高考-數(shù)學(xué)解答題的解題策略

數(shù)學(xué)解答題的解題策略

解答題可分為低檔題、中檔題和高檔題三個檔次，低檔題主要考查基礎(chǔ)知識和基本方法與

技能，中檔題還要考查數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算能力、思維能力、整合與轉(zhuǎn)化能力、空間想象能

力，高檔題還要考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力及分析問題和解決問題的能力.

基礎(chǔ)訓(xùn)練

(1)已知aeR,求函數(shù)y=(a-sinx)(a-cosx)的最小值.

思路點(diǎn)撥：

y=(a-sinx)(a-cosx)=a2-a(sinx+cosx)+sinxcosx，而sinx+cosx與sinxcosx有聯(lián)

系，可設(shè)/=sinx+cosx,則原來的問題可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值問題.

22

(2)x、y滿足條件標(biāo)+會=1,求y—3x的最大值與最小值.

思路點(diǎn)撥：

此題令b=y—3x,即y=3x+b,視b為直線y=3x+b的截距，而直線與橢圓必須有公共點(diǎn)，

故相切，b有最值.

(3)不等式2x-1>m(x2-1)對滿足me［-2,2］的一切實(shí)數(shù)m都成立,求x的取值范圍.

思路點(diǎn)撥：

此問題由于是常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論，若變換一個角度，以m

為變量，使八加)=(——1)加—(2x-1),則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)(或常函數(shù))/(⑼的值在［-2,

2］內(nèi)恒負(fù)時，參數(shù)x應(yīng)滿足的條件.

典型例題

(-)以退為進(jìn)策略

1、由整體向局部退

某些問題，可以退到構(gòu)成這一整體內(nèi)容的部分上，用帶有整體特征的部分來處理問題，解

題思路便會豁然開朗.

例1、在銳角AABC中，求證：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

【解析】VAS,Ce(0,-),：.A+B>-,即A>生一6>0,由于y=sinx在(0,工)上是單調(diào)

2222

jr

遞減的.sinA>sin(----8)=cosB,同理可證：sinB>cosC,sinC>cosA.

2

上述三式相加，得：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

【題后反思】

本題由整體退向局部，由一個角的三角函數(shù)或兩個角的三角函數(shù)關(guān)系式入手，進(jìn)行研究,

解出部分證明了整體.

2、由巧法向通法退

巧法的思維起點(diǎn)高，技巧性也強(qiáng)，有匠心獨(dú)具、出人意料等特點(diǎn)，而巧法本身的思路難尋,

方法不易把握，而通法則體現(xiàn)了解決問題的常規(guī)思路，而順達(dá)流暢，通俗易懂的特點(diǎn).

例2、已知sinacos"=；,求cosasin，的取值范圍.

【解析】由sina8s/?=,，得85?/?=——1—,

24sina

4sin2a-\

sin2夕二1-cos2[3-1------―

4sin,a4sin2a

22222

sin（3cosa=sin/?（1-sina）=*由:_1.（i-sina）

4sina

-4sida+5sifia-1工（si強(qiáng)+））〈一」

4siRa44sin?44

從而得cosasinBe[——.

22

【題后反思】

本題是一典型、常見而又方法繁多、技巧性較強(qiáng)的題目，求解時常常出錯，尤其是題目的

隱含條件的把握難度較大，將解法退到常用的數(shù)學(xué)方法之------消元法上來，則解法通俗、

思路清晰.

(二)合理轉(zhuǎn)化策略

轉(zhuǎn)化思想方法用于研究、解釋數(shù)學(xué)問題時思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化成

另一種情況，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境，使問題得到解釋的一種方法，這種轉(zhuǎn)化是解決問題

的有效策略，同時也是成功的思維模式，轉(zhuǎn)化的目的是使問題變的簡單、容易、熟知，達(dá)到

解決問題的有利境地，通向問題解決之策.

