三角函數解析版公開課教學設計課件資料

專題11三角函數

【考綱要求】

1.了解任意角和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化，理解任意角三角函數的定義.

sinx

22=tanx

2.理解同角三角函數的基本關系式：sinx+cosx=1,cosx-

3.能利用單位圓中的三角函數線推導出江a,7iia的正弦、余弦、正切的誘導公式.

4.能利用兩角差的余弦公式推導出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式.

5.能畫出、=3足右y=cosx9y=tanx的圖象，了解三角函數的周期性.

6.了解函數y=4sin(s+8)的物理意義；能畫出y=Asin(s+9)的圖象.

一、任意角和弧度制及任意角的三角函數

【思維導圖】

角的概念角可以看成平面內一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形。--------------

名你定義圖示

正角一條射線繞其玳點按逆■+針方向旋轉電成的角

負角一條射線統(tǒng)其玳&核?”針方向成州冊成的角

*角一條觸或沒有做任何被柱冊成的角O*A(B>

角的分類7-------7-----------------------------------------------------------------------

——-~~Gf終邊位置八象限角和軸線角

--------------

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合

S={BIB=a+k?360°,kez),即任一與角a終邊相同

的角，都可以表示成角a與整數個周角的和

終邊相同的角。

定義用度作為單位來度量角的單位制

角度制

1度的角普于周角的」一

1度的角

360

定義以孤度作為單位來度量角的單位制

孤度制

1孤度的角長度等于半徑長的圄M所對的劇心角

度量角的兩種制度e

設扇影的半徑為盜長為1,a(Ka<2n)為其因心角,則

①<長公式，l^aR.②扇彩面積公式，$=拙=料：.

弧長與扇形面積公式€>

角度化度訓度柄度

360°=2>rrad2nrad=360°

180°=nradjrrad=1800

1ed=R%730?

10=—radM).O1745rad

ISO

蝴x忐=砌數僵1=蟋

角度與弧度的互化e

一全正，二正弦，三正切，四余弦

第一象限角的各三角函數值都為正；

記憶一第二象限角的正弦值為正，其余均為負;

三角函第三象限角的正切值為正，其余均為負:

數值正第四象限角的余弦值為正，其余均為負

負正弦看y軸，余弦看x軸，正切一三正

三

角

函

數

的

概

念

三-------------------------------------0M

角如圖(1)PM表示角的正弦值，叫做正弦線.0M表示角的余弦值，叫

函做余弦線.

數如鹵(2).AT表示角的正切值，叫做正切線.

線注：線段長度表示三角函數值大小，線段方向表示三角函數值正負.

終邊相同的角的同一三角函數的值相等，由此得到誘導公式一

011(。+2AJT)=sina

cos(a+2Jbr)=cosa

tan(a+2kn)=tana

【考點總結】

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.

1按旋轉方向不同分為正角、負角、零角.

(2)分類〈

'‘I按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合5=｛夕W=a+2E,k?

Z).

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.

⑵公式：

|a|=:(/表示弧長)

角a的弧度數公式

rad;源一（兀）°

角度與弧度的換算①1°-i8o②1

弧長公式l=\a\r

扇形面積公式S=//r=習㈤產

3.任意角的三角函數

(1)定義：設a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y),那么sina=y,cosa=x,tana=*xW0).

二、同角三角函數的基本關系及誘導公式

【思維導圖】

關系式

平方關系$in2a+co$2a=l同一個角a的正弦、余弦的平方和等于1

^=uH+fct,*ez）

na同一個角a的正弦、余弦的商等于角a的正切

cosa

化簡、證明的常用方法

①化切為弦，減少函數名稱.

②對含根號的，應先把被開方式化為完全平方，再去掉根號.

③對含有高次的三角函數式，可借助于因式分解，或構造平方關系,

以降嘉化簡

角

同知sin（球cosa

角22

三>sina+cosa1

數

函知cos遂sina

基

的

關

本

系

口訣—奇變偶不變，符號看象限

-----------------------------------

(1)大角變小角，趣過360?；?x；

粒國(24或90。的倍數即1,keZ

使用氾圍八22

奇變偶不變，符號看象限解釋如下:

公奇變日的奇數倍，三角函數要變名稱;

式

偶不變:1的偶數倍，三角函數要不變名稱

符號看象限：三角函數名稱前面是否加

解析°看原函數在角所在象限的正負

6魚化正”一用公式一改三來轉化.

