浙江省寧波市寧波九校2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)1月期末數(shù)學(xué)試題

寧波市2023學(xué)年第一學(xué)期期末九校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.拋物線爐=2〉的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.(0,；B.(1,0)C.(0,1)D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由拋物線f=2y,可得拋物線的開口向上，且2〃=2,所以〃=1,

所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(0,g).

故選：A.

2.直線x-3y+5=0的橫截距為()

A.1B.-5C.-ID.3

【答案】B

【解析】

【分析】令y=o,求出x的值，即可得解.

【詳解】由直線x—3y+5=0,

令y=O,則％=-5.

故選：B.

3.已知y=是可導(dǎo)函數(shù)，如圖所示，直線>=履+2是曲線y=/(外在1=3處的切線，令

g(x)=xf(x)t/⑶是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g'(3)=()

A.OB.IC.-1D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】先求出g'(x)W(x)+/(x)，再根據(jù)圖象求出f(3)=l,r⑶=-g,代入g'⑶計(jì)算即可.

【詳解】由圖可知：y=f(x)過(3,1),所以f(3)=l,

又y=h+2過(3/)，所以1=3攵+2,2=-g,即f'(3)=-g.

而g'M=礦(x)+f(x),所以g'(3)=/⑶+3/(3)=l+3x(-l)=0

故選：A.

4.下列說法正確的是()

A.事件A與事件B互斥，則它們的對(duì)立事件也互斥.

-1-1——1

B.若P(A)=；；,P(B)=,且P(A8)=:，則事件A與事件8不是獨(dú)立事件.

3：2;6

C.若事件A,CC兩兩獨(dú)立,則P(ABO=P(A)P(B)P(C).

D.從2個(gè)紅球和2個(gè)白球中任取兩個(gè)球，記事件A=｛取出的兩個(gè)球均為紅色｝,6=｛取出的兩個(gè)球顏色

不同｝，則A與8互斥而不對(duì)立.

【答案】BD

【解析】

【分析】AC可舉出反例排除；B選項(xiàng)利用對(duì)立事件概率公式計(jì)算，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式驗(yàn)證；D選項(xiàng)根

據(jù)互斥和對(duì)立的定義判定.

【詳解】A選項(xiàng)，投擲兩枚骰子，出現(xiàn)的數(shù)字之和為10為事件A,出現(xiàn)的數(shù)字之和為11為事件8,

則事件4與事件8互斥，

事件A的對(duì)立事件,為出現(xiàn)的數(shù)字之和不為10,

事件5的對(duì)立事件豆為出現(xiàn)的數(shù)字之和小為11,

則氐力不互斥，比如出現(xiàn)數(shù)字之和均為9,故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，由題意得P(AB)=1-尸(而)=2,

P⑷尸(8)=口一戶(可][1—戶出)]——PG鉆)工尸⑷尸伊)

則事件A與事件B不是獨(dú)立事件，故B正確；

C選項(xiàng)，假設(shè)有一個(gè)均勻的正四面體，一面涂有紅色，一面涂有黃色，一面涂有藍(lán)色，另一面涂有紅、

黃、藍(lán)色，隨機(jī)取一面觀察其中的顏色.

事件A="出現(xiàn)紅色”，尸（A）=g；事件8="出現(xiàn)黃色”，P（B）=1；事件C="出現(xiàn)藍(lán)色”，

P（C]=g；我們很容易得到P（AB）=1=P（A）P（B）,P（AC）=^=P（A）P（C）,

P（BC）=-=P（B）P（C）t但是「（A5C）=一,P（A）P（B）P（C）=-,P（4BC）=P（A）P（B）P（Q,

448

故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，2個(gè)紅球分別為紅1、紅2；2個(gè)白球分別為白1、白2.

則C包含以下基本事件，（紅1，紅2）,（紅1,白1）,（紅1,白2）,（紅2,白1）,（紅2,白2）,（白

1,白2）.

事件A包含以下基本事件：（紅1,紅2）；

事件8包含以下基本事件：（紅1，白1），（紅1，白2）,（紅2,白1）,（紅2,白2）,

顯然A與8互斥而不對(duì)立，故D正確.

