隨機(jī)利率下壽險精算模型的研究

隨機(jī)利率下壽險精算模型的建立研究摘要精算是利用數(shù)學(xué)、統(tǒng)計、金融、保險、人口學(xué)等學(xué)科的知識和原則，分析保險業(yè)經(jīng)營管理的各個環(huán)節(jié)，為保險業(yè)制定戰(zhàn)略和決策、提高管理水平提供工具和科學(xué)依據(jù)的學(xué)科。在我國保險業(yè)快速發(fā)展的背景下，精算知識在保險業(yè)務(wù)中得到了越來越廣泛的應(yīng)用。在影響人壽保險產(chǎn)品定價的諸多因素中，最關(guān)鍵、最基礎(chǔ)的兩個因素是：被保險人剩余壽命的不確定性和預(yù)定利率的大小。我國保險業(yè)發(fā)展歷史不長，人身保險業(yè)發(fā)展也比較不成熟。長期以來，中國人身保險業(yè)的產(chǎn)品定價假設(shè)中的預(yù)定利率一直是固定的。但是自20世紀(jì)90年代以來，因為不斷下調(diào)的基準(zhǔn)利率，壽險公司普遍積累了巨大的利差損失。預(yù)定利率雖然目前來看維持在相對較低的水平，但隨著我國利率市場化改革的推進(jìn)，在與世界各國經(jīng)濟(jì)合作不斷加深的背景下，更多復(fù)雜的因素將影響利率變化，更加頻繁和復(fù)雜的利率波動將成為一種常態(tài)。因此，固定預(yù)定利率對人身保險業(yè)的發(fā)展有些不合適，甚至成為阻礙其發(fā)展的因素。本文充分考慮了影響利率變動的因素,對利率建立了ARMA(p,q)模型,選取近十年的一年期中國國債收益率作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，并運用stata統(tǒng)計軟件對所建立的隨機(jī)利率模型進(jìn)行參數(shù)估計并檢驗,驗證了該模型的合理性,并擬合出了對應(yīng)的ARMA(1,1)模型。在基于建立的隨機(jī)利率模型下，本文分別對單生命和多生命聯(lián)合壽險保單進(jìn)行了研究。對于單生命壽險保單，通過計算隨機(jī)利率與固定利率下保單的精算現(xiàn)值差異，發(fā)現(xiàn)運用隨機(jī)利率模型可更加合理的計算保費，能夠降低保險公司可能由于保費收取不足而導(dǎo)致的利潤風(fēng)險。除此之外，基于隨機(jī)利率的精算模型可以更合理審慎地評估計提保險公司在不同保單年度應(yīng)提取的未到期責(zé)任準(zhǔn)備金額度，降低了保險公司或因為準(zhǔn)備金提取不足而造成的償付能力風(fēng)險。并且，通過研究聯(lián)合壽險保單下的精算現(xiàn)值，發(fā)現(xiàn)對于聯(lián)合生存壽險保單，保險公司可通過提高年金的給付額度、相對降低死亡利益給付來豐富公司的產(chǎn)品類型，并與其它保險公司推出的同類型保險產(chǎn)品競爭。關(guān)鍵詞：隨機(jī)利率；ARMA模型；壽險精算目錄引論 引論（一）研究背景及意義1.研究背景從保險企業(yè)的經(jīng)營角度來看，保險企業(yè)的利潤可分為承保利潤與投資利潤，其中承保利潤主要有三種區(qū)分：利差益、費差益和死差益。利差益，是指保險公司實際投資收益高于預(yù)期投資收益時產(chǎn)生的盈余；費差益，是指保險公司的實際運營管理成本低于預(yù)期運營管理成本時產(chǎn)生的盈余；死差益，指保險公司實際出險率低于預(yù)期出險率時，也就是說，實際死亡人數(shù)低于預(yù)定死亡人數(shù)時產(chǎn)生的盈余。長期以來，中國人身保險業(yè)的產(chǎn)品定價假設(shè)中的預(yù)定利率一直是固定的。但是自20世紀(jì)90年代以來，因為不斷下調(diào)的基準(zhǔn)利率，壽險公司普遍積累了巨大的利差損失。預(yù)定利率雖然目前來看維持在相對較低的水平，但隨著我國利率市場化改革的推進(jìn)，在與世界各國經(jīng)濟(jì)合作不斷加深的背景下，更多復(fù)雜的因素將影響利率變化，更加頻繁和復(fù)雜的利率波動將成為一種常態(tài)。因此，固定預(yù)定利率對人身保險業(yè)的發(fā)展有些不合適。為了化解利率波動給保險公司經(jīng)營帶來的風(fēng)險，有必要建立隨機(jī)利率模型，用于保險產(chǎn)品的費率厘定與責(zé)任準(zhǔn)備金的提取。2.研究意義為了達(dá)到風(fēng)險最小化、利潤最大化的目標(biāo)，保險公司需要更加精準(zhǔn)地預(yù)測未來市場利率，從而計算出應(yīng)收取的保費?，F(xiàn)有的較多精算模型通常將利率假定為常數(shù)，但是事實上，利率是隨機(jī)變動的，應(yīng)可視為一個隨機(jī)變量。利率隨機(jī)變動的不確定性將給保險公司經(jīng)營管理帶來較大的風(fēng)險，為了防范化解該風(fēng)險，國內(nèi)外學(xué)者都有在嘗試著運用隨機(jī)模型或隨機(jī)過程去模擬利率的變動，推測未來時間的利率，并在壽險精算模型中引用該利率。目前，在對于隨機(jī)利率壽險模型問題的研究上，眾多國內(nèi)外的教精算研究人員做出了很大的貢獻(xiàn)，他們構(gòu)建了許多基于隨機(jī)利率的壽險模型，且具有很高的參考價值，但美中不足的是，這些模型大多實用性不高，為增強(qiáng)模型實用性需要對其進(jìn)行改進(jìn)。本文將以此為主要目標(biāo)，參考近年來國內(nèi)外研究者對于隨機(jī)利率的自回歸特點的研究，對利率建立時間序列隨機(jī)利率自回歸(ARMA)模型，結(jié)合經(jīng)驗死亡率的分布，研究隨機(jī)利率下風(fēng)險保費的厘定與責(zé)任準(zhǔn)備金的提取。同時研究多生命聯(lián)合壽險保單的精算現(xiàn)值，為保險公司的產(chǎn)品開發(fā)提出建議。（二）文獻(xiàn)綜述1.國外文獻(xiàn)綜述在國外，1971年，J.H.Polland第一次提出利率的隨機(jī)性，將利率看成隨機(jī)變量來處理，并在此基礎(chǔ)上對精算函數(shù)進(jìn)行了研究。