專題06 全等三角形的五種模型（講+練）（解析版）-2022年中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí)與訓(xùn)練

專題06全等三角形的五種模型

全等三角形的模型種類多，其中有關(guān)中點(diǎn)的模型與垂直模型在前面的專題己經(jīng)很詳細(xì)的講解，這里就不在

重復(fù)。

模型一、截長(zhǎng)補(bǔ)短模型

①截長(zhǎng)：在較長(zhǎng)的線段上截取另外兩條較短的線段。

如圖所示，在BF上截取BM=DF,易證△BMC絲△DFC(SAS),則MC=FC=FG,NBCM=/DCF,

可得△MCF為等腰直角三角形，又可證NCFE=45。，NCFG=90。，

ZCFG=ZMCF,FG〃CM,可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF,于是BF=BM+MF=DF+CG.

②補(bǔ)短：選取兩條較短線段中的一條進(jìn)行延長(zhǎng)，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。

如圖所示，延長(zhǎng)GC至N,使CN=DF,易證ACDFgZ\BCN(SAS),

可得CF=FG=BN,ZDFC=ZBNC=135°,

又知/FGC=45。，可證BN〃FG,于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG,

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

例1.如圖，MBC中，回B=20A,EMCB的平分線CD交AB于點(diǎn)D,已知AC=16,BC=9,則B。的長(zhǎng)為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B.

【詳解】解：如圖，在C4上截取CN=CB,連接DN,

???CZ）平分ZACB,/BCD=ZNCD,

?;CD=CD,:.4CBD^ACND(SAS),:.BD=ND,4B=4CND,CB=CN,

BC=9,AC=16,：.CN=9,AN=AC-CN=7,

ZCND=ZNDA+NA,r.NB=ANDA+ZA,

,:乙B=24A,：.4A=4NDA,：.ND=NA,：.BD=AN=1.故選：B.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在M8C中，AB=BC,a4BC=60°,線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，E是線段BD與

直線AP的交點(diǎn).

(1)若回DAE=15。，求證：MB。是等腰直角三角形；

(2)連CE,求證：BE=AE+CE.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）團(tuán)在附8c中，AB=BC,EMBC=60°,EEABC是等邊三角形，

QAC=AB=BC,^BAC=^\ABC=^ACB=60",

囪線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，函C4￡=?CWE=15°,AD=AC,

甌84￡=團(tuán)84：+回6￡=乃°,EBBAD=90。，M8=4C=AD,0348。是等腰直角三角形;

（2）在BE上取點(diǎn)F,使8F=CE,連接AF,

P

團(tuán)線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，^EACE=BADE,AD=AC,

^AD=AC=AB,WADB=SABD=SACE,

AC=AB

在EW8F與MCE中，ZACE=ZABF,^BABF^RACE(SAS'),SAF=AE,

CE=BF

MD=4B,0SD=EMBD,又EICAE=EIDAE,

0ZAEB=ZD+Z.DAE=1(ZD+NABD+ZDAC)=^(180°-ZBAC)=60°,

El在EWFE中，AF=AE,MEF=60。，EEMFE是等邊三角形，SAF=FE,

0BE=8F+FE=CE+AE.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在12ABe中，0ACB=0ABC=4O°,BD是EIABC的角平分線，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E,使得DE=DA,

則回ECA=.

【答案】40。

【詳解】解：在BC上截取BF=AB,連接DF,

V0ACB=0ABC=4O",BD是回ABC的角平分線，回A=100。，I3ABD=0DBC=2OO,

A0ADB=6OO,0BDC=12O",

???BD=BD,/.0ABD00FBD,

DE=DA,；.DF=AD=DE,0BDF=0FDC=0EDC=6O°,0A=(3DFB=1OO°,

VDC=DC,.'.0DECE0DFC,

ZDCB=NDCE=NDFC-NFDC=100°-60°=40°；

故答案為40。.

【變式訓(xùn)練3】已知四邊形ABCD是正方形，一個(gè)等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A點(diǎn)重合，將此三角板

繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩功分別交直線BC,CD于M,N.