故選：BD.

22

5.己知雙曲線三一方=1（。>0/>0）的離心率為右，其中一條漸近線（斜率大于0）與圓

（%-3）2+（丁-2）2=/交于私N兩點(diǎn)，且|MN|=竽則廠=（）

A.1B.y/2C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的離心率求出漸近線方程，再借助點(diǎn)到直線距離公式求出弦心距，進(jìn)而列出弦長(zhǎng)求解即

可得出結(jié)果.

222>2,、22

【詳解】雙曲線*■-專一Ka〉?！薄怠＃┑碾x心率為石，得色:一=1+=（V5p

解得：2=2,于是雙曲線的漸近線方程為y=±21,即2x±y=0,

a

圓（x-3）2+（y-2）2=r2的圓心（3,2）,半徑「，

當(dāng)漸近線（斜率大于0）時(shí)，即為2x-y=0時(shí)，

|2x3-2|二4

點(diǎn)（3,2）到此直線2x-），=0的距離為d

亞2+R飛

W，解得:

又因?yàn)橄议L(zhǎng)=2尸彳=2r=2.

故選：c.

6.電信網(wǎng)絡(luò)詐騙作為一種新型犯罪手段，己成為社會(huì)穩(wěn)定和人民安全的重大威脅.2023年"月17日外交

部發(fā)言人毛寧表示，一段時(shí)間以來，中緬持續(xù)加強(qiáng)打擊電信詐騙等跨境違法犯罪合作，取得顯著成效.此

前公安部通過技術(shù)手段分析電信詐騙嚴(yán)重的地區(qū)，在排查過程，若某地區(qū)有10人接到詐騙，則對(duì)這10

人隨機(jī)進(jìn)行核查，只要有一人被騙取錢財(cái)，則將該地區(qū)確定為“詐騙高發(fā)區(qū)假設(shè)每人被騙取錢財(cái)?shù)母怕?/p>

為〃且相互獨(dú)立，若當(dāng)〃=〃0時(shí)，至少排查了9人才確定該地區(qū)為“詐騙高發(fā)區(qū)”的概率取得最

大值，則Po的值為()

A.1—立B.

55

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫出概率公式，再用導(dǎo)數(shù)的方法確定Po的值.

【詳解】設(shè)至少排查了9人才確定該地區(qū)為“詐騙高發(fā)區(qū)”的概率為了(〃),

因?yàn)椋簉(p)=8(l-p)74(-)/1+(一切)'++(l~p)9=2(l-p)77p2-5p+/

由0<pvl,得：5P2-10〃+1>0=〃<1一竽.

(2/5(2J5)

所以〃p)在0,1--^-上遞增，在1—1』上遞減

所以當(dāng)p=l-竽時(shí)，〃p)取得最大值.即“0=1-辿.

故選：B

,11,

7.已知A,B,。是拋物線f=2〃y(p>0)上的三點(diǎn)，且4(2,1),若廠+1-=4,則點(diǎn)A到直線BC

"B尤AC

的距離的最大值為()

A.75B.2&C.回D.26

【笑】C

【解析】

【分析】將42,1)代入拋物線方程，得到p=2,得到d=4y,設(shè)B,C和旬，由

11

廠+廠=4求出玉+七=一%々，設(shè)直線BC的方程為)，=去+小，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和,

化人8^AC

兩根之積，從而得到女二團(tuán)，得到直線8c恒過定點(diǎn)求出距離最大值.

【詳解】將42,1)代入f=2py(p>0)中得，2P=4,解得〃=2,故f=4y,

,2\（,2

x

設(shè)5X，耳,C2->~~由題意得XH9，X，9工±2，

1144,/、

故27+=%+三互=4，即氏+9+4=%9+2（玉+w）+4,

故x1x2+%+%=0,即X]+/=-%匕，

設(shè)直線BC的方程為y=履+加，聯(lián)立拋物線方程X2=4)，得，

2

X-4AX-4/W=0?則內(nèi)+電=4k,xxx2=-4m,△=14(-+加)>°，

故4攵=46，解得A=〃z,

所以直線BC的方程為y=Z(x+1),恒過定點(diǎn)D(-1,O),

故點(diǎn)A到直線BC的距離最大值d=\AD\=J(2+if+(1—0)2=V10.

