13.3-13.4 等腰三角形 課題學習 最短路徑問題

13.3等腰三角形13.4最短路徑問題基礎過關(guān)練1．如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．2．下列說法中，正確的個數(shù)是（

）①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；③有兩個角為60°的三角形是等邊三角形；④底角的角平分線所在的直線是這等腰三角形的對稱軸，則這個三角形是等邊三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．若等腰三角形有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是（

）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，則BD等于（

）A．18 B．4 C．2 D．15．已知等邊三角形ABC，AB＝2，則其周長為（）A．4 B．5 C．6 D．86．等腰三角形周長為35，其中兩邊長之比為3∶1，則底邊長為______．7．如圖，在△ABC中，若AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠BDC＝_____．8．如圖，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A,B提供牛奶，牛奶站應建在什么地方，才能使A,B到它的距離之和最短，作圖并說明．

9．如圖，在等邊△ABC中，AB＝18，點P從點A出發(fā)沿AB邊向點B以每秒2個單位的速度移動，點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以每秒4個單位的速度移動．點P、Q兩點同時出發(fā)，它們移動的時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示：BP＝______，BQ＝______；(2)當點Q到達點C時，PQ與AB有何位置關(guān)系？請說明理由；(3)在點P、Q的運動過程中，△BPQ是否能構(gòu)成等邊三角形？如果能，請求出t的值；如果不能，請說明理由；(4)若P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，并且都按逆時針方向沿△ABC的三邊運動，請問經(jīng)過幾秒點P與點Q第一次相遇？并說明相遇的位置．10．如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：AB＝AC；(2)若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周長.能力提升練1．如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于（

A．18° B．20° C．30° D．15°2．如圖，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D為BC的中點，DE⊥AB于點E，若AE=2，則BE的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．83．如圖，在△ABC中，點E、D分別在AB、AC的延長線上，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點P，BE=BC，PB與CE交于點H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA=GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正確的結(jié)論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個4．如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的兩條中線，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一個動點，連接PE，PC，則CP+EP的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．95．如圖，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分線上一點，PD⊥AO，垂足為D，點M是OP的中點，且DM＝4，如果點C是射線OB上一個動點，則PC的最小值是（）A．8 B．6 C．4 D．26．如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC=36°，∠C=50°，則∠CDE7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，a＝4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P（1）當t=_________時，△PBQ為等邊三角形（2）當t=_________時，△PBQ為直角三角形8．如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點，若AB=6，AC=4，BC=7．(1)求PA+PB的最小值，并說明理由．(2)求周長的最小值．9．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交BC于點D．點A與點E關(guān)于直線BC對稱，連接BE，CE，延長AD交BE于點F．(1)補全圖形；(2)求證：△BDF是等腰三角形；(3)求證：AB+BD=2AC．10．數(shù)學課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”．小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．(2)特例啟發(fā)，解答題目題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）(3)拓展結(jié)論，設計新題在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）．拓展培優(yōu)練1．如圖，在△ABC中，AB=AC,?AD是△ABC的角平分線，過點D分別作DE⊥AB,?DF⊥AC，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論A． B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD2．如圖，已知∠ABC=60°，點D為BA邊上一點，BD=10，點O為線段BD的中點，以點O為圓心，線段OB長為半徑作弧，交BC于點E，連接DE，則的長是（

）A．5 B．52 C．53 3．如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，∠2=40°，則∠1的度數(shù)為（

A．80° B．70° C．60° D．50°4．如圖，已知圓柱的底面直徑BC=，高AB=3，小蟲在圓柱表面爬行，從C點爬到A點，然后再沿另一面爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為（）A． B． C． D．5．如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+26．如圖，在ΔABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長為_______.7．如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線BA于點D，連接CD，則∠BCD8．為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡，坡角∠BAD=30°，BD⊥AD于點D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．(1)求該斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起點C與原起點A之間的距離．（假設圖中C，A，D三點共線）9．如圖，將邊長為的正三角形紙片按如下順序進行兩次折疊，展開后，得折痕（如圖①），點為其交點.（1）探求與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，若分別為上的動點.①當?shù)拈L度取得最小值時，求的長度；②如圖③，若點在線段上，，則的最小值=.10．△ABC和△ADE(1)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有（或PA+PC=PB）成立；請證明．(2)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC(3)將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC

13.3等腰三角形13.4最短路徑問題基礎過關(guān)練1．如圖，河道l的同側(cè)有M、N兩地，現(xiàn)要鋪設一條引水管道，從P地把河水引向M、N兩地．下列四種方案中，最節(jié)省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：依據(jù)垂線段最短，以及兩點之間，線段最短，可得最節(jié)省材料的是：故選：D．2．下列說法中，正確的個數(shù)是（