1、常量轉(zhuǎn)化為變量

有的問題需要常、變量相互轉(zhuǎn)化，使求解更容易.

例3、設(shè)9cosA+3sinB+tanC=Orin?B-4cosA-tanC=0,求證：|cosA|K一.

6

【解析】令x=3,則有—cosA+xsin8+tanC=0,若cosA=0,則|cosA|=042成立；

6

若COSAHO,則八=$皿2B-4cosA.tanC=0,...方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，即再=/=3,

由韋達(dá)定理，.彳2=9=網(wǎng)0,即tanC=9cosA,又sin?3-4cosAtanC=0,

cosA

/.sin25-4cosA9cosA=0,/.36cos2A=sin2<1,|cosA|<—.

6

【題后反思】

把變量變?yōu)槌Ａ?，也就是從一般到特殊，是我們尋找?guī)律時常用的解題方法，而本題反其

道而行之，將常量變?yōu)樽兞浚瑥奶厥獾揭话闶箚栴}得到解決.

2、主元轉(zhuǎn)化為輔元

有的問題按常規(guī)確定主元進(jìn)行處理往往受阻，陷于困境，這時可以將主元化為輔元，即可迎

刃而解.

例4、對于滿足|p\<2的所有實(shí)數(shù)p,求使不等式/+px+1>2x+p恒成立的x的取值范圍.

【解析】把/+px+1>2x+p轉(zhuǎn)化為(x-Dp?+x2-2x+l>0,則成為關(guān)于p的一次不等式,

則|〃區(qū)2,W-2<p<2,由一次不等式的性質(zhì)有：(x-l)p+(x-l)2=(x-l)(x-l+p)>0,

當(dāng)p=—2時，(x-l)(x-3)>0,：.x<-l^x>3；

當(dāng)p=2時，(x-l)(x+l)>0,，x<T則>1,綜上可得：x<—l曲>3.

【題后反思】

視x為主元，不等式是關(guān)于x的一元二次不等到式，討論其取值情況過于繁瑣，將p轉(zhuǎn)化

為主元，不等式是關(guān)于p的一次的不等式，則問題不難解決.

3、正向轉(zhuǎn)化為反向

有些數(shù)學(xué)問題，如果是直接正向入手求解難度較大，可以反向考慮，這種方法也叫“正難

則反”

丫2

例5、若橢圓3+y2=a2(a〉o)與連接A(1,2),B(3,4)兩點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn)，求

實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解析】設(shè)線段AB和橢圓有公共點(diǎn)，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得線段AB的方程為y=x+l,

X2_2

xe[l,3],則方程組5+?=a,消去y

〔y=x+\

得：—+(x+l)2=a2,BPa2=-x2+2x+1=—(x+—)2+-,

22233

...2941、八.3回「廊

?x€[n1,3],??ci€|r一,—],?〃>(),??---WaK----,

2222

.??當(dāng)橢圓與線段AB無公共點(diǎn)時，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(。，當(dāng)U(孚―

【題后反思】

在探討某一問題的解決辦法時，如果我們按照習(xí)慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應(yīng)

從反面的方向去探索.

4、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

數(shù)形結(jié)合，實(shí)質(zhì)上是將抽象的語言與直觀圖形結(jié)合起來，以便化抽象為直觀，達(dá)到化難為

易，化簡為繁的目的.

例6、已知/(x)是定義在｛x|xwO｝上的奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，若

/⑴=0,a>1,解不等式/(log,x)<0.

【解析】由/(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，且/(x)是定義域上的奇函數(shù),

二/(x)在(-8,0)上也是增函數(shù).

