2024-2025學年北京市海淀區(qū)高三上學期10月月考數(shù)學試題及答案

數(shù)學試題2024.10.06本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）M2mm33M1.設集合，若，則實數(shù)m=（C.0或）11A.0B.D.0或1Sa}S，a52.記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則nn451n2n5nn10Sn2n28nSn2n2A.B.C.D.n23.已知a1.5,b1.5c1.50.3，則（）A.abcB.D.bacbcaC.acb4.設1iz21i，則z（）2A.B.1C.2D.225.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間)上的增函數(shù)的是（）1xyyA.yB.x23xxyxC.D.2a，ba,cb,c則實數(shù)t，catb，若6.已知向量（）655D.6A.B.C.fxxaxb7.函數(shù)，則（）πA.若ab0，則為奇函數(shù)B.若ab為偶函數(shù)fx，則fx2π，則為偶函數(shù)fxD.若abπ，則為奇函數(shù)fxC.若ba2x,x0fx8.已知函數(shù)x1有fx2mfx恒成立，則實數(shù)的取值0m，若對任意的x,x0范圍是（）A.,,,2D.,2B.C.9.已知a、b、e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足34eb30，則ab的最小值是b2D.23A31B.31C.2x1k，若存在區(qū)間[a,b]，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b][ab上的值域為10.已知函數(shù)f(x)則實數(shù)k的取值范圍為（）1,1,0()(0]A.B.C.D.44第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.π2111.已知角α的終邊與單位圓交于點P,y，則2sin__________.的前項和，若1，則S6．SanSnn12.記為數(shù)列_____________nnxR,ax22xa0為假命題的a的取值范圍是______13.若命題“對任意14.若函數(shù)fxAxsinxA0的最大值為2，則的一個對稱中心為fx________，A_______yfx，若在其定義域內存在，使得xxfx成立，則稱函數(shù)具有性質1fxP.015.對于函數(shù)00（1）下列函數(shù)中具有性質P的有___________.2x22fx①②③fxxx0,2π1fxx?∈(0,+∞)）x④fxx1（2）若函數(shù)fxaxa具有性質P，則實數(shù)的取值范圍是___________.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在VABC中，sinA2sinB，b2．再從條件①，條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使VABC存在且唯一確定，并解決下面的問題：（1）求角B的大?。唬?）求VABC的面積．條件①：c4；條件②：bac2ac；條件③：aBbsinA．222SnSa202bb，3617.已知是等差數(shù)列{??}的前項和，，數(shù)列{??}是公比大于1的等比數(shù)列，且n5bb12.42（1）求數(shù)列{?}和{?}的通項公式；??Snncncn，求使取得最大值時的值.n（2）設π32f(x)6cosxsin(x)18.已知函數(shù)．6f(x)（1）求的最小正周期和單調增區(qū)間；π5πyf(x)a在x[,]存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．（2）若函數(shù)1212ax2x119.1.已知函數(shù)fx，a0.ex（1）討論函數(shù)的單調性；fx在區(qū)間上有且僅有一個零點.fx時，求證：函數(shù)a00,1（2）當xfxesinx2x20.已知函數(shù)（1）求曲線.yfx在點f(0))處的切線方程；（2）求在區(qū)間[上的最大值；fxx對xR恒成立，寫出fxxaeaa的最大整數(shù)值，并說明理由（3）設實數(shù)使得.TSi,jSi,jaaaj,1ij,i,jN*21.已知數(shù)列{??}記集合ii1（1）對于數(shù)列{??