⑴如圖1,當(dāng)M,N分別在邊BC,CD上時(shí)，求證：BM+DN^MN

⑵如圖2,當(dāng)M,N分別在邊BC,CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BM,DN,MN之間的數(shù)量關(guān)系

（3）如圖3,直線AN與BC交于P點(diǎn)，MN=10,CN=6,MC=S,求CP的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BM-DN=MN-.（3）3

【詳解】（1）證明：如圖，延長(zhǎng)到G使BG=￡W,連接AG,

團(tuán)四邊形A8CD是正方形，12AB=A￡>,ZABG=ZADN=NBAD=9CP,

AB=AD

在AABG與/XADN中，ZABG=ZADN,:.AAGB^AAND(SAS),AG=AN,NGAB=ZDAN,

BG=DN

AMAN=45°,ABAD=90°,SZDAN+ZBAM=NBAD-ZMAN=45°,

/.NGAM=NGAB+ZBAM=ZDAN+ZBAM=45°,/.ZGAM=ZNAM,

.AM=AM

在AAWN與AAMG中，■ZGAM=ZNAM,:4MN/Z^AMG(SAS),.-.MN=GM,

AN=AG

)l^BM+GB=GM,BG=DN,：.BM+DN=MN■.

(2)BM—DN=MN,理由如下:

如圖，在8M上取一點(diǎn)G,使得BG=DN,連接AG,

團(tuán)四邊形A8CD是正方形，^AB=AD,ZABG=ZACW=ZBAD=90。，

AB=AD

在AABG與△A￡＞N中，＜NABG=ZADN,AAGB^/^AND(SAS),

GB=DN

：.AG^AN,ZGAB=ZDAN,^ZCAB+ZGAD=ZDAN+ZGAD.0ZG4N=ZBAD=9O°,

又AMAN=45°,ZG4M=NGAN-ZM47V=45°=ZMAN,

AM=AM

在AAMN與AAA/G中，＜NGAM=NNAM,:./\AMN^/\AMG(SAS),-,MN=GM,

AN=AG

又?BM-BG=GM,BG=DN,0BM-DN=MN.

故答案為：BM-DN=MN-.

(3)如圖，在￡W上取一點(diǎn)G,使得QG=8M,連接4G,

回四邊形A8CD是正方形，

S1AB=AD=BC=CD,ZABM=ZADG=ZBAD=90P,ABIICD,

'AB=AD

在AA8用與AAOG中，＜NABM=NAZ)G,^ABM^^ADG(SAS),.-.AM=AG,ZMAB=ZGAD,

BM=DG

^ZMAB+ZBAG=ZGAD+ZBAG,回ZM4G=ZBAD=90°,

又ZMAN=45°,乙GAN=NM4G-AMAN=45°=AMAN,

AM=AG

在△4MN與中，\ZMAN=ZGAN,.?.△AAW?AAGN(SAS),.?.MV=GN=10,

AN=AN

設(shè)DG=BM=x,mCN=6,MC=8,

⑦DC=DG+GN—CN=x+10—6=x+4,BC=MC—BM=8—x,

田DC=BC,團(tuán)x+4=8—x,解得：x=2,⑦AB=BC=CD=CN=6,

SABHCD,^ABAP=^CNP,

/APB=/NPC

在AABP與ANCP中，，NBAP=NCNP,:.△ABP^ANCP(AAS),:.CP=BP=-BC=3,

AB=CN

E1CP的長(zhǎng)為3.

模型二、平移全等模型

例.如圖，在幽8c和回OEF中，8,E,C,F在同一條直線上,A8//DE,AB=?！?財(cái)=I3D.(1)求證：^ABC^DEF;

(2)若BF=11,EC=5,求BE的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)BE=3.

【詳解】(1)證明：0ABI3DE,00ABC=0DEF,

"ZA=ND

在OABC和回DEF中，AB=DE00ABC00DEF(ASA)；

/ABC=ZDEF

(2)解：函ABCEBDEF,0BC=EF,0BC-EC=EF-EC,即BE=CF,

0BF=11,EC=5,0BF-EC=6.0BE+CF=6.0BE=3.