為取等號(hào)，A/J_L8C',因?yàn)樾腝=g，以％=m二一3,滿足△=14(/+機(jī))>0,

故選：C

8.若存在正實(shí)數(shù)MV,使得等式4x+a(y-3e2*(lny—lnx)=0成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍()

A.(』0)=卜2,+8)B.(-oo,0)U4,+8)

C.(^0,0)j[4e2,+oo)D.(-oo,0)U占，+81

[<1B

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)題目所給等式，分離常數(shù)。，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得。的取值范圍.

【詳解】依題意存在正實(shí)數(shù)x,y,使得等式4x+a()，—3e2x)(lny-lnx)=0成立，

4+心一3e2'nq=0,

當(dāng)。=0時(shí)，4=0,不符合題意，所以

令r二2>0,4+a(r-3e2)lnr=0,—^=(r-3e2)lnz,

構(gòu)造函數(shù)3e2)」nfj>0,^(r)=inr+^^l=lnr-y-+l,

其中對(duì)數(shù)函數(shù)y=In,在(0,+8)上遞增，反比例函數(shù)y=_?在(0,+。)上遞增，

所以「⑺在(0,+8)上遞增，且廣卜2)=近2-去+1=0，

所以在區(qū)間(0看)，八力<0,4X)單調(diào)遞減；在區(qū)間區(qū),+8),制x)>0,“力單調(diào)遞增.

所以f(。的最小值為/(。2)=12-3e2).Ine2=-4e2.

要使一?二(-3e2).hw有解，

則一一>-4e2,4《e2①，

aa

當(dāng)a<0時(shí)，①成立；當(dāng)a〉0時(shí)，a>X-

e

所以0的取信范闈是(HO.O)Dp-.+ooj.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是()

A.三個(gè)向量共面，即它們所在的直線共面.

B.若｛〃，仇以為空間的一個(gè)基底，則｛@+仇6+乙3+d｝構(gòu)成空間的另一個(gè)基底.

C.若直線/的方向向量”二(1,0,3),平面a的法向量為2=(—2,0,|),則直線〃/a.

D.設(shè)樂&為平面。與平面月的法向量，若8$〈兀外=-苧，則平面。與平面夕所成角的大小為

71

4,

【答案】BD

【解析】

【分析】由共線向量的定義判斷A；利用空間向量基底定義判斷B；根據(jù)直線與平面位置關(guān)系的向量要求判

斷C；根據(jù)面面角的定義判斷D.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，三個(gè)向量共面，根據(jù)向量可以任意平移，可知它們所在的直線可能共面，也可能異

面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，若｛凡6,4｝為空間的一個(gè)基底，則a,3,《不共面，假設(shè)共面，

tn=1

則存在"7,〃(，幾"W0)使得石+〃="(〃+￡)+〃(。+方)，則有<〃=1,

/M+/2=0

解得不存在這樣機(jī)〃值，則d+++4不共面，則｛4++d,d+〃｝構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，

故B正確：

對(duì)于C選項(xiàng)，直線/的方向向量〃二(1,0,3),平面a的法向量為$=

/、2

則而?”=lx(-2)+3x§=0,則桃_|_〃，若/<za,則〃/a,但選項(xiàng)中沒有條件/aa,有可能會(huì)出現(xiàn)

Iua,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，勺,均為平面。與平面夕的法向量，若cos4,〃2=一4,根據(jù)平面與平面夾角范圍為

,°'1>

if

所以平面a與平面夕所成角的大小為一，故D正確，

4

故選：BD.

10.已知兩組樣本數(shù)據(jù)王,工2，工3，匕，毛和%，%，為，》，)?5的均值和方差分別為亍，9和若

七十凡=100且％>?(i=l,2,3,4,5),則()

A.x>yB.x+y=100

c.D.s：-s；

【答案】ABD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A,根據(jù)平均數(shù)公式和玉+,=100且可〉y.(i=l,2,3,4,5)即可判斷：選項(xiàng)B利用公式計(jì)

算即可；選項(xiàng)D分別寫出S；國(guó)，然后結(jié)合了+5=100與玉+y=100即可.

