AAB第5題CDABC第6題DE6．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠BAD＝15°，AD＝4，則點DABC第6題DE7．如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，連接AE，作∠BAE的平分線AF交BC于點F，連接EF，若DE＝5，BF＝8，則EF的長為_________．AADBC第7題FEAPBC第8題8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P為△ABC內一點，∠APB＝120°，∠APC＝90°，AP＝eq\r(,2)，則△PBC的面積為_________APBC第8題9．如圖，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，點E在△ABC內，連接AD，CF，判斷AD與CF的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由．BBACD第9題EF10．如圖，點P為△ABC內一點，PB＝PC，∠BPC＝2∠BAC，求證：PA＝PB．AAB第10題CP11．如圖，在等邊△ABC中，點D為BC的中點，點E為AB上一點，以DE為邊作等邊△DEF，連接AF，求證：AF＝EF．BB第11題CADEF12．如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DEC＝90°，點D在斜邊AB上，連接AE并延長交BC于點F，求證：AE＝EF．AAB第12題CFDE13．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊AC，BC上，且AD＝CE，連接AE與BD相交于點P，過點C作CF∥BD，交AE的延長線于點F，求證：AP＝CF．AABCEPDF第13題B第14題DCEFA14．如圖，在等邊△ABC中，點D是BC的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，∠EDF＝120°，B第14題DCEFA15．如圖，在△ABC中，AB＝3，BC＝4eq\r(,2)，∠ABC＝15°，以AC為直角邊向外作等腰Rt△ACD，∠ACD＝90°，求BD的長．CC第15題BDAAB第16題CD16．如圖，點D為△ABC內一點，AB＝AC，AD＝CD，∠ADC＝90°，∠ABD＝∠BCD，AB第16題CD17．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，AC＝eq\r(,13)，BC＝3，CD＝eq\r(,5)，求四邊形ABDC的面積．BBCAD第17題AB第18題CEDGF18．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為AC的中點，CE⊥BD交BD的延長線于點E，點F在BD上，AG⊥AF交線段CE于點GAB第18題CEDGF19．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠BCD＝30°，BC＝2eq\r(,3)，AC＝7，求CD的長．AAC第19題DB20．如圖，點D為等邊△ABC外一點，∠ADC＝90°，AD＝2，CD＝eq\r(,3)，求BD的長．AAB第20題CDADC第21題B21．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC下方一點，∠BDC＝45°，若BD＝2，CD＝3eq\r(,2)，求ADADC第21題B22．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，AB＝BC，△ABD的面積為9，求AD的長．BB第22題CDA23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D，E分別在邊AC，BC上，∠DBC＝10°，∠CAE＝40°，求∠BDE的度數(shù)．AABCED第23題24．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點M為BC的中點，點D在MC上，將線段AD繞點A順時針旋轉α得到線段AE，連接DE，過點M作AB的垂線，交DE于點N，用等式表示線段EN與DN的數(shù)量關系，并證明．AAB第24題CEMND3.4構造鄰邊相等對角互補已知條件：在四邊形ABCD中，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB＝AD輔助線作法1：如圖①，過點A作BC，CD的垂線，垂足為E，F(xiàn)結論：①△ABE≌△ADF；②△ACE≌△ACF；③AC平分∠BCD（知二推一）AABDC圖①EF輔助線作法2：如圖②，延長CD到E，使DE＝BC，連接AE結論：①△ABC≌△ADE；②△AC＝AE；③AC平分∠BCD（知二推一）AABDC圖②E特殊情況：如圖③，90°鄰邊相等對角互補，結論：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝eq\r(,2)AC；③S四邊形ABCD＝S△ACE如圖④，60°,120°鄰邊相等對角互補，結論：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝AC；③S四邊形ABCD＝EQ\F(eq\r(,3),4)AC2．