【變式訓(xùn)練1】如圖,AB//CD,AB=CD點(diǎn)E、F在BC上，且BF=CE.

(1)求證：回ABE03DCF(2)求證:AE〃DF.

【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)見(jiàn)詳解

【詳解】證明：(1)04BECD,(3NB=NC，

(38F=C￡,0CF+EF=BE+EF,0BE=CF,

酎B=CD,^/\ABE^/\DCF(SAS),

(2)由(1)可得：XABE@XDCF、?ZDFC=ZAEB,

0ZDFC+ZEFD=180°,ZAEF+NAEB=180°,0/F,FD=ZAEF，0AE//DF.

【變式訓(xùn)練2】如圖，已知點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，CD^BE,且CD=BE.

(1)求證：0ACD0I3CBE.(2)若NA=87°,NO=32°,求期的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)61°

【分析】(1)根據(jù)SAS證明國(guó)ACDEBCBE；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得團(tuán)ACD,再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到I3B=EIACD.

【詳解】(1)配是AB的中點(diǎn)，0AC=CB,0CD//BE,^ZACD=ZCBE,

'AC=CB

在EIACD和EICBE中，<ZACD=ZCBE,?AACZ)=ACBE；

CD=BE

(2)0ZA=87°,ZD=32°，

團(tuán)ZAC￡>=180°-ZA—ZD=180°-87°—32°=61°，

又EIAACDMACBE，0ZB=ZACZ)=6f.

模型三、對(duì)稱全等模型

*4)

*4)

(1)求證：RtiHABCHRtiaDEF；(2)若EIA=5：L°,求EIBOF的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)78。

【詳解】(1)證明：0AE=DB,0AE+EB=DB+EB,即AB=DE.

又EBC=EIF=90°,AC=DF,回RtSABCElRtEIDEF.

(2)EEC=90°,0A=51",a3ABC=E)C-E]A=90°-51°=39°.

由(1)知RtElABC回RtElDEF,00ABC=0DEF.a3DEF=39°.

a3BOF=0ABC+?BEF=39°+39°=78°.

【變式訓(xùn)練1】如圖，EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,ZE=ZF=90%ZB=ZC,AE=AF,

給出下列結(jié)論：①/l=/2；②BE=CF；③△ACNgZXABM；?CD=DN.其中正確的結(jié)論有()

【解答】B

【解析】VZE=ZF=909,ZB=ZC,AE=AF,/.AABE^AACF,；.BE=CF,

VZBAE=ZCAF,ZBAE-ZBAC=ZCAF-ZBAC,：.A\=Z2,

.,.△ABE^AACF,/.ZB=ZC,AB=AC,XVZBAC=ZCAB,.,.△ACN^AABM,

④CD=DN不能證明成立，，共有3個(gè)結(jié)論正確.

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB=AC,BE_LAC于E,CF_LAB于F,BE,CF交于D,則以下結(jié)論：①4ABE絲

△ACF；?ABDF^ACDE；③點(diǎn)D在/BAC的平分線上.正確的是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

【解答】D

【解析】：BEJ_AC于E,CFJ_AB于F,/AEB=/AFC=90°,

VAB=AC,ZA=ZA,/.AABE^AACF（第一個(gè)正確），，AE=AF,，BF=CE,

TBE_LAC于E,CFJ_AB于F,ZBDF=ZCDE,.,.△BDF0Z\CDE（第二個(gè)正確），；.DF=DE,

連接AD,：AE=AF,DE=DF,AD=AD,AAAED^AAFD,

；.NFAD=NEAD,即點(diǎn)D在NBAC的平分線上（第三個(gè)正確）.