???/?⑴=0，.?./(-1)=0，.?./(Io&x)<0=/(1)或/(log?x)<0=_/(—1),

x〉0xv0

由函數(shù)的單調(diào)性知：或

0<log?X<1[logux<-l

，原不等式的解集為：｛x|l<x<a或0<x<，｝

a

【題后反思】

由已知，/(X)是定義在｛X|XH0｝上的奇函數(shù)，且在區(qū)

間(0,+8)上是增函數(shù)，由/(D=0M>1,則可得/(x)的

大致圖像如下圖，可知/(-1)=0

5、自變量與函數(shù)值的轉(zhuǎn)化

函數(shù)單調(diào)性的定義明確體現(xiàn)了函數(shù)自變量的不等式關(guān)系與函數(shù)值間不等關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的思

想，理解它們之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，有利于靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題.

例7、設(shè)/(幻是定義在(0,+8)上的增函數(shù),且對于定義域內(nèi)任意x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y)

/(2)=1,求使不等式/(x)+/(x-3)42成立的x的取值范圍.

r>0

【解析】???/(?的定義域是(0,+8),"，即x>3,

x-3>0

由于/(盯)=/(")+/(y)，得_/(x)+/(x—3)=/[(x-3)-x],

由7(2)=1,得2=1+1=〃2)+〃2)=/(4),

.??由題設(shè)條件得：3)]</(4),

：/(元)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，，x(x—3)<4,解之得：—14x44,又x>3,

適合題意的x的取值范圍為[3,4].

【題后反思】

這類抽象函數(shù)求解是初學(xué)者較難掌握的，解題的關(guān)鍵需實(shí)現(xiàn)三種轉(zhuǎn)化：

①將函數(shù)值間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的不等關(guān)系；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性意義又能比較兩

個值的大小，因此需將/(x)+/(x-3),根據(jù)等價轉(zhuǎn)化為3)]；③需將②轉(zhuǎn)化為某自變

量的函數(shù)值，從而建立關(guān)于x的不等關(guān)系，求出x的取值范圍.

五、限時課后練習(xí)

(1)已知函數(shù)/(x)=2,-擊

(I)若/(x)N2,求x的值；

(II)若2"(2。+句⑺NO對于fw[l,2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2)設(shè)函數(shù)/⑺=④？+"x+c(a/o),曲線y=/(x)通過點(diǎn)(0,2a+3)且在點(diǎn)(-1,/(-I))

處的切線垂直于x軸.

用a分別表示b和c；

(II)當(dāng)be取得最小值時，求函數(shù)g(x)=-./Xx)eT的單調(diào)區(qū)間.

(3)在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0,-g),(0,V3)的距離之和等于4,設(shè)點(diǎn)P的

軌跡為C,直線丁=丘+1與C交于A、B兩點(diǎn),

(I)寫出c的方程;

(II)若)，為，求k的值;

(III)若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k〉0時，恒有|5|>|而|.

(4)已知函數(shù)/⑴=J：~,g(x)=cosxf(sinx)+sinxf(cosx),xe(乃

(I)將函數(shù)g(x)化簡成45也3￥+0)+仇4>0,。>0,°€[0,2乃))的形式；

(ID求函數(shù)g(x)的值域.

(5)已知曲線Ci：巴+生=1(。>人〉0)所圍成的封閉圖形的面積為4㈠，曲線Ci的內(nèi)切

ab

圓半徑為述，記Q為以曲線Ci與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓，

(I)求橢圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(H)設(shè)AB是過橢圓C2中心的任意弦，/是線段AB的垂直平分線，M是/上異于橢圓

中心的點(diǎn)，①若|MO|=/L|04|(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C2上運(yùn)動時，求點(diǎn)M

的軌跡方程；②若M是/與橢圓C2的交點(diǎn)，求面積的最小值.

答案：

1.(1)x=Iog2(l+V2)；

(2)mG[-5,+oo)

2.(1)c=2a+3,b=2a；

(2)y=g(幻的單調(diào)減區(qū)間為(-8,-2)和(2,+8),單調(diào)增區(qū)間為(-2,2)；

2

3.(1)/+2L=i,

4

⑵％=±L

2

(3)略；

4.(1)g(x)=V2sin(x+—)-2,

4

(2)g(x)的值域?yàn)閇2-行3)；

(2)①蘭+二===#0),②竺.