如圖⑤，120°,60°鄰邊相等對角互補，結論：①AC平分∠BCD；②BC＋CD＝eq\r(,3)AC；③S四邊形ABCD＝EQ\F(eq\r(,3),4)AC2．ABCABC圖⑤DEABC圖④DEAC圖③BDE典例透析例1如圖，點M，N分別為∠AOB的邊OA，OB上的點，OM≠ON，點P為∠AOB角平分線上的一點，若∠AOB＋∠MPN＝180°，求證：PM＝PN．AOAON例1HPBGMAON例1PBM怎樣解作輔助線的依據(jù)：OP平分∠AOB，∠AOB＋∠MPN＝180°輔助線作法：過點P作PG⊥OA于點G，PH⊥PB于點H結論：△PGM≌△PHNAON例1PBM思路點撥：導角AON例1PBM我能解解：例2如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ACD＝∠ADB，求證：AC平分∠BCD．AAEBDC例2AABDC例2怎樣解作輔助線的依據(jù)：AB＝AD，∠ACD＝∠ADB輔助線作法：延長CD到E，連接AE，使AE＝AD結論：△AEC≌△ABC思路點撥：設∠ABD＝∠ADB＝α，∠BDC＝β，導角證∠EAC＝∠BAC，△AEC≌△ABC，可得結論．我能解ABABDC例2例3如圖，在△ABC中，分別以AB，AC為斜邊向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，點D，B，C在同一直線上，連接DE，若AB＝2eq\r(,2)，AC＝eq\r(,13)，求DE的長．DCDC例3EABDC例3FEAB怎樣解作輔助線的依據(jù)：等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE輔助線作法：延長DC到F，使CF＝AD，連接EF結論：△ADE≌△CFE思路點撥：導角證△ADE≌△CFE，可得△DEF是等腰直角三角形，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出DC，從而得到DF和DE的長．DCDC例3EAB解：針對訓練1．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝3，BD＝4eq\r(,2)，則BC＝_________．AADB第1題C2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，BC＝7，CD＝2，則AC＝_________．AADB第2題CADBC第3題FE3．如圖，在矩形ABCD中，點E為邊CD上一點，∠AEB＝45°，過點E作EF⊥AE交BC于點F，若ADBC第3題FE4．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，DE⊥AC，AE＝CE，若∠ABC＝α，求∠ADE（用含α的式子表示）．AADBC第4題E5．如圖，OC平分∠AOB，點P為OC上一點，PD⊥OA于點D，點E，F(xiàn)分別在邊OA，OB上，∠PEO＋∠PFO＝180°，探究OE，OF與OD的數(shù)量關系，并證明．OOB第5題FADEP6．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AD＝CD＝2，AB＝3，BC＝5，求BD的長．BBC第6題DA7．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝AD＝CD＝3，BD＝5，求BC的長．DDABC第7題8．如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BDC＝90°，AB＝7，AD＝CD＝15，求BC的長．DDBC第8題A9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∠BCD＝∠BAD，求證：BD＝CD．AABCD第9題10．如圖，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，點M是直線AO上一點，點P，N分別是射線OC，OB上的點，PM＝PN，OM＝1，ON＝3，求OP的長．第10題第10題OB圖1PANCMOB備用圖AC11．定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形稱為“等補四邊形”．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E為CD邊上一動點（點E不與點C，D重合），連接AE交BD于點F，過F作FG⊥AE交BC于點G，若四邊形CEFG是“等補四邊形”，求CE的長．DDFABC第11題GE12．如圖，在□ABCD中，AB＝AC，∠BAC＝45°，過點B作BE⊥AC于點E，交CD于點F，過點F作FG⊥AD于點G，連接EG．DAGBC第12題DAGBC第12題EF（2）探究AC與EG的數(shù)量關系，并證明．13．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，將線段AB繞點A逆時針旋轉至AD，旋轉角為α，∠DAC的平分線AE與射線BD相交于點E，連接CE．