}：2,3，列出集合T的所有元素；a2n是否存在i,jNn*Si,j1024的i,j；若不存（2）若，使得？若存在，求出一組符合條件在，說明理由；a2n2把集合TnB:b,b,,b,.12m（3）若中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為若m2020m，求的最大值數(shù)學試題2024.10.06本試卷共4頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）M2mm33M1.設集合，若，則實數(shù)m=（C.0或）11A.0B.D.0或1【答案】C【解析】2m13和m33m并檢驗集合的互異性，可得到答案.M2mm，若3M【詳解】設集合3M，2m13m33，，或當當2m13時，m1，此時M；m33時，m0，此時M；所以m1或0.故選：CSa}S，a52.記為等差數(shù)列的前n項和．已知，則nn451n2n5nn10Sn2n28nSn22nA.B.C.D.n2【答案】A【解析】55【分析】等差數(shù)列通項公式與前n項和公式．本題還可用排除，對B，，4(72)S4100SaSS25850105C2BC，4554215SaSS522505D，，排除D，故選A．455422dS4a4303a411a2n5，∴，故選nA．【詳解】由題知，2，解得d2aa4d551【點睛】本題主要考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式，滲透方程思想與數(shù)學計算等素養(yǎng)．利用等差數(shù)列通項公式與前n項公式即可列出關于首項與公差的方程，解出首項與公差，在適當計算即可做了判斷．3.已知a1.5,bc1.50.3，則（）1.5A.abcB.D.bacbcaC.acb【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指對數(shù)的性質，分別求三個數(shù)的范圍，再比較大小.a1.50,1b1.50.30，1，，【詳解】由條件可知，所以bac.故選：B4.設1iz21i，則z（）2A.B.1C.2D.22【答案】D【解析】21i【分析】利用復數(shù)除法法則計算出z，求出模長.1i21i221i【詳解】z故選：D1i2z2.，故1i1i25.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是區(qū)間)上的增函數(shù)的是（）1xyyA.yB.D.x23xxyxC2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)和指對函數(shù)的奇偶性和單調性，逐一檢驗選項，得出答案．)上的增函數(shù)，錯誤；x是非奇非偶函數(shù)，是區(qū)間【詳解】選項A，y1y)上的減函數(shù)，錯誤；是偶函數(shù)，是區(qū)間選項B，選項C，x2yx)上的增函數(shù)，正確；是偶函數(shù)，是區(qū)間3xx)上的增函數(shù)，錯誤；是奇函數(shù)，是區(qū)間選項D，y2故選：Ca,cb,c則實數(shù)ta，，catb，若b6.已知向量（）6556A.B.C.D.【答案】C【解析】a,cb,c【分析】由向量坐標的運算求出向量c的坐標，再根據(jù)，利用向量夾角余弦公式列方程，求t出實數(shù)的值．a(chǎn)，catb3t,4，b，則【詳解】由，a,cb,ccosa,ccosb,c又則，則acacbcbc，即a，acbcb9t163t，解得t5，42132故選：C.fxxaxb7.函數(shù)，則（）πA.若ab0，則為奇函數(shù)B.若ab為偶函數(shù)fx，則fx2π，則為偶函數(shù)fxD.若abπ，則為奇函數(shù)fxC.若ba2【答案】B【解析】的解析式，對AD用特值說明不是奇函數(shù)，對BC用奇fxfxa,b【分析】根據(jù)選項中的關系，代入偶性的定義驗證即可.【詳解】的定義域為fxR，對A：若ab0，fxxasinxa，若為奇函數(shù)，則，而fxf00f0asina0不恒成立，故fx不是奇函數(shù)；ππab，fxxasinxaxaxa，對B：若22x，故為偶函數(shù)，B正確；f(x)fxfxaxaxaxaππ，，對C：若bafxxasinxa2xa22x2xa，故不是偶函數(shù)，故C錯誤；f(x)fxf對D：若abπ，fxxbπsinxbxbsinxb，若為奇函數(shù)，則，而cosbsinb0不恒成立，故fx不是奇函數(shù)；fxf00f0故選：Bx,x0fx8.