【詳解】因?yàn)槠?M=100,xf>y(/=1,2,3,4,5),

所以+x2+x3+x4+xs)>](y+%+必+乂+必)，

即無>9，故A正確；

__1]

由工+y=工(*+電+占+匕+&)+^()'|+%+%+乂+為)

=1x(100+100+100+100+100)=100,

所以工+尸=100,B選項(xiàng)正確；

由S；=|[■-X)-+(%-%)~+(七-X)+-x)~+(W-x)一，

2

%一9+儀-丁

又無+了=100=>歹=100—元,

七+y=I00ny=100-xx(Z=1,2,3,4,5),

;2

所以￡=1[(>i-Sy+(y2-y)+(必一if+(M一耳~+(%—I)?

所以s；=$,故D選項(xiàng)正確，c錯(cuò)誤.

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/(x)=ln(cosx)+sin2x,則()

A.f(x)=f(-x)B./(x)在(一方尋單調(diào)遞增

[IC

C./㈤有最小值D.f(x)的最大值為二

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的變化趨勢(shì)等方法對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.

詳解】已知函數(shù)/(x)=hUcosxHsin。，

對(duì)于A選項(xiàng)：/(-x)=ln[cos(-x)]+sin2(-x)=ln(cosx)+sin2x=/(x),正確;

對(duì)于B選項(xiàng)：

TT7CI

當(dāng)X￡(一「,一:)時(shí)，cosxG(0,——),2cosx------G(-oo,0),sinx<0，

242cosx

所以r(x)=sinx仗2cosx———)>0,所以/⑴在(一二一工)單調(diào)遞增，王確；

cosx24

對(duì)于C選項(xiàng)：

當(dāng)時(shí)，cosx0,ln(cosx)—>-oo,sin2x1,/(x)-oo,故

/(x)沒有最小值，不正確：

對(duì)于D選項(xiàng)：

f(x)=ln(cosx)+sin2x的最小正周期為2兀，是偶函數(shù)，

定義域?yàn)?一二+2E,工+2kjt),keZ.故只需研究(一2,0］即可.

222

JTTTTT

由B選項(xiàng)知：/")在(--,一-)單調(diào)遞增，在(一-,0］上單調(diào)遞減,

244

12.菱形4RCD內(nèi)接干橢圓三+Z=i,其周長(zhǎng)的值可以取到()

42

A.2歷B.2722C.3而D.10

【答案】BC

【解析】

【分析】設(shè)出對(duì)角線的斜率，表示出菱形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，最后使用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算周長(zhǎng)即可.

r2v2

【詳解】如圖，將菱形ABC。內(nèi)接于橢圓二十乙=1,

42

設(shè)A(馬，兇),8(々,必)，

當(dāng)直線Q4的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，菱形的四個(gè)頂點(diǎn)與橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)重合，此時(shí)顯然周長(zhǎng)為4#;

當(dāng)直線的斜率存在且不為。時(shí)，設(shè)QA的方程為丁=M，。8的方程為了=一?工,

k

設(shè)菱形ABC。周長(zhǎng)為L(zhǎng)，

聯(lián)立方程組y=丘，—+^-=1,可得（1+2/）］2一4=0,顯然A>0,

42

不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，8在第二象限,

可得|A3|=26=即乙=4|4.￡

V-r+/+213)

_

16J7■

綜上所述：Lw--—?4\/6,

易得2J五，10，不在此范圍內(nèi)，故排除A,D，2722>3瓦，在此范圍內(nèi)，得到B,C正確.

故選：BC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法

（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解.

（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求

最值(注意：有時(shí)需先換元后再求最值).

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若直線/的一個(gè)方向向量是d=則直線/的傾斜角是.

【答案】三

3

【解析】

【分析】根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率，然后可求直線的傾斜角.

【詳解】因?yàn)橹本€/的方向向量為d=(l,6),所以直線的斜率為百，即直線的傾斜角的大小是女.