②-大化小”——用公式一將角化為0。到360。冏的角.

劍小化短”——用公式二或?四將大于90。的角轉化為銳角.

任意角三角④-銳求值”一樣到銳角三角晶數后求值.

函數值的步驟G------------------------------------------------------------

【考點總結】

1.同角三角函數的基本關系

(1)平方關系：sin2a+cos2a=1.

(2)商數關系：=tan_a(a旁+hr,ZWZ).

(A乙

2.三角函數的誘導公式

公式—二—四五六

2E+。It兀1

角n+a-an-a2~a,十a

(Z￡Z)

正弦sina-sin_a-sin_asin_acos_acos_cc

余弦cos_a-COS_C(cos_a-cos_asin」-sin_?

正切tanatan_a—tan_a-tan_a

口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限

三'三角恒等變換

【思維導圖】

sin(a±/7)=slnaco第士cowtsin/?；

cos(ai/y)=cowzcos/y*sinasit^；

m(a土的=：?■nafn0

兩角和差?1?tanatan”

------------O

sin2a=Zsinacosa

cos2a-coda-sin'a=2cos'a-1=1-Zsin'a

_liana

tan2a=

1-lan2a

恒等

6成期1_1-c??2a

變化

*”公式

Unacosa-sin2a

正切的變射公民

laDa+tanp=tu(a+pXl~tan<xfanp)

公式變形?lana—tanp1an(a-RXl+tanatanR

------------O

①當“已知角”有兩個時，“所求角”表示為兩個“已知角”的和

或差的形式

’②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的

給值(式)

求值和或差的關系、然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”

<關俄是求出所東角的某一三角房數值，選取一瓶要根據所求角的篦國來修定:

多所菱角芝圖是(0,w)<(n,2")時，選取求余費值，

三Rtf,選取氽正弦值.

多所求角篦禺是

角給值(式)

恒求角

等

變

看導公式

換“?二?

(1)找構殊角：3倍角關系一^^同傳角?-三，鼎”轉殊角

非竽n兩角和差

(2)角的關蓋：題目束的角="殊角與條件的角帕加成

(3)給三角名：題目求什么給什么

角的(4)公式化再：利用恒等變化化H

拼湊0-------------------------------

①執(zhí)因索果法：證明的形式一般是化繁為簡.

②左右歸一法：證明左右兩邊都等于同一個式子.

③拼湊法：針對題設和結論之間的差異，有針對性地變形，以消除

它們之間的差異，簡言之，即化異求同.

④比較法：設法證明“左邊一右邊=0"或“左邊/右邊=1”.

⑤分析法：從被證明的等式出發(fā)，逐步地探求使等式成立的條件，

直到已知條件或明顯的事實為止，就可以斷定原等式成立.

三角恒等

式證明0-

【考點總結】

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

C(a—m：cos(a—p)=cos_acos_^+sin_?sin_￡.

C(?4j7)：cos(a+夕)=cos_acos_/?—sin_?sin_R.

S(a+fl)：sin(a+j3)=sin_acos_/?+cos_<zsin_p.

S(a-fi)：sin(a—p)=sin_acos_/?—cos_asin_p.

T(?+A)：tan(a+0=]_tan；展n久°，夕，a+A^+祈，kWZ

tana—tanBf八八兀，，,\

lan(a—￡)=[+[臚,P，a.%+尿,k*.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2a：sin2a=2sin_acos_a.C2acos2a—cos2a-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2a.