之后，逐漸有更多的外國研究者通過構(gòu)建隨機(jī)模型來對利率進(jìn)行模擬預(yù)測。對于利率的建模，主要可分為對利息力累積函數(shù)建模和直接對利息力建模兩種。Boyle在1976年把利息力看成是一種白噪聲過程，研究了在死亡率分布和利息力都是隨機(jī)變量的情況下保險利益賠付和生存年金給付的精算現(xiàn)值。1981年Bellhouse和Panjer采用AR(2)自回歸時間序列模型對利率進(jìn)行建模，研究了關(guān)于兩全保險和年金保險方面的精算理論，得出了基于隨機(jī)利率得壽險模型的一些重要結(jié)論；不久之后，Dhaene和Giaccotto等也運用時間序列，如白噪聲過程和ARIMA過程等進(jìn)行隨機(jī)利率建模。Frees在1990年采用可逆移動平均MA（1）模型模擬利率，并得出在此模型下得生存年金利益給付的精算現(xiàn)值?；贔rees的基礎(chǔ)成果，在1997年，Haberman將其可逆移動平均MA(1)模型擴(kuò)展到可逆移動平均MA(2)模型，并計算出了在此隨機(jī)利率模型下生存年金利益給付精算現(xiàn)值的二階矩和一階矩。并且，Haberman還采用了穩(wěn)定自回歸AR(1)時間序列模型下的隨機(jī)利率，并基于該利率推出了企業(yè)生存年金期滿給付的精算現(xiàn)值模型。XiaY在2012年采用了穩(wěn)定自回歸AR(1)時間序列模型和二項式樹模型，并研究了基于這兩種隨機(jī)利率下，長期傷殘保險組合即一次性死亡利益給付和每半年一次給付的傷殘補助金的組合的精算現(xiàn)值。Parker和NoldeN在2014年，采用穩(wěn)定自回歸AR(1)時間序列模型對利息力進(jìn)行模擬，并研究了隨著時間的變化，相同壽險保單組合的保險盈余的行為。2.國內(nèi)文獻(xiàn)綜述相較于國外，國內(nèi)對于隨機(jī)利率下壽險模型的研究起步較晚，但也對一些壽險產(chǎn)品在隨機(jī)利率下的狀況進(jìn)行了研究。吳嵐、楊靜平在1997年將利息力視為白噪聲，并遞推了該過程在極限分布情況下的密度函數(shù)，還探討了n年定期壽險產(chǎn)品的總體累積賠付的極限分布函數(shù)及其總量大小。高建偉等在2004年將隨機(jī)利率由條件自回歸AR(p)時間序列模型擴(kuò)展到廣義自回歸AR(p)時間序列模型，推出了在該隨機(jī)利息力模型下離散型生存年金利益給付的精算現(xiàn)值。周宏波等在2006年采用ARIMA(p,d,q)時間序列模型對利息力進(jìn)行建模，得出了關(guān)于定期生存年金利益給付的精算現(xiàn)值表達(dá)式。郭芳等在2008年基于殘差序列具有異方差性的特點，采用ARCH利息力模型，得到了在此模型下的定期壽險均衡凈風(fēng)險保費和準(zhǔn)備金，以及準(zhǔn)備金的方差表達(dá)式。2009年，解強(qiáng)等采用ARMA(p,q)自回歸移動平均模型，推導(dǎo)了在此模型下的年金保險利益給付的精算現(xiàn)值，還計算了年金保險利益給付精算現(xiàn)值的一階矩和二階矩。2011年，冉啟康對利息力分別建立Cox-IngersonRoss模型和ARMA(p,q)自回歸移動平均時間序列模型，還采取Lee-Carter隨機(jī)死亡率分布，推導(dǎo)出了隨機(jī)利息力和隨機(jī)死亡率下的年金利益給付現(xiàn)值精算模型。（三）研究方法1.文獻(xiàn)分析法本文參考了國內(nèi)外關(guān)于隨機(jī)利率下的壽險精算模型的相關(guān)文獻(xiàn)并對其進(jìn)行分析。同時，參考國內(nèi)外關(guān)于研究隨機(jī)利率下壽險精算模型的建立分析的實證方法，并從多角度對隨機(jī)壽險精算模型進(jìn)行分析，最終得出相關(guān)的結(jié)論。2.實證分析法本文充分考慮了影響利率變動的因素,對利率建立了ARMA(p,q)自回歸移動平均模型,采用近十年的一年期中國國債收益率作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，并運用stata統(tǒng)計軟件對所建立的隨機(jī)利率模型進(jìn)行參數(shù)估計并檢驗,驗證了該模型的合理性,并擬合出了對應(yīng)的ARMA(1,1)模型。在基于建立的隨機(jī)利率模型下，本文分別對單生命和多生命聯(lián)合壽險保單進(jìn)行了研究。對于單生命壽險保單，通過分別計算固定利率下與隨機(jī)利率下壽險保單的精算現(xiàn)值，對比差異，發(fā)現(xiàn)運用隨機(jī)利率模型可更加合理的計算保費，能夠降低保險公司可能由于保費收取不足而導(dǎo)致的利潤風(fēng)險。除此之外，基于隨機(jī)利率的精算模型可以更合理審慎地評估計提保險公司在不同保單年度應(yīng)提取的未到期責(zé)任準(zhǔn)備金額度，降低了保險公司或因為責(zé)任準(zhǔn)備金提取不足而造成的償付能力風(fēng)險。一、壽險精算理論基礎(chǔ)（一）貨幣的時間價值所謂利息，可以認(rèn)為是資金實際使用者支付給資金所有者的報酬。盡管有多種多樣的利息和資金的存在形式，但隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，我們可以用貨幣來衡量和表示幾乎所有的資金和利息。1.積累函數(shù)：定義a(t)為積累函數(shù)，表示單位本金在t期末的積累值。通常有a(t)>0。2.總量函數(shù)：A(t)=k?a(t),其中k表示期初的本金為3.折現(xiàn)函數(shù)：積累函數(shù)a(t)的倒數(shù)a?1(t)4.實際利率：實際利率的定義通常是與具體的度量時間區(qū)間相聯(lián)系的，一般用i表示，有i5.單利和復(fù)利：記i=如果at=1+it,則如果at=6.