故答案為：

3

14.已知點(diǎn)4(0,2),B(0,-2),動(dòng)點(diǎn)尸滿足直線%與PB的斜率之積為一2,則點(diǎn)尸的軌跡方程

2V2

【答案】2V1+土=1(%工0)

42

【解析】

【分析】設(shè)尸(x,y),根據(jù)斜率的乘積為-2列式運(yùn)算可得軌跡方程.

【詳解】設(shè)P(x,y),則即八=2^，3二一,XHO，

XX

所以kpA.kpB=-2,即匕2x2±2=_2,整理得￡十三=1,

xx42

所以點(diǎn)P的軌跡方程為'=(%#0).

故答案為：?+[=1，(XH0).

uim3umniumuuraiuuw

15.已知正方體43。。一44。。1邊長(zhǎng)為1,AE=-AA^AF=-AB,AG=-AD,平面平面

422

平面AGB交于一點(diǎn)M則點(diǎn)M到平面的距離為.

A}FD,,q"c

【答案】拽##工6

1818

【解析】

【分析】根據(jù)給定的正方體建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面基本事實(shí)確定點(diǎn)M位置，并求出其坐標(biāo)，利用

點(diǎn)到平面距離的向量求法求解即得.

【詳解】令A(yù)FC5E=Q,OFC5G=P,連接4戶,。。，顯然平面8成>。平面A/。=OQ,

平面A^OPI平面AG3=AP,則OQriAP=M,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)3=4,

則A(0,0,0),B,(4,0,0),D,(0,4,0),E(0,0,1),3(4,0,4),D(0,4,4),F(2,0,4),G(0,2,4)<(4,4,4),

348

在平面內(nèi)，直線A/方程為z=2x,直線8E方程為z=：x+l,聯(lián)立解得。(一,0,一)，

455

在平面ABC。內(nèi)，直線BG方程為y=-gx+2,直線力b的方程為y=—2x+4,聯(lián)立解得

44

33

4t4f4f4/

令4M=/AP=(一,一,旬,0</<1,則M(一,一,4f),

3333

4124r4/

。。=(一,-4,——),DM=(—,——4,4f—4),

生

--4

33

--4r-4122102

由DQ//DM，得4-解得，=5,即點(diǎn)M(土§,2),B,M=(-y,-,2),

5--4

BR=(-4,4,0)，4。=(0,4,4),設(shè)平面40c的法向量〃=(4仇“，

n-B,D,--4a+4/?=0

則〈.，令。=1,彳尋〃=(1,1,一1),

nB}C=4Z?+4c=0

14

于是點(diǎn)M到平面BQ。的距離~=1用知-〃|=J_=此g,而正方體ABCD一A4G。的棱長(zhǎng)為1,

1mV39

所以點(diǎn)M到平面BQ。的跑離為:d=吟.

故答案為：友.

18

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：確定三個(gè)平面的公共點(diǎn)，利用平面的基本事實(shí)，先求出其中兩個(gè)平面的交線，再求出

另兩個(gè)平面的交線即可.

16.對(duì)任意不￡。,+8）,函數(shù)/（幻=/111。一。始。一1）20（。＞1）恒成立，則。的取值范圍為

【答案】e;,+oo

【解析】

【分析】變形為之構(gòu)造產(chǎn)(f)=fhu/〉O,求導(dǎo)得到單調(diào)性進(jìn)而"T>1恒成

立，故尸(〃1)>0,分當(dāng)工一1￡(0,1］和不一1>1兩種情況，結(jié)合g(〃卜史上單調(diào)性和最值，得到

It

得到答案.