2tanajikn

T2a：tan2a—l-ta/aRT'

四、三角函數的圖象與性質

【思維導圖】

(0,0),J1),(再0),(當,F(250)

正弦函數

A22

五點畫圖

余弦函數(0,1),仁,0),(小一1),(把,0),(2/1)

-、22

對于函數f(x),存在一個非零常數T,當x取定義域

三'內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)

最小正周期周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數

定義法：緊扣周期函數的定義，尋求對任意實數x都滿足

f(x+T)=f(x)的非零常數T.該方法主要適用于抽象函數

周

期圖象法：可畫出函數的圖象，借助于圖象判斷函數的周期,

特別是對于含絕對值的函數一般采用此法________________

求解方法

公式法：對形如j，=.4sln(3v+p)和F=.4COS(WLT+,)

(其中.3戶是常數，且.4/0),可利用丁=言來求

三

角模型：y=Asin/cos/tan((i)X+<p)+B

函

3若負則變正，A、閑號，求增代增，求減代減

數單調性

性A、3異號，求增代增，求減代減，cox■罐體代入

質

注意：弦閉區(qū)間切開區(qū)間

模型)，=Adn/cos'tan(ax+gf)+B

(1)B、那響奇偶性

(2)6/0,正弦正切為非奇非偶

奇偶性

以。時，尸/…奇偶互變；"2奇偈不變

前提：定義域關于原點對稱

其他性質按函數奇偶性的判斷方法

三角函化為y=Asin(cox+f)+Bsjy=Acos((ox+▼)+B

對稱性+▼=2(x)+kw(keZ),求x

對稱中心的橫坐標,則只需今3、+g=kx(kwZ),求、，對稱中心(x,B)

三角函數型所利用三角函數性質解答

值域

一元二次型利用一元二次函數性質解答

【考點總結】

1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖

在正弦函數產sinx,%e［0,2句的圖象上，五個關鍵點是：（0,0）,百1）,（兀，0）,（y,-1）,（2兀，0）.

在余弦函數y=cosx,xC［O,2兀］的圖象上，五個關鍵點是：（0,1）,40）,（兀，-1）,（李，0）,（2n,I）.

五點法作圖有三步：列表、描點、連線（注意光滑）.

2.正弦、余弦、正切函數的圖象與性質

函數y=sinxy=cosxj=tanx

yy成拜

圖象\i/\1/r

{4r￡R,且xWE+

定義域RR

Jtez}

值域[-1.1J[-1.1JR

奇偶性奇函數偶函數奇函數

在［-/+2E,/+

在［2加一兀，

2E］/GZ）上是遞增

2E］伙CZ）上是遞增在（一，+E,/+

函數，在

單調性函數，在［2E,2E+

g+2E,竽+E）（kez）上是遞增函

兀］伙CZ）上是遞減函

數

2E］/eZ）上是遞減數

函數

周期是2E（%GZ且周期是2阮（kez且周期是E（%ez且

周期性20）,最小正周期是斤#0）,最小正周期是y0）,最小正周期是

2兀2兀71

對稱軸是x=5+對稱軸是》=

對稱中心是年，

E（AGZ）,對稱中心是

對稱性

E（Z￡Z）,對稱中心是

71

（E+丁0）aez）O）uez）

（E,0）（/：ez）

五、函數y=Asin（"x+p）的圖象及應用

【思維導圖】

類型一利用誘導恒等變化進行化一

【考點總結】

1.函數)，=Asin((ox+9)的有關概念

振幅周期頻率相位初相

y=Asin(5+g)

72兀f=L=生

(A>0,3>0)AT——cox+(p

G)JT2式9

2.用五點法畫y=Asin(3x+。)一個周期內的簡圖

用五點法畫y=Asin(ox+?)一個周期內的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示:

7t3兀

CDx+(p0兀2兀

2T

71(p兀一夕3K(p2N—(p

X

CD2a)coCD2cocoCD

y=As\n((ox+(p)0A0-A0

3.由函數y=sinx的圖象通過變換得到產Asin(ox+0)(A>0,3>0)的圖象的兩種方法

法一法二

一

步

驟

LL-J

步

驟

2

一

-

步

驟

3

一

-

步

驟

4

一

【題型匯編】

題型一：任意角的三角函數

題型二：同角三角函數的基本關系

題型三：三角函數的誘導公式

題型四：三角函數恒等變換

題型五：三角函數的圖象和性質

【題型講解】

題型一：任意角的三角函數

一、單選題

1.(2022?北京市八一中學一模)在平面直角坐標系中，角6以Qx為始邊，終邊經過點(-3,4),則cos，=

()

*43

A.-B.-C.--D.—

5555

【答案】C

【解析】

【分析】

根據余弦函數的定義進行求解即可.