模型四'旋轉(zhuǎn)全等模型

例.如圖,EWBC和MOE中,AB=AC,AD=AE,I2BAC=E]OAE,且點(diǎn)8,D,E在同一條直線上,若13cAE+EMCE+MDE=130。,

則MDE的度數(shù)為（）

A.50°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【詳解】ABAC=/DAE..ABAC-ADAC=Z.DAE-ADACABAD=ZCAE

AB=AC

AB=AC,AD=AE：.在^BAD和VC4E中，NBA。=ZCAE

AD^AE

?.ABAD名VCAE(SAS)ZABD=ZACE

ZCAE+ZACE+ZADE=130°，ZABD+ZBAD+ZADE=130°

ZADE=ZABD+ABAD：.2ZADE=130°/.ZADE=65°故選：B.

【變式訓(xùn)練1】如圖，將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到正方形ABCD，，線段CD,BY交于點(diǎn)E,

若DE=1,則正方形的邊長(zhǎng)等于.

【答案】2+73

【詳解】解：連接47、AE,延長(zhǎng)U8咬4C于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作GF0DC于G,

由題意得，AD=AB',QD=^AB'E,SB'AB=60°^CAB=^GCB'=45°,02加8'=30°,回CAB'=15°

[AD=AB'

在R7H4DE與RTBAB'E中4廣一廠，回R71MDEI3R7TMB￡(灰)，

[AE=AE

^DAE=SB/AE=y^DAB'=15°,DE=EB'=1,釀B'AE=E1CA8'

ZB'AE=ZCAB'

在M8'E和ELAB'F中,,EEW8'E0EW8'F(ASA),回EB'=8F=1

/EB'A=NFB，A

回回?！?'=360°-回。-團(tuán)EB'A-^DAB'=150°,EBGEF=30°

在RT^EGF中，EG=EFxcos0GfF=2x也=Q,DF=EFxsin^GEF=2xg=1

22

在團(tuán)CGF中，0GCF=45°,SCG=GF=1,WC=DE+EG+GC=2+^

所以正方形的邊長(zhǎng)為2+6，故答案為2+港

【變式訓(xùn)練1】如圖，AC±BC,DC±EC,AC=BC,DC=EC,

求證：（1）AACEMABC。；（2）AE±BD.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【詳解】證明：（1）QACJ.BC,DCLEC,:.ZACB=NDCE=90。,

ZACB+ZACD=ADCE+ZACD■ZDCB=ZECA,

AC=BC

在ADCB和AECA中，＜NDCB=NECA,ADCB勺AEC4（5AS）:

CD=CE

（2）如圖，設(shè)AC交8。于N,AE交BD于O,

\\DCB^\ECA,..NA=N8，-：ZAND=ZBNC,ZB+ZBNC=90°,

ZA+ZAND=90°，:.ZAON=90°,:.AE±BD.

【變式訓(xùn)練2】如圖，AB^AC,AE=AD，NC4B=NEW=a.

（1）求證：△AECMAADB；（2）若a=90°,試判斷30與CE的數(shù)量及位置關(guān)系并證明;

（3）若NC4B=NE4O=a,求NCE4的度數(shù).

E

（y

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）BD=CE,BD0CE；（3）900-y

【,詳解】（1）03CAB=EIEADa21CAB+l3BAE=GIEAD+!3BAE,00CAE=0BAD,

AB^AC

0AB=AC,AE=AD在EIAEC和E1ADB中＜NC4E=N3AD|3E]AECEEADB(SAS)

AE=AD

(2)CE=BD且CEE1BD,證明如下：將直線CE與AB的交點(diǎn)記為點(diǎn)0,

由(1)可知0AEO33ADB,0CE=BD,回ACE/ABD,

00BOF=0AOC,E)a=90°,00BFO=SCAB=0a=90°,0CE0BD.

(3)過(guò)A分另lj做AM回CE,ANI3BD由(1)知回AECEBADB,

團(tuán)兩個(gè)三角形面積相等故AM-CE=AN-BD@AM=AN@AF平分I3DFC

1a

由(2)可知團(tuán)BFC=團(tuán)BAC=a麗DFC=1800-a團(tuán)團(tuán)CFA=一團(tuán)DFC=90。一一

22

【變式訓(xùn)練3】如圖①，在M8C中，購(gòu)=90°,AB=AC=^2+1,BC=2+五，點(diǎn)、D、E分別在邊AB、AC

上，且AD=AE=1,DE=0.現(xiàn)將MDE繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<?<180°).如圖②，

連接CE、BD、CD.