實際貼現(xiàn)率：與實際利率相對應(yīng)，將d=1?7.利息強(qiáng)度：考慮i=An?A為t時的利息強(qiáng)度，又稱利息力。注意到δtδ對上式等號兩端同時積分，得到：a（二）生命函數(shù)1.單生命函數(shù)年齡為x歲的人通常用符號(x)來表示，用T(x)表示(x)這個人將來持續(xù)生存的時間長度，即余命，X表示(x)將來死亡時的年齡，由于(x)在未來什么具體時間死亡是不確定而且未知的變量，因此可以將X視為隨機(jī)變量，將X稱為(x)若T是一個連續(xù)型隨機(jī)變量時，則其分布函數(shù)為Ft=Pr?(T≤t),個體(x)在將來某個時刻t依舊存活的概率用函數(shù)S如果一個個體在x歲時存活，則用函數(shù)npx表示(x)在該個體在ｎ年后依然存活的概率，即n根據(jù)式(6),對應(yīng)的死亡概率用nqn此外，用t|來表示未來持續(xù)存活時間t年。則對于x將在未來存活t年后然后在u年內(nèi)死亡的概率，可用t|uqt|u若u=1，則可將上式簡記為t|qt|2.雙生命函數(shù)壽險保單中,被保險人一般有且只有一個人,但在實際中,也可以存在一張壽險保單包含多個被保險人的情況。根據(jù)保單中包含得被保險人的人數(shù)對壽險保單進(jìn)行分類,通?？梢苑譃檫B生壽險保單，單生壽險保單。連生保險保單是指一張壽險保單中包含兩個及兩個以上的被保險人。在此,我們考慮一個二元的保險。我們可將保單中包含的若干個生命看成一個組合,這個組合定義為一個狀態(tài)。根據(jù)組合中各個生命的生存與死亡情況，定義一個狀態(tài)的存續(xù)與終止。例如:一個組合中有1個人,可以將狀態(tài)的存續(xù)設(shè)定為全部存活,同樣我們也可以定義存續(xù)狀態(tài)為至少存活一人,這樣的話，該組合內(nèi)生命的全部死亡為終止?fàn)顟B(tài)。雙生命狀態(tài)的討論：1.二元聯(lián)合生存狀態(tài):該狀態(tài)包含兩個生命,第一個為x歲,第二個則是y歲,當(dāng)兩個生命中只要有一個死亡時,我們稱之為消亡狀態(tài),當(dāng)這兩個生命均為存活狀態(tài)時,稱該狀態(tài)為存續(xù)狀態(tài),表示為xy。2.二元生命最后狀態(tài):該狀態(tài)也包含兩個生命,其中一個為x歲,另外一個是y歲,與二元聯(lián)合生存狀態(tài)不同的是，當(dāng)這兩個生命當(dāng)中至少有一個依然存活時稱該狀態(tài)為存續(xù),而在兩個生命中最后一個生命死亡時稱該狀態(tài)為消亡狀態(tài),該狀態(tài)用符號記為xy。對于雙生命狀態(tài)的生存概率，有以下兩個表達(dá)式：=PT(x)tPxy=1?P=1?1?（三）未來價值的精算現(xiàn)值在精算學(xué)中，對于未來預(yù)期發(fā)生的現(xiàn)金流，其預(yù)期精算現(xiàn)值的表達(dá)式為：EPV其中，A表示未來現(xiàn)金流的數(shù)額大小，P表示該現(xiàn)金流發(fā)生的概率，vt為貼現(xiàn)因子。二、隨機(jī)利率(ARMA)模型的建立（一）隨機(jī)利率模型簡介1.ARMA模型簡介在對離散利率模型的研究方面，許多研究者主要使用的是時間序列模型，并且已經(jīng)得到了許多研究成果，如MA(q)、AR(p)還有擴(kuò)展的ARMA(p,q)隨機(jī)利息力模型?，F(xiàn)階段主要是在金融證券等領(lǐng)域應(yīng)用ARMA(p,q)模型，研究人員也只是對通過采用已有的金融數(shù)據(jù)去建立模型，繼而研究金融序列的特性。本文采用利息力建模方式，建立隨機(jī)利息力ARMA模型，應(yīng)用到精算領(lǐng)域并結(jié)合死亡隨機(jī)性研究壽險精算中的實際問題。2.隨機(jī)利息力(ARMA)模型設(shè)δt為第(t-1，t時刻的利息力，建立隨機(jī)利息力Aδ其中δ0，δt?1,…,εt?在上式中，當(dāng)所有參數(shù)為0時，利息力為常數(shù)δ0（二）數(shù)據(jù)選取選取2010年3月至2021年3月每季度末的一年期中國國債收益率作為后續(xù)分析的利率基礎(chǔ)，利率數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)來源：中國人民銀行如表1。數(shù)據(jù)來源：中國人民銀行表1利率表時間i時間i時間i時間i2010.31.59%2010.61.87%2010.91.85%2010.122.95%2011.32.92%2011.63.45%2011.92.58%2011.122.60%2012.32.86%2012.62.30%2012.92.80%2012.122.90%2013.32.64%2013.63.43%2013.93.45%2013.124.12%2014.32.87%2014.63.37%2014.93.77%2014.123.26%2015.33.19%2015.61.77%2015.92.36%2015.122.33%2016.32.16%2016.62.39%2016.92.19%2016.122.75%2017.32.89%2017.63.45%2017.93.46%2017.123.80%2018.33.35%2018.63.21%2018.92.98%2018.122.58%2019.32.40%2019.62.65%2019.92.67%2019.122.44%2020.31.82%2020.62.16%2020.92.61%2020.122.70%2021.32.54%（三）隨機(jī)利率ARMA（p,q）模型建立對于表1中各季度末的利率，依照公式δ=log?(1+通過利息力表表2的數(shù)據(jù)可作出利息力序列的時序圖1，觀察利息力序列圖可以發(fā)現(xiàn)，利息力的數(shù)值始終在0.028左右上下隨機(jī)波動，而且其波動的范圍有明顯的邊界，但同時也可看出利息力的這種波動無波動的相應(yīng)周期特征以及無明顯的波動趨勢。