）①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形；③有兩個角為60°的三角形是等邊三角形；④底角的角平分線所在的直線是這等腰三角形的對稱軸，則這個三角形是等邊三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】解：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形，此選項符合題意．②有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，此選項符合題意．③有兩個角為60°的三角形是等邊三角形，此選項符合題意．④底角的角平分線所在的直線是這等腰三角形的對稱軸，則這個三角形是等邊三角形，此選項符合題意．故選：D．3．若等腰三角形有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是（

）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°【答案】D【詳解】解：∵已知三角形是等腰三角形，∴當50°是底角時，頂角=180°?50°+50°當50°是頂角時，符合題意；綜上所述，等腰三角形的頂角度數(shù)為50°或80°．故選D．4．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，則BD等于（

）A．18 B．4 C．2 D．1【答案】C【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，∴BC=∵CD⊥AB，，∴∠A+∴∠BCD=∴BD=故選：C．5．已知等邊三角形ABC，AB＝2，則其周長為（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【詳解】等邊三角形ABC的周長=3AB=6．故選C．6．等腰三角形周長為35，其中兩邊長之比為3∶1，則底邊長為______．【答案】5【詳解】解：設等腰三角形的一邊長為3x，則另一邊長為x，則等腰三角形的三邊有兩種情況：3x，3x，x或x，x，3x，則有：①3x+3x+x=35，得x=5，所以三邊為：15、15、5，5+15>15，符合三角形三邊關(guān)系，則底邊長為5；②x+x+3x=35，得x=7，所以三邊為7、7、21，7+7<21，不符合三角形三邊關(guān)系，舍去．綜上，該等腰三角形的底邊長為5．故答案為：5．7．如圖，在△ABC中，若AB＝AC，點D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠BDC＝_____．【答案】72°##72度【詳解】解：設∠A＝x．∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x．∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝2x．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x．在△ABC中x+2x+2x＝180°，解得：x＝36°，∴∠BDC＝∠C＝72°，故答案為：72°．8．如圖，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A,B提供牛奶，牛奶站應建在什么地方，才能使A,B到它的距離之和最短，作圖并說明．

【答案】圖見解析，說明見解析【詳解】解：如圖，作點A關(guān)于街道得對稱點C，連接CB，交街道與點D，則點D即為所求的牛奶站的位置．由軸對稱的性質(zhì)可知AD=CD，則AD+BD=CD+BD=BC，在街道上任取一點不同于D點的E，連接CE，BE，根據(jù)兩點之間線段最短可知BE+CE＞BC，則點D即為所求；9．如圖，在等邊△ABC中，AB＝18，點P從點A出發(fā)沿AB邊向點B以每秒2個單位的速度移動，點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以每秒4個單位的速度移動．點P、Q兩點同時出發(fā)，它們移動的時間為t秒．(1)用含t的代數(shù)式表示：BP＝______，BQ＝______；(2)當點Q到達點C時，PQ與AB有何位置關(guān)系？請說明理由；(3)在點P、Q的運動過程中，△BPQ是否能構(gòu)成等邊三角形？如果能，請求出t的值；如果不能，請說明理由；(4)若P、Q兩點分別從A、B兩點同時出發(fā)，并且都按逆時針方向沿△ABC的三邊運動，請問經(jīng)過幾秒點P與點Q第一次相遇？并說明相遇的位置．【答案】(1)18－2t，4t(2)PQ⊥AB，理由見解析(3)能，t＝3(4)經(jīng)過18秒點P與點Q第一次在點C處相遇【詳解】（1）解：根據(jù)題意得∶AP=2t，BQ=4t，∴BP=18-2t，故答案為：18－2t，4t；（2）解：結(jié)論：PQ⊥AB，理由如下：當點Q到達點C時，BQ＝BC，即4t＝18，此時t＝4.5，∴BP＝18－2t＝9＝12AB，即此時點P為AB∵△ABC是等邊三角形，∴PQ⊥AB；（3）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，∴當BP＝BQ時，△BPQ是等邊三角形，∴18－2t＝4t，∴t＝3，即當t＝3時，△BPQ是等邊三角形；（4）解：∵點Q的速度大于點P的速度，∴當點Q比點P多運動BC＋AC＝36個單位時，兩點第一次相遇，即4t＝2t＋36，∴t＝18，∵4t＝72＝18×3＋18，∴點P、Q在點C處相遇，即經(jīng)過18秒點P與點Q第一次在點C處相遇．10．如圖，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D為BC邊的中點，過點D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：AB＝AC；(2)若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周長.【答案】(1)證明見解析(2)△ABC的周長為12【詳解】（1）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，又∵D是BC中點，∴BD＝CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中DE=DFBD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（2）證明：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°∴∠EDB＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，∴△ABC的周長＝4×3＝12．能力提升練1．如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45°，則∠ACE等于（