【詳解】

設點P(-3,4),因為|OP|=J(_3y+42=5,所以cosO=V=-?

故選：C.

3

2.(2022?北京房山,二模)已知cosa=3,。是第一象限角，且角d夕的終邊關于y軸對稱，則ta"=()

【答案】D

【解析】

【分析】

根據cosa求出tana,根據角a,/3的終邊關于y軸對稱可知tan/=-tana.

【詳解】

cosa=°,a是第一象限角，/.sina=Vl-cos2a=—,tana-S*na--,

55cosa3

4

?.?角a,夕的終邊關于y軸對稱，tan^=-tana=--.

故選：D.

3.（2022.山東濰坊.二模）已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點A&,2）,B（x2,4）

在角a的終邊上，且%一9=1，貝！Jtana=（）

A.2B.yC.-2D.——

【答案】C

【解析】

【分析】

2-4

根據題意，得到直線AB的斜率為2=^^=-2,進而判斷a所在象限，即可求解.

王一“2

【詳解】

2-4

由已知得，因為點A（x,,2）,3（%,4）在角a的終邊上，所以有線A8的斜率為左=------=-2,所以，明顯

X—X?

可見，a在第二象限，tana=-2.

故選：C

4.（2022.山西臨汾.一模（文））已知4角的終邊過點（41130。,-31130。），則011。的值為（）

A.--B.1C.一也D.①

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出點的坐標，進而根據三角函數的定義求得答案.

【詳解】

故選：c.

5.（2022?河南?一模（文））己知a是第二象限角，則（）

A.cosa>0B.sina<0C.sin2a<0D.tana>0

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知結合三角函數的定義及象限角的范圍，及正弦的二倍角公式判斷即可.

【詳解】

山a是第二象限角，可得costzcO,sina>0,tana<0

sin2a=2sinacosa<0

故選：C

6.（2022?山東濟南?二模）如果角a的終邊過點P（2sin30,-2cos30）,貝Usina的值等于（）

A.1B.--C.-且D.一更

2223

【答案】C

【解析】

先計算三角函數值得石），再根據三角函數的定義$拘夕=^"=，77求解即可.

【詳解】

解：由題意得它與原點的距離/■=，1+（#了=2,

所以sina=上=—=--.

r22

故選：C.

7.（2022?河北石家莊?一模）若角a終邊經過點（-2,1）,則cosa=

A.一且B.--C.—D.—

5555

【答案】B

【解析】

【詳解】

分析：利用三角函數的定義，即可求出.

詳解：角a終邊經過點（-2,1）,則7（一2『+1=后

由余弦函數的定義可得cosa='=-型.

r5

故選B.

點睛：本題考查三角函數的定義，屬基礎題.

二、多選題

1.（2022?湖北?孝昌縣第一高級中學三模）已知角a的終邊經過點尸（8,3cosa）.則（）

1c7

A.sina=-B.cos2a=—

39

.夜2>/2

C.tana=±——D.cosa=------

43

【答案】ABD

【解析】

【分析】

.3cosa8

根據同終邊角的正弦和余A弦可知sma=7,、cosa=7-------------=,然后解出方程并判斷

V64+9cos*av64+9cosa

sintz>0,coscr>0,逐項代入即可.