ABCED第13題ABC備用圖（1）當0°＜α＜90°時，求證：BD＋2CEABCED第13題ABC備用圖（2）當0°＜α＜180°，AE＝2eq\r(,2)CE時，求EQ\F(DE,BD)的值．3.5構造一線三等角全等已知條件：如圖1，點P在線段AB上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）結論：△CAP≌△PBD已知條件：如圖2，點P在AB的延長線上，∠1＝∠2＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）ABDPC1ABDPC123123DPCBA圖1圖2典例透析ADBC例1EFADBC例1EFG例1如圖，在正方形ABCD中，點E是邊BC上一點，連接AE，將ADBC例1EFADBC例1EFG怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠B＝∠AEF＝90°輔助線作法：過點F作FG⊥BC，交BC的延長線于點G結論：△ABE≌△EGF思路點撥：由正方形的性質和三角形全等可得BC＝AB＝EG，BE＝FG，則FG＝BE＝CG，∠FCG＝45°，∠DCF＝45°．AADBC例1EF我能解解：ABCDE例2ABCD例2例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將AB繞點A逆時針旋轉90°得到AD，連接CD，若∠ACDABCDE例2ABCD例2怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ACB＝∠BAD＝90°輔助線作法：過點D作DE⊥AC，交AC的延長線于點E結論：△ABC≌△DAEABCD例2思路點撥：由三角形全等可得AC＝DE，BC＝AE，由∠ACD＝135°可知△CDE是等腰直角三角形，由CD的長可得CE，DEABCD例2我能解解：例3如圖，在正方形ABCD中，點E為CD邊上一點，將△ADE沿AE折疊得到△AFE，將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，若AG＝FG，求證：CE＝DE．ADADGC例3BHEFADGC例3BEF怎樣解作輔助線的依據(jù)：AG＝FG，∠GAE＝∠AFE＝90°輔助線作法：過點G作GH⊥AF于點H結論：△AEF≌△GAHADGC例3BEF思路點撥：導角可證ADGC例3BEF我能解解：針對訓練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝BC，AD＝1，BD＝5，則CD的長為_________．AABC第1題DC2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝8，點D是AC邊上一點，連接DB，將線段DB繞點D順時針旋轉90°得到DE，連接CE，若△CDE的面積為6，則AD的長為_________．BBC第2題DAE3．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D為△ABC外一點，連接AD，BD，CD，若∠ADB＝90°，AD＝1，CD＝eq\r(,13)，則AC的長為_________．AABC第3題D4．如圖，在正方形ABCD中，點E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE翻折得到△AFE，連接DF，過點C作CG⊥DF交DF的延長線于點G，若CG＝1，則AB的長為_________．AADBC第4題GFE5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝a，將CA繞點C順時針旋轉90°得到CD，連接BD，求△BDC的面積（用含a的代數(shù)式表示）．AABC第5題DABDC第6題E6．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC邊上一點，BE⊥AD于點E，連接CE，∠CEDABDC第6題E7．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點D為AB邊上一點，BD＝eq\r(,2)，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AC上，且DE＝DF，∠EDF＝45°，求BE的長．AAB第7題ECDFAB第8題ECFD8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，等邊△DEF的頂點分別在邊AB，BC，AC上，AB第8題ECFD9．如圖，直線y＝kx－4k經(jīng)過定點A，與y軸交于點B（0，2eq\r(,3)），點C為x軸上點A右側的一點，∠ABC＝30°，求點C的坐標．AAC第9題xOBy10．如圖，在正方形ABCD中，點P為邊AD上一點，連接CP，點B關于CP的對稱點為E，連接ED并延長交CP的延長線于點F，連接AF，求證：DE＝eq\r(,2)AF．AADBC第10題FPE11．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點，連接AE，AF，∠EAF＝45°，BE＝1，求DF的長．AADC第11題BEF12．