A．18° B．20° C．30° D．15°【答案】D【詳解】解：∵三角形ABC是等邊三角形，又∵AD⊥∴BD=CD，∠EDB=在△BDE和△CDEBD=CD∠∴△BDE∴，又∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°∴∠ACE=故選：D2．如圖，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D為BC的中點，DE⊥AB于點E，若AE=2，則BE的長為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【詳解】解：如圖，連接AD，∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∠B=∠C=30°，∴∠ADC=90°，∵DE⊥AB于點E，EA=2，∴∠DEA=90°，∠DEB=90°，∴∠BAD=60°，∠EDA=30°，∴AD=2AE=4，∴AB=2AD=8，∴BE=AB-AE=8-2=6，故選：B．3．如圖，在△ABC中，點E、D分別在AB、AC的延長線上，∠BAC與∠CBE的平分線相交于點P，BE=BC，PB與CE交于點H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列結(jié)論：①GA=GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正確的結(jié)論有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【詳解】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP=∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG=∠CAP，∴∠APG=∠BAP，∴GA=GP，故①正確；②∵∠BAC與∠CBE的平分線相交于點P，如圖，過點P分別作PL,PK,PM垂直與AC,BC,AE，垂足分別為L，K，M，則PL=PK=PM∴點P也位于∠BCD的平分線上，∴∠DCP=∠BCP，故②正確；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，∴BH∴BP垂直平分CE，故③正確；故選：D．4．如圖所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的兩條中線，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一個動點，連接PE，PC，則CP+EP的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【詳解】解：如圖，連接PB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE，∵PE+PB≥BE，∴P、B、E共線時，PB+PE的值最小，最小值為BE的長度，CP+EP的最小值是：8．故選：C．5．如圖，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分線上一點，PD⊥AO，垂足為D，點M是OP的中點，且DM＝4，如果點C是射線OB上一個動點，則PC的最小值是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【詳解】∵P是∠AOB角平分線線上一點，且∠AOB＝60°∴∠AOP＝12∠AOB＝30°∵PD⊥OA，M是OP的中點，DM＝4∴OP＝2DM＝8∴PD＝12OP∵C點是OB上一個動點∴當PC丄OB時，PC的值最小此時PC＝PD＝4∴PC的最小值為4故選C6．如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC=36°，∠C=50°，則∠CDE【答案】44°##44度【詳解】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝12∠ABC＝18°，∠AFB＝∠EFB∴∠BAF＝90°?18°＝72°＝∠BEF，∴AB＝BE，∴BF是ΔABE邊AE上的中線，∴AF＝EF，∴BD是AE的中垂線，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°?∠ABC?∠C＝180°?36°?50°＝94°，∴∠BED＝∠BAD＝94°，∵∠BED是ΔDCE的一個外角，∴∠CDE＝94°?50°＝44°，故答案為：44°．7．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，a＝4cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P（1）當t=_________時，△PBQ為等邊三角形（2）當t=_________時，△PBQ為直角三角形【答案】