(1)如圖②，求證：CE=BD；

(2)利用備用圖進(jìn)行探究，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中CE所在的直線能否垂直平分8D?如果能，請(qǐng)猜想a的度數(shù)，

畫(huà)出圖形，并將你的猜想作為條件，給出證明；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)她CD的面積最大時(shí)，a=(直接寫(xiě)出答案即可)

圖①圖②備用圖

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)能，a=90。：(3)“=135。.

【詳解】(1)證明：如圖2中，根據(jù)題意：AB=AC,AD^AE,^CAB=AEAD=90°,

?/ZCAE+ZBAE=ZBAD+ZBAE=90°,/.ZCAE^ZBAD,

AC=AB

在AACE和AABD中，■ZCAE=NBA。，MC￡=AABD(SAS),;.CE=BD-.

AE=AD

(2)能，若CE所在直線垂宜平分BD,則CD=8C,

兇8="=應(yīng)+1,8c=2+0,AD=AE=1,DE=&,

^AC+AD=yf2+\+]=2+yf2,CD=BC=2+-/2,^\AC+AD=CD,即A、C、D在同一條直線上，止匕時(shí)a=90。,

如下圖，CE的延長(zhǎng)線與8D交于F,

與(1)同理可得A4CEWA/1B5S4S),.?.ZACE=NAJ5￡),

vZAC￡+ZAEC=90°,HZAEC=ZFEB,：.ZABD+^FEB=90°,:.ZEFB=9G°,CF1BD,

?.?BC=C￡>,.1CP是線段8。的垂直平分線；

(3)解：AZJCD中，邊BC的長(zhǎng)是定值，則3C邊上的高取最大值時(shí)MCD的面積有最大值，

，當(dāng)點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上時(shí)，AB8的面積取得最大值，如圖中：

?/AB=AC=>/2+l，AD=AE=\,NC4B=NE4r)=90°,￡>GJ_BC于G,

...AG=-BC=^^,ZG4B=45°,

22

DG=AG+AD=^^+\=^^,NZMB=180°—45°=135°,

22

.?.MCD的面積的最大值為：LBCZ)G」(0+2)(叵^)=3圓§,旋轉(zhuǎn)角。二⑶。.

2222

模型五、手拉手全等模型

例.如圖，B,C,E三點(diǎn)在一條直線上，AA3C和ADCE均為等邊三角形，3。與AC交于點(diǎn)M，AE

與CO交于點(diǎn)N,

（1）求證：AE=BD；（2）若把AQCE繞點(diǎn)。任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）成立，理由見(jiàn)解析.

【詳解】解：（1）證明：如圖1中,?.?AABC與ADCE都是等邊三角形,

AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE="°,

?/ZACB+ZACD+ZDCE=180,/.ZACD=60°,ZACB+ZACD=ZACD+ZDCE,

BC=AC

即NBCD=ZACE.在ABC。和AACE中，JNBC。=NACE,

CD=CE

:.ABCDvAACE(SAS).：.BD=AE.即AE=BD,

(2)成立AE=BD：理由如下：如圖2中，???△ABC、AOCE均為等邊三角形，

BC=AC,CD=CE,NBCA=NDCE=60。,

ZBCA+ZACD=NDCE+ZACD，即ZBCD=ZACE,

AC=BC

?/在MCE和ABCD中，＜/BCD=NACE,/.MCE=ABCD(SAS),;.AE=BD.

CD=CE

【變式訓(xùn)練1】如圖，I3OAB和回OCD中，OA=OB,OC=OD,0AOB=0COD=9O°,AC、BD交于點(diǎn)M.⑴如

圖1,求證：AC=BD,判斷AC與BD的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,0AOB=EICOD=60。時(shí)，團(tuán)AMD的度數(shù)為.

