離散狀態(tài)空間設(shè)計(jì)講述研究

第七章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間設(shè)計(jì)本章主要內(nèi)容：狀態(tài)空間描述的基本概念2采用狀態(tài)空間模型的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)3采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設(shè)計(jì)2024/11/71

狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法是建立在矩陣?yán)碚摶A(chǔ)上、采用狀態(tài)空間模型對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行描述、分析和設(shè)計(jì)的方法。用狀態(tài)空間模型能夠分析和設(shè)計(jì)多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性、時(shí)變和隨機(jī)系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)，可以了解到系統(tǒng)內(nèi)部的變化情況。并且這種分析方法便于計(jì)算機(jī)求解。

2024/11/727．1狀態(tài)空間描述的基本概念1.離散時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

設(shè)連續(xù)的被控對(duì)象的狀態(tài)空間表達(dá)式

在作用下，系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)為其中為系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。取，，考慮到零階保持器的作用，有則（5－1－1）

（5－1－２）

（5－1－3）

（5－1－４）

2024/11/73作變量置換，令：

由此可得系統(tǒng)連續(xù)部分的離散化狀態(tài)空間表達(dá)式其中：式中：為維狀態(tài)向量，為維控制向量，為維輸出向量，為維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，為維輸入矩陣，為維輸出矩陣。（5－1－５）

（5－1－６）

（5－1－７）

2024/11/74可用迭代法求得，

即：以k＝0，1，…

代入式（5－1－6）離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程的解2024/11/75離散時(shí)間系統(tǒng)的能控性

描述的系統(tǒng)，如果存在有限個(gè)控制信號(hào)，，能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終態(tài)，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。

…、…寫(xiě)成矩陣形式

能控性定義：對(duì)于式根據(jù)狀態(tài)方程的解，有2024/11/76則、、…、有解的充分必要條件，也即系統(tǒng)的能控性判據(jù)為式中:n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)。得到輸出的能控性條件為式中:r為輸出向量的維數(shù)。2024/11/77描述的系統(tǒng)，如果能根據(jù)有限個(gè)采樣信號(hào)，，確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)，則系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀的

。

離散時(shí)間系統(tǒng)的能觀性

…、能觀性定義：對(duì)于式根據(jù)狀態(tài)方程的解，從0到時(shí)刻，各采樣瞬時(shí)的觀測(cè)值為：2024/11/78寫(xiě)成矩陣形式

則有解的充分必要條件，即系統(tǒng)的能觀性判據(jù)為式中n為系統(tǒng)狀態(tài)向量的維數(shù)。2024/11/797．2采用狀態(tài)空間模型的極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)

圖5－2按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制器狀態(tài)空間模型按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制器由兩部分組成：一部分是狀態(tài)觀測(cè)器，它根據(jù)所量測(cè)到的輸出重構(gòu)出狀態(tài)；另一部分是控制規(guī)律，它直接反饋重構(gòu)的狀態(tài)，構(gòu)成狀態(tài)反饋控制。

根據(jù)分離性原理，控制器的設(shè)計(jì)可以分為兩個(gè)獨(dú)立的部分：一是假設(shè)全部狀態(tài)可用于反饋，按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律；二是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)觀測(cè)器。2024/11/7101按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制規(guī)律設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為控制規(guī)律為線性狀態(tài)反饋

假設(shè)反饋的是被控對(duì)象實(shí)際的全部狀態(tài)x(k)得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為作Z變換

顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

圖5-3狀態(tài)反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2024/11/711如何設(shè)計(jì)反饋控制規(guī)律，以使閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的極點(diǎn)配置？

首先根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的性能要求，找出所期望的閉環(huán)系統(tǒng)控制極點(diǎn)，再根據(jù)極點(diǎn)的期望值，求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為反饋控制規(guī)律應(yīng)滿足如下的方程如果被控對(duì)象的狀態(tài)為維，控制作用為維，則反饋控制規(guī)律為維，即中包含個(gè)元素。2024/11/712例7-1

對(duì)于單輸入系統(tǒng)，給定二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律，使閉環(huán)極點(diǎn)為解根據(jù)能控性判據(jù)，因