表2利息力表時間δ時間δ時間δ時間δ2010.30.0157752010.60.0185272010.90.0183312010.120.0290732011.30.0287822011.60.0339182011.90.0351742011.120.0256682012.30.0281992012.60.0227392012.90.0276152012.120.0285872013.30.0260672013.60.0337252013.90.0339182013.120.0403742014.30.0282962014.60.0331452014.90.0369782014.120.0321092015.30.0314022015.60.0175162015.90.0233262015.120.0230232016.30.0213992016.60.0236192016.90.0216152016.120.0271382017.30.0284422017.60.0339472017.90.0340152017.120.0373252018.30.0329512018.60.0315962018.90.0293652018.120.0254242019.30.0237072019.60.0261942019.90.0263502019.120.0241072020.30.0180362020.60.0213702020.90.0257652020.120.0266422021.30.025083圖1利息力序列選擇滯后期數(shù)20并用stata軟件得到其自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)是將自協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化為介于[-1,1]之間的量，對于嚴(yán)格平穩(wěn)過程，其不依賴于時間，而只是滯后階數(shù)的函數(shù)。(ACF)和偏自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)是將自協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化為介于[-1,1]之間的量，對于嚴(yán)格平穩(wěn)過程，其不依賴于時間，而只是滯后階數(shù)的函數(shù)。給定{yt+1,…,yt+k?1}條件下，表3利息力序列相關(guān)性LAGACPACQProb>Q10.59150.593416.8160.000020.40160.103224.750.000030.0881-0.257225.1410.00004-0.0740-0.150125,4240.00005-0.13430.042426.3770.00016-0.3903-0.532234.640.00007-0.25600.268138.2880.00008-0.3204-0.039344.1550.00009-0.1946-0.093546.3810.000010-0.1785-0.174648.3070.000011-0.1344-0.010249.430.0000120.0634-0.100549.6880.0000130.0048-0.261049.690.0000140.16790.112851.6120.0000150.0833-0.110952.1010.0000160.0962-0.293652.7760.0000170.02050.089152.8080.000018-0.04210.290552.9460.0000190.0636-0.062653.2750.000020-0.0035-0.084953.2760.0001根據(jù)表3可看出，偏自相關(guān)系數(shù)與自相關(guān)系數(shù)始終在0周圍波動，結(jié)合時序圖可判斷該序列為平穩(wěn)時間序列。并根據(jù)相關(guān)分析，所選利息力的偏自相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)系數(shù)都表現(xiàn)為拖尾性，因此初步判斷可以對于利息力采用ARMA模型，對于移動平均階數(shù)和自回歸階數(shù)可別采用1或2進(jìn)行分析。利用stata軟件針對ARMA(p,q),p=1,2;q=1,2進(jìn)行參數(shù)估計和檢驗，得到不同利息力模型下的檢驗結(jié)果如表表4不同利息力模型的檢驗結(jié)果模型AICAICAIC即赤池信息準(zhǔn)則，是衡量統(tǒng)計模型擬合優(yōu)良性的一種標(biāo)準(zhǔn)，一般認(rèn)為之越小擬合優(yōu)良性越高SCSCSC即施瓦茲準(zhǔn)則，其檢驗思想也是通過比較不同分布滯后模型的擬合優(yōu)度來確定合適的滯后期長度。ARMA(1,1)-1.684085-1.542643ARMA(1,2)-1.627492-1.468665ARMA(2,1)-1.626848-1.468776ARMA(2,2)-1.597341-1.396591將各利息力模型的檢驗結(jié)果進(jìn)行對比，由表4可知自回歸移動平均ARMA(1,1)的AIC值和SC值均為最小值，因此判定自回歸和移動平均階數(shù)均為1，用stata軟件建立A表5參數(shù)檢驗VariableCoefStd.Err.zP>zAR(1)0.69683430.2023583.440.001MR(1)-0.08860130.3470128-3.320.0011/sigma0.00444950.00048699.140.000根據(jù)表5中的系數(shù)數(shù)據(jù)，對于利息力建立ARMA(1,1)模型：δ并由表5可知，在0.01的顯著水平下，表中的t統(tǒng)計量和p值顯示各參數(shù)估計值是顯著的。（四）隨機(jī)利率模型檢驗ARMA(1,1)模型擬合利息力后，檢驗擬合模型的殘差序列是否為白噪聲序列。