《導數(shù)的應用》解題技巧

導數(shù)的應用知識目標：1.利用導數(shù)研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（小）值以及函數(shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大（?。┲?；2．利用導數(shù)求解一些實際問題的最大值和最小值。能力目標：1.通過研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（?。┲狄约昂瘮?shù)在連續(xù)區(qū)間[a，b]上的最大（?。┲?，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力；

2.通過求解一些實際問題的最大值和最小值，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，以及數(shù)學建模能力。思想目標：逐步培養(yǎng)學生養(yǎng)成運用數(shù)形結合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學思想方法思考問題、解決問題的習慣重點導析：一、曲線的切線及函數(shù)的單調(diào)性

為減函數(shù)。1.設函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導，若，則在該區(qū)間上是增函數(shù)；若，則③把函數(shù)的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；④確定在各個小開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判定函數(shù)在每個小開區(qū)間內(nèi)的增減性。2.求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：①確定函數(shù)

的定義域區(qū)間；

②求

，令＝０，解此方程，求出它在定義域區(qū)間內(nèi)的一切實根；題型一：利用導數(shù)求切線斜率、瞬時速度

解法提示：在某一點切線的斜率或在某一時刻的瞬時速度就是該點或該時刻對應的導數(shù).例1求垂直于直線，且與曲線相切的直線方程.如圖題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析：確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,即在其定義域區(qū)間內(nèi)確定其導數(shù)為正值與負值的區(qū)間.例2試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.如圖二、可導函數(shù)的極值

1.極值的概念：設函數(shù)在點附近有定義，且對附近的所有的點都有（或則稱為函數(shù)的一個極大（?。┲?，稱為極大（?。┲迭c。①求導數(shù)②求方程＝０的根；2.求可導函數(shù)極值的步驟：③檢驗在方程＝０如果在根的左側附近為正，右側附近為負，那么函數(shù)的根的左、右的符號，在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，右側附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極大值.題型三：求函數(shù)的極值與最值分析：此題屬于逆向思維，但仍可根據(jù)求極值的步驟來求.但要注意極值點與導數(shù)之間的關系（極值點為的根）.例3設函數(shù)在或處有極值且.求并求其極值.如圖三、函數(shù)的最大值與最小值1.設是定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)，在（a，b）內(nèi)有導數(shù)，求函數(shù)在[a，b]上的最大值與最小值，可分兩步進行：①求在（a，b）內(nèi)的極值；②將在各極值點的極值與比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.2.若函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞增，則為函數(shù)的的最小值，為函數(shù)的最大值；若函數(shù)在[a，b]上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的最大值，最小值.為函數(shù)的例４函數(shù)在[0，3]上的最值.５-155y＋0－Y’3(2,3)2(0,2)0X題型四：利用求導證明不等式

例５當時，證明分析：運用函數(shù)與方程的思想，可將不等式的證明轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)在上為增函數(shù)，而增函數(shù)的證明又可轉(zhuǎn)化為證明題型五：利用求導解應用題

例６如圖,有甲、乙兩人，甲位于乙的正東100km處開始騎自行車以每小時20km的速度向正西方向前進，與此同時，乙以每小時10km的速度向正北方向跑步前進，問經(jīng)過多少時間甲、乙相距最近？BA乙甲如圖難點突破：1.關于單調(diào)性的定義,條件是充分非必要的.若在（a，b）內(nèi)，（或），（其中有有限個x使），則在（a，b）內(nèi)仍是增函數(shù)（或減函數(shù)）。如：，有（其中），但在（-∞,+∞）內(nèi)遞增；

2.注意嚴格區(qū)分極值和最值的概念.

極值是僅對某一點的附近而言，是在局部范圍內(nèi)討論問題，而最值是對整個定義域而言，是在整體范圍內(nèi)討論