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為AB邊上一點，AE＝3，點F在邊CD上，點G在CD的延長線上，∠GEF＝45°，設DF＝x，DG＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)關系式．AADBC第12題FEG13．如圖，在△ABC中，D為邊BC上一點，連接AD，將AD繞點D逆時針旋轉90°得到DE，連接BE，∠DBE＝45°．ABCDABCDE第13題（2）若AC＝5，BE＝，BD∶DC＝5∶2，求AB的長．14．如圖，直線y＝－x＋m（m＞0）與y軸交于點A，與x軸交于點B，點C為射線AB上一動點，點D的坐標是（m，m），以CD為邊向右作正方形CDEF．（1）求證：點F在x軸上；（2）連接BE，若BE＝nBC，求點E的坐標（用含m，n的式子表示）．CCO第14題DAByFEx3.6構造腳拉腳全等已知條件：如圖①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，連接BE，點F為BE的中點，連接AF，DFABFEDCG圖①結論：ABFEDCG圖①輔助線作法：延長AF到G，使FG＝AF，連接AD，DG，EG．已知條件：如圖②，△ABC是等邊三角形，△DCE是等腰三角形，∠CDE＝120°，連接BE，點F為BE的中點，連接AF，DFACDBFEG圖②結論：AF＝eq\r(,3)DFACDBFEG圖②輔助線作法：延長AF到G，使FG＝AF，連接AD，DG，EG．已知條件：如圖③，△ABC和△DCE都是直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝∠DCE，連接BE，點F為BE的中點，連接AF，DF結論：AF＝DF，∠AFD＝180°－2∠ACB輔助線作法：取BC的中點G，CE的中點H，連接AG，F(xiàn)G，DH，F(xiàn)H．AADBFECG圖③H典例透析例1如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，連接AF，點M為AF的中點，連接DM，EM，探究線段DM，EM的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明．ADADBCHEFGNM例1ADBCEFGM例1怎樣解作輔助線的依據(jù)：正方形ABCD和正方形CEFG，點M為AF的中點輔助線作法：過點F作FH⊥CD于點H，交DM的延長線于點N，連接ED，EN結論：DM＝EM，DM⊥EMADBCEFGM例1思路點撥：先證△ADM≌△FNM，再導角證△DCE≌△NFE，可得△EDN是等腰直角三角形，則ADBCEFGM例1我能解解：例2如圖，△ABC是等腰三角形，△CDE是等邊三角形，∠BAC＝120°，連接BD，點F為BD的中點，連接AF，EF，探究線段AF，EF的數(shù)量關系和位置關系，并加以證明．CBCBF例2DAEGCBFDAE例2怎樣解作輔助線的依據(jù)：△ABC是等腰三角形，△CDE是等邊三角形，∠BAC＝120°，點F為BD的中點輔助線作法：延長AF到G，使FG＝AF，連接AE，DG，EG結論：EF＝eq\r(,3)AF，EF⊥AF思路點撥：先證△ABF≌△GDF，再導角證△ACE≌△GDE，可得△AEG是等邊三角形，則EF＝eq\r(,3)AF，EF⊥AF．CCBF例2DAE我能解解：例3如圖，在△ABC和△AEF中，∠ACB＝∠AFE＝90°，∠ABC＝∠AEF＝30°，AE＝EQ\F(1,2)AB，B，E，F(xiàn)三點在同一條直線上，點G是BE的中點，連接CG，過點E作EH⊥AE交CG于點H，求EQ\F(CH,AC)的值．FBFBC例3EGMAHFBC例3EGAH怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ACB＝∠AFE＝90°，∠ABC＝∠AEF＝30°，AE＝EQ\F(1,2)AB，點G是BE的中點輔助線作法：取AE的中點M，連接FM，F(xiàn)C，GM結論：△MFG≌△AFC，△FGC和△EGH都是等邊三角形思路點撥：先導角證△MFG≌△AFC，可得△FGC和△EGH都是等邊三角形，等量代換可得EQ\F(CH,AC)的值．FFBC例3EGAH我能解解：針對訓練ABC第1題DEF1．如圖，在△ABC中，點D為BC的中點，分別以AB，AC為斜邊向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，連接DE，求證：S五邊形AEBCFABC第1題DEFABCDEF第2題2．如圖，△ABC是等腰三角形，△CDE是等邊三角形，∠BAC＝120°，點F為BD上一點，∠FAE＝60ABCDEF第2題BE第3題CAD3．如圖，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠CDE＝90°，設四邊形ABED的面積為S1，△ACD的面積為S2，若S1－BE第3題CAD4．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠ADE＝90°，點D在線段BC上，延長BC到F，使DF＝BD，連接EC、EF，求證：△ECF等腰直角三角形．AABD第4題CFEACFDBE第5題5．如圖，△ABC和△BDE都是直角三角形，∠BAC＝∠BED＝90°，∠ABC＝∠EBD，連接CD，點F為CD的中點，連接AF，EF，求證：AF＝ACFDBE第5題6．