首先用stata軟件生成擬合模型的殘差序列并得到其自相關(guān)與偏相關(guān)分析結(jié)果如表6所示。表6殘差序列相關(guān)性LAGACPACQProb>Q1-0.0100-0.01000.013270.90832-0.0003-0.00040.013290.993430.01030.01060.02760.99984-0.0033-0.00310.02910.99995-0.0328-0.03410.177650.999360.02560.02600.268790.999670.09120.09651.43760.98448-0.0211-0.01901.50050.99279-0.0429-0.04811.76380.9947100.07830.08012.64690.9886根據(jù)表6數(shù)據(jù)，自相關(guān)函數(shù)值、偏自相關(guān)函數(shù)值以及Q值及其ｐ值顯示，殘差序列為白噪聲序列，因此模型是適合的模型。（五）隨機(jī)利率模型預(yù)測根據(jù)建立的ARMA(1,1)模型對未來10年的利息力進(jìn)行預(yù)測如圖5，得到每年４個季節(jié)共40個數(shù)據(jù)如表7。表7未來利息力時間3月6月9月12月20210.0257610.0260950.02632820220.0264910.0266040.0266830.02673720230.0267760.0268020.0268210.02683420240.0318430.0318490.0318540.03185720250.0327590.0328660.0328610.03286220260.0282510.0271180.0269860.02685420270.0267230.0265920.0264630.02633320280.0262050.0255720.0254470.02532320290.0251990.0250760.0249540.02483220300.0247110.0245900.0244700.02435120310.024232三、隨機(jī)利率模型下壽險精算實際案例分析（一）單生命壽險精算模型分析1.壽險產(chǎn)品選取選取我國中國平安人壽保險股份有限公司中的保險產(chǎn)品《平安金瑞人生（2021）年金保險》，根據(jù)其主要條款可知，對于被保險人，保險公司在合同期間為該保險提供的主要保障如下：（1）特別生存保障若投保人選擇的交費期間為3年，則自本主險合同生效之日起，到達(dá)第5個及第6個保單周年日被保險人仍生存，保險人在第5個及第6個保單周年日按本主險合同基本保險金額確定的年交保險費的60%給付特別生存保險金。（2）生存保障若投保人選擇的交費期間為3年或5年，則自本主險合同第7個保單周年日開始，至第9個保單周年日（含第9個保單周年日），每年到達(dá)保單周年日被保險人仍生存，保險人按本主險合同基本保險金額的30%給付生存保險。（3）滿期生存保障被保險人于本主險合同保險期滿時仍生存，保險人按期滿時本主險合同的基本保險金額給付滿期生存保險金，本主險合同終止。（4）身故保障被保險人身故，保險人按本主險合同的所交保險費給付身故保險金，本主險合同終止?！八槐ｋU費”按照被保險人身故當(dāng)時本主險合同的基本保險金額確定的年交保險費×已交費年度數(shù)計算。2.被保險人相關(guān)假設(shè)假設(shè)一位35歲的男性于2020年12月31日為自己投保了《平安金瑞人生（2021）年金保險》，基本保險金額100000元，選擇的交費期間為3年，保險期間為10年，年交保費93680元。對于該保險條款，被保險人死亡率將依據(jù)《中國人身保險業(yè)經(jīng)驗生命表（2010-2013）》：CL1。3.身故保險金給付以及滿期生存給付現(xiàn)值假設(shè)在這保險期間內(nèi)無退?；蛘咂渌赡軐?dǎo)致合同終止的情況，各保單年度被保險人的死亡概率、生存概率及其對應(yīng)的保險死亡利益與期滿給付利益如表8所示。表8身故及滿期給付時間kx+kqkk|DBkFTBδ20200350.001111--0.02664220211360.001200.998890.0011193680-0.02632820222370.001290.997690.00120187360-0.02673720233380.001400.996410.00129281040-0.02683420244390.001520.995020.00139281040-0.03185720255400.001650.993510.00151281040-0.03286220266410.001800.991870.00164281040-0.02685420277420.001980.990080.00179281040-0.02633320288430.002170.988120.00196281040-0.02532320299440.002390.985980.00215281040-0.024832203010450.002640.983620.002362810401000000.024351注：k表示對應(yīng)到達(dá)的保單年度，x+k為在該保單年度時被保險人的年齡大小；qx+k即死亡率的分布的數(shù)據(jù)來自《中國人身保險業(yè)經(jīng)驗生命表（2010-2013）》：CL1;DBk和FTB由于該評估是針對每個保單年度，所以δk該保單的滿期生存給付與身故保障給付結(jié)合起來類似于10年期兩全保險，故由表6可計算出其預(yù)期精算現(xiàn)值為：EPV==3582.281+74742.41=78324.69如果選取2020年底利息力=0.026642作為之后各保單年度評估的基準(zhǔn)利息力，則在此情況下，期滿生存利益給付與身故保障利益給付精算現(xiàn)值為：EPV==3098.454+68732.83=71831.28比較常數(shù)利息力和的ARMA(1,1)4.