459

探索性問題的基本題型及解題方法

一、考情分析

探索性問題是近幾年高考的熱點(diǎn)，通過對探索性問題的考查，能考查出考生的創(chuàng)新意識與

創(chuàng)新能力，高考中一般以填空題或大題的形式出現(xiàn)，難度為中、高檔.

二、問題特點(diǎn)及解題方法

條件為完備或結(jié)論不確定是探索性問題的基本特征，數(shù)學(xué)探索性問題的解答一般沒有固

定、現(xiàn)成的模式可循，它有較強(qiáng)的思維發(fā)散性，必須自己設(shè)計解決方案，以考查創(chuàng)新意識、

創(chuàng)新精神為目標(biāo)的此類題型，常以新穎的形式出現(xiàn)，解題入口寬，而且題設(shè)條件往往比較隱

蔽，但只要能明確問題特點(diǎn)，根據(jù)特點(diǎn)采取相應(yīng)的策略，仍可以使求解“程序化”，有據(jù)可依,

有規(guī)可特，

解決這類問題時，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、比較、類比、分析、綜合、演繹、歸納、抽象、概括

等思維方式，對試題的條件和結(jié)論所提供的外在信息與自身大腦中儲存的內(nèi)在信息進(jìn)行提取,

組合、加工和轉(zhuǎn)化，明確解題方法，形成解題策略，選擇解題步驟.

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練

21

(1)已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,,%=-可且S“+」~+2=a“(〃N2),計算H,邑,83,84,

3Sn

并猜想S”的表達(dá)式.

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，過定點(diǎn)C(0,p)作直線與拋物線Y=2〃y(y>0)相

交于A、B兩點(diǎn)，

(I)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，

求A4M5面積的最小值；

(II)是否存在垂直于y軸的直線/,使得

/被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定

值？若存在，求出/的方程；若不存在,

說明理由.

(3)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S,,則邑,58—邑,兀-S8，S|6—S|2成等差數(shù)列，類比以

上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列也,｝的前n項(xiàng)和為7；,則.，,,"成等比

數(shù)列.

(4)設(shè)an/?=E￡A8，a=8,Cr>，4=。，由此能否推出BO_L?若不能，需如何改

變條件？

(5)設(shè)函數(shù)/(x)=sin(5+Q)3>0,-給出以下四個論斷：①它的圖像關(guān)于直

線x=I對稱；②它的圖像關(guān)于點(diǎn)(g,0)對稱；③在區(qū)間［-J,。］上是增函數(shù)；④它

236

的周期為力.以其中的兩個論斷為條件，另兩個論數(shù)不結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個

命題(填寫序號).

答案：

J

(I)5,=-|,S2=-^S3=-1,S4=-|猜想：S“=智，〃CN*.

2

(2)(I)(SMW)min=2V2P,(II)滿足條件的直線/存在，其方程為y=5.

(3)4,空.

T4"

(4)不能，需加條件AC工所.

(5)②④=①③.

四、典型例題

1、探究型

探究型是依據(jù)題目所給予條件或提供的信息，綜合所學(xué)知識，來探究問題的分析方法

和解決方法，常以常規(guī)題形式出現(xiàn)，但往往改變設(shè)問方式，或得出探究和方向，或給出探

究的結(jié)論，考查學(xué)生的判斷能力，創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì)，解答此類問題時，需要考生提取

題目的有效信息，從有效信息引出思維聯(lián)想，從而設(shè)計解題方法，化歸與轉(zhuǎn)化是解決這類

問題常用的數(shù)學(xué)思想.