所以系統(tǒng)是能控的。期望的閉環(huán)特征方程為設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律

2024/11/713取，比較兩邊同次冪的系數(shù)，有可得：即狀態(tài)反饋控制規(guī)律為

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

2024/11/7142按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器

在實(shí)際工程中，采用全狀態(tài)反饋通常是不現(xiàn)實(shí)的。常用的方法是設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，由測(cè)量的輸出值重構(gòu)全部狀態(tài)，實(shí)際反饋的只是重構(gòu)狀態(tài)。即常用的狀態(tài)觀測(cè)器有三種。

圖5-4狀態(tài)觀測(cè)器結(jié)構(gòu)圖2024/11/715狀態(tài)重構(gòu)誤差的動(dòng)態(tài)性能取決于特征方程根的分布。若狀態(tài)重構(gòu)誤差為：

得狀態(tài)重構(gòu)誤差方程為：

預(yù)報(bào)觀測(cè)器的特征方程：

的特性是快速收斂的，則對(duì)于任何初始誤差，都將快速收斂到零。因此，只要適當(dāng)?shù)剡x擇增益矩陣，便可獲得要求的狀態(tài)重構(gòu)性能。預(yù)報(bào)觀測(cè)器觀測(cè)器方程2024/11/716如果給出觀測(cè)器的極點(diǎn)，可求得觀測(cè)器的特征方程為了獲得所需要的狀態(tài)重構(gòu)性能，應(yīng)有

通過(guò)比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得中的n個(gè)未知數(shù)。

對(duì)于任意的極點(diǎn)配置，具有唯一解的充分必要條件是對(duì)象是完全能觀的。

2024/11/717現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器觀測(cè)器方程

狀態(tài)重構(gòu)誤差為

狀態(tài)重構(gòu)誤差方程：

2024/11/718現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器特征方程：為使現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器具有期望的極點(diǎn)配置，應(yīng)有

同理，通過(guò)比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得K

中的n個(gè)未知數(shù)。降階觀測(cè)器

將原狀態(tài)向量分成兩部分，一部分是可以直接測(cè)量的，一部分是需要重構(gòu)的。2024/11/719被控對(duì)象的離散狀態(tài)方程可以分塊表示為即比較得：2024/11/720觀測(cè)器方程:狀態(tài)重構(gòu)誤差方程：

降階觀測(cè)器特征方程：

同理，使，通過(guò)比較兩邊z的同次冪的系數(shù)，可求得K

中的n個(gè)未知數(shù)。2024/11/7213按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器

1）控制器組成

設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間描述為控制器由預(yù)報(bào)觀測(cè)器和狀態(tài)反饋控制律組成，即2）分離性原理閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

矩陣形式：

2024/11/722閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為可見(jiàn)，閉環(huán)系統(tǒng)的2n個(gè)極點(diǎn)由兩部分組成，一部分是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的控制規(guī)律給定的n個(gè)極點(diǎn)，稱(chēng)為控制極點(diǎn)，另一部分是按極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器給定的n個(gè)極點(diǎn)，稱(chēng)為觀測(cè)器極點(diǎn)。兩部分相互獨(dú)立，可分別設(shè)計(jì)。2024/11/7233）數(shù)字控制器實(shí)現(xiàn)設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為代入預(yù)報(bào)觀測(cè)器方程觀測(cè)器與控制規(guī)律的關(guān)系

得控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

將脈沖傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為差分方程，就可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)數(shù)字控制器。2024/11/724

，無(wú)阻尼自然頻率；

②觀測(cè)器極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的衰減速度比控制極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的衰減速度快約3倍。例7－3

設(shè)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為，采樣周期，采用零階保持器，試設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，要求：①閉環(huán)系統(tǒng)的性能相應(yīng)于二階連續(xù)系統(tǒng)的阻尼比解被控對(duì)象的等效微分方程為

定義兩個(gè)狀態(tài)變量

2024/11/725則被控對(duì)象的連續(xù)狀態(tài)空間表達(dá)式離散狀態(tài)空間表達(dá)式其中：2024/11/726①判斷被控對(duì)象的能控性和能觀性