年金給付現(xiàn)值從產(chǎn)品條款中可得知，該保單包含的年金分為特別給付年金與生存給付年金兩種，分別記為SSB、SB，不同的保單年度年金給付情況如表9。表9年金給付時間kx+kqkk|SSBSBδ20200350.0011110.02664220211360.001200.998890.00111--0.02632820222370.001290.997690.00120--0.02673720233380.001400.996410.00129--0.02683420244390.001520.995020.00139--0.03185720255400.001650.993510.0015156208-0.03286220266410.001800.991870.0016456208-0.02685420277420.001980.990080.00179-300000.02633320288430.002170.988120.00196-300000.02532320299440.002390.985980.00215-300000.024832203010450.002640.983620.00236--0.024351根據(jù)表7可計算出該保險兩種生存給付年金的預(yù)期現(xiàn)值為：EPV==同樣在固定利率下的生存年金給付預(yù)期現(xiàn)值：EPV==對比二者的現(xiàn)值差異可發(fā)現(xiàn)，在具有年金給付利益的保險產(chǎn)品中，采取常數(shù)利息力下的精算現(xiàn)值會低于ARMA(1,1)隨機(jī)利息力情形下的生存年金給付精算現(xiàn)值。聯(lián)系前一部分死亡壽險兩種情形下的精算現(xiàn)值差異可發(fā)現(xiàn)，對于年金保險產(chǎn)品，A5.責(zé)任準(zhǔn)備金的提取經(jīng)計算，在第五個保單年度，即2025年底固定常數(shù)利息力下需要計提的未到期責(zé)任準(zhǔn)備金數(shù)額為168673.64元而在ARMA(1,1)利息力下應(yīng)提取的未到期責(zé)任準(zhǔn)備金數(shù)額為186573.84元。而且經(jīng)過對比二者的精算現(xiàn)值差異可發(fā)現(xiàn)，固定常數(shù)利息力下應(yīng)計提的責(zé)任準(zhǔn)備金額度要始終低于ARMA(1,1)利息力下應(yīng)計提的責(zé)任準(zhǔn)備金額度，這是因為ARMA(1,1)利息力充分考慮了利率的響因素，保險公司若采用ARMA(p,q)（二）多生命聯(lián)合壽險保單分析假設(shè)一個三口之家，男方35歲、女方32歲以及一個9歲的兒子，假設(shè)三人共同投保了上述《平安金瑞人生（2021）年金保險》產(chǎn)品，并且假設(shè)他們的死亡率分布均是100%《中國人身保險業(yè)經(jīng)驗生命表（2010-2013）》：CL3（2010-2013）、ＣL4（2010-2013），并且在保險期間沒有退?；蚱渌赡軐?dǎo)致保單失效或終止的情況，則根據(jù)該聯(lián)合保險各保單年度的死亡率如表10，并可進(jìn)一步根據(jù)最后生存、聯(lián)合生存，以及考慮死亡順序先后的死亡率分布分別如表11，表12，表13，表14，表15計算其對應(yīng)的保險死亡利益給付精算現(xiàn)值和兩類年金利益給付精算現(xiàn)值。表10聯(lián)合壽險死亡率時間kx+kyz+kqqqk20200353290.000850.0002770.0001771202113633100.0009190.0002970.0001870.99915202223734110.0009950.0003190.0002020.998232202333835120.0010780.0003460.000220.997239202443936130.001170.0003760.000240.996164202554037140.001270.0004110.0002610.994998202664138150.001380.000450.000280.993734202774239160.00150.0004940.0002980.992363202884340170.0016310.0005420.0003150.990874202994441180.0017740.0005950.0003310.9892582030104542190.0019290.0006530.0003460.987503表11聯(lián)合壽險死亡率時間kk|kk|kk|20200-1-1-202110.000850.9997230.0002770.9998230.000177202220.0009180.9994260820.0002969180.9996360330.000186967202330.0009930.9991072650.0003188170.9994341070.000201926202440.0010750.9987615740.0003456910.9992142310.000219876202550.0011660.998386040.0003755340.998974420.000239811202660.0012640.9979757030.0004103370.9987136870.000260732202770.0013710.9975266140.0004490890.9984340480.00027964202880.0014890.9970338360.0004927780.9981365140.000297533202990.0016160.9964934440.0005403920.9978221010.0003144132030100.0017550.995900530.0005929140.9974918220.000330279表12聯(lián)合壽險死亡率時間kkkk|k|k|202001202110.9986964350