2024-2025北京市西城區(qū)魯迅中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025北京市西城區(qū)魯迅中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x=2k,k∈Z}，B={x|x2≤5}，那么A.{0,2,4} B.{?2,0,2} C.{0,2} D.{?2,2}2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?1,3)，則z的共軛復(fù)數(shù)zA.1+3i B.1?3i3.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.f(x)=?lnx B.f(x)=12x 4.已知向量a,b滿足a=2,1,A.?5 B.0 C.5 D.75.2x?1x5的展開式中A.?80 B.?40 C.40 D.806.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=15，則aA.94 B.3 C.9 D.7.已知函數(shù)fx=x3+x，則“x1A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.函數(shù)f(x)=cosx?cosA.奇函數(shù)，且最大值為2 B.偶函數(shù)，且最大值為2

C.奇函數(shù)，且最大值為98 D.偶函數(shù)，且最大值為9.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2–m1=52lgE1EA.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10.在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)，在坐標(biāo)平面內(nèi)跳躍行進(jìn)，每次跳躍的長度都是5且落在整點(diǎn)處．則點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)Q(33,33)所跳躍次數(shù)的最小值是(

)A.9 B.10 C.11 D.12二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)y=2?x+log12.邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)AB=a，AD=b，AC=c，則13.設(shè)等比數(shù)列an的公比為qq>0，其前n和為Sn，且a1=12,a314.如圖，某地一天從6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asinωx+φ+b，其中A>0，且函數(shù)在x=6與x=14時(shí)分別取得最小值和最大值.這段時(shí)間的最大溫差為

；φ的一個(gè)取值為

．

15.已知函數(shù)fx=①當(dāng)a=0時(shí)，fx的最小值為0②當(dāng)a≤13時(shí)，③fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為ga，則函數(shù)ga④當(dāng)a≥1時(shí)，對任意x1其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.在?ABC中，3a=2b(1)求∠B；(2)若b=7,c=3，求17.已知函數(shù)fx=x2(1)求a的值，并求函數(shù)fx(2)求fx在區(qū)間?2,0上的最大值和最小值．18.已知函數(shù)fx=2(1)求函數(shù)fx(2)若x∈?π6(3)若函數(shù)gx=fx?1在?19.某景區(qū)有一人工湖，湖面有A,B兩點(diǎn)，湖邊架有直線型棧道CD，長為50m，如圖所示．現(xiàn)要測是A,B兩點(diǎn)之間的距離，工作人員分別在C,D兩點(diǎn)進(jìn)行測量，在C點(diǎn)測得∠ACD=45°，∠BCD=30°；在D點(diǎn)測得

(1)求A,B兩點(diǎn)之間的距離；(2)判斷直線CD與直線AB是否垂直，并說明理由．20.已知函數(shù)f(x)=mxlnx?(1)當(dāng)m=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(2)若f(x)≤0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立，求m的取值范圍；(3)試比較ln4與221.已知An:a1,a2,?,ann≥4為有窮數(shù)列．若對任意的i∈0,1,?,n?1(1)判斷數(shù)列A4:1,0.1,?1.2,?0.5,A5:1,2,2.5,1.5,2是否具有性質(zhì)(2)若A4具有性質(zhì)P，證明：(3)給定正整數(shù)n，對所有具有性質(zhì)P的數(shù)列An，求Tn中元素個(gè)數(shù)的最小值．參考答案1.B

2.D

3.C

4.C

5.D

6.C

7.C

8.D

9.A

10.B

11.(?1,2]

12.2

13.8；3114.203π4

(答案不唯一

15.①③

16.(1)因?yàn)?3因?yàn)閟inA>0，所以sin且B∈0,π，所以B=π3(2)由(1)可知B=π3或2π3，且b=即B=π3，由余弦定理可得，即7=a2+9?2a×3×12當(dāng)a=1時(shí)，S?ABC當(dāng)a=2時(shí)，S?ABC所以?ABC的面積為332

17.(1)f′x由題意得f′2=4?2a+4?a+1fx=xf′x令f’(x)>0得x>2或x<?1，令故fx單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,?1,2,+∞此時(shí)函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值，滿足題意；(2)由(1)知，故fx在?2,?1上單調(diào)遞增，在?1,0故fx在x=?1處取得極大值，也是最大值，f又f0=1,f?2故fx在區(qū)間?2,0上的最小值為1綜上，fx在區(qū)間?2,0上的最大值為5e?1

18.(1)f=fx的最小正周期T=令?π2+2kπ≤2x+解得?π3故單調(diào)遞增區(qū)為?π3+kπ,(2)x∈?π6故sin2x+π6故函數(shù)值域?yàn)?,3；(3)函數(shù)gx即2sin2x+π故gx=fx等價(jià)于sin2x+π6x∈?π6要想sin2x+π6則π≤2m+π6<2π故m的取值范圍為5π12

19.解：(1)依題意，

∠ACD=45°

，

∠BCD=30°

，所以

∠ADC=360°∠CBD=180°?120°?在三角形

ACD

中，由正弦定理得

ADsin45在三角形

ABD

中，由余弦定理得

AB=5(2)在三角形

BCD

中，由余弦定理得

BC=5sin105°在三角形

ACD

中，由正弦定理得

ACsin105AC=256直線

CD

與直線

AB

不垂直，理由如下：CD=50×50=2500?12503所以直線

CD

與直線

AB

不垂直．

20.解：(1)當(dāng)

m=1

時(shí)，

f(x)=xln?x?∴f′x=所以曲線

fx

在點(diǎn)

1,f1

處切線的斜率

k=f′(1)=?1

，又

f所以曲線

fx

在點(diǎn)

1,f1

處切線的方程為

y=?x?1

即

(2)

fx≤0

在區(qū)間

1,+∞

上恒成立，即

mxlnx?x2即

mlnx?x+1x≤0

令

gx=mlnx?x+1xg′(x)=mx?1?1x2當(dāng)

m≤0

時(shí)，有

mx≤0

，則

g′x<0∴gx

在

1,+∞

∴gx≤g當(dāng)

m>0

時(shí)，令

?(x)=?x2其對應(yīng)方程

?x2+mx?1=0

的判別式

若

Δ≤0

即

0<m≤2

時(shí)，有

?x≤0

，即

g′∴gx

在

1,+∞

∴gx≤g若

Δ>0

即

m>2

時(shí)，

?x=?x2+mx?1

，對稱軸

x=m方程

?x2+mx?1=0

的大于1的根為

∴x∈1,x0

，

?x>0

x∈x0,+∞

，

?x<0

所以函數(shù)

gx

在

1,x0

上單調(diào)遞增，

綜上，

fx≤0

在區(qū)間

1,+∞

上恒成立，實(shí)數(shù)

m

的取值范圍為

?∞,2(3)由(2)知，當(dāng)

m=2

時(shí)，

fx≤0

，在區(qū)間

1,+∞即

2xlnx≤x2?1

取

x=2

代入上式得

22ln

21.(1)解：由題知A4即a因?yàn)閍3所以A4不具有性質(zhì)P由于A5即a因?yàn)閍a故A5具有性質(zhì)P因?yàn)閍a故T(2)“T4≠?”等價(jià)于“證明1,3,假設(shè)1,3,2,4兩個(gè)元素均不在則有a不妨設(shè)a1若a2則由a3可得?1≤a與a3故a2同理a3從而a1所以