如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，點F在線段AD上，AF＝3DF，點G，H分別為BC，DE的中點，連接FG，F(xiàn)H，求證：FG⊥FH且FG＝eq\r(,3)FH．BBG第6題CDAHEF7．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CED＝90°，連接AD，BD，點F為BD的中點，連EF．（1）探究AD與EF的數(shù)量關系和位置關系，并證明；（2）如圖2，過點C作CG⊥EF于點G，連接AG，若CG＝2，EG＝3，EF＝5，求四邊形AGCD的面積．BBC圖1FA第7題DEBC圖2ADEGF3.7構造十字架全等已知條件（正十字架）：如圖①，△ABC和△BDE都是直角三角形，∠ABC＝∠BDE＝90°，AC⊥BE，AB＝BD結論：△ABC≌△BDE已知條件（斜十字架，通常出現(xiàn)在等邊三角形中）：如圖②，在△ABC和△BDE中，∠ABC＝∠BDE，∠BAC＝∠DBE，AB＝BDABCDE圖①BABCDE圖①BCD圖②AE典例透析例1如圖，將邊長為8的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則AM的長是_________．ADADBC例1ENMFADBC例1ENMFG怎樣解作輔助線的依據(jù)：正方形ABCD，點E為BC的中點輔助線作法：連接DE，過點M作MG⊥CD于點G結論：△MNG≌△DEC思路點撥：先導角證△MNG≌△DEC，在Rt△NEC中利用勾股定理求出CN的長，可得AM的長．ADADBC例1ENMF解：例2如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點D，E分別為邊AB，BC上的點，且AE＝AC＝CD，求證：CE＝eq\r(,2)BD．ABABC例2EDABC例2EDFG怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ABC＝45°，AE＝AC＝CD輔助線作法：分別過點D，A作BC的垂線，垂足為F，G結論：△ACG≌△CDF思路點撥：先導角證△ACG≌△CDF，再利用等腰三角形的三線合一和等量代換可證結論．AABC例2ED我能解解：例3如圖，在正方形ABCD中，點E為CD的中點，連接AE，將△ADE沿AE翻折得到△AFE，連接BF并延長交CD于點G，若EG＝1，求AB的長．ADADBC例3EFGADBC例3HEFG怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ABC＝45°，AE＝AC＝CD輔助線作法：分別過點D，A作BC的垂線，垂足為F，G結論：△ACG≌△CDF思路點撥：先導角證△ACG≌△CDF，再利用等腰三角形的三線合一和等量代換可證結論．AADBC例3EFG我能解解：針對訓練1．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點，且CE＝DF，AE與BF相交于點O，連接OC，OD，OD＝AD，則OC的長為_________．BBEC第1題FADO2．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，點D，E分別在邊AB，BC上，AE⊥CD，AE＝CD，BE∶CE＝3∶4，S△AEC＝10，則S△DBE＝_________．BBC第2題DEA3．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥BD，AC＝BD，垂足為E，若AB＝1，AD＝eq\r(,5)，則CD的長為_________．BB第3題CDA4．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，DE⊥AB于點E，點F是邊AB上一點，∠BAD＋∠BCF＝∠B，AD＝CF，BE＝3，則AF的長為_________．AAC第4題BFEDAB第5題FCDE5．如圖，在△ABC中，∠B＝45°，點D是AB的中點，AE⊥CD于點E，交BC于點F，AF＝AB第5題FCDEAADEBCFG第6題AABC第7題EDF6．如圖，在□ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，過點A作AF⊥DC交DC的延長線于點F，交BE于點G，且AB＝AF，求證：DE＝CF＋AG．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，BC上，∠ADB＝∠AEB＝60°，AE與BD交于點F，若AF＝a，CE＝b，求BE的長（用含a，b的式子表示）．8．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC下方一點，∠BDC＝90°，AE⊥BD于點E，AF⊥CE交BD于點F，若CD＝2，BD＝8，求AF的長．AABCDEF第8題9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADB＝90°，點E是AB上一點，CE交BD于點F，AE＝DF，BC＝BD＝BE，若四邊形ABCD的面積為63，求BF的長．BBC第9題FADE10．如圖，將正方形ABCD折疊，使點B落在邊AD上點E處，點C落在點G處，折痕為MN，EG交CD于點F．