.9997230.0002770.0001768010.000177202220.9972957630.9994260820.0002969180.0001865290.000186967202330.9957844440.9991072650.0003188170.0002011890.000201926202440.9941480580.9987615740.0003456910.0002187610.000219876202550.9923733160.998386040.0003755340.0002382270.000239811202660.990447080.9979757030.0004103370.0002585740.000260732202770.9883583590.9975266140.0004490890.0002768180.00027964202880.9860943610.9970338360.0004927780.0002939440.000297533202990.9836425050.9964934440.0005403920.0003099450.0003144132030100.9809884790.995900530.0005929140.0003248150.000330279表13聯(lián)合壽險死亡率時間kkkkk|k|20200111--202110.9991503860.9997232840.9998231990.0000000000420.000000000042202220.9990826420.9997037150.9998134710.0000000001920.000000000191202330.9990082080.9996822430.9997988110.0000000005020.000000000498202440.9989271520.9996559060.9997812390.0000000010460.000000001042202550.9988375630.9996267270.9997617730.0000000019290.000000001926202660.9987405330.9995927590.9997414260.0000000032900.000000003307202770.9986341810.9995550390.9997231820.0000000053120.000000005371202880.9985186360.9995126290.9997060560.0000000082280.000000008380202990.9983930580.9994665770.9996900550.0000000123420.0000000126422030100.9982566340.9994159640.9996751850.0000000180450.000000018584表14聯(lián)合壽險死亡率時間kk|kkk20200-111202110.0000002354080.9999999999580.9999999999580.999999764592202220.0000010144430.9999999998080.9999999998090.999998985557202330.0000024638550.9999999994980.9999999995020.999997536145202440.0000047474660.9999999989540.9999999989580.999995252534202550.0000080647390.9999999980710.9999999980740.999991935261202660.0000126672030.9999999967100.9999999966930.999987332797202770.0000188596550.9999999946880.9999999946290.999981140345202880.0000270174060.9999999917720.9999999916200.999972982594202990.0000375841870.9999999876580.9999999873580.9999624158132030100.0000511009430.9999999819550.9999999814160.999948899057表15死亡或滿期保險利益給付及生存年金時間kDBFTBSSBSBδ202000.02664220211936800.026328202221873600.026737202332810400.026834202442810400.03185720255281040-56208-0.03286220266281040-56208-0.02685420277281040--300000.02633320288281040--300000.02532320299281040--300000.024832203010281040100000--0.024351在表10，表11，表12，表13，表14的死亡率分布及表15的死亡利益給付、期滿生存給付和兩類年金給付額，可得到不同情形下的保險利益精算現(xiàn)值和年金給付精算現(xiàn)值。1.聯(lián)合生存狀態(tài)：對于聯(lián)合生存狀態(tài)下的10年期兩全保險死亡利益給付與期滿生存給付精算現(xiàn)值及10年定期兩類年金給付精算現(xiàn)值分別為：EP=1429.13+6634.88=8064.01（元）EP2.最后生存狀態(tài)：對于最后生存狀態(tài)下的10年期兩全保險死亡利益給付與期滿生存給付精算現(xiàn)值及10年定期兩類年金給付精算現(xiàn)值分別為：EP=18904.87+6805.748=25710.62（元）EP由于Txyz=minT(x),T(yEP若死亡利益給付額度與期滿生存利益給付額度減少m，則相對應(yīng)的精算現(xiàn)值之差減少17646.60m,同樣，在相同年金利益給付額度下:EP同理，若年金利益給付增加m則年金利益給付現(xiàn)值之差增加552.72m。