例1、已知數(shù)列…。30，其中生,。2，。3,…《0是首項(xiàng)為L公差為1的等差數(shù)列，

&是公差為d的等差數(shù)列，420M21'%,30是公差為。之的等差數(shù)列

(dW0)

(I)若。20=40，求d的值；

(II)試寫出“30關(guān)于d的關(guān)系式，并求出仆0的取值范圍；

(III)續(xù)寫已知數(shù)列,使。30M31M32,…“40是公差為的等差數(shù)列，…,依次類推，把

已知數(shù)列推廣為無窮數(shù)列，提出同(II)類似的問題，((II)應(yīng)當(dāng)作為特例)，并進(jìn)行

研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

【解析】

(I)a1。=10,=10+1圖—40,d=3；

(II)當(dāng)d￡(—8,0)U(0,+8),G[7.5+oo)；

(III)所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)列{2},其中4，2，生，…Go是首項(xiàng)為1，公差為1的

等差數(shù)列，當(dāng)〃21時，數(shù)歹!j?!0?,?IOn+l,?10?+2,?--ai0(n+i)是公差為d”(dw0)的等差

數(shù)列，

323

研究的結(jié)論可以是：由/=a30+\0d=U\\+d+d+d)(d^0),

l-dn+i

依次類推可得：/O(“+D=10(1+4+/+…+”")=F°x不丁(d*D，

10(〃+1)3=1)

當(dāng)(d/0)時，605+1)的取值范圍是：(0，+8).

【題后反思】

由題設(shè)條件給出問題的組成結(jié)構(gòu)，先通過特例研究問題的結(jié)論，然后給出問題的推廣,

提出探究的方向，讓解題者順著命題者提出的推廣方向進(jìn)行探究，是探究型題的一種常

見題型，解答這類問題時一般不改變命題的結(jié)構(gòu)形式，而提出的探究結(jié)論也應(yīng)該是對特

例的推廣.

2、開放型

開放型題是指問題的結(jié)論、條件、解題策略是不惟一的或需要探索的一種題型，這類題

型結(jié)構(gòu)新穎，解題方法靈活、知識覆蓋面寬，問題結(jié)構(gòu)開放，打破了固定的思維模式和解

題套路，給解題者很大的思考空間和多種分析思路，有利于培養(yǎng)和考查學(xué)生的創(chuàng)新思維能

力和探究問題的能力，所以此類問題是當(dāng)前高考命題的熱點(diǎn)之一.

例2、設(shè)動點(diǎn)P到定直線x=-4的距離為d,已知F(2,0)且d-用=2

(I)求動點(diǎn)P的軌跡方程；

(II)過圓錐曲線的焦點(diǎn)F,任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB,若點(diǎn)M在x軸上,

且使得MF為AAMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該圓錐曲線的“特征點(diǎn)”，問該曲

線是否存在特征點(diǎn)M?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，并觀察點(diǎn)M是怎樣的點(diǎn)，同時將你

的結(jié)論推廣，若不存在，請說明理由(不用證明推廣后的結(jié)論).

【解析】

(I)設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y),且點(diǎn)P到直線x=-2的距離為d。

???動點(diǎn)P到定直線x=-4的距離為d,F(2,0)且d—|尸產(chǎn)|=2,

動點(diǎn)P到定直線x=-2的距離為d。F(2,0)且出=|「用，即點(diǎn)P是以坐標(biāo)原

點(diǎn)為頂點(diǎn)，以F(2,0)為焦點(diǎn)的拋物線，

動點(diǎn)P的軌跡方程是/=8x.

(II)假設(shè)拋物線存在特征點(diǎn)M,并設(shè)其坐標(biāo)為M(m,0),

?.?弦AB不垂直于x軸，且拋物線V=8x的焦點(diǎn)為(2,0),

二設(shè)直線AB的方程為％=0+2/#0),代入V=8x并整理，得：/-8^-16=0,

設(shè)4(.,弘),5(尤2，%)'則M+%=8Z,y%=-16,

被x軸平分，/.kAM+kBM=0,即-21_+_21_=o,

X)-mx2-m

yl(x2-m)+y2(xi-m)=0,即―+2)+為(如+2)-(y+y2)m=0,

V2ky{y2~(yt+y2)(m-2)=0,即一32fc-83(加-2)=0,

&w0,/.m=—2.