【答案】⑴答案見(jiàn)解析;(2)120；

【詳解】(1)NAOB=NCOD=90,ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD.

即：ZBOD=ZAOC.

??1OA=OB,OC=OD,易證ABOD^AAOC.

:"OBD=/OAC.AC=BD

0ZAMD=ZABM+ZBAM,ZBAM=ZBAO+ZOAC.

0ZAMD=ZABM+ZBAO+ZOBD=/OBA+ZBAO.

SZAOB=90,.SZOBA+ZBAO=90*.,ZAMD=90\由AC團(tuán)BD

(2)同理可得.ZAMD=ZOBA+ZBAO.ZAOB=60.NOBA+ZBAO=120°.

.?.NAM￡)=120°.故答案為：120°.

【變式訓(xùn)練2】如圖，將兩塊含45。角的大小不同的直角三角板回COD和回AOB如圖①擺放，連結(jié)AC,BD.（1）

如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的回COD

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC,BD,其他條件不變，線段AC與BD存在（1）中的關(guān)

系嗎？請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并說(shuō)明理由.（3）將圖①中的回COD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC,

BD,其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論.

【答案】（1）AC=BD,AC0BD,證明見(jiàn)解析；（2）存在，AC=BD,AC0BD,證明見(jiàn)解析；（3）AC=BD,AC0BD

【詳解】（1）AC=BD,ACI3BD,證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.

03COD和?AOB均為等腰直角三角形，0OC-OD,OA=OB,0COA=I3BOD=9O5,

EBAOCEBBOD(SAS),0AC=BD,00OAC=0OBD,

B0ADE=0BDO,00AED=(3BOD=9O。，0AC0BD；

(2)存在，證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F,交AO于點(diǎn)G.

aaCOD和mAOB均為等腰直角三角形，0OC=OD,OA=OB,0DOC=BOA=9O?,

00AOC=fflDOC-0DOA,E1BOD=0BOA-EIDOA,

00AOC=0BOD,EI3AOC00BOD(SAS),回AC=BD,0OAC=0OBD,

BI3AGF=0BGO,EEAFG=EIBOG=90。，I3AC[?IBD；

(3)AC=BD,AC0BD.證明：BD交AC于點(diǎn)H,AO于M,

I3EIC0D和EIAOB均為等腰直角三角形，0OC=OD,OA=OB,EIDOC=BOA=90。，

E0AOC=I3DOC+EIDOA,回BOD=I2BOA+EIDOA,

00AOC=I3BOD,00AOC00BOD(SAS),E1AC=BD,0OAC=0OBD,

B0AMH=(aBMO,00AHM=0BOH=9O5,0ACEIBD.

【變式訓(xùn)練3】已知：如圖1,在AA8C和AADE中，ZC=ZE,ZCAE=ZDAB,BC=DE.(1)

證明A4BC^AAZ)E.(2)如圖2,連接CE和8力，OE，AO與BC分別交于點(diǎn)M和N,NDMB=56。,

求NACE的度數(shù).(3)在(2)的條件下，若CN=EM,請(qǐng)直接寫(xiě)出NCBA的度數(shù).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)MCE=62°；(3)I3C8A=6°.

【詳解】解：(1)aaCAE=0DAB,EBCAE+EICAD=0DAB+0CAD,即團(tuán)CAB=?EAD,

NC=NE

在EIABC和回ADE中，｛ACAB=ZEADEBABC00ADE(AAS),

BC=DE

(2)00ABC00ADE,00CBA=0EDA,AC=AE,

在ISMND和鼬NB中，00EDA+0MND+EIDMB=180",I3CBA+(3ANB+0DAB=180".

X0(3MND=I?IANB,回EIDAB=(3DMB=56°，EBCAE=(3DAB=56°，

0AC=AE,EEACE=0AEC=-(18O°-56°)=62°,E0ACE=62°，

如圖所示，連接AM,???4C4=4ffi4,CN=EM,CA=EA,，VNC4MVME4(SAS),

AM二AN,NE4M=ZCAN,，ZEAM-ZCAM=/CAN-ZCAM即ZEAC=AMAN,

山(2)可得：ZEAC=ZMAN=56°,--ZAW=1(180°-56°)=62°,

2

0CAE=0DAB=56°NCBA=ZANM-ZDAB=62°-56°=6°.

