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文檔簡介
第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形15.2線段的垂直平分線目
錄CONTENTS01核心必知021星題基礎(chǔ)練032星題中檔練043星題提升練1.
如圖,分別以點(diǎn)
A
,
B
為圓心,
?長為半徑
畫弧,分別在
AB
的兩側(cè)交于點(diǎn)
C
,
D
,過點(diǎn)
C
,
D
作直
線,則直線
CD
就是線段
AB
的垂直平分線.
2312.
線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段
的距離相等.3.
應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)要注意兩點(diǎn):點(diǎn)一定在線段
的
上;距離指的是點(diǎn)到線段
?
的距離.兩端垂直平分線兩個(gè)端點(diǎn)231
線段的垂直平分線的畫法1.
【知識(shí)初練】使用尺規(guī)作線段
AB
的垂直平分線
CD
的痕
跡如圖所示,下列說法不正確的是(
C)A.
弧①②的半徑長一定相等B.
?、邰艿陌霃介L一定相等C.
弧②③的半徑長一定相等D.
?、俚陌霃介L大于
AB
長度的一半C2345678910111213141
線段的垂直平分線的性質(zhì)2.
【知識(shí)初練】如圖,已知
AC
垂直平分
BD
,垂足為
E
,
下列結(jié)論不一定成立的是(
D)A.
AB
=
AD
B.
CA
平分∠
BCD
C.
∠
ABC
=∠
ADC
D.
∠
BAD
=∠
BCD
D23456789101112131413.
如圖,在△
ABC
中,
AB
,
AC
的垂直平分線分別交
BC
于點(diǎn)
E
,
F
,若△
ABC
的周長是20,
AB
=4,
AC
=7,
則△
AEF
的周長為
?.9
23456789101112131414.
如圖,
PD
垂直平分
AB
,
PE
垂直平分
BC
,若
PC
的長
為5,則
PA
的長是
?.5
23456789101112131415.
[2024·宣城月考]如圖,△
ABC
中,
DE
為
AB
的垂直平分
線,交
AC
于點(diǎn)
D
,交
AB
于點(diǎn)
E
,若△
ABC
的周長為
20,
AE
的長為4,則△
BCD
的周長為
?.12
2345678910111213141
線段的垂直平分線的判定6.
在△
ABC
中有一點(diǎn)
P
,且
PA
=
PB
,則點(diǎn)
P
一定(
A)A.
在邊
AB
的垂直平分線上B.
在∠
ACB
的平分線上C.
在邊
AB
的高上D.
在邊
AB
的中線上A23456789101112131417.
如圖,
AC
=
AD
,
BC
=
BD
,則有(
A)A.
AB
垂直平分
CD
B.
CD
垂直平分
AB
C.
AB
與
CD
互相垂直平分D.
以上都不正確A23456789101112131418.
[2024·銅陵月考]如圖,在四邊形
ABCD
中,∠
ABC
=
90°,
AD
∥
BC
,
AB
=
BC
,
E
是
AB
的中點(diǎn),
CE
⊥
BD
.
(1)求證:△
ABD
≌△
BCE
;2345678910111213141
23456789101112131418.
[2024·銅陵月考]如圖,在四邊形
ABCD
中,∠
ABC
=
90°,
AD
∥
BC
,
AB
=
BC
,
E
是
AB
的中點(diǎn),
CE
⊥
BD
.
(2)求證:
AC
垂直平分線段
ED
.
2345678910111213141證明:(2)設(shè)
AC
與
DE
的交點(diǎn)為
M
,如圖.∵
E
是
AB
的中點(diǎn),∴
EB
=
EA
.
由(1)知△
ABD
≌△
BCE
,∴
AD
=
BE
,∴
AE
=
AD
.
∵
AD
∥
BC
,∴∠5=∠
ACB
.
∵
AB
=
BC
,∴∠4=∠
ACB
,∴∠4=∠5.∵
AD
=
AE
,∴
AM
⊥
DE
,
EM
=
DM
,即
AC
垂直平分線段
ED
.
23456789101112131419.