故拋物線上存在特征點(diǎn)M,其坐標(biāo)為M(-2,0),該點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),

猜想：對于拋物線y2=2pMp>0),其“特征點(diǎn)M”是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).

【題后反思】

本題從特例出發(fā)，探究一般情況下的結(jié)論，解答這類問題時，可以通過特例得到的信息,

從命題提出的探究方向思考，歸納問題的結(jié)論(有時不止一個，而有些問題的結(jié)論并不成

立)，再給出數(shù)學(xué)推理證明，本題由于題目的要求沒有給出推理證明.

3、定義信息型

定義信息型是近幾年來高考出現(xiàn)頻率較高的新題型之一，其命題特點(diǎn)是：給出一個新的定

義、新的關(guān)系、新的性質(zhì)、新的定理等創(chuàng)新情境知識，然后在這個新情境下，綜合所學(xué)知識

并利用新知識作為解題工具使問題得到解決，求解此類問題通常分三個步驟：(1)對新知識

進(jìn)行信息提取，確定化歸方向；(2)對新知識中所提取的信息進(jìn)行加工，探究解題方法；(3)

對提取的知識加以轉(zhuǎn)換，進(jìn)行有效組合，進(jìn)而求解.

例3、根據(jù)定義在集合A上的函數(shù)y=/(x),構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下:

①輸入數(shù)據(jù)與eA,計算出X]=/(/)；②若％eA,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作，若X]eA,

則輸出X|,并將X|反饋回輸入端，再計算出々=/(%)，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)在有

A=｛%10<x<1｝,/(x)=—————(meTV*),

m+\-x

(I)求證：對任意此數(shù)列發(fā)生器都可以產(chǎn)生一個無窮數(shù)列｛x,J；

(H)若入0='，記a"=求數(shù)列｛x“｝的通項(xiàng)公式.

2%

【解析】(I)證明：當(dāng)xeA,即0<x<l時，由，"eN,可知m+l>x>0,

..---------->0,又----------1=--------------<0,..-----------<1,..0</(%)<1,

m+\-xm+\-xm+\-xm+\-x

即/(x)eA.故對任意x()eA有X1=/Oo)wA；由玉eA有/=/(西)eA,由9eA有

X3=/(X2)GA；以此類推，可以一直繼續(xù)下去，從而可以產(chǎn)生一個無窮數(shù)列｛x,J.

/“、■+,”、mx?-T4H1m+111

(H)由x向=/(%)=-可得——=------------，

m+1-xnxn+｝mxnm

.m+11im+1八

??Q〃+l=-------an-----，即RMan\-1=-------(an~D，

mm+m

A,ii；m+1777i1i(m+l)xim+1八

令b”二a「L則l711?！?1=-------b2又T4=q—l=——1=----------0--1=------00,

mmx^m

數(shù)列也,｝是以絲以為首項(xiàng)，以％±1為公比的等差數(shù)列,

mm

“廣業(yè)(上尸=(四)"，于是4=(5)"-1.

mmmm

【題后反思】

本題以算法語言為命題情境，構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，通過定義工作原理，得到一個無

窮數(shù)列｛招｝,這是命題組成的第一部分，解答時只需依照命題程序完成即可，第(H)問

其實(shí)是一個常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，由上可知，創(chuàng)新題型的解答還是需要考生有堅實(shí)的數(shù)學(xué)解題

功底.