因此，被控對(duì)象是能控且能觀的。根據(jù)能控性判據(jù)和能觀性判據(jù)

②設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制規(guī)律

設(shè)狀態(tài)反饋控制規(guī)律為，對(duì)應(yīng)的特征方程為

2024/11/727根據(jù)對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)的要求，對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)和特征方程為由，可得解得L1＝2，L2＝－0.317，即2024/11/728③設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器

選用現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器，設(shè)觀測(cè)器增益矩陣為

現(xiàn)時(shí)觀測(cè)器的特征方程為依題意：對(duì)應(yīng)的特征方程為2024/11/729解得，，即由，可得

④組成控制器

其中

，。2024/11/7307．3采用狀態(tài)空間模型的最優(yōu)化設(shè)計(jì)針對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)按最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)控制器。

假定被控對(duì)象是線性的，系統(tǒng)性能指標(biāo)是狀態(tài)和控制的二次型函數(shù)，則系統(tǒng)的綜合問(wèn)題就是尋求允許的控制信號(hào)序列，使性能指標(biāo)函數(shù)最小，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為線性二次型（LinearQuadratic）控制問(wèn)題。如果考慮系統(tǒng)中隨機(jī)的過(guò)程干擾和量測(cè)噪聲，且過(guò)程干擾和量測(cè)噪聲均是具有正態(tài)分布的白噪聲，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為線性二次型高斯（LinearQuadraticGaussian）控制問(wèn)題。2024/11/731

最優(yōu)控制器也是由兩部分組成，一部分是狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器；另一部分是最優(yōu)控制規(guī)律。圖5－5

最優(yōu)調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖

其設(shè)計(jì)也可分為兩個(gè)獨(dú)立的部分：一是將系統(tǒng)看作確定性系統(tǒng)；二是考慮隨機(jī)的過(guò)程干擾v和量測(cè)噪聲w，設(shè)計(jì)狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器。2024/11/7321最優(yōu)控制規(guī)律設(shè)計(jì)有限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)設(shè)連續(xù)被控對(duì)象的離散化狀態(tài)方程為初始條件給定二次型性能指標(biāo)函數(shù)

線性二次型最優(yōu)控制的任務(wù)是尋求最優(yōu)控制序列（k＝0，1，…，N－1），在把初始狀態(tài)x(0)轉(zhuǎn)移到x(N)的過(guò)程中，使性能指標(biāo)函數(shù)最小。

2024/11/733

求解二次型最優(yōu)控制問(wèn)題可采用變分法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等方法。這里采用離散動(dòng)態(tài)規(guī)劃法來(lái)進(jìn)行求解。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的基本思想是：將一個(gè)多級(jí)決策過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼舛鄠€(gè)單級(jí)決策優(yōu)化問(wèn)題，這里需要決策的是控制變量（k＝0，1，…，N－1）。令二次型性能指標(biāo)函數(shù)其中：i＝N－1、N－2、…、0。下面從最末一級(jí)往前逐級(jí)求解最優(yōu)控制序列。

2024/11/734

首先求解，以使最小。求對(duì)u(N－1)的一階導(dǎo)數(shù)并令其等于零：由上式和連續(xù)被控對(duì)象的離散化狀態(tài)方程，有2024/11/735進(jìn)一步求得最優(yōu)的控制決策為其中得依次，可求的、、…、。、…、其中2024/11/736計(jì)算公式歸納：

最優(yōu)性能指標(biāo)為

滿足上式的最優(yōu)控制一定存在且是唯一的。其中利用以上公式可以逆向遞推計(jì)算出S(k)和L(k)。2024/11/737無(wú)限時(shí)間最優(yōu)調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)設(shè)被控對(duì)象的狀態(tài)方程為

當(dāng)N→∞時(shí)，其性能指標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化為

其中是非負(fù)定對(duì)稱(chēng)陣，是正定對(duì)稱(chēng)陣。假定［F，G］是能控的，且［F，D］是能觀的，其中D為能使DTD＝Q1成立的任何矩陣。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)，最經(jīng)常碰到的是離散定常系統(tǒng)終端時(shí)間無(wú)限的最優(yōu)調(diào)節(jié)器問(wèn)題。當(dāng)終端時(shí)間N→∞時(shí)，矩陣S