【詳解】由題意得ailna21n(x—1),

因?yàn)?€(l,+oo),所以,

即Inax~］>(x-l)ln(x-l),

令尸(。="n/J>0,則F(ax~l)N尸(x-1)恒成立，

因?yàn)镕'(r)=l+lnz,

令方',)>0得，cel尸(f)=〃n,單調(diào)遞增，

令尸'(f)<0得，Ov/ve'尸(。=〃11，單調(diào)遞減，

且當(dāng)Ovr<l時(shí)，/〈。恒成立，當(dāng)Z>1時(shí)，/(/)>0恒成立，

因?yàn)椤ㄋ?gt;1恒成立，故尸

當(dāng)工一1￡(0,1］時(shí)，F(xiàn)(x-l)<0,此時(shí)滿足尸(優(yōu)一)之尸(x—l)恒成立，

當(dāng)即X>2時(shí)，由于尸(。="酎在1￡卜工+8)上單調(diào)遞增，

由F(4*T)2戶(0—1)得2x—10m/之口(*一1),

x-1

人../、In”

令g(〃)=---，

則g，(〃)=匕坐，當(dāng)〃?l,e)時(shí)，g'(w)>0,g(〃)=皿單調(diào)遞增,

UU

當(dāng)〃￡(e,+8)時(shí)，g'(〃)<0,g(〃)=史上■單調(diào)遞減，

故g(〃)=吆在〃=?處取得極大值，也是最大值，^(e)=—=i,

uee

1i「］

故即〃)屐，所以，。的取值范圍是e)+8.

c

e-_/

■i\

故答案為：/,+8

【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當(dāng)函數(shù)中同時(shí)出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本

題難點(diǎn)是優(yōu)tInaNln(x-l)兩邊同時(shí)乘以x-\,變形得到ax'l}nax-'>(x-l)ln(x-l),從而構(gòu)造

/(f)=，lnr">0進(jìn)行求解.

四、解答題：本題共6題，共70分?解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知圓M：(x-2)2+y2=4及圓內(nèi)一點(diǎn)4(3,0),p為圓M上動(dòng)點(diǎn)，以尸為圓心，以為半徑的圓P.

(1)當(dāng)且。在第一象限時(shí)，求圓尸的方程；

(2)若圓P與圓(X-2)2+y2=r"r>0)恒有公共點(diǎn)，求r的取值范圍.

【答案】(1)(x-3)2+(y->/3)2=3

⑵[1,3]

【解析】

【分析】⑴根據(jù)題意，得到1PM2TM4「+|母『，得出A4_Lx軸，求得P(3,G),進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程；

(2)根據(jù)題意，得至結(jié)合題意，得到儼山一廠歸2引尸山一耳對(duì)任意的|PA|e[l,3]恒成

立，列出不等式組，即可求解.

【小問1詳解】

解：由圓M：(x-2)2+y2=4,可得圓心M(2,0),半徑廠=2，

又由A(3,0)且|PA|=y/3時(shí)，=|AM|2+|PA|2,

可得出_Lx軸，所以/=/=3,則小=±6，

因?yàn)镻在第一象限，所以P(3,、Q),

所以圓尸的方程為(x—3『+(y-百了=3.

解：由圓(工一2)2+丁=/(r>0),可得圓心坐標(biāo)(2,0),

因?yàn)閨M4|=1,|MP|=2,所以/[1,3],

要使得圓P與圓*一2y+V='（「>0）恒有公共點(diǎn)，且圓心距為|MP=2,

所以歸一「42?||阿-「對(duì)任意的|PA|G[1,3]恒成立，

-2<r+l

則滿足“3-，歸2,解得1W-W3,即實(shí)數(shù)「的取值范圍為[L3].

|152

18.用分層隨機(jī)抽樣從某校高二年級(jí)800名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分為100分，成績(jī)都是整數(shù)）中抽取一個(gè)

樣本量為100的樣本，其中男生成績(jī)數(shù)據(jù)40個(gè)，女生成績(jī)數(shù)據(jù)60個(gè).再將40個(gè)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)分為6

組：[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90/00）,繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）估計(jì)男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)：

（2）若成績(jī)不低于80分的為“優(yōu)秀”成績(jī)，用樣本的頻率分布估計(jì)總體，估計(jì)高一年級(jí)男生中成績(jī)優(yōu)秀人

數(shù)；

（3）已知男生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75,女生成績(jī)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別

為73.5和119,求總樣本的平均數(shù)和方差.

【答案】（1）84（2）96人；

（3）平均數(shù)和方差分別為72.5和148.