已知函數(shù)x1有fx2mfx恒成立，則實數(shù)的取值0m，若對任意的x,x0范圍是（）A.,,,2D.,2B.C.【答案】A【解析】fxm的取值范圍.【詳解】當x0時，x0，fxx，ffxxx，當x0時，x0，fxx，fxxfx，當x0時，f00，所以對任意的xR，fxfx，函數(shù)為奇函數(shù)，fxfx又當x0時，x為單調遞減函數(shù)，所以函數(shù)在上為單調遞減函數(shù)，fx,所以不等式fx2mfx0，可化為fx2mfxx2mxxm，所以，所以xm恒成立，由已知對任意的x1有所以1mm1，，即.,1m故的取值范圍是故選：A.9.已知a、b、e是平面向量，e是單位向量．若非零向量a與e的夾角為，向量b滿足34eb30，則ab的最小值是b2A.31B.31C.2D.23【答案】A【解析】a【分析】先確定向量、b所表示的點的軌跡，一個為直線，一個為圓，再根據(jù)直線與圓的位置關系求最小值.【詳解】設ax,y,e1,0,b,n，rrrrrrππ12a,eaeae,xx2yy3x，2則由得33rbrr2得m2n24m3m24eb302n2由232ab的最小值為圓心0到直線3x31.選A.因此，y的距離=3減去半徑1，為【點睛】以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、曲線方程等相結合的一類綜合問題.通過向量的坐標運算，將問題轉化為解方程、解不等式、求函數(shù)值域或直線與曲線的位置關系，是解決這類問題的一般方法.x1k，若存在區(qū)間[a,b]，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b][ab上的值域為10.已知函數(shù)f(x)則實數(shù)k的取值范圍為（）1,14()(0],0D.A.B.C.4【答案】D【解析】faa1a1a1k0ab1，故可知是【分析】根據(jù)函數(shù)的單調性可知，，即得fbb1b1b1k0方程x2xk0的兩個不同非負實根，由根與系數(shù)的關系即可求出．faa1【詳解】根據(jù)函數(shù)的單調性可知，，fbb1a1a1k0即可得到，b1b1k0即可知ab1是方程x2xk014k0所以解得，a1b1k01k0．4故選：D．【點睛】關鍵點睛：利用函數(shù)的單調性以及一元二次方程的根與系數(shù)的關系是解決本題的關鍵.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.π21211.已知角α的終邊與單位圓交于點P,y，則sin__________.1【答案】##0.52【解析】【分析】由三角函數(shù)定義得到1cos，再由誘導公式求出答案.21π212cos，由誘導公式得sin【詳解】由三角函數(shù)定義得.21故答案為：2的前項和，若Sna1，則S6San12.記為數(shù)列_____________．nnn【答案】63【解析】Sa1S2n11，兩式相減，整理得到n12a【分析】首先根據(jù)題中所給的，類比著寫出，nnn1n從而確定出數(shù)列n11,Sa11an1S公式求得的值.6Sa1S，可得n12n11，a2a，即n1【詳解】根據(jù)nna2n12a兩式相減得，n1nnn1時，112a1a1，解得，1當1所以數(shù)列是以-1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，an2)12663，故答案是63.所以S6點睛：該題考查的是有關數(shù)列的求和問題，在求解的過程中，需要先利用題中的條件，類比著往后寫一個式子，之后兩式相減，得到相鄰兩項之間的關系，從而確定出該數(shù)列是等比數(shù)列，之后令n1，求得數(shù)列的首項，最后應用等比數(shù)列的求和公式求解即可，只要明確對既有項又有和的式子的變形方向即可得結果.xR,ax2xa0為假命題的a的取值范圍是______213.若命題“對任意【答案】a1【解析】xR,ax2xa0為真命題，分a0，a0和a0三種情2【分析】寫出全稱量詞命題的否定，況，得到不等式，求出答案.xR,ax2xa0為真命題，2【詳解】由題意得當a0時，不等式為2x0，有解，滿足要求，a0a0a0ax2xa02當若時，若，此時必有解，滿足要求，44a020a1，，則，解得綜上，a的取值范圍為a1.故答案為：a114.若函數(shù)fxAxsinxA0的最大值為2，則________，的一個對稱中心為fxA_______π3,0【答案】【解析】①.3②.