高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：中值定理

高等數(shù)學(xué)（第二版）一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理中值定理微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用三、柯西中值定理羅爾定理一、羅爾定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，且滿足（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（3） ；則至少存在一點(diǎn)，使得。由定理的假設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)。說明在平面上是以為端點(diǎn)的連續(xù)且處處有切線的曲線段。由可知，線段平行于軸,說明在曲線段上必有一點(diǎn)（其橫坐標(biāo)為），在該點(diǎn)處的切線平行于軸。即。即曲線段上至少存在一點(diǎn)，在該點(diǎn)處有水平切線。注意：定理中的三個(gè)條件如果不能同時(shí)滿足，則定理的結(jié)論也可能不成立。下面三個(gè)圖象表明，函數(shù)的圖象沒有水平切線二、拉格朗日中值定理如函數(shù)在閉區(qū)間上有定義，且滿足則至少存在一點(diǎn)，使得（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；或拉格朗日中值定理我們借助幾何圖形來(lái)分析定理的結(jié)論。條件中連續(xù)與可導(dǎo)的條件與羅爾定理證明相同，僅僅少了該函數(shù)在兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等的條件，而弦的方程為，所以正是弦的斜率說明至少存在一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線與弦平行。于是或定理的其他形式：（1）由于是介于與之間，因此可將表示成其中于是有（2）若令，，則有其中顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當(dāng)時(shí)的特殊情形。（介于與之間）物理解釋：把數(shù)設(shè)想為在上的平均變化率而是在的瞬時(shí)變化率。中值定理表明：在某個(gè)內(nèi)點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率一定等于整個(gè)區(qū)間上的平均率。推論1如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)恒等于零，則在區(qū)間內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。推論2如果函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與都相等，則這兩個(gè)函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)至多相差一個(gè)常數(shù)。例1

函數(shù)，在閉區(qū)間上驗(yàn)證拉格朗日定理的正確性。解：顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又由拉格朗日中值定理，至少存在，使成立。解得故可取，使成立。例2證明不等式證：設(shè)在滿足拉格朗日定理的條件，因此有因?yàn)椋钥傻萌绻覀儼衙枋隼窭嗜罩兄刀ɡ淼膸缀我饬x的曲線用下面參數(shù)方程表示則對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，而弦的斜率為三、柯西中值定理可知，點(diǎn)處的切線斜率等于弦的斜率，即設(shè)在曲線上點(diǎn)處的切線平行于弦。由參數(shù)方程在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)柯西中值定理設(shè)函數(shù)與在閉區(qū)間上有定義，且滿足（1） 閉區(qū)間上連續(xù)；（2） 開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且在內(nèi)；不難看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，由于當(dāng)