(k)將趨于某個(gè)常數(shù)，因此可得到定常的最優(yōu)反饋增益矩陣L，便于工程實(shí)現(xiàn)。2024/11/738存在，且是與無(wú)關(guān)的常數(shù)陣。或：的解，那么對(duì)于任何非負(fù)定對(duì)稱(chēng)陣，有①設(shè)S

(k)是如下的黎卡堤（Riccati）方程可以證明有以下幾點(diǎn)結(jié)論：2024/11/739③穩(wěn)態(tài)控制規(guī)律

是使上面性能指標(biāo)函數(shù)J極小的最優(yōu)反饋控制規(guī)律，最優(yōu)性能指標(biāo)函數(shù)為④所求得的最優(yōu)控制規(guī)律使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。

②S是如下的黎卡堤代數(shù)方程

或：的唯一正定對(duì)稱(chēng)解。2024/11/740

該結(jié)論說(shuō)明了：當(dāng)滿足上述結(jié)論中所給條件時(shí)，最優(yōu)的反饋控制規(guī)律是常數(shù)陣；并且使得閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。同時(shí)該結(jié)論也指出了計(jì)算最優(yōu)反饋控制規(guī)律的途徑，它既可以通過(guò)直接黎卡堤代數(shù)方程求解，也可以通過(guò)迭代法解黎卡堤差分方程求得。同時(shí)也可以看出，結(jié)論條件“是正定對(duì)稱(chēng)陣”可以放寬到“是正定對(duì)稱(chēng)陣”。2024/11/741例7－4考慮離散系統(tǒng)：其中：設(shè)計(jì)最優(yōu)控制器，使性能指標(biāo)：最小。2024/11/742解選和，。通過(guò)MATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：(a)權(quán)矩陣較小的情況(b)權(quán)矩陣較大的情況2024/11/743解選，和。通過(guò)MATLAB仿真，可解得兩種情況下的最優(yōu)反饋增益矩陣為：(a)權(quán)矩陣較小的情況(b)權(quán)矩陣較大的情況2024/11/7442狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)器設(shè)計(jì)

目前有許多狀態(tài)估計(jì)方法，這里介紹Kalman濾波器。設(shè)被控對(duì)象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為其中：x(k)為n維狀態(tài)向量，u(k)為m維控制向量，y(k)為r維輸出向量，v(k)為n維過(guò)程干擾向量，w(k)為r維測(cè)量噪聲向量。假設(shè)v(k)和w(k)均為離散化處理后的高斯白噪聲序列，且有設(shè)V為非負(fù)定對(duì)稱(chēng)陣，W為正定對(duì)稱(chēng)陣，并設(shè)v(k)和w(k)不相關(guān)。1）Kalman濾波公式的推導(dǎo)2024/11/745

由于系統(tǒng)中存在隨機(jī)的干擾v(k)和隨機(jī)的量測(cè)噪聲w(k)，因此系統(tǒng)的狀態(tài)向量x(k)也是隨機(jī)向量，y(k)是能夠量測(cè)的輸出量。若記x(k)的估計(jì)量為問(wèn)題：如何根據(jù)輸出量y(k)估計(jì)出x(k)則：為狀態(tài)的估計(jì)誤差，因而

為狀態(tài)估計(jì)的協(xié)方差陣。顯然P(k)為非負(fù)定對(duì)稱(chēng)陣。這里估計(jì)的準(zhǔn)則為：根據(jù)量測(cè)量y(k)，y(k－1)，…，最優(yōu)地估計(jì)出，以使P(k)極?。ㄒ騊(k)是非負(fù)定對(duì)稱(chēng)陣，因此可比較其大?。＿@樣的估計(jì)稱(chēng)為最小方差估計(jì)。2024/11/746根據(jù)最優(yōu)估計(jì)理論，最小方差估計(jì)為