4、類比歸納型

類比是將式子結(jié)構(gòu)、運(yùn)算法則、解題方法、問題結(jié)論等式引申或推廣，或遷移，由已知

探索未知，由舊知識探索新知識的一種研究問題的方法；歸納是從個別特殊事例，若干特

殊現(xiàn)象遞推出同一類事物的一般性結(jié)論，總結(jié)出同一種現(xiàn)象的一般規(guī)律的一種思考問題的

方法，這兩種推理方法可有效地鍛煉考生的創(chuàng)造性思維能力，培養(yǎng)考生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造

力.因?yàn)檫@類創(chuàng)新題的思維含量高、知識覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)，所以它們在高考中頻繁亮

相，已成為高考中的又一個熱點(diǎn).

例4、如下圖所示，定義在D上的函數(shù)/(X),如果滿足：對任意xe。，存在常數(shù)A,

都有/(x)NA成立，則稱函數(shù)/(x)在D上有下界，其中A稱為函數(shù)的下界(提示：下圖

①②中的常數(shù)A、B可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零.)

(I)試判斷函數(shù)/(尤)=/+丫在

X

(0,+00)上是否有下界？并說明理由；

(II)具有圖②所示特征的函數(shù)稱為

在D上有上界，請你類比函數(shù)有下界

的定義，給出函數(shù)/(x)在D上有上界的定義，并判斷(I)中的函數(shù)在(-00,0)上是否有

上界，并說明理由.

【解析】

AQ

Vf\x)=3x2一一由r(x)=0,得x4=16,,/%G(0,+oo),.,.x=2,

X

?.?當(dāng)0<x<2時，r(x)<0,...函數(shù)/(x)在(0,2)上是減函數(shù);

當(dāng)x>2時，/(幻>0,二函數(shù)/(x)在(2,+8)上是增函數(shù)；

.??x=2是函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+oo)上的最小值點(diǎn)，糯,(x)=/(2)=32,

于是，對任意xe(0,+8),都有/(x)N32,即在區(qū)間(0,+00)是存在常數(shù)A=32,使得

48

對任意xe(0,+oo),都有/(x)2A成立，所以，函數(shù)/(x)=/+—在(0,+8)上有下界.

x

(II)類比函數(shù)有下界的定義，函數(shù)有上界可以給出這樣的定義：定義在D上的函數(shù)

/(x),如果滿足：對任意XG。，存在常B,都有成立，則稱函數(shù)/(x)在D上有

上界，其中B稱為函數(shù)的上界.

設(shè)x<0,則-x>0,則(I)知，對任意xw(0,+00),都有/(x)N32,-x)N32,

?.?函數(shù)=為奇函數(shù)，.232,BPf{x)<-32,

X

即存在常數(shù)B=-32,對任意xe(-oo,0)，都有/(%)<8,所以，函數(shù)/(x)=/+—在(—o,0)

X

上有上界.

【題后反思】

本題以高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)有界性為命題素材，先給出一個定義，研究問題的結(jié)論，然后

提出類比的方向，這是一種直接類比的情境題.數(shù)學(xué)中有許多能夠產(chǎn)生類比的知識點(diǎn)，如

等差數(shù)列與等比數(shù)列的內(nèi)容有著非常和諧的“同構(gòu)”現(xiàn)象，立體幾何中的很多結(jié)論和方法

都可以從平面幾何中產(chǎn)生“靈感”進(jìn)行遷移，我們復(fù)習(xí)時要注意研究知識間的縱橫聯(lián)系，

把握知識間的內(nèi)在規(guī)律，通過知識間的對比和類比，可以更好地掌握知識，提高解題能力.

五、限時課后練習(xí)

(1)已知元素為實(shí)數(shù)的集合S滿足下列條件：①1,0e5；②若aeS,則」一eS.若非空

\-a

集合S為有限集，則你對集合S的元素個數(shù)有何猜測？并請證明你的猜測.

22

(2)已知橢圓=+'=1(〃>〃>0)的右準(zhǔn)線4:x=2與x軸相交于點(diǎn)P,右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)

ab

的距離為正，點(diǎn)C(m,0)是線段OF上的一個動點(diǎn)，

(I)求橢圓的方程；

(II)是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線/,其與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且使得

(C4+CB)±