又依照保費厘定的公式可知,保費的精算現(xiàn)值會等于未來死亡利益給付額度與期滿生存給付額度精算現(xiàn)值、年金利益給付精算現(xiàn)值二者之和。因此對于保險公司而言，針對相同的年金利益給付額度和死亡利益給付額度的保單，若小幅度減少死亡給付額度并且大幅度增加年金給付額度，則收取的凈保費之差可以被縮小。所以，保險公司可推出雖然滿期生存或死亡利益給付額度低、但具有較高額度年金保險利益給付的聯(lián)合生存保險保單來增添公司的產(chǎn)品多樣性，還可與其它保險公司的同年金給付額度同死亡利益保額但以最后生存為給付條件的保險保單產(chǎn)品競爭。分析死亡順序的先后且以最先死亡為給付條件情況下給付的期滿生存給付與死亡利益給付精算現(xiàn)值及兩類年金給付精算現(xiàn)值。1.x最先死亡，即T(x)EP=871.55+6702.34=7573.89(元)EP2.y最先死亡，即T(y)EP=341.99+6765.01=7107.00（元）EP3.z最先死亡，即T(z)EP=214.69+6779.16=6993.85（元）EP通常我們有x≥y≥z,在同一死亡年齡的情況下，顯然會有T(x)≤Ty≤EPEP所以，對于保險公司而言，針對同樣的年金利益給付額度和滿期生存或死亡利益給付額度保單，若減少滿期生存或死亡利益給付額度，增加年金利益給付額度，則收取的凈保費之差可被縮小。因此，保險公司可通過開發(fā)出針對以組合中年齡更大的被保險人第一個死亡為利益給付條件的保險給付低額期滿生存或死亡利益給付、高額年金利益給付的保險保單來豐富公司的產(chǎn)品類型，而且還能夠與其它公司以相對年齡更地的被保險人第一個死亡為利益給付條件的保險產(chǎn)品競爭。分析死亡順序的先后且以最后死亡為利益給付條件情況下的死亡利益給付與精算現(xiàn)值及兩類年金給付精算現(xiàn)值。1.x最后死亡，即T(x)EP=0.005+6805.795=6805.80（元）EP2.y最后死亡，即T(y)EP=0.005+6805.795=6805.80（元）EP3.z最后死亡，即T(z)EP=0.005+6805.749=6805.75（元）EP對于以順序最后死亡為利益給付條件的保險產(chǎn)品，有現(xiàn)實年齡x≥y≥z，在死亡年齡相同的情形下，顯然有T(x)≤Ty≤T四、結(jié)論與建議（一）研究結(jié)論本文不僅考慮未來社會經(jīng)濟(jì)對利率本身造成的波動因素，而且考慮過去數(shù)年利率對未來利率的影響，對利率建立時間序列模型，并得出如下的結(jié)論：１.選取2010年3月到2021年3月每季度末的一年期中國國債收益率數(shù)據(jù)作為利率基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，對其運用ARMA(p,q)隨機(jī)利率模型進(jìn)行參數(shù)估計并檢驗，得出收益率數(shù)據(jù)符合２.相較于固定常數(shù)利息力，ARMA(p,q)隨機(jī)利率模型下的利息力會估計出更高的凈保費，這是因為ARMA(p,q)利息力充分考慮了利率的波動對保費造成的風(fēng)險，且利息力波動越大，對壽險給付保單尤其是期滿給付額度較高的保單，會造成更大的風(fēng)險，通過運用ARMA(p３．相較于固定常數(shù)利息力，ARMA(p,q)模型下的利息力會在任一保單年度估計出更高的應(yīng)提取的未到期責(zé)任準(zhǔn)備金，因此利率的波動會對責(zé)任準(zhǔn)備金評估計提造成較大的風(fēng)險，且利息力波動越大，對年金給付保險產(chǎn)品或壽險給付保險產(chǎn)品的責(zé)任準(zhǔn)備金估計產(chǎn)生更大的風(fēng)險，保險公司可采用ARMA(p,q)隨機(jī)利率模型以更加合理審慎的提取責(zé)任準(zhǔn)備金，降低準(zhǔn)備金雖然本文對于隨機(jī)利率下的壽險精算模型進(jìn)行改進(jìn)增強(qiáng)其實用性，并做了進(jìn)一步研究，但仍然存在以下幾點不足：1.只考慮到隨機(jī)利率波動性對于傳統(tǒng)壽險產(chǎn)品造成的影響，對于新型保險產(chǎn)品如萬能險、投連險的影響還有待進(jìn)一步研究分析。2.本文對于壽險中人的死亡率因素主要是使用了現(xiàn)有的生命表，生命表在此就代表了隨機(jī)死亡率但是生命表的構(gòu)造并不代表了所有的人群的死亡特征，所以可以從人口模型上考慮這一因素從理論上進(jìn)一步豐富隨機(jī)死亡率這一方面的研究。3.聯(lián)合壽險中的實例分析采用各項假設(shè)是基于個人壽險產(chǎn)品，而聯(lián)合保單與個人壽險保單有較大的差異，這對于結(jié)論可能會造成與現(xiàn)實有一定的偏差。建議從保險公司經(jīng)營管理角度來說，公司的盈利能力會受到未來現(xiàn)金流的影響，因此有必要對與貼現(xiàn)率直接掛鉤的利率進(jìn)行合理的估計。通過上述的分析與研究，對保險公司經(jīng)營提出以下幾點建議。1.由實例可以看出，固定利率下與隨機(jī)利率下的精算現(xiàn)值具有較大的差異，故建議保險公司在進(jìn)行費率厘定與提取未到期責(zé)任準(zhǔn)備金時，應(yīng)更多的假定隨機(jī)利率，采取可靠的隨機(jī)利率模型，以避免利率波動帶來的風(fēng)險，實現(xiàn)穩(wěn)健經(jīng)營。2.保險公司可推出雖然滿期生存或死亡利益給付額度低、但具有較高額度年金保險利益給付的聯(lián)合生存保險保單來增添公司的產(chǎn)品多樣性，還可與其它保險公司的同年金給付額度同死亡利益保額但以最后生存為給付條件的保險保單產(chǎn)品競爭。3.可通過開發(fā)出針對以組合中年齡更大的被保險人第一個死亡為利益給付條件的保險給付低額期滿生存或死亡利益給付、高額年金利益給付的保險保單來豐富公司的產(chǎn)品類型，而且還能夠與其它