課后訓(xùn)練

1.如圖，已知AB=AD，BC=DE,且NC4￡>=10。，ZB=ZD=25°,NE45=120°,則NEGF的度

數(shù)為()

A.120°B.135°C.115°D.125°

【答案】C

AB^AD

【詳解】在aABC和MDE中，ZB=ZD團(tuán)aABCSMDE(54S)^EBAC=SDAE

BC=DE

WEAB=SBAC+SDAE^CAD=120°^\BAC=^DAE=x(120°-10°)=55°

EB8AF=I38AC+{33D=65°回在附FB中，EWFS=18O0-0B-0B4F=9OO00GFD=9O°

在EIFGD中，?EGF=E)D+E]GFD=：L15°故選：C

4

2.如圖，EIABC中，E在BC上，D在BA匕過(guò)E作EFI3AB于F,08=01+02,AB=CD,BF=-,則AD的長(zhǎng)

3

為.

【詳解】在網(wǎng)上取一點(diǎn)兀使得F7=BF,連接ET,在CB上取一點(diǎn)K,使得CK=ET,連接OK.

SEB=ET,^BB=^ETB,^BETB^l+SAET,回8=131+02,SEAE7=回2,

^AE=CD,ET=CK,^BAETWDCK(SAS),

WK=AT,SATE=^DKC,SSETB^DKB,EB8=EIDKB,回。8=DK,^BD=AT,SAD=BT,

888

WT=2BF=-,豳。=一，故答案為：一.

333

3.如圖，？A2?C,BD平分/ABC,BC=10,A8=6,則AD=

【答案】4

【詳解】解：(1)在8c上截取8E=8A,如圖，

08D平分幽8C,SEL4BD=13EBD,

BE=BA

在0A8D和團(tuán)BED中，＜ZABD=Z.EBD,0a48DEBE8D(SA5),

BD=BD

SiDE=AD,SBED=SA,又皿=2I3C,00e￡D=0C+(3EDC=20C,

EEEDC=EIC,回ED=EC,SEC=AD,^\BC^BE+EC=AB+AD,

0BC=10,AB=6,0AD=1O-6=4；故答案為：4.

4.如圖，正方形ABCD,將邊C。繞點(diǎn)D順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a((T<a<90。)，得到線段?！?連接AE,CE,過(guò)點(diǎn)A

作AfiHCE交線段CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF.

(1)當(dāng)AE=AB時(shí)，求a的度數(shù);

(2)求證：MEF=45°；

(3)求證：AE^FB.

【答案】(1)a=30。；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.

【詳解】解：⑴在正方形4BCD中，AB=AD=DC,

由旋轉(zhuǎn)可知，DC=DE,SAE=ABQAE=AD=DE

?MED是等邊三角形，WADE=60",00ADC=90°,

圈a=MDC-aADE=90°-60°=30°.

(2)證明：在ISCOE中，DC=DE,a2DCF=0DfC=—~-=90

22

189g

在幽DE中，AD=ED,EL4DE=90°-a,^DAE=WEA=°Z(°Z)=45+?

22

0EMEC=(?IDFC+(?IDEZl=9O--+45+;=135°.EEMEF=45°,

22

(3)證明：過(guò)點(diǎn)8作8G〃CF與AF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)B作BH〃GF與CF交于點(diǎn)H,

則四邊形8GM是平行四邊形，

MFEICE,團(tuán)平行四邊形BGFH是矩形，

E)EWFP=M8C=90°,EMPF=0BPC,EEGAB=BCP,

ZGAB=NHCB

在EW8G和回C8”中，《NBGA=Z.BHC,^EABG^iCBH(AAS),

AB=CB

0BG=BH,團(tuán)矩形BGFH是正方形，EBHFB=45°,

由(2)可知：SAEF=45°,WFB=SAEF=45°,04E0FB.