即x(k)最小方差估計(jì)等于在直到k時(shí)刻的所有量測(cè)量y的情況下x(k)的條件期望。

引入更一般的記號(hào)若，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)過(guò)去時(shí)刻的狀態(tài)，稱(chēng)為內(nèi)插或平滑；，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)將來(lái)時(shí)刻的狀態(tài)，稱(chēng)為預(yù)報(bào)或外推；，表示根據(jù)直到現(xiàn)時(shí)刻的量測(cè)量來(lái)估計(jì)現(xiàn)時(shí)刻的狀態(tài)，稱(chēng)為濾波。這里所討論的狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)問(wèn)題即是指濾波問(wèn)題。2024/11/747引入如下記號(hào)；k－1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)；k－1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差；k－1時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)誤差協(xié)方差陣

；一步預(yù)報(bào)估計(jì)

；一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差；一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差誤差協(xié)方差陣同樣，如：；k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)2024/11/748求一步預(yù)報(bào)誤差根據(jù)前面的定義，上式中第一項(xiàng)為，是輸入到控制對(duì)象的確定量，因此上式中的第二項(xiàng)為。第三項(xiàng)中、、…均與不相關(guān)，則第三項(xiàng)為零。

求得一步預(yù)報(bào)方程為2024/11/749根據(jù)上式，可求得一步預(yù)報(bào)估計(jì)誤差為

可進(jìn)一步求得一步預(yù)報(bào)誤差的協(xié)方差陣為簡(jiǎn)化為

2024/11/750

該估計(jì)器方程具有明顯的物理意義。式中第一項(xiàng)是的一步最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)，它是根據(jù)直到時(shí)刻的所有量測(cè)量的信息而得到的關(guān)于的最優(yōu)估計(jì)。式中第二項(xiàng)是修正項(xiàng)，它是根據(jù)最新的量測(cè)信息對(duì)最優(yōu)預(yù)報(bào)估計(jì)進(jìn)行修正。在第二項(xiàng)中其中稱(chēng)為狀態(tài)估計(jì)器增益，或Kalman濾波器增益。設(shè)x(k)的最小方差估計(jì)具有如下的形式是關(guān)于量測(cè)量的一步預(yù)報(bào)估計(jì)。2024/11/751是關(guān)于量測(cè)量的一步預(yù)報(bào)誤差，它包含了最新量測(cè)量的信息。因此x(k)的最小方差估計(jì)所表示的最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)可以看成是一步最優(yōu)預(yù)報(bào)與最新量測(cè)量信息的加權(quán)平均，其中增益矩陣可認(rèn)為是加權(quán)矩陣。從而問(wèn)題變?yōu)槿绾魏线m地選擇，以獲得的最小方差估計(jì)，即使得狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差為最小。

現(xiàn)在的問(wèn)題變?yōu)椋簩で?，以使極小。2024/11/752極小。J表示的各個(gè)分量的方差之和，因而它是標(biāo)量。可以證明，使極小等價(jià)于使如下的標(biāo)量函數(shù)由以上公式，可得的狀態(tài)估計(jì)誤差為2024/11/753進(jìn)一步求得狀態(tài)估計(jì)誤差的協(xié)方差陣為由于與不相關(guān)，因此交叉相乘項(xiàng)的期望值為零。取，使為，變?yōu)?024/11/754其中

如果能使取極小值，那么，對(duì)于任意的增量均應(yīng)有。則必須有

2024/11/755Kalman濾波公式歸納和給定，k＝1，2，…

若Kalman濾波增益矩陣已知，則根據(jù)以上公式遞推計(jì)算出狀態(tài)最優(yōu)估計(jì)，k＝1，2，…?？梢?jiàn)，為獲得狀態(tài)的最優(yōu)估計(jì)，關(guān)鍵是需要事先計(jì)算出Kalman濾波增益矩陣。2024/11/756①給定參數(shù)F、C、V、W和，給定迭代計(jì)算總步數(shù)N，置k＝1；②計(jì)算P(k|k－1)；③計(jì)算；④計(jì)算；⑤如果k＝N，轉(zhuǎn)（7），否則，轉(zhuǎn)（6）；⑥k←k－1轉(zhuǎn)（2）；⑦輸出和，k＝1，2，…N。2）Kalman濾波增益矩陣的計(jì)算2024/11/757例7-6