ADBC第10題ENMADBC第10題ENMGF（2）若AE＝2，DE＝4，求FN的長．11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在AB的延長線上，點E在邊AC上，且AE＝BD，連接BE，過點A作AF⊥BE于點F，過點D作DG∥BC交AF的延長線于點G，交AC的延長線于點H．DH第11題AEBDH第11題AEBCGF（2）若DG＝kGH，求EQ\F(AF,AG)的值（用含k的式子表示）．12．如圖，將邊長為12的正方形ABCD折疊，使點A落在邊CD上點E處，折痕為MN．（1）若MN＝13，求BN的長；ADMBADMBCNFE第12題3.8構造等腰直角三角形和平行四邊形ACFEBGD已知條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點D，E分別是邊AC，BC上的點，且AC＝BE，AD＝CEACFEBGD輔助線作法：過點B作BG⊥BC，且BG＝CE，連接AG，EG結論：△AEG是等腰直角三角形，四邊形ADBG是平行四邊形，∠BFE＝45°典例透析GBE例1CAFD例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2eq\r(,5)，DB⊥BC，點E是邊BC上一點，且CE＝BD＝1，連接AE，DE，DE交AB于點F，∠AFE＝45GBE例1CAFDBBE例1CAFD怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠C＝90°，DB⊥BC，CE＝BD，∠AFE＝45°輔助線作法：過點E作EG⊥DE交CA的延長線于點G，連接DG結論：△DEG是等腰直角三角形，四邊形AGDB是平行四邊形思路點撥：先導角證△BDE≌△CEG，則△DEG是等腰直角三角形，再證四邊形AGDB是平行四邊形，可得DG，DE的長，在Rt△DBE中利用勾股定理求出BE的長．BBE例1CAFD我能解解：ABE例2CDAFBE例2CD例2如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AC上，點E在BC的延長線上，且AD＝CEABE例2CDAFBE例2CD怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠ACB＝90°，AD＝CE，∠ABC＋∠DEC＝135°輔助線作法：過點A作AF⊥AC，過點D作DF⊥DE交AF于點F，連接EF結論：△AFD≌△CDE，四邊形ABEF是平行四邊形思路點撥：由三角形全等可得DF＝DE，△DEF是等腰直角三角形，∠DEF＝45°，由∠ABC＋∠DEC＝135°，可得∠ABC＋∠CEF＝180°，四邊形ABEF是平行四邊形，則AB＝EF＝．AABE例2CD我能解解：PAGBD例3CEFHABD例3CEF例3如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D為BC的中點，點EPAGBD例3CEFHABD例3CEF怎樣解作輔助線的依據(jù)：∠C＝90°，∠BFD＝45°輔助線作法：過點D作DG⊥AD且DG＝AD，連接AG，過點G作GH⊥BC交CB的延長線于點H，過點B作BP⊥BC交AG于點P結論：△ADG是等腰直角三角形，四邊形APBE是平行四邊形ABD例3CEF思路點撥：先證△ADC≌△DGH，再證四邊形APBE是平行四邊形，設PB＝AE＝x，將梯形GHCA的面積分為梯形GHBPABD例3CEF我能解解：針對訓練1．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，角平分線BD與CE相交于點O，且CD＝AB，求證：BE＝AD．AABC第1題DOE2．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是△ABC內一點，∠ADC＝90°，點F在DC的延長線上，且CF＝AD，過點F作EF∥BC，交AD的延長線于點E，求證：AE＝CD，BC＝EF．AA第2題EFBCD3．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，點E是邊BC上一點，連接AE交BD于點F，若∠AEC＝45°，BF＝2，DF＝AC＝3，求BC的長．AAFBC第3題EDBG第4題CADEFO4．如圖，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，點E在邊CD上，點G在BC的延長線上，連接AF與BG第4題CADEFO5．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D，E分別是邊AB，AC上的點，且BD＝AE，連接BE與CD交于點O，∠BOD＝45°，求證：AB＝CE，CD＝eq\r(,2)BE．AAOED第5題BC6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D為邊AC上一點，AD＝2，點E為邊BC上一點，連接AE與BD交于點F，∠AFD＝45°，求CE的長．BBC第6題EFDA7．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D，E分別為邊AB，AC上的點，連接BE，CD交于點F，若∠BFD＝30°，BD＝3，CE＝4，CD＝10，求BE的長．AABC第7題EDF8．