（答案不唯一）A.fx1fAxsinxA21x，其中tan【詳解】由，A又函數(shù)的最大值為2，則Afx212，3π又A0，則Atan，不妨取，3，π36故fx2x，6πππ則的對稱中心滿足π，kZfxxxπkZ，解得，，623π3即的對稱中心為π,0kZ，fx，π3則的一個對稱中心可為：fx,0，π3,0故答案為：3，（答案不唯一）yfx，若在其定義域內存在，使得xxfx0成立，則稱函數(shù)具有性質1fx15.對于函數(shù)P.00（1）下列函數(shù)中具有性質P的有___________.2x22fx①②③fxxx0,2π1fxx?∈(0,+∞)）x④fxx1（2）若函數(shù)fxaxa具有性質P，則實數(shù)的取值范圍是___________.0ae．【答案】【解析】①.①②④②.或1112x+22x+1）令，由0，可判斷；由sinx=有解，可判斷是否具有性質P；令xxx11yx1,y，兩圖象在有交點可判斷；=，此方程無解，由此可判斷；由xx1（2）問題轉化為方程xx有根，令，求導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，得所令函數(shù)的單gxxxaa調性及最值，由此可求得實數(shù)的取值范圍．1x0fx1）在時，有解，即函數(shù)具有性質P，x12x+22880令∵，即2x22x10，2xfx2x22，故方程有一個非0實根，故具有性質P；1的圖象與有交點，fxsinxx[02]yx1故sinx=有解，故fxsinxx[0]具有性質P；x111fxx+x令令=，此方程無解，故?∈(0,+∞)）不具有性質P；xxx111x1yx1,yx1，，則由兩圖象在有交點，所以有根，所以xxx具有性質；fxx1P綜上所述，具有性質P的函數(shù)有：①②④；1（2）fxaxxx，方程a0具有性質P，顯然有根，a1令gxxxg'xx，令g'xx0x，解得，則，e11e1當時，x0，所以gx在上單調遞減，當時，'，所以在gx>0gx1xg'，x>ee1e上單調遞增，1111所以gxge，eee111所以gxxx的值域[，+∞，eae0ae．解之可得：或0ae．故答案為：①②④；或【點睛】方法點評：解決本題的關鍵是審清題意，把方程的解轉化為兩個圖象有交點，本題考查的是方程的根，新定義，函數(shù)的值域，是方程和函數(shù)的綜合應用，難度比較大．三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在VABC中，sinA2sinB，b2．再從條件①，條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使VABC存在且唯一確定，并解決下面的問題：（1）求角B的大小；（2）求VABC的面積．條件①：c4；條件②：bacaBbsinA．2ac；條件③：222B【答案】（1）選②或③，；4（2）VABC的面積為1.【解析】1）選①，利用三邊關系可判斷VABC不存在；選②：利用余弦定理可求得角B的值；選③：利用正弦定理可求得tanB的值，結合角B的取值范圍可求得角B的值；cVABC（2）利用余弦定理可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得【小問1詳解】的面積．解：因為sinA2sinB，b2，則ab2.選①：因為c4，則abc，則VABC不存在；選②：因為b2a2c22ac，則a2c2b2ac，2a2c2ac2b222由余弦定理可得B，BB，則；4aBbsinA，則sinABsinAsinB，A、B0,，則sinA0，sinBB0，故tanB1，從而B.4【小問2詳解】Ba2ac2acB，解：因為，，b2，由余弦定理可得b22241212222c20，解得c2，因此，acsinB221.即c22SnSa202bb，3617.已知是等差數(shù)列{??}的前項和，，數(shù)列{??}是公比大于1的等比數(shù)列，且n5bb12.42（1）求數(shù)列{?}和{?}的通項公式；??Snncncn，求使取得最大值時的值.n（2）設a2n2b2n【答案】（1），nn（2）或43【解析】n1{??}數(shù)列{?}的首項與公比，即可得{?}的通項公式；??（2）先求出的通項，再利用作差法判斷數(shù)列的單調性，根據(jù)單調性即可得出答案.cn【小問1詳解】設等差數(shù)列{??}的公差為d，54S5ad2051ad212則，解得，aa10d20111a2n2n所以，qq1設等比數(shù)列{??}的公比為，2b21q2bq21q51，解得則，bq31q121b2nn所以；【小問2詳解】2n2nnn1，由（1）得Sn2Snnn1ncn則，2nnn1nn1nn2n1nn1,2，2n12n2n1cn1cccc當時，，n123當n3時，n4cccc，4n1n3ccccn45c，n當時，n1所以當n3或4時，取得最大值.cnπ32f(x)6cosxsin(x)18.