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專題11.3三角形三條重要線段(知識梳理與考點(diǎn)分類講解)第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】三角形的高(1)定義:從三角形的一個頂點(diǎn)向它所對的邊所在直線作的垂線段叫做三角形邊的高.(2)三角形高的畫法:一靠:使三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上;二移:移動三角尺使另一條直角邊通過這條邊所對的頂點(diǎn);三畫:畫垂線段。(3)三角形三條高的位置:①三角形三條高交于一個點(diǎn),這個點(diǎn)稱作三角形的垂心;②銳角三角形垂心在三角形內(nèi)部;直角三角形垂心是直角頂點(diǎn);③鈍角三角形垂心在三角形外部.【例1】(23-24七年級下·廣東深圳·期中)下列四個圖形中,線段是的高是(
)A.B.C. D.【知識點(diǎn)二】三角形的中線定義:連接三角形的一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形這邊上的中線;三角形的重心:三角形三邊上的中線交點(diǎn)叫做三角形的重心?!纠?】(23-24七年級下·湖南衡陽·階段練習(xí))如圖,在中,,,為中線,則與的周長之差為(
)A.5 B.3 C.4 D.2【知識點(diǎn)三】三角形的角平分線(1)定義:在三角形中;一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交,這個角的頂點(diǎn)與對邊交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。(2)三角形的內(nèi)心:三角形角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心?!纠?】(23-24八年級上·遼寧盤錦·階段練習(xí))如圖,,下列結(jié)論中錯誤的是(
)A.是的角平分線 B.是的角平分線C. D.是的角平分線第二部分【典例展示與方法歸納】【題型1】三角形高線(等面積求高模型)【例1】(23-24七年級下·江蘇徐州·期中)如圖,是的中線,是的高,,,,.(1)求高的長;(2)求的面積.【舉一反三】【變式1】(23-24七年級下·陜西西安·期中)如圖,在中,,點(diǎn)D是中點(diǎn),點(diǎn)P是線段上一個動點(diǎn),若則的最小值是(
)A.1 B. C.2 D.【變式2】(22-23七年級下·福建福州·期末)如圖,直線經(jīng)過原點(diǎn),若、、,為線段上一動點(diǎn).當(dāng)取最小值時,.
【題型2】三角形中線(中線等分面積模型+周長差問題)【例2】(23-24七年級下·江西萍鄉(xiāng)·階段練習(xí))如圖,已知、分別是的中線和高,的周長比的周長大,且.(1)求的長;(2)求與的面積關(guān)系.【舉一反三】【變式1】(23-24八年級上·廣東江門·階段練習(xí))如圖,已知是的中線,,則和的周長的差是.
【變式2】(23-24七年級下·陜西·期中)如圖,在中,延長至點(diǎn),使得,延長至點(diǎn),使得,延長至點(diǎn),使得,連接、、,若,則為.【題型3】三角形角平分線(角平分線+平行線模型)【例3】(23-24八年級下·江西撫州·階段練習(xí))如圖,在中,平分平分,且,,,求的周長.【舉一反三】【變式1】(23-24九年級下·湖北襄陽·階段練習(xí))如圖,在中,,和的平分線相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作的平行線交于點(diǎn)E,交于點(diǎn)F,則的周長為(
)A.9 B.11 C.12 D.13【變式2】(22-23八年級上·遼寧鞍山·期中)如圖,,以點(diǎn)為圓心,小于長為半徑作圓弧,分別交,于,兩點(diǎn),再分別以,為圓心,大于長為半徑作圓弧,兩條圓弧交于點(diǎn),作射線,交于點(diǎn).若,則.
第三部分【中考鏈接與拓展延伸】一、直通中考【例1】(2023·安徽·中考真題)清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中,對南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明,證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形,得出了一個結(jié)論:如圖,是銳角的高,則.當(dāng),時,.
【例2】(2021·山東聊城·中考真題)如圖,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E,AD與CE交于點(diǎn)O,連接BO并延長交AC于點(diǎn)F,若AB=5,BC=4,AC=6,則CE:AD:BF值為.二、拓展延伸【例1】(23-24七年級下·廣東惠州·期中)如圖,已知平分,,且.(1)求證:;(2)若,求的度數(shù);(3)當(dāng),,時,求點(diǎn)到直線的距離.【例2】(23-24七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中)【探究】如圖1,是中邊上的中線,與的面積相等嗎?請說明理由,【應(yīng)用】如圖2,點(diǎn)A、B、C分別是、、的中點(diǎn),且,則圖2中陰影部分的面積為;【拓展】(1)如圖3,中,延長至點(diǎn)F,使得,延長至點(diǎn)D,使得,延
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