【詳解】

解：由題意得：

如圖所示：

\0P\=^82-t-(3cosa)2=，64+9cos2a

.IPQl3cosa\0Q\8

/.sina=\----p,cosa=\；=-/

|。。|V64+9cos2a|。。|V644-9cos2a

.tsinaJ64+9cos2a=3cosa，即sin~a(64+9cos-a)=9cos~a

.??sin2a[64+9(1-sin2a)]=9(1-sin2a),即9sin4a-82sin2a+9=0

解得：sin2a=9(舍去)或sin2a=：

cosa>0

/.sina>0

sina="，故A正確；

r.cosa=冬生，故D正確；

3

20丫?，故正確;

.二cos2a=cosa-sin-a=B

sina3V2

tana=-------=T^=—,故C錯誤?

cosa2V24，以L珀夙，

故選：ABD

題型二：同角三角函數的基本關系

一、單選題

3

1.(2022?寧夏?固原一中一模(文))若cosa=不，且。在第四象限，則tana=()

43「3廠4八4

A.-B.——C.-D.——

4433

【答案】D

【解析】

由已知利用同角三角函數基本關系式即可計算得解.

【詳解】

3

解：?.,cosa=w，且a在第四象限，

cos-a=-—,

cosa3

故選：D.

2.(2022?遼寧?沈陽二中二模)若3sina+cosa=0,則—~=()

cos-a+sin2a

1052

A.—B.-C.-D.-2

333

【答案】A

【解析】

先由3sina+cosa=0求出tana=-；,再由同角三角函數基本關系，以及二倍角的正弦公式，將所求式子

化簡，即可得出結果.

【詳解】

因為3sina+cosa=0,所以tana=-；，

、,,1十］

,,,,1sin2a+cos2atan%+lg10

因止匕——---------=——---------------=---------=2——=—.

cos2cr+sinlacos2<7+2sincosa12tana>23

3

故選：A.

【點睛】

本題主要考查由同角三角函數基本關系化簡求值，涉及二倍角的正弦公式，屬于基礎題型.

I7T7T

3.(2022?黑龍江?哈九中三模(文))已知sin2a="且］<av］,則cosa-sina二()

A.gB.--C.--D.B

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二倍角公式結合平方關系得(cosa-sine?=1,利用?<￡<］開方取負值即可

【詳解】

sin2a=2sinacosez=—,sin2ez+cos2a=l,(cosa-sincr)2=1--=—,

444

71TV.G

—<a<cosa-sina=------，

322

故選：C.

4.（2022?江西萍鄉(xiāng)?三模（文））已知tan?=g,則sin，cos〃=（）

A.2B.二C.§I

555

【答案】A

【解析】

【分析】

sinOcos。

山sin0cos0=分子分母同除以COS?。，即可求出結果.

sin20+cos20

【詳解】

sinOcos。lan。

因為sinOcos"

sin20+cos20tan26+1

Xtan^=—,所以sin8cosg=一一2

21+15

4

故選：A.

5.（2022?廣東廣州?三模）已知sinx+cosx=孝，若xe（0,7t）,則cos2x的值為（）

A.1B.BC,--D.-立

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

將sinx+cosx=^^兩邊平方得：2sinxcos卡-；<0,結合sinx+cosx='^>0,求出x的范圍，再利

222

用cos22x+sin22x=1求解即可.

【詳解】

解：將siar+cosx='Z兩邊平方得：2sinxcosx=-^-<0,

22

JT

所以冗），

5

又因為siar+cosx=——>0,

2

r-LII/兀3兀、3兀、

所以X￡（］,―）,2x￡（K,—）,

又因為sin2x=-y,

所以COS2JC=--71-sin22x=-y--

故選：D.

6.（2022?江西南昌?三模（文））若角a的終邊不在坐標軸上，Ksina+2cosa=2,則tanc=（）

A.-B.-C.|D.-

3432

【答案】A

【解析】

【分析】

結合易知條件和同角二角函數的平方關系即可求出cosa,從而求出sina,根據tana=%經即可求得結果.

cosa

【詳解】

sma+cosa-\3?

<=>cosa=1或cosa=l,

sina+2cosc=25

3

丁a的終邊不在坐標軸上，，cosa=1，

故選：A.

7.（2022?廣西南寧?二模（文））若a是鈍角且sina=g,貝ijtana=（）

A.--B.叵C.一也D.立

4422

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出cosa,再根據商數關系求出tana即可.

【詳解】

因為a是鈍角，