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，點D，E分別為邊AB，BC上的點，且AE⊥CD，AE＝CD，若CE＝2，AD＝4eq\r(,3)，求四邊形ADEC的面積．第8題第8題BCEAD9．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D為BC的中點，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的點，且BF＝eq\r(,2)DE，BF與DE相交于點G，∠FGD＝45°，若BE＝1，DE＝eq\r(,10)，求AC的長．AAFEGBC第9題D10．如圖，在菱形ABCD中，點E在邊AB上，點F在BC的延長線上，且AE＝CF，連接DF，EF，若∠AEF＋∠BFE＝90°，△CDF的面積為2，求EF的長．AAD第10題BFEC11．【基礎鞏固】（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點，AE＝CD，DE＝CF，求證：AF＝eq\r(,2)CE．【嘗試應用】（2）如圖2，AB＝CD，AB與CD交于點O，∠BOD＝60°，直線AC與直線BD的夾角為30°，AC＝1，BD＝eq\r(,3)，求AB的長．【拓展提高】（3）如圖3，在△ABC中，∠A＝45°，點D，E分別是邊AC，AB上的點，BD與CE交于點O，BD＝CE，∠BOC＝120°，BE＝4，CD＝3eq\r(,2)，求BD的長．BBC圖1第11題ADEFACD圖2BBC圖3OOAED培優(yōu)必練AB第1題CED1．如圖，在△ABC中，點D，E分別為邊BC，AC上的點，DC＝AC，∠B＝∠AED＝45°，若CE＝1，BDAB第1題CED2．如圖，正方形ABCD的邊長為12，對角線AC與BD相交于點O，點E是邊BC上一點，過點O作OF⊥OE交AD的延長線于點F，若△OEF的面積為39，則EF的長為_________．AADFOB第2題CEAB第3題FCED3．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，點F是BC的中點，點E是△ABC內一點，連接AE，BE，EF，EF＝DF，∠EFD＝2∠AB第3題FCEDAFECBD第4題4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為AC延長線上一點，連接DB，將DB繞點D順時針旋轉90°得到DE，連接CE，過點A作AF∥BC交CE于點AFECBD第4題5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC的中點，點E在邊AC上，DF⊥BE交AB于點F，DG⊥DE交AB于點G，求證：AF＝FG．BB第5題DCAEFGAFCBDE第6題6．如圖，△ABC為等邊三角形，點D為邊AC上一點，點E為BD的中點，過點E作EF⊥AE，交BC的延長線于點FAFCBDE第6題7．如圖，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝∠DEF＝60°，點E為BC的中點，連接AD并延長到點G，使AD＝DG，連接CF，CG，F(xiàn)G，求證：△CFG是等邊三角形．AABGCDEF第7題ACB第8題EFMN8．如圖，△ABC和△AEF都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AFE＝90°，點M，N分別為BF和CE的中點，求證：MNACB第8題EFMNADECB第9題FGHE9．如圖，在正方形ABCD中，點E為AD的中點，AF⊥BE于點F，DG⊥CF于點G，交BE于點H，求EQ\F(DG,ADECB第9題FGHE10．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝60°，求證：BD＋CD＝AB．AABC第10題D11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC延長線上一點，∠ADB＝60°，點E是線段AD上一點，DE＝CD，連接BE，點F是線段AE上一點，BF＝BE，求證：AF＝2DE．AABC第11題DFE12．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝90°，AB＝AD，點E為邊BC上一點，∠AEB＝60°，求證：BE＝2CE．AABCDE第12題13．如圖，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于點D，點E在AC上，∠AEB＝60°，BD＝3，CE＝6，求DC的長．AACB第13題DE14．如圖，點D為等邊△ABC外一點，∠ADC＝30°，點E為BD的中點，連接AE，CE，并延長CE交AD于點F．ACBEACBEF第14題（2）求證：AE⊥CF．15．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC的中點，點E是AB延長線上一點，點F是DE的中點，連接AF，BF，AF交BC于點G，若∠AFB＝90°，求證：AG＝2BF＋BG．AABCDEFG第15題16．如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD與CE交于點F，連接AF，探究AF，BF，CF的數(shù)量關系，并證明．