83##22【詳解】（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，a＝4cm，∴∠B=60°，AB=8cm，∴當PB=BQ時，△PBQ是等邊三角形，由題意得AP=2tcm，BQ=tcm，∴BP=AB?AP=（8?2t）cm，∴8?2t=t，解得t=8∴當t=83時，△故答案為：83（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B=60°，∴當△PBQ為直角三角形時，只能是∠PQB=90°或∠BPQ=90°，當∠PQB=90°時，如圖，∴∠BPQ=30°，∴BQ=12BP∵BP=（8?2t）cm，BQ=tcm，∴t=12（8?2t解得t=2；當∠BPQ=90°時，如圖，∴∠PQB=30°，∴BQ=2BP，∴t=2（8?2t），解得t=16綜上所述，當t=2或t=165時△故答案為：2或1658．如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上的一動點，若AB=6，AC=4，BC=7．(1)求PA+PB的最小值，并說明理由．(2)求周長的最小值．【答案】(1)6，理由見解析(2)10【詳解】（1）解：當A,B,P三點共線時，PA+PB最小短PA+PB=AB=6；原因：兩點之間，線段最短．（2）∵直線m是BC的垂直平分線，點P在m上，∴點C關(guān)于直線m的對稱點是點B，則PB=PC，∵C△∵AC=4，要使周長最小，即AP+PC最小，當點P是直線m與AB的交點時，PA+PB最小，即PA+PB=AB，此時C△9．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交BC于點D．點A與點E關(guān)于直線BC對稱，連接BE，CE，延長AD交BE于點F．(1)補全圖形；(2)求證：△BDF是等腰三角形；(3)求證：AB+BD=2AC．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【詳解】（1）解：補全圖形如下：；（2）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AD是∠CAB的平分線，∴∠CAD=∠BAD=22.5°，∴∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°，∵點A與點E關(guān)于直線BC對稱，∴∠EBC=∠CBA=45°，∴∠ABF=90°，∴∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°，∴∠BDF=∠AFB，∴BF=BD；∴△BDF是等腰三角形；（3）證明：過D作DK⊥AB于K，如圖：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠KAD，∵DK⊥AB，∴∠AKD=90°=∠ACD，在△ACD和△AKD中，∠ACD=∴△ACD≌△AKD（AAS），∴AC=AK，CD=DK，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠KBD=45°，∴△KBD是等腰直角三角形，∴BK=DK，∴BK=CD，∵AB=AK+BK，∴AB=AC+CD，∴AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC．10．數(shù)學課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由”．小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論當點E為AB的中點時，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．(2)特例啟發(fā)，解答題目題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如圖2，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）(3)拓展結(jié)論，設計新題在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)＝(2)＝，解答過程見解析(3)CD＝1或3【詳解】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵點E為AB的中點，∴∠BCE＝30°，AE＝BE，∵ED＝EC，∴∠BDE＝∠BCE＝30°，∴∠BED＝∠ABC－∠BDE＝30°，∴∠BDE＝∠BED，∴BD＝BE，∴AE＝DB．故答案為：＝．（2）過E作EF∥BC交AC于F，如圖2，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，在△DEB和△ECF中∠DEB=∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF＝AE，即AE＝DB，故答案為：＝．（3）解：CD＝1或3，理由是：分為兩種情況：①如圖3，過A作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∵AM⊥BC，∴BM＝CM=12BC∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AB＝1，AE＝2，∴AB＝BE＝1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB＝∠ENB＝90°，在△ABM和△EBN中，∠ABM=∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN＝BM=1∴CN＝1+1∴CD＝2CN＝3；②如圖4，作AM⊥BC于M，過E作EN⊥BC于N，則AM∥EN，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∠BAC＝60°，∵AM⊥BC，∴BM＝CM=12BC=12∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AM∥EN，∴∠BEN＝∠BAM＝30°，∴BN＝12BE＝12（AB＋AE）＝∴MN＝BN－BM＝1，∴CN＝MN－CM＝1，∴CD＝2CN＝1，即CD＝3或1．拓展培優(yōu)練1．如圖，在△ABC中，AB=AC,?AD是△ABC的角平分線，過點D分別作DE⊥AB,?DF⊥AC，垂足分別是點E，F(xiàn)，則下列結(jié)論A． B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD【答案】C【詳解】解：∵AB=AC,?AD是△ABC∴AD⊥∴，故選項A、D結(jié)論正確，不符合題意；又AD是∠BAC的角平分線，DE⊥∴DE=DF，故選項B結(jié)論正確，不符合題意；由已知條件推不出AD=BC，故選項C結(jié)論錯誤，符合題意；故選：C．2．如圖，已知∠ABC=60°，點D為BA邊上一點，BD=10，點O為線段BD的中點，以點O為圓心，線段OB長為半徑作弧，交BC于點E，連接DE，則的長是（

）A．5 B．52 C．53 【答案】A【詳解】連接OE，如圖所示：∵BD=10，點O為線段BD的中點，∴OB=OD=5，∵以點O為圓心，線段OB長為半徑作弧，交BC于點E，∴OE=OB=OD=5，∴∠ABC=∴△OBE即BE=OE=OB=5，故選：A．3．如圖，直線a∥b，等邊三角形ABC的頂點C在直線b上，∠2=40°，則∠1的度數(shù)為（

A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】A【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，∴∠3＝180°?40°?60°＝80°，∵a∥∴∠1＝∠3＝80°．故選：A．4．如圖，已知圓柱的底面直徑BC=，高AB=3，小蟲在圓柱表面爬行，從C點爬到A點，然后再沿另一面爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點A、C的最短距離為線段AC的長．在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=3，所以AC=3，∴從C點爬到A點，然后再沿另一面爬回C點，則小蟲爬行的最短路程為2AC=6，故選D．5．如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【答案】C【詳解】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．6．如圖，在ΔABC中，AB=AC，點D，E都在邊BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，則CE的長為_______.【答案】9.【詳解】因為△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD?△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.7．如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交射線BA于點D，連接CD，則∠BCD【答案】10°或100°【詳解】解：如圖，點D即為所求；在ΔABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，由作圖可知：AC=AD，，；由作圖可知：，，，，．綜上所述：∠BCD的度數(shù)是10°或100°．故答案為：10°或100°．8．為了進一步改善人居環(huán)境，提高居民生活的幸福指數(shù)．某小區(qū)物業(yè)公司決定對小區(qū)環(huán)境進行優(yōu)化改造．如圖，AB表示該小區(qū)一段長為20m的斜坡，坡角∠BAD=30°，BD⊥AD于點D．為方便通行，在不改變斜坡