5.如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,AB=AC,點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，且AE=AD,ZEAD

=ZBAC.

(1)求證：ZABD=ZACD；

(2)若ZACB=65。，求/BDC的度數(shù).

A

D

/\

B"------------C

【答案】（D見(jiàn)解析；（2）50°

【解析】（1）證明：VZBAC=ZEAD,；.NBAC—NEAC=NEAD—NEAC,即NBAE=NCAD,

AB=AC

ZBAE=Z.CAD,AAABE^AACD,.\ZABD=ZACD:

{AE=AD

（2）...NBOC是AABO和△DCO的外角，Z.ZBOC=ZABD+ZBAC,ZBOC=ZACD+ZBDC,

/.ZABD+ZBAC=ZACD+ZBDC,

VZABD=ZACD,；.NBAC=NBDC,

VZACB=659,AB=AC,/.ZABC=ZACB=652,

ZBAC=180s-ZABC-ZACB=1809-659-659=509,NBDC=NBAC=50A

6.如圖①，在如18c中，I38AC=9O。，A8=AC,點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A、C重合），在EMBC的外部作自CED,

使I3CED=9O°,DE=CE,連接AD,分別以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.

（1）求證：EF=AE；

（2）將回CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE,請(qǐng)判斷線段AF、AE的數(shù)量關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AF=-J2AE.見(jiàn)解析.

【詳解】解:（1）如圖，???四邊形48FD是平行四邊形，??.A8=DF,

AB=AC,.-.AC=DF,

DE=EC，AE=EF；

(2)AF=y/2AE,證明：連接EF,設(shè)DF交8C『K,

,四邊形A8FD是平行四邊形，

???0D/C￡=a4BC=45°,SiEKF=180°-SDKE=135°

,.?!?MD￡=1800-l?]fDC=180o-45o=135°,二^EKF=SADE,

?-?&DKC=SC,DK=DC,vDF=AB=AC,；-KF=AD

EK=DK

在回EKF和回EDA中，-ZEKF=ZADE,/.SEKFSSEDA（SAS）

KF=AD

■■EF=EA,^KEF=^\AED,，QFEA=SBED^O°,

?,?財(cái)斤是等腰宜角三角形，AF=y/2AE.

7.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,E為AC邊的一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接CF,交BE

于點(diǎn)D且NACF=NCBE,CG平分NACB交BD于點(diǎn)G,

(1)求證：CF=BG；

(2)延長(zhǎng)CG交AB于H,連接AG,過(guò)點(diǎn)C作CP〃AG交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,求證：PB=CP+CF；

(3)在(2)問(wèn)的條件下，當(dāng)NGAC=2NFCH時(shí)、若SAAEG=3次，BG=6,求AC的長(zhǎng).

【解答】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）=3—+3

【解析】（D證明，VZACB=90",AC=BC,AZA=45",

?；CG平分NACB,.,.ZACG=ZBCG=45°,.,.ZA=ZBCG,

在4BCG和ACAF中，

ZA=ZACG

AC=BC

4ACF=/CBE

.,.△BCG^ACAF(ASA),；.CF=BG：

(2)；PC〃AG,；./PCA=/CAG,

VAC=BC,ZACG=ZBCG,CG=CG,

AAACG^ABCG,...NCAG=NCBE,

,.'/PCG=NPCA+ZACG=/CAG+45°=/CBE+45°,ZPGC=ZGCB+ZCBE=ZCBE+450,

/.ZPCG=ZPGC,APC=PG,

VPB=BG+PG,BG=CF,，PB=CF+CP；

(3)如圖，過(guò)E作EM_LAG,交AG于M,

]

VSAAEG=5AG?EM=3，^,

由(2)得△ACG^^BCG,；.BG=AG=6,

-X6XEM=3A/3,EM=V^,

設(shè)NFCH=x°,則NGAC=2x°,/ACF=NEBC=NGAC=2x°,

VZACH=45°,；.2x+