[2024年1月北京通州區(qū)期末]在△
ABC
中,
AC
<
AB
<
BC
,如果要用尺規(guī)作圖的方法在
BC
上確定一點(diǎn)
D
,使
AD
+
BD
=
BC
,那么符合要求的作圖痕跡是(
D)ABCDD2345678910111213141
A.70°B.60°C.50°D.40°A234567891011121314111.
如圖,已知△
ABC
,直線
a
⊥
AC
于點(diǎn)
D
,且
AD
=
CD
,點(diǎn)
P
是直線
a
上一動(dòng)點(diǎn),連接
PB
,
PC
,若
AB
=
5,
AC
=6,
BC
=3,則△
PBC
周長的最小值是
?.8
解法提醒:設(shè)直線
a
與
AB
交于P',當(dāng)點(diǎn)
P
與點(diǎn)P'重合
時(shí),
PB
+
PC
最小,即△
PBC
的周長最小.234567891011121314112.
[2023·寶雞期中]如圖,已知
AD
⊥
BC
于點(diǎn)
D
,
BD
=
DC
,
AB
+
BD
=
DE
,求證:點(diǎn)
C
在
AE
的垂直
平分線上.證明:∵
AD
⊥
BC
,
BD
=
DC
,∴
AD
是
BC
的垂直平
分線,∴
AB
=
AC
.
∵
AB
+
BD
=
DE
,∴
AB
+
BD
=
CD
+
CE
=
AC
+
CD
,∴
AC
=
CE
,∴點(diǎn)
C
在
AE
的垂直平分線上.234567891011121314113.
[2024·滁州月考]如圖,在△
ABC
中,已知
D
是
BC
的中
點(diǎn),過點(diǎn)
D
作
BC
的垂線交∠
BAC
的平分線于點(diǎn)
E
,
EF
⊥
AB
于點(diǎn)
F
,
EG
⊥
AC
交
AC
的延長線于點(diǎn)
G
.
(1)求證:
BF
=
CG
;2345678910111213141(1)證明:連接
EC
,
EB
.
∵
AE
是∠
CAB
的平分線,
EF
⊥
AB
,
EG
⊥
AC
,∴∠
FAE
=∠
GAE
,∠
AFE
=
∠
AGE
=90°.又∵
AE
=
AE
,∴△
AEF
≌△
AEG
,∴
EG
=
EF
.
又∵
D
是
BC
的中點(diǎn),
DE
⊥
BC
,∴
EC
=
EB
,∴Rt△
CGE
≌Rt△
BFE
,∴
BF
=
CG
.
234567891011121314113.
[2024·滁州月考]如圖,在△
ABC
中,已知
D
是
BC
的中
點(diǎn),過點(diǎn)
D
作
BC
的垂線交∠
BAC
的平分線于點(diǎn)
E
,
EF
⊥
AB
于點(diǎn)
F
,
EG
⊥
AC
交
AC
的延長線于點(diǎn)
G
.
(2)若
AB
=12,
AC
=8,求線段
CG
的長.2345678910111213141(2)解:由(1)知△
AEF
≌△
AEG
,
∴
AF
=
AG
.
∵
BF
=
CG
,∴
AB
+
AC
=
AF
+
BF
+
AG
-
CG
=2
AG
.
∵
AB
=12,
AC
=8,∴
AG
=10,∴
CG
=
AG
-
AC
=2.234567891011121314114.
【創(chuàng)新題·新考法】[2024·北京東城區(qū)月考]小宇遇到了這樣一個(gè)問題:如圖,∠MON=90°,點(diǎn)A,B分別在射線
OM,ON上,且滿足OB>2OA.
求作:線段OB
上的一點(diǎn)C,使△AOC的周長等于線段OB的長.以下是小宇分析和求解的過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:如圖①所示,首先畫草圖進(jìn)行分析,若符合題意的點(diǎn)C已經(jīng)找到,即△
AOC的周長等于OB的長,那么由OA+OC+AC=
OB
=
OC+BC,可以得到OA+AC=
?.BC
2345678910111213141對(duì)于這個(gè)式子,可以考慮用截長的辦法,在
BC
上取一
點(diǎn)
D
,使得
BD
=
AO
,那么就可以得到
CA
=
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