【解析】

【分析】（1）求出第80百分位數(shù)一定位[80,90）內(nèi)，利用百分位數(shù)的公式計(jì)算出答案；

（2）求出成績(jī)不低于80分的頻率，估計(jì)處高二年級(jí)男生中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)；

（3）求出總樣本的平均數(shù)，利用整體方差和局部方差的相關(guān)公式求出答案.

【小問1詳解】

在[40,80）內(nèi)的成績(jī)占比為0.01x10+0.015x10+0015x10+0.03x10=0.7<0.8,

在[40.90）內(nèi)的成績(jī)占比為0.7+0.025x10=0.95>0.8,

因此第80百分位數(shù)一定位[80,90）內(nèi).

（）2_07

因?yàn)?0+10x=———=84,所以估計(jì)第80百分位數(shù)約是84.

0.95-0.7

【小問2詳解】

成績(jī)不低于80分的頻率為（0.025+0.005）x10=0.3,

所以高二年級(jí)男生中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)估計(jì)為：0.3x40x8=96,

所以估計(jì)高二年級(jí)男生中成績(jī)優(yōu)秀人數(shù)為96人；

【小問3詳解】

設(shè)男生成績(jī)樣本平均數(shù)為元=71,方差為，=187.75,

女生成績(jī)樣本平均數(shù)T=73.5,方差為$=119,總樣本的平均數(shù)為方差為『，

-40-60-”《

z=---x+---y=72.5.

100100"

2

=喘[187.75+（71-72.5）2]+捐[119+（735_72.5）]=148,

所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為72.5和148.

19.如圖所示，在三棱錐尸―A3C中，側(cè)棱底面ABC,BC±AB.PA=AB=BC=2fM為棱PC

的中點(diǎn)，N為棱BC的上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：AM±PB.

（2）若二面角C—AM—N的余弦值為矩，求g的值.

14NC

【答窠】（1）證明見解析

里=2

NC

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)證明線線垂直即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用面面角的向量求法求出參數(shù)即可.

【小問1詳解】

取尸8中點(diǎn)O,連接AO,DM.

因?yàn)镽4=AB，所以AT>J_P8,

因?yàn)?4_1_底面48。，

所以

由

所以3cl平面PAB,

所以5C_LP8

因?yàn)镸為棱PC的中點(diǎn)，所以MD//BC,所以P8_LMQ，MRAOu面

所以PB_L平面AOM,所以尸8_LAM.

【小問2詳解】

以A為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，則4(0,0,0),尸(0,0,2),8(0,2,0),C(2,2,0),

M(1,1,1),AM=(1,1,1),AB=(0,2,0),BC=(2,0,0)，

設(shè)BN=>0),得AN=A8+BN+4B=BC+/(=(24,2,0)，

取平面AMC的法向量加二(-1,1,0),

令〃二（x,y,z）是平面AMN的一個(gè)法向量,

n-AM=0[x+y+z=0

則《，即C八令x=l,則y=—Zz=4—l,〃=(1,一4,4一1)

〃AN=0[2Ax+2y=0

八/-A-_l2+1l_K+l|_5>/7

由COS(/??th)=]———r=—zz---/==----,=------

同徊血71+儲(chǔ)+(2-2A/22-/1+114

23

解得2或4二二(舍).

32

得BN=2BC,所以網(wǎng)=2.

3NC

20.已知函數(shù)/（x）=xlnx-gor2

（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)f（x）存在極大值點(diǎn)方,且使得2/（題）＞62恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）答案見解析

(3

(2)ClG0,—y

Ie

【解析】

【分析】（1）對(duì)/（x）求導(dǎo)后，討論〃的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)/（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出

極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）由（1）得，當(dāng)0＜。＜1時(shí)，/（幻存在極大值點(diǎn)，記為.”,且為根據(jù)已知的不等式構(gòu)造函數(shù)

a

h（x）=x\nx-xf根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷/i（x）的單調(diào)性從而得到/又2,再構(gòu)造函數(shù)p（x）=/J,繼續(xù)利用導(dǎo)

X

數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而求出a的取值范圍.