已知函數(shù)．6f(x)（1）求的最小正周期和單調增區(qū)間；π5πyf(x)a在x[,]存在零點，求實數(shù)a的取值范圍．（2）若函數(shù)1212ππ【答案】（1），ππ,πkZ630,3（2）【解析】π6fx3sin2x1）化簡函數(shù)，結合三角函數(shù)的圖象與性質，即可求解；π63aπ5π1212πsin2xx,2x（2在6運算求解.【小問1詳解】π36231232f(x)6xsinx6xsinxx對于函數(shù)232312π632331cos2x2sin2x3fx3sinxcosx3cosx3sin2xcos2x3sin2x，2222πf(x)的最小正周期為Tπ，所以函數(shù)2πππππ-+2π￡2x-￡+2,k?Z，則-+π￡x￡+,k?Z，令26263ππ∴函數(shù).f(x)π,πkZ63【小問2詳解】π6sin2xπ63aa0令∵yf(x)a0，即3sin2x，則，π5π1212π63aπ5πyf(x)a在x,sin2x在x,存在零點，則方程上有解，1212π5π1212π2ππsin2x，x,2x若∴時，則，可得636a01，得0a330,3．a(chǎn)故實數(shù)的取值范圍是axx1219.1.已知函數(shù)fx，a0.ex（1）討論函數(shù)的單調性；在區(qū)間上有且僅有一個零點.fxa0fx時，求證：函數(shù)0,1（2）當【答案】（1）當a0時，的單調遞減區(qū)間為fx，單調遞增區(qū)間為；,21a1fx時，的單調遞減區(qū)間為,，，單調遞增區(qū)間為,2.a0當a（2）證明過程見解析【解析】a1）求出導數(shù)，然后通過對2）結合第一問的結果，判斷出函數(shù)在上的單調性，然后結合端點處的函數(shù)值的符合證明0,1【小問1詳解】ax2ax2axx22fx，exexx2當a0時，fx，由fx0得：x2，ex由，得：x2，故此時fx的單調遞減區(qū)間為,2，單調遞增區(qū)間為fx0gxaxx201a0得：?=?<0或x2當時，令?1由gx0x2fx0得：，此時a1由gx0xfx0得：或x2，此時a11，單調遞增區(qū)間為,2故此時的單調遞減區(qū)間為,fx，aa綜上：當a0時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；fx,21a1a的單調遞減區(qū)間為，，單調遞增區(qū)間為a0fx,,2.當時，【小問2詳解】由（1）可知，當1a10,1的單調遞增區(qū)間為，而，所以在fx,20,1a0fx,2時，aaf010f1上單調遞增，又0，e所以f0f0在區(qū)間上有且僅有一個零點fx0,1xfxesinx2x20.已知函數(shù)（1）求曲線.yfx在點f(0))處的切線方程；（2）求在區(qū)間[上的最大值；fxx對xR恒成立，寫出的最大整數(shù)值，并說明理由afxxaea（3）設實數(shù)使得.yx【答案】（1）sin1efx2（2）（3）2，理由見解析【解析】1）求出函數(shù)在x0處的導數(shù)，即切線斜率，求出f(0)，即可得出切線方程；（2）求出函數(shù)在區(qū)間[上的單調性，求出最值即可；xxasinxxRxsinx（3）將不等式等價轉化為在上恒成立.構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函exex數(shù)的單調性和最小值，進而得證.【小問1詳解】fxesinx2x，因為x所以fxexsinxx2，則1，又f(0)0，f(0)yfx在點f(0))yx所以曲線處的切線方程為.【小問2詳解】令fxxsinxx2，gxe則x，當x[時，在gx2exg(x)0gx，[上單調遞增.g(0)10g1esin1cos120，因為，0g(0)0.所以，使得x(x)f(x)0fx，所以當時，單調遞減；f(x)0fx，單調遞增，0x(0當時，sin1e又fesin12e21，1，f12sin1efxf12所以.【小問3詳解】a滿足條件的的最大整數(shù)值為2.理由如下：x不等式fxxaexasinx恒成立等價于恒成立.exx令xsinx，exx當x0時，0，所以(x)1恒成立.exxx1h(x)0hx，，當x0時，令h(x)與h(x)hx，exex的情況如下：x1()01h(x)h(x)e1ex，當趨近正無窮大時，h(x)0，且hxh1h(x)無限趨近于0，所以1eh(x),0所以因為的值域為，sinx[(x)1且大于2.，所以的最小