AABC第16題EFD17．如圖，點D為等邊△ABC外一點，∠ADC＝90°，過點B作BE⊥CD于點E，求證：AD＋BE＝eq\r(,3)DE．AADEBC第17題18．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別為邊BC，AC上的點，且BD＝CE，連接AD與BE交于點F，點G為線段EF上一點，AG＝AE，求證：DF＋FG＝BF．AABC第18題DFGE19．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AD為BC邊上的中線，點E為線段AD上一點，∠EBD＝30°，點F為線段DE上一點，點G為BE延長線上一點，且GF＝GC，設四邊形CFEG的面積為S，求S關于a的函數(shù)關系式．CCB第19題DAEFG20．如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，點D，E分別為邊BC，AC上的點，CD＝CA，∠ADE＝30°，若AE＝2，BD＝8，求CE的長．AACB第20題DE21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊上一點，以CD為底作等腰△CDE，∠DCE＝∠A，點F為BC的中點，求證：EF⊥BC．CCBA第21題DEF22．如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在對角線BD和邊CD上，且∠EAF＝45°，求證：AE⊥EF．AADCB第22題FE23．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D在AB的延長線上，點F為AC的中點，EF⊥AC，∠DCE＝45°，連接DE，求證：ED＝EC，ED⊥EC．AAEBDFC第23題24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D在AB的延長線上，點F為AC的中點，EF⊥AC，∠EDC＝45°，連接DE，求證：ED＝EC，ED⊥EC．AAEBDFC第24題25．如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊上一點，點F是∠BCD的外角平分線上一點．CB第25題DAEFP（1）若AECB第25題DAEFP（2）若AE＝EF，求證：AE⊥EF．26．如圖，在正方形ABCD中，點E為邊AB上一動點，點F為BC延長線上一點，CF＝BC，連接CE，DF，點M為線段CE的中點，點N在線段DF上（不與點D重合)，且AM＝MN．求證：（1）AM⊥MN；（2）AE＝eq\r(,2)DN．MMADFB第26題CNE27．如圖，在等邊△ABC中，點D為BC邊上一點，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連接CE并延長交AD的延長線于點F．（1）求∠F的度數(shù)；ACBDEFGH第27題（2）過點D作DG∥AC交AB于點G，連接EG交ACBDEFGH第27題28．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D，E分別為邊AB，AC上的點，連接BE，DE，CD，BE與CD交于點F．CB第28題EADF（1）若BD＝CB第28題EADF（2）若BD＝CE，∠BFD＝45°，求證：DE＝CE．29．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為BC的中點，點E為AD上一點，連接BE，CE．ABC第29題DE（1）若∠CED＝90°，求證：∠BED＝45°ABC第29題DE（2）若∠BED＝45°，求證：∠CED＝90°，AE＝4DE．30．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，將正方形沿著EF翻折，點B恰好落在CD邊上的點B′處．A′B′ADECA′B′ADECB第30題F（2）設B′D＝x，AE＝y(tǒng)，求y關于x的函數(shù)關系式．31．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，角平分線AD與BE交于點F．（1）求∠AFB的度數(shù)．CA第31題NBFDME（2）點M為DE的中點，連接MF并延長交CA第31題NBFDME32．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為△ABC內部一點，AD＝AC，連接DC，將DC繞點D逆時針旋轉90°得到DE，連接CE交AD于點F，連接AE，BD．（1）求證：△ADE≌△BCD；（2）如圖2，當點E落在AB上時，求AE∶BE的值；（3）如圖3，若F為AD的中點，BD＝2，求AD的長．CCA圖1B第32題DEFCA圖2BEDFCA圖3BEFD33．已知點D是等邊△ABC內一點，連接AD，BD，CD，以AD，BD為鄰邊作□ADBE，以AD，CD為鄰邊作□ADCF．（1）如圖1，點G為AB的中點，點H為AC與DF的交點，DG∥AC，若DB2＋DF2＝40，求DB＋DF的值；（2）如圖2，若∠ADB＝90°，∠BDC＝150°，求證：□ADBE的面積是□ADCF的面積的兩倍．AABC第33題圖1DEFGHBC圖2