【小問1詳解】

“力的定義域?yàn)椋?,+8），

由題意得了'（x）=lnx+l—?，

令g（x）=lnx+l-ar（x>0）,則g,（x）=--a=^—^-,

xx

①當(dāng)nKO時(shí)，g'（x）>0恒成立，八處在（0,a）遞增，

當(dāng)X->0時(shí)，f（x）->-00,當(dāng)Xf+8時(shí)，r（x）->+8,

???在（o,+8）存在冽,使得r（m）=o,

???〃力在（0,⑼單調(diào)遞減，在（加,+8）單調(diào)遞增，〃力在X=m處取得極大值，

此時(shí)“%）有一個(gè)極值點(diǎn)；

②當(dāng)。>0時(shí)，令短（#=0得1=一，

a

當(dāng)xw（。，:）時(shí)，g'（x）>0,f（x）單調(diào)遞增，

時(shí)，gr（X）<0,7"）單調(diào)遞減，

所以r（x）W=-Ina,

（i）當(dāng)一InaVO，即aNl時(shí)，此時(shí)/'。）0/'（皆）=一111。（0,

〃幻在（0,+e）無單調(diào)增區(qū)間，

所以此時(shí)/（x）無極值點(diǎn)；

（ii）當(dāng)一lna>0,即0<a<i時(shí)，

當(dāng)％->0時(shí)，/'（x）f-co,當(dāng)xf+8時(shí)，/f（x）->-oo,

.?.在（O,-lna）存在為，使得/'（石）=0,在（Tna,*x>）存在々，使得廣㈤=0,

，〃力在（0,內(nèi)）單調(diào)遞減，在（看,%）單調(diào)遞增，在（%,+動(dòng)單調(diào)遞減，

/（力在工=百處取得極小值，在工=%處取得極大值，

此時(shí)/（幻有兩個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)〃W0時(shí)，/（X）有一個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)0<a<I時(shí)，/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)。21時(shí)，f(x)無極值點(diǎn).

【小問2詳解】

由(1)得，當(dāng)Ovavl時(shí)，”力存在極大值點(diǎn)，記為且與A—A1,

a

,、Inx+1

則r(不)=。，即。=-n--，

則2/(%)=2/In與一說=%jln%一為>e2,

令力(力=xlnx-%(x>l),/z(e2)=e2,即力(X。)>〃(/),

.//(x)=lnx>0,所以6(x)在(1,”)單調(diào)遞增，

2

由/t(x0)>/z(e)得%>e?,

令〃(工)=------(x>e-),p(x)=-r—<0,

xv7JC

所以P*)在％￡佇,+8)上單調(diào)遞減，所以p")<〃(e2)=M，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立時(shí)的參數(shù)的

范圍問題.解決此類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，明確導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及極值之間的關(guān)系，將不等式恒

成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，其中要注意分類討論.

21.如圖所示，設(shè)拋物線E:y2=2px(p>0),過拋物線E內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線交于

A,C和B,D,且滿足AM=4MC,8M=；IM。，其中4>0,當(dāng)AC_Lx軸時(shí)，2=-.

3

(1)求拋物線E的方程；

(2)當(dāng)義變化時(shí)，砥8是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y2=4x

(2)是，2

【解析】

【分析】(1)當(dāng)AC_Lx軸時(shí)，得到5=%=1,%-1二；(1一幾)，結(jié)合必=一九=而，即可求解；

一.+1

A

（2）由AM=4MC，得到，,聯(lián)立方程組得到y(tǒng)；-2M=34-1,同理得至I]￡-2%=34一1,

15?|

v-"+1

轉(zhuǎn)化為y,%是方程產(chǎn)一2），=32-1的兩個(gè)根，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解.

【小問1詳解】

解：當(dāng)ACJ_x軸時(shí)，2=-,可得AM=gMC,則4=2=1,以-1=；（1一比）

可得以=一九="￡，所以p=2,所以拋物線E的方程為丁=4L

【小問2詳解】

解：設(shè)A（x”yJ,B（w，y2），Ca，y3），D（X4，N4）

匕2+1

2

由4M二；IMC，可得，

0+1

%=

4